专题04 二次根式 2026年中考数学重难点突破训练

专题04 二次根式—中考数学重难点突破训练 一、选择题（每题3分，共30分） 1．（2024·张家口模拟）若，则计算的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·新昌模拟）据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·衢州模拟）使 有意义的x的取值范围在数轴上表示为(　　) A． B． C． D． 4．已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式，其中；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·舟山模拟）已知，，则的值为（　　）． A． B．5 C． D． 6．（2025·泸州模拟）下列各数中，无理数是（　　） A．0 B． C． D． 7．（2025九下·杭州期中）与式子的值最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8． 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则. 的化简结果是(　　) A．2 B．2a-2 C．2-2b D．-2 9．已知：m， n是两个连续自然数（m<n），且q=mn， 设，则p(　　)。 A．总是奇数 B．总是偶数 C．有时奇数，有时偶数 D．有时有理数，有时无理数 10．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论： 甲：；乙：设有理数a，b满足：，则； 丙：；丁：已知，则； 戊：.以上结论正确的有（　　） A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁 二、填空题（每题3分，共18分） 11．（2025·武侯模拟）已知代数式，其中为的小数部分，则的值为　 　． 12．（2025·西昌模拟）若最简二次根式与可以合并，则　 　． 13．斐波那 契数列中的第n个数可以用表示（其中n≥1），随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值，因此斐波那契数列又称黄金分割数列.斐波那契数列中的第2个数可化简为　 　. 14．（2025·郫都模拟）已知表示一个直角三角形的两直角边的长，若，则这个直角三角形的斜边长为　 　． 15．（2024九下·淮南月考）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为　 　． 16．小明用图①所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状(如图②).若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为　 　. 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分） 17．（2026九下·南山开学考）计算： （1） （2） 18．（2025九下·张湾期中）计算： （1）； （2）． 19． 计算： （1） （2） 20． 求代数式 的值，其中a=-2020.如图所示为小亮和小芳的解答过程. （1） 　 　的解法是错误的. （2）错误的原因在于未能正确地理解并运用二次根式的性质　 　. （3）求代数式 的值，其中a=-2019. 21．阅读与应用：同学们，你们已经知道()2，即2b2所以2b2当且仅当时取等号． 阅读：若、为实数，且，，，，当且仅当时取等号． 阅读：若函数为常数由阅读结论可知：，即当即，时，函数的最小值为． 阅读理解上述内容，解答下列问题： （1）问题：已知一个矩形的面积为，其中一边长为，则另一边长为，周长为，当　 　时，矩形周长的最小值为　 　． （2）问题：若函数，则　 　时，函数的最小值为　 　． （3）问题3：建造一个容积为立方米，深米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米元和元，设池长为米，水池总造价为元，求当为多少时，水池总造价最低？最低是多少？ 22．（2025·深圳模拟）在解决问题“已知．求的值”时．聪聪是这样分析与解答的： 解：． ． 请你根据聪聪的分析过程，解决如下问题： （1）化简； （2）若，求的值． 23．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简： 解：隐含条件，解得：， ∴， ∴原式， （1）【启发应用】按照上面的解法，试化简； （2）【类比迁移】①实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：； ②已知a，b，c为的三边长．化简：． 24．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 猜想发现：由；；；；； 猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）． 猜想证明：∵ ∴①当且仅当，即时，，∴； ②当，即时，，∴． 综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时等号成立）． （1）猜想运用：对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）变式探究：对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （3）拓展应用：疫情期间、为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间隔离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？ 