期中真题专项训练03 解三角形12大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测试

期中真题专项训练03 解三角形 【考点一】余弦定理解三角形 【考点七】三角形面积公式及其应用 【考点二】余弦定理边角互化的应用 【考点八】正、余弦定理判定三角形形状 【考点三】正弦定理解三角形 【考点九】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【考点四】正弦定理判定三角形解的个数 【考点十】几何图形中的计算 【考点五】正弦定理求外接圆半径 【考点十一】求三角形面积的最值或范围 【考点六】正弦定理边角互化的应用 【考点十二】正、余弦定理的实际应用 【考点一】余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·重庆北碚·期中）中，分别是三个内角的对边，，则最小角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建漳州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的平分线交边于D，，则的最小值为（    ）． A． B．3 C． D． 3.（24-25高一下·浙江杭州·期中）设为的外心，若，则等于______． 4．（24-25高一下·四川泸州·期中）在中，，，为边上靠近的三等分点，则的最小值为______. 5.（24-25高一下·吉林长春·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，D为AC边的中点，求BD的长． 【考点二】余弦定理边角互化的应用 6.（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，角所对的边为，若，则BD长为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 8.（24-25高一下·河南·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________． 9．（23-24高一下·四川成都·期中）某同学在利用正弦定理和余弦定理解三角形的研究性学习中发现，用边角互化的思想求出以下三个式子的值都等于同一个常数. （1）； （2）； （3）； 这个常数为________，将该同学发现的结论一般化后表述出来为________. 10.在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量，且满足. (1)求A的大小； (2)若，，求的周长. 【考点三】正弦定理解三角形 11.（24-25高一下·河南郑州·期中）在中，内角的对边分别为，若满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·云南曲靖·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 13.（24-25高一下·广东深圳·期中）如果一个三角形的三边是三个连续的正整数，且这个三角形的最大角是最小角的倍，则这个三角形的周长为______. 14．（24-25高一下·湖南永州·期中）在直角三角形中，斜边为，点在边上，若，，则_____ 15.（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在△中，已知，，，分别是线段上两点，且满足 ，. (1)若，求及的值； (2)若，求的值. 【考点四】正弦定理判定三角形解的个数 16.（24-25高一下·江西南昌·期中）在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若这个三角形有两组解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18.（24-25高一下·福建三明·期中）在中，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为_____. 19．（24-25高一下·吉林·期中）的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的一个可能整数值为_______ . 20.（24-25高一下·广东潮州·期中）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， (1)若，求角A； (2)若，，，求边c． 【考点五】正弦定理求外接圆半径 21.（23-24高一下·福建厦门·期中）已知四边形 的三个顶点在某圆上，， 则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·山东济南·期中）四边形四个顶点在一个平面上，，，，，则的值为（    ） A． B． C．14 D． 23.在中，若，，则的值为______． 24．在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为_________. 25．在中，若，则外接圆半径等于_________. 【考点六】正弦定理边角互化的应用 26（23-24高一下·四川泸州·期中）设的内角的对边分别为，那么是的（　　）条件． A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 27．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角，，的对边为，，，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 28.（24-25高一下·四川成都·期中）在中，若，则的最小值为______. 29．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知的内角所对的边分别是，若，，则角为__________. 30.（24-25高一下·四川成都·期中）在①，是锐角；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______， (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 【考点七】三角形面积公式及其应用 31.（24-25高一下·重庆南岸·期中）外接圆半径为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·广东·期中）如图，在中，分别是AC上的三等分点，记，则（    ）    A． B．3 C． D．2 33.（24-25高一下·山西·期中）如图，已知点C在点O的正北方向，点A、点B分别在点O的正西、正东方向，且，，，则的面积为________. 34．