答案解析部分 专题04 二次根式—中考数学重难点突破训练 一、选择题（每题3分，共30分） 1．若，则计算的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∴ 故选：A． 【分析】把a的值代入计算解答即可． 2．据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数的估值；二次根式的实际应用 【解析】【解答】解：将代入 ，得， ∵， ∴， 即． 故答案为：B． 【分析】将代入求出t值，再估算其大小即可求解． 3．使 有意义的x的取值范围在数轴上表示为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有无意义的条件；在数轴上表示不等式的解集 【解析】【解答】解：∵有意义， ∴， 解得：， 在数轴上表示为： 故答案为：C . 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得，求出x的取值范围，在数轴上表示解答即可． 4．已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式，其中；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【解答】解：由题意把a=2、b=3、c=4代入秦九韶公式得： S= =. 故答案为：B. 【分析】由题意把a=2、b=3、c=4代入秦九韶公式计算即可求解. 5．已知，，则的值为（　　）． A． B．5 C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的化简求值 【解析】【解答】解：∵，， ∴， 则 = 将ab=1代入上式得： 原式=====-23； 故答案为：C. 【分析】根据题意判定a，b的符号，再将待求代数式化简，代入计算即可得出答案. 6．下列各数中，无理数是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算；无理数的概念 【解析】【解答】解：A、是有理数，∴此选项不符合题意； B、，是无理数， ∴此选项符合题意； C、，是有理数， ∴此选项不符合题意； D、，是有理数， ∴此选项不符合题意； 故答案为：B． 【分析】A、根据无理数的定义“无限不循环小数叫无理数”可判断求解； B、由题意，用平方差公式分解因式，再根据实数的运算法则计算，然后根据无理数的定义可判断求解； C、由题意，逆用幂的乘方法则计算原式，然后根据无理数的定义可判断求解； D、同选项B计算，然后根据无理数的定义可判断求解. 7．与式子的值最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算 【解析】【解答】解：， ，即， ， 式子的值最接近的整数是5． 故选：C． 【分析】本题主要考查无理数的估算和二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键。首先对原式进行化简，得到的形式。根据已知条件，即可求出最终结果。 8． 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则. 的化简结果是(　　) A．2 B．2a-2 C．2-2b D．-2 【答案】A 【知识点】二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；判断数轴上未知数的数量关系 【解析】【解答】解：由数轴可知 ， 故答案为：A. 【分析】根据数轴上点的位置得到 然后得到，然后计算算术平方根，再合并解答即可. 9．已知：m， n是两个连续自然数（m<n），且q=mn， 设，则p(　　)。 A．总是奇数 B．总是偶数 C．有时奇数，有时偶数 D．有时有理数，有时无理数 【答案】A 【知识点】二次根式的加减法 【解析】【分析】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，所以q=m（m+1)，所以q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2，q-m=m（m+1)-m=m2，代入计算，再看结果的形式符合偶数还是奇数的形式． 【解答】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1， ∵q=mn， ∴q=m（m+1)， ∴q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2，q-m=m（m+1)-m=m2， ∴ =m+1+m=2m+1， 即p的值总是奇数． 故选A． 【点评】本题的关键是根据已知条件求出p的值，判断p的值 10．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论： 甲：；乙：设有理数a，b满足：，则； 丙：；丁：已知，则； 戊：.以上结论正确的有（　　） A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁 【答案】B 【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化 【解析】【解答】解：∵。∴甲正确； ∵设有理数a，b满足： ， ∴. ∴乙错误； 。 ∴丙正确； ，， ∴。 ∴丁错误； ∵ 。 ∴戊正确. 故正确答案选：B． 【分析】根据有理化因式，把每个题中的因式有理化，进而计算出结果，可以得出结论，再和甲、乙、丙、丁、戊的结论对比，即可得出谁的结论正确. 