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，是边上一点，且，，则_____；若，则的面积的最大值为_____． 35.（24-25高一下·云南昆明·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的值； (3)若点D满足，，，求． 【考点八】正、余弦定理判定三角形形状 36.（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 37．（24-25高一下·陕西·期中）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 38．（24-25高一下·福建·期中）已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 39.（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是__________. 40.（24-25高一下·重庆南岸·期中）的内角的对边分别为，已知 (1)求角的大小； (2)若，，判断三角形形状． 【考点九】求三角形中的边长或周长的最值或范围 41.（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 42．（23-24高一下·重庆涪陵·期中）在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D． 43.（24-25高一下·安徽·期中）在中，，，求的最大值_________. 44．（24-25高一下·福建福州·期中）在锐角中，内角所对的边分别为且，则_______，边长c的取值范围为_______． 45.（24-25高一下·新疆·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 【考点十】几何图形中的计算 46.（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 47．（24-25高一下·陕西西安·期中）在中，若，，边上的中线长为，则（    ） A． B． C． D． 48.（24-25高一下·重庆涪陵·期中）中，，为边上一点，若，则_______. 49．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则_________. 50.（24-25高一下·云南·期中）如图，在四边形中，，，是等边三角形． (1)若，求的面积； (2)若，求的面积； (3)求的面积的最大值． 【考点十一】求三角形面积的最值或范围 51.（25-26高一上·广东·期中）古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 52．（24-25高一下·四川成都·期中）中，，点在线段上，且，则面积最大值为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 54.（24-25高一下·云南红河·期中）在锐角中，内角的对边分别为且. (1)求角； (2)求的面积的取值范围. 55．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【考点十二】正、余弦定理的实际应用 56.（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 57．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 58.（23-24高一下·河南信阳·期中）如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为________.（塔顶大小和游客身高忽略不计） 59．（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则______千米． 60.（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题专项训练03 解三角形 【考点一】余弦定理解三角形 【考点七】三角形面积公式及其应用 【考点二】余弦定理边角互化的应用 【考点八】正、余弦定理判定三角形形状 【考点三】正弦定理解三角形 【考点九】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【考点四】正弦定理判定三角形解的个数 【考点十】几何图形中的计算 【考点五】正弦定理求外接圆半径 【考点十一】求三角形面积的最值或范围 【考点六】正弦定理边角互化的应用 【考点十二】正、余弦定理的实际应用 【考点一】余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·重庆北碚·期中）中，分别是三个内角的对边，，则最小角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据性质大边对大角确定三角形的最小角，再由余弦定理求最小角的余弦值. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 又， 所以最小角的余弦值为， 故选：B 2．（24-25高一下·福建漳州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的平分线交边于D，，则的最小值为（    ）． A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据题设结合余弦定理可得，由的平分线交边于D，可得，进而得到，，再根据余弦定理及三角恒等变换公式可得，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】由余弦定理得，则， 由，则， 因为的平分线交边于D， 所以，则， 所以，则，， 所以 ，， 则，当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为. 故选：D. 3.（24-25高一下·浙江杭州·期中）设为的外心，若，则等于______． 【答案】/ 【分析】根据向量共线以及余弦定理、诱导公式求得正确答案. 【详解】设圆为三角形的外接圆，半径为， 由于， 所以，. 设，则， 在三角形中，由余弦定理得. 由及， 可知：， 又，所以， 由三角形内角和可知：， 所以，可得：，又， 可得：，又， 所以 故答案为：. 4．（24-25高一下·四川泸州·期中）在中，，，为边上靠近的三等分点，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】设，求出范围，在与利用余弦定理建立关系求得，并将表示为的函数，借助基本不等式求出最小值. 【详解】设，则，在中，，则且， ， 由为边上靠近的三等分点，，得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得，而， 则，解得， 于是，， 令，， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为： 5.（24-25高一下·吉林长春·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，D为AC边的中点，求BD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合三角恒等变换化简可得，解方程即可求解； （2）由余弦定理可得，再根据，两边完全平方即可求解. 【详解】（1）因为， ， 所以，解得或， 因为，所以； （2）由余弦定理得， 解得或，因为，所以， 由得， 所以， 所以. 【考点二】余弦定理边角互化的应用 6.（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，角所对的边为，若，则BD长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理结合条件可得，结合图形推得，再利用向量数量积的运算律求模长即可. 【详解】由，可得，由余弦定理，， 由， 因，则， 所以. 故选：C. 7．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由余弦定理的边角互化可得，，即可得到的关系式，代入计算即可得到，再由同角的平方关系即可得到结果. 【详解】因为，所以， 整理可得①， 又，可得， 所以，解得②， 由①②可得， 所以， 则. 故选：D 8.（24-25高一下·河南·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________． 【答案】 3 / 【分析】第一空，利用余弦定理角化边，再化简计算即得；第二空，利用余弦定理将用表示，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】在中，由及余弦定理，得 ，因此； ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：3； 9．（23-24高一下·四川成都·期中）某同学在利用正弦定理和余弦定理解三角形的研究性学习中发现，用边角互化的思想求出以下三个式子的值都等于同一个常数. （1）； （2）； （3）； 这个常数为________，将该同学发现的结论一般化后表述出来为________. 【答案】 / 【分析】选择②，直接计算可得；利用余弦定理，当时，再化边为角得结果. 【详解】选择②， 由， 则； 由余弦定理，当时，再化边为角得 . 故答案为：；； 10.在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量，且满足. (1)求A的大小； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得，再结合三角形角的范围求解即可； （2）根据已知利用余弦定理求得，利用完全平方和求得，即可得解. 【详解】（1）因为向量，且满足， 所以，所以， 又，所以； （2）在中，由余弦定理及，得， ，所以，所以，所以， 所以的周长为. 【考点三】正弦定理解三角形 11.（24-25高一下·河南郑州·期中）在中，内角的对边分别为，若满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合正弦定理求，结合大角对大边确定，由此求. 【详解】由正弦定理可得， 又，，， 所以，所以， 因为，所以，又， 所以，故. 故选：D. 12．（24-25高一下·云南曲靖·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算得解. 【详解】在中，由正弦定理，得， 由，得，所以或. 故选：D 13.（24-25高一下·广东深圳·期中）如果一个三角形的三边是三个连续的正整数，且这个三角形的最大角是最小角的倍，则这个三角形的周长为______. 【答案】 【分析】设三角形的三边分别为，，，对应的角分别为，则，由正弦定理及二倍角的正弦公式可得，又由余弦定理得，列方程求，由此可求出三边长，再求周长可得结论． 【详解】设三角形的三边分别为，，，,对应的角分别为， 则，由题意可得， 由正弦定理可得， ∴， 又由余弦定理可得， ∴，化简可得，解得，或（舍去）， ∴三角形的三边分别为4，5，6， ∴三角形的周长为. 故答案为：. 14．（24-25高一下·湖南永州·期中）在直角三角形中，斜边为，点在边上，若，，则_____ 【答案】/ 【分析】由，结合同角关系求出，，根据求出，由求出结果. 【详解】因为，所以，， 又，， 所以，解得， 所以，，所以， 则． 故答案为： 15.（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在△中，已知，，，分别是线段上两点，且满足 ，. (1)若，求及的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)；； (2). 【分析】（1）利用向量的线性运算和数量积公式求解； （2）利用余弦定理、正弦定理以及向量的运算求解. 【详解】（1）当时，，则为的中点， 所以，即 ， 所以， （2）在△中，由余弦定理得，即， 由正弦定理得，即，解得， 因为，所以，所以， 因为，所以， ，解得或（舍去）， 故. 【考点四】正弦定理判定三角形解的个数 16.（24-25高一下·江西南昌·期中）在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据正弦定理求出关于的表达式，然后确定角的范围，进而可求出的取值范围. 【详解】根据正弦定理可得：， 所以，且. 因为，有两解， 所以. 所以. 故选：C. 17．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若这个三角形有两组解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，解不等式组，即可得答案. 【详解】若这个三角形有两组解， 则， 因为，，所以. 故选：D． 18.（24-25高一下·福建三明·期中）在中，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为_____. 【答案】 【分析】在中利用正弦定理得，再结合即可求出. 【详解】在中利用正弦定理，得， 因，且满足条件的三角形有且只有两个，则且， 则，即，得， 则边的取值范围为. 故答案为：. 19．（24-25高一下·吉林·期中）的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的一个可能整数值为_______ . 