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知代数式，其中为的小数部分，则的值为　 　． 【答案】 【知识点】无理数的估值；分式的混合运算；分母有理化；分式的化简求值-直接代入 【解析】【解答】解： ， ∵，为的小数部分， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再估算无理数的范围可得x值，再代入代数式即可求出答案. 12．若最简二次根式与可以合并，则　 　． 【答案】 【知识点】最简二次根式；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【解答】解：由已知可得，， ∴， ∴． 故答案为：． 【分析】根据题意求出a、b的值，再代入即可. 13．斐波那 契数列中的第n个数可以用表示（其中n≥1），随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值，因此斐波那契数列又称黄金分割数列.斐波那契数列中的第2个数可化简为　 　. 【答案】1 【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律 【解析】【解答】解：当n=2时，代入公式，得 . 因为， ， 所以， 代入原公式，得. 故答案为：1. 【分析】先代入n=2到斐波那契数列通项公式；再根据完全平方公式，展开平方项（完全平方公式）；最后根据根式乘法法则，计算差值并化简即即可. 14．已知表示一个直角三角形的两直角边的长，若，则这个直角三角形的斜边长为　 　． 【答案】 【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；求代数式的值-整体代入求值；解直角三角形—三边关系（勾股定理） 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴这个直角三角形的斜边长， 故答案为：． 【分析】 根据完全平方公式的变形得，进而根据勾股定理得到斜边长即可求解． 15．如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为　 　． 【答案】 【知识点】二次根式的加减法；解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算 【解析】【解答】解：由题意可得： 同理： 故答案为： 【分析】解直角三角形可得AB，AD，再根据边之间的关系即可求出答案. 16．小明用图①所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状(如图②).若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为　 　. 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用；七巧板与拼图制作 【解析】【解答】解：如图，线段MN的长度即为矩形的长，DP的长度即为矩形的宽， 设AB=a，可得 ∵ ∴， ∴矩形的长与宽之比为 故答案为： . 【分析】先求得矩形的长和宽，再利用二次根式的混合运算法则计算即可求解. 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分） 17．计算： （1） （2） 【答案】（1）解：原式 （2）解：原式= 【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；有理数乘法与乘方的互化 【解析】【分析】 （1）先计算负指数幂，再算开平方，再计算，再根据绝对值的意义化简得到，最后计算加减，解答即可； （2）先开平方运算得到，再算乘方，，最后计算加减，解答即可. 18．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）解： ； （2）解： ． 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算 【解析】【分析】 （1）先根据二次根式的乘除法法则分别化简各项根式，再进行加减运算； （2）先利用完全平方公式和平方差公式分别计算和 ． ，再将计算结果进行加法运算。 （1）解： ； （2）解： ． 19． 计算： （1） （2） 【答案】（1）解：原式 =2 （2）解：原式 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【分析】(1)（2）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得； 20． 求代数式 的值，其中a=-2020.如图所示为小亮和小芳的解答过程. （1） 　 　的解法是错误的. （2）错误的原因在于未能正确地理解并运用二次根式的性质　 　. （3）求代数式 的值，其中a=-2019. 【答案】（1）小芳 （2）被开方的数具有非负性 （3）解： =a+2|a-3|， ∵a=-2019， ∴a-3=-2019-3=-2022. ∴a-3=|-2022|=2022， ∴原式=-2019+2×2022 =-2019+4044 =2025 【知识点】二次根式的化简求值；开平方（求平方根） 【解析】【解答】解：(1)小芳的解法是错误的， 理由如下： ∵a=-2020， ∴1-a=1-(-2020)=2021>0， ∴ =a+|a-1| =a+1-a =1. ∴小芳的解法是错误的； 故答案为：小芳. (2)二次根式的性质：被开方的数具有非负性； 故答案为：被开方数具有非负性. 【分析】(1)根据二次根式的性质，判断小亮和小芳的解法是否正确； (2)根据二次根式的性质即可求解； (3)根据二次根式的性质和绝对值的概念即可求解. 