【答案】/ 【分析】根据正弦定理可得，由有两解可得，根据不等式的性质即可求解. 【详解】由正弦定理及题中条件可得. ∵有两解，∴，即， ∴，即. ∴的一个可能整数值为（或）. 故答案为：（或）. 20.（24-25高一下·广东潮州·期中）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， (1)若，求角A； (2)若，，，求边c． 【答案】(1)或 (2) 【分析】利用正弦定理和余弦定理解三角形. 【详解】（1）在△ABC中，由，可得，可得， 又由正弦定理，得，可得， 所以或. （2）在△ABC中，由余弦定理得 【考点五】正弦定理求外接圆半径 21.（23-24高一下·福建厦门·期中）已知四边形 的三个顶点在某圆上，， 则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直角三角形求出,再利用余弦定理求出,结合正弦定理可得圆的半径，然后可得面积. 【详解】连接AC， 因为，所以, , 所以， 由题意该圆即为三角形的外接圆， 设该圆的半径为R，则， 所以该圆的面积为． 故选：B． 22．（24-25高一下·山东济南·期中）四边形四个顶点在一个平面上，，，，，则的值为（    ） A． B． C．14 D． 【答案】B 【分析】由题意得，，联立两方程，解出即可求解. 【详解】设， 由题意，，所以， 由余弦定理得， 由勾股定理有， 从而将代入，得, 将代入，得， 即，解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 23.在中，若，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】设外接圆半径为，则由正弦定理可得： 故答案为： 24．在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为_________. 【答案】/ 【分析】在中，由余弦定理及题中条件可求得的值，进而求出的值，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可求解. 【详解】在中，由及余弦定理可得： ， ∴. ，. 设外接圆半径为，则由正弦定理可知：，即. ∴外接圆面积为. 故答案为：. 25．在中，若，则外接圆半径等于_________. 【答案】. 【分析】根据正弦定理可求出结果. 【详解】由正弦定理得. 所以. 故答案为：. 【考点六】正弦定理边角互化的应用 26（23-24高一下·四川泸州·期中）设的内角的对边分别为，那么是的（　　）条件． A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】由正弦定理得，即，则或，再根据逻辑条件推理可得. 【详解】由正弦定理得， 即， 又， 所以，即，或， 反之，若，则， 所以是的必要而不充分条件. 故选：B. 27．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角，，的对边为，，，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合已知利用正弦定理化简得，进而求得，由余弦定理建立方程求解即可. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又，所以，所以， 又，所以，由余弦定理得，， 即，解得或（舍去）. 故选：C 28.（24-25高一下·四川成都·期中）在中，若，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】将转化为弦，利用正、余弦定理化简可得，再次利用余弦定理，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】，得， 所以， 所以，即， 由正弦定理和余弦定理，得， 整理得， 由余弦定理，得 ， 当且仅当即等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 29．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知的内角所对的边分别是，若，，则角为__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理和余弦定理，结合已知条件，整理化简，即可求得. 【详解】，由余弦定理得，，整理得，即； 又，由正弦定理得，，． 又，，又， 是等边三角形，． 故答案为： 30.（24-25高一下·四川成都·期中）在①，是锐角；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______， (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)是正三角形，证明见详解 【分析】（1）选①，利用二倍角降幂公式求出，进而求解；选②，由正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简求得得解；选③，由正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简求解. （2）由（1），可得，代入消去角，利用三角恒等变换化简，根据三角函数求值域得解； （3）由结合，利用余弦定理求得，得证. 【详解】（1）若选①，，则， ，解得或（舍）， 又是锐角，则. 若选②，，由正弦定理，得， ，化简整理得， 又，，故， 又，所以. 若选③，，则由正弦定理，得，，， 上式化简得，即， ，，故. （2）由（1），，则， ， 因为，则， ，所以. （3）由，，由余弦定理， ，即， ，化简得，得， 又，所以是正三角形. 【考点七】三角形面积公式及其应用 31.（24-25高一下·重庆南岸·期中）外接圆半径为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设及正弦定理易得，，，结合平方关系可得，进而结合余弦定理求得，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】由，根据正弦定理得， 则，又，则， 显然或，则为锐角， 所以， 又，则， 则， 则，即， 所以的面积为. 故选：D. 32．（24-25高一下·广东·期中）如图，在中，分别是AC上的三等分点，记，则（    ）    A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】由正弦定理得、，进而有，最后由即可得. 【详解】由题设，，， 令，又，， 所以，，即， ，，即， 所以， 又，则，即，故. 故选：B 33.（24-25高一下·山西·期中）如图，已知点C在点O的正北方向，点A、点B分别在点O的正西、正东方向，且，，，则的面积为________. 【答案】 【分析】根据余弦定理和余弦定理以及两角差的正弦公式，解三角形，根据正弦面积公式求出面积即可. 【详解】 由且A，B为三角形的内角，， 可知为锐角，，， 如图作A关于O的对称点D，且D在线段上，连接， 则，即， 故，所以， 在中，，即， 在中，，即，所以. 综上，，， 则， ， 两式相减，得，即， 所以的面积. 34．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，是边上一点，且，，则_____；若，则的面积的最大值为_____． 【答案】 【分析】设，则．画出图形，运用余弦定理得到，进而得到．再用余弦定理得到，借助基本不等式计算即可. 【详解】设，则． 在中，由余弦定理得 ． ． 在中，由余弦定理， ， ，当且仅当时取等号， ， ， ， 面积最大值为． 故答案为：； 35.（24-25高一下·云南昆明·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的值； (3)若点D满足，，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两个平面向量互相垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式、同角的三角函数关系式中的商关系进行求解即可； （2）由三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可； （3）根据平面向量数量积运算性质，对已知等式两边同时平方进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 因为是锐角三角形， 所以，因此， 所以由； （2）因为的面积为， 所以， 由余弦定理得， ； （3）由 . 【考点八】正、余弦定理判定三角形形状 36.（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解. 【详解】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以， 所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形. 故选：B. 37．（24-25高一下·陕西·期中）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据正弦定理可得，再由已知条件判断的形状. 【详解】由正弦定理，，则， 再由则 故，即， 故，所以为等边三角形. 故选：C. 38．（24-25高一下·福建·期中）已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标运算得，利用正弦定理以及两角差的正弦公式得到，即可判断. 【详解】在中，因为，且， 所以，由正弦定理得， 所以，即， 又，则，则， 所以，所以该三角形为等腰三角形. 故选：A 39.（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是__________. 【答案】直角三角形 【分析】由正弦定理以及两角和的正弦公式整理可得，进一步有，即可求解. 【详解】由正弦定理以及，可得， 所以 ， 化简可得：， 因为，，所以，，则， 因为，所以，则的形状是直角三角形； 故答案为：直角三角形 40.（24-25高一下·重庆南岸·期中）的内角的对边分别为，已知 (1)求角的大小； (2)若，，判断三角形形状． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的和角公式化简，进而求出角的大小；（2）利用余弦定理化简已知等式，得到边与的关系，结合已知边的值求出边，最后根据余弦定理求出，进而判断形状. 【详解】（1）已知，由正弦定理将边化为角可得， 即， 可得， 因为，所以，则， 那么， 因为是三角形内角，所以，等式两边同时除以可得， 即， 又因为，所以； （2）已知，由余弦定理，代入可得：，即， 化简得，所以，又，则，   由余弦定理，已知，，， 则，所以， 因为，且，所以是等腰直角三角形. 【考点九】求三角形中的边长或周长的最值或范围 41.（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理及有两解，列不等式求边长范围. 【详解】因为且，有两解， 所以，得． 故选：C 42．（23-24高一下·重庆涪陵·期中）在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解. 【详解】由余弦定理得，即，即，又， ，即，当且仅当时等号成立. ， . . 故选：B 43.（24-25高一下·安徽·期中）在中，，，求的最大值_________. 【答案】 【分析】首先利用正弦定理求出与关于角、的表达式，然后将转化为只含有角的三角函数表达式，再利用三角函数的性质求出最大值. 【详解】已知在中，，，因为，所以，可得；，可得. 因为三角形内角和为，所以. 则. 把代入上式得：. . 所以 . 对于，根据辅助角公式， 所以，. 则. 因为正弦函数的值域是，所以的最大值为，即. 故答案为： 44．（24-25高一下·福建福州·期中）在锐角中，内角所对的边分别为且，则_______，边长c的取值范围为_______． 【答案】 【分析】利用余弦定理得到，求出，由正弦定理得到，根据为锐角三角形，得到，求出，得到答案. 【详解】，，故， 所以， 又为锐角三角形，，故， 由正弦定理得，即， 所以， 为锐角三角形，， ，解得， 又，所以， 所以，，， 所以. 故答案为：， 45.（24-25高一下·新疆·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得得解； （2）根据余弦定理可得，利用向量的中线公式及数量积的运算，可得，再利用面积公式，即可求解； （3）根据正弦定理边角化以及三角恒等变换可得，再根据角的范围，结合三角函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 所以， 得到，即， 又，，所以， 又因为，可得. （2）因为，且， 所以由，可得，解得， 由题意， 两边平方，可得， 因为，所以，解得或（舍）， 则的面积为. （3）因为 ， 由题知，，解得， 因为， 所以，可得， 可得， 所以． 【考点十】几何图形中的计算 46.（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】在中，由余弦定理求得，根据是的平分线，得，所以，在中应用余弦定理求得b，即可求得. 【详解】在中，， 即，， 因为是的平分线，所以即，所以 在中， 即即，解得. 在中，， 所以 故选：A. 47．