21．阅读与应用：同学们，你们已经知道()2，即2b2所以2b2当且仅当时取等号． 阅读：若、为实数，且，，，，当且仅当时取等号． 阅读：若函数为常数由阅读结论可知：，即当即，时，函数的最小值为． 阅读理解上述内容，解答下列问题： （1）问题：已知一个矩形的面积为，其中一边长为，则另一边长为，周长为，当　 　时，矩形周长的最小值为　 　． （2）问题：若函数，则　 　时，函数的最小值为　 　． （3）问题3：建造一个容积为立方米，深米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米元和元，设池长为米，水池总造价为元，求当为多少时，水池总造价最低？最低是多少？ 【答案】（1）2；8 （2）4；7 （3）解：∵根据题意得长方体的宽为米， ∴， ∵， ∴当，即x=-2(不合题意舍去)，x=2时，函数的最小值为1760， ∴当x=2时，水池总造价y最低，最低为1760元.答：当x=2时，水池总造价y最低，最低为1760元. 【知识点】二次根式的实际应用；反比例函数的性质；矩形的性质 【解析】【解答】解：(1)问题1：∵ ∴， ∴当，即x=-2(不合题意舍去)，x=2时，函数有最小值8， 当x=2，矩形周长的最小值为8， 故答案为：2，8. (2)问题2：∵(a>1)， ∴(a>1)， ∴由阅读2结论可知，，即. ∴当即(a-1)2=9， ∴a-1=3，a-1=-3(不合题意舍去)， ∴当a=4时，函数(a>1)的最小值为7， 故答案为：4，7. 【分析】(1)问题1：根据矩形的性质和阅读材料内容进行计算即可求解； (2)问题2：先将代数式变形，再根据阅读内容即可求解； (3)问题3：根据立方体的体积公式和已知条件表示出长方体的宽，运用阅读内容即可求解. 22．在解决问题“已知．求的值”时．聪聪是这样分析与解答的： 解：． ． 请你根据聪聪的分析过程，解决如下问题： （1）化简； （2）若，求的值． 【答案】（1）解：． （2）解：， ， ，即， ， ． 【知识点】分母有理化；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【分析】（1）根据题意，进行分母有理化即可求出答案. （2）对a进行分母有理数可得，两边平方可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案. （1）解：． （2）解：， ， ，即， ， ． 23．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简： 解：隐含条件，解得：， ∴， ∴原式， （1）【启发应用】按照上面的解法，试化简； （2）【类比迁移】①实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：； ②已知a，b，c为的三边长．化简：． 【答案】（1）解：隐含条件，解得：，， ∴原式 （2）解：①观察数轴得隐含条件：，，，∴，， ∴原式； ②由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，， ∴，，， ∴原式 ． 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【分析】（1）由题意可知：2-x≥0，解不等式可得：x≤2.进而可知3-x>0，所以=3-x，再化简（）2=2-x，把它们代入原式得：原式，去括号、合并同类项即可. （2）①通过观察图中给出的数轴可以知道：，，。所以：，。所以原式； ②由三角形三边之间的关系可得：，，，，进而可知：，，，原式进而去括号、合并同类项即可． 24．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 猜想发现：由；；；；； 猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）． 猜想证明：∵ ∴①当且仅当，即时，，∴； ②当，即时，，∴． 综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时等号成立）． （1）猜想运用：对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）变式探究：对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （3）拓展应用：疫情期间、为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间隔离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）解：∵，∴， ∴， ∴当时，，此时，只取，即时，函数的最小值为2． （2）解：∵，∴，，∴， ∴当时，，此时，∴，（舍去）， 即时，函数的最小值为5. （3）解：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得： ，即，∵，，∴， 即，整理得：，即， ∴当时，此时，， 即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为． 【知识点】二次根式的实际应用；二次函数的最值 【解析】【分析】（1）根据题意结论当a>0，b>0时，直接计算即可； （2）先变形为：y=+x-3+3.由（1）然后结合题目结论得到取最小值时解题即可. （3）当设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得：9x+12y=63，即3x+4y=21.由3x>0，4y>0，结合结论（1）可得：3x+4y≥2.即21≥2。然后解方程组，求出x，y即可． 学科网（北京）股份有限公司 $