（24-25高一下·陕西西安·期中）在中，若，，边上的中线长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模长，可求解，，即可根据正弦定理求解. 【详解】由图可知边上的中线, 故,进而, 故，解得(负值舍去)， 又，则, 故，解得， 在中，由正弦定理可得， 故, 故选：C 48.（24-25高一下·重庆涪陵·期中）中，，为边上一点，若，则_______. 【答案】 【分析】设，有，，中，由正弦定理求出，得到，可求. 【详解】中，，为边上一点， ，如图所示，       设，由，则， 所以，，， 在中，由正弦定理可得， 因为，所以， 即，整理得，即， 所以，. 故答案为：. 49．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则_________. 【答案】/ 【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出. 【详解】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则，， 在中，由正弦定理可得②， ①②两式相除，得，即， 整理得，故. 故答案为： 50.（24-25高一下·云南·期中）如图，在四边形中，，，是等边三角形． (1)若，求的面积； (2)若，求的面积； (3)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2). (3)． 【分析】（1）通过余弦定理建立方程，求出等边的边长.从而得到面积.， （2）在中用余弦定理得到得余弦及正弦值，从而得到的余弦值，进而求出的面积. （3）由（2）知，可设出，通过正余弦定理在表示出，表示出，最终通过辅助角公式求最值得出第（3）问. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得: ，则． 因为是等边三角形，所以的面积． （2）在中，由余弦定理可得， 则，故， 因为是等边三角形，所以， 所以 ， 则的面积为， （3）设，， 在中，由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， ， 则， 所以的面积： ， 因为，， 所以， 当时，取得最大值，即的面积的最大值为． 【考点十一】求三角形面积的最值或范围 51.（25-26高一上·广东·期中）古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积公式，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意可知，，，， 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为16， 所以三角形面积的最大值. 故选：A. 52．（24-25高一下·四川成都·期中）中，，点在线段上，且，则面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式先求，进而得，由得，又，最后利用均值不等式和三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 又，所以， 所以， 所以 ， 即，当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B. 53．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】连接， 在中，，， 由余弦定理可得， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 即面积的最大值为. 故选：A. 54.（24-25高一下·云南红河·期中）在锐角中，内角的对边分别为且. (1)求角； (2)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化简得，再由正弦定理即可求解； （2）由正弦定理得，又由三角形的面积公式和三角恒等变换得，最后由是锐角三角形得的范围，进而得解. 【详解】（1）因为，所以， 又为锐角三角形，即，所以， 由正弦定理，所以，因为，所以， 又因为为锐角，所以； （2）由正弦定理有，所以， 所以的面积 ， 因为是锐角，所以，即解得， 所以，所以，所以， 则的面积的取值范围为. 55．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值； ②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 【考点十二】正、余弦定理的实际应用 56.（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【答案】D 【分析】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出的值． 【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60. 故选：D． 57．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 58.（23-24高一下·河南信阳·期中）如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为________.（塔顶大小和游客身高忽略不计） 【答案】 【分析】先用正弦定理解三角形得，再利用求取最小值来求仰角正切值的最大值即可. 【详解】 由塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上， 可知，，在中，， 由，结合正弦定理得， 在可得：， 过点作交于，由于平面，平面， 可得：，即， 当取最小值时：， 由正切函数在锐角范围是单调递增，即要求仰角的最大值，即求其正切值的最大值， 所以有最大值. 故答案为：. 59．（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则______千米． 【答案】 【分析】由题意判断是等边三角形，为等腰三角形，取的中点，解直角三角形即可. 【详解】由题意可得是等边三角形，千米.记直线与直线的交点为， ，所以，为的中点， 所以为等腰三角形，由， 所以千米. 故答案为：. 60.（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【分析】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解； （2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果. 【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 1 学科网（北京）股份有限公司 $