集训10 解答题重难点突破-2026年山东中考数学必备试题汇编

(1)当点B与点N重合时，求劣弧AW的长； 集训十解答题重难点突破 (2)当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此 时x的值； (3)设点O到BC的距离为d。 类型1与圆有关的证明和计算 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙0是△ABC的内切圆，切 ①当点A在劣弧MW上，且过点A的切线与AC垂直时， 点分别为D,E,F。 求d的值； 1.如图，直线1与⊙0相切于点A,AB是⊙0的直径，点C, (1)图1中三组相等的线段分别是CE=CF,AF= ②直接写出d的最小值。 D在l上，且位于点A两侧，连接BC,BD,分别与⊙0交 .BD= ;若AC=3,BC=4,则⊙0的 于点E,F,连接AE,EF,AF。 半径长为 (1)求证：∠BAF=∠CDB; (2)如图2，延长AC到点M,使AM=AB,过点M作 (2)若⊙0的半径r=6,AD=9,AC=12,求EF的长。 MN⊥AB于点N。求证：MN是⊙O的切线。 B C 图2 5.如图，已知⊙0是△ABC的外接圆，AB=AC。D,E分别 是BC,AC的中点，连接DE并延长至点F,使DE=EF, 连接AF。 (1)求证：四边形ABDF是平行四边形； (2)求证：AF与⊙0相切； 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,⊙O经过B,C 两点，与斜边AB交于点E,连接CO并延长，交AB于点 （3)若nZMC=子，8C=12,求o0的半径。 M,交⊙O于点D,过点E作EF∥CD,交AC于点F。 (1)求证：EF是⊙0的切线； (2)若BM=4,2,am∠BCD=3,求0M的长。 E 0 D B M 0 B 4.已知⊙0的半径为3，弦MW=2√5。在△ABC中， ∠ABC=90°，AB=3,BC=3√2。在平面上，先将△ABC 和⊙0按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙0 上，点C在⊙O内)，随后移动△ABC,使点B在弦MW 上移动，点A始终在⊙O上随之移动。设BN=x。 N(B) 图1 图2 备用图 -33- 6.如图，AB是⊙0的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，点C 与点D在AB的两侧，E是OB上一点(OE>BE),连接 OC,CE,且∠BOC=2∠BCE。 (1)如图1，若BE=1,CE=√5，求⊙0的半径； (2)如图2，若BD=2OE,求证：BD∥0C。（请用两种证 法解答) D D 图1 图2 类型2解直角三角形的实际应用 7.综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥 的桥塔AB的高度（如图1）。某学习小组设计了一个方 案：如图2，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE=36 m,CE⊥AB,垂足为C。在D处测得桥塔顶部B的仰角 (∠CDB)为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA)为6°， 又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB)为31°。 (1)求线段CD的长；（结果取整数） (2)求桥塔AB的高度。（结果取整数，参考数据：tan31°≈ 0.6,tan6°≈0.1) C D 图1 图2 4 8.中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣。某晚，淇 淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇 淇距窗户的水平距离BQ=4m,仰角为α；淇淇向前走了 3m后到达点D,透过点P恰好看到月亮，仰角为B,如图 是示意图。已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB =CD=1.6m,点P到BQ的距离PQ=2.6m,AC的延长 线交PQ于点E。（注：图中所有点均在同一平面) (1)求B的大小及tan的值； (2)求CP的长及sin∠APC的值。 ) -☆ D 1 窗户 E C D 10 9.我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统 宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江 月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地。 送行二步与人齐，五尺人高曾记。 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉。 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千， 当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺(5尺为 一步)，秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5 尺。（假设秋千的绳索拉得很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度； (2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为的位置OA'释 放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为B的地方OA”, 两次位置的高度差PQ=h。根据上述条件能否求出秋千 -3 绳索OA的长度？如果能，请用含a,B和h的式子表 偏东45°方向上，在A2处测得雕塑在北偏东59°方 示；如果不能，请说明理由。 向上。 0 0 (1)∠CA142=°，∠CA2A1=°； (2)求点A1到道路BC的距离； A (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行 D A A" 走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不 -1041 一地面 地面 会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km,参考数 图1 图2 据：w2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，sin59°≈ 0.86,tan59°≈1.66) 北 东 A 590 A A2 A As 0 M As A7 图1 图2 10.如图，海中有一个小岛C,某渔船在海中的点A测得 小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时 间后到达点B,测得小岛C位于北偏西30°方向上，再 沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达点D,这 时测得小岛C位于北偏西60°方向上。已知A,C相 距30 n mile.。求C,D间的距离（计算过程中的数据 不取近似值)。 30° 60 459 60° D A B 12.如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位 置。当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑 像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大。数 学家研究发现：当经过A,B两点的圆与水平视线DE相 切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时 ∠APB为最大视角。 11.图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的 计算”的相关研究。数学兴趣小组也类比进行了如下 探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7Ag的边 长为号km,南门0设立在边A4,的正中央，游乐城 南侧有一条东西走向的道路BM,A,A,在BM上（门宽 C 及门与道路间距离忽略不计)，东侧有一条南北走向 图1 图2 的道路BC,C处有一座雕塑。在A1处测得雕塑在北 (1)请仅就图2的情形证明∠APB>∠ADB; (2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶 部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离 PH为6m。求塑像AB的高。（结果精确到0.1m,参 考数据：√3≈1.73) :类型3一次函数实际问题： 13.眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚。近年来眉山市旅 游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用 960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文 创产品数量相同。每件A款文创产品进价比B款文创 产品进价多15元。 (1)求A,B两款文创产品每件的进价各为多少元； (2)已知A款文创产品每件售价为100元，B款文创产 品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超 过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进 行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大， 最大利润为多少元？ 36- 14.A,B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美 好寓意，深受大家喜欢。某超市销售A,B两种型号的 吉祥物，有关信息见如表： 成本（单位： 销售价格（单位： 元/个) 元/个) A型号 35 a B型号 42 6 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种 型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉 祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元。 (1)求a,b的值； (2)若某公司计划从该超市购买A,B两种型号的吉祥 物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x(单位：个) 不少于B种型号吉祥物数量的号，又不超过B种型号 吉祥物数量的2倍。设该超市销售这90个吉祥物获得 的总利润为y元，求y的最大值。 (注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥 物的销售价格与每个吉祥物的成本的差。) 15.小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）。在 科技活动中，小云用所学数学知识和人工智 能软件设计了一个新水杯，并将其制作出 来。新水杯（记为2号杯）示意图如图。 当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了 1号杯的水面高度h,(单位：cm)和2号杯的水面高度 h2(单位：cm),部分数据如下： V/mL 0 40 100200300400500 h/cm 0 2.55.07.510.012.5 h2/cm02.84.87.28.910.511.8 (1)补全表格；（结果保留小数点后一位） (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画h,与V,h2与 V之间的关系。在给出的平面直角坐标系中，画出这两 个函数的图象； -3 h/cm 17.垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个 13 12 顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行 四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四 10 边形是“垂中平行四边形”。 (1)如图1，若四边形ABCD是“垂中平行四边形”， AF=√5，CE=2,则AE=,AB= ； (2)如图2，若四边形ABCD是“垂中平行四边形”，且 AB=BD,猜想AF与CD的关系，并说明理由； (3)①如图3，在△ABC中，BE=5,CE=2AE=12,BE1 AC交AC于点E,请画出以BC为边的垂中平行四边形， 要求：点A在垂中平行四边形的一条边上；（温馨提示： 0 100200300400500VmL 不限作图工具) ②若△ABC关于直线AC对称得到△AB'C,连接CB',作 (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水 射线CB'交①中所画平行四边形的边于点P,连接PE, 面高度与1号杯的水面高度的差约为 请直接写出PE的值。 cm; (结果保留小数点后一位) ②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯 中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为 cm。(结果保留小数点后一位) 图2 类型4几何综合题x 16.如图，点A,B,M,E,F依次在直线1上，点A,B固定不 动，且AB=2,分别以AB,EF为边在直线1同侧作正 方形ABCD、正方形EFGH,∠PMN=90°，直角边MP 恒过点C,直角边MN恒过点H。 (1)如图1，若BE=10,EF=12,求点M与点B之间 图3 备用图 的距离； （2)如图1，若BE=10,当点M在点B,E之间运动时， 求EH的最大值； (3)如图2，若BF=22,当点E在点B,F之间运动时， 点M随之运动，连接CH,O是CH的中点，连接BH, OM,则2OM+BH的最小值为 18.数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重 P 合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶 D 点旋转，来探究图形旋转的性质。已知三角形纸片ABC AB M E 和ADE中，AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE 图1 =90°。 【初步感知】 G (1)如图1，连接BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程 中，试探究2的值； 【深入探究】 (2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰 图2 好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC 于点F,求CF的长； 7 【拓展延伸】 (3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三 点能否构成直角三角形。若能，直接写出所有直角三角 形CDE的面积；若不能，请说明理由。 E D D B 图1 图2 类型5二次函数综合题 19.一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥。桥梁的缆索 L,与缆索L2均呈抛物线形，桥塔A0与桥塔BC均垂直 于桥面，如图所示，以0为原点，以直线FF'为x轴，以 桥塔OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。 已知：缆索L,所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y 轴对称，桥塔OA与桥塔BC之间的距离OC=100m, OA=BC=17m,缆索L1的最低点P到FF'的距离PD= 2m。（桥塔的粗细忽略不计) (1)求缆索L1所在抛物线的表达式； (2)点E在缆索L2上，EF⊥FF',且EF=2.6m,OF< OD,求OF的长。 y/m B F OD F'x/m 38- 20.在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数 的点为“完美点”。抛物线y=ax2-2ax+2a(a为常数， 且a>0)与y轴交于点A。 (1)若a=1,求抛物线的顶点坐标； (2)若线段OA(含端点)上的“完美点”个数大于3且小 于6，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线y=x交于M,N两点，线段MN与 抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a 的取值范围。 0 0 备用图 21.某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在 0.4吨至3.5吨之间时，销售额y(单位：万元)与销售 量x(单位：吨)的函数表达式为y1=5x;成本y2(单位： 万元)与销售量x(单位：吨)的函数图象是如图所示的 地物线的一部分，其中（分，）是其顶点。 ↑万元 1 10 9 8 7 6 3 17 （2,4) （2,4 O 3x/吨 (1)求出成本y2关于销售量x的函数表达式； (2)当成本最低时，销售产品所获利润为多少？ .3 (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利 润是多少？（注：利润=销售额-成本） 23.如图，在平面直角坐标系中，已知平移抛物线y-了父 后得到的新抛物线经过A0,-)和B(5,0)。 (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线x=m(m>0)与新抛物线交于点P,与原抛物 线交于点Q; ①如果PQ小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为P',如果四边形 P'BPQ有一组对边平行，求点P的坐标。 22.已知二次函数y=-x2+c的图象经过点A(-2,5), 点P(x1,y1),Q(x2,y2)是此二次函数的图象上的两 个动点。 (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于 点B,点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点 C,交AB于点D,连接AC,DQ,PQ。若x2=x1+3,求 ,S△P的值为定值； 证·SAADC (3)如图2，点P在第二象限，x2=-2x1,若点M在直 线PQ上，且横坐标为x1-1,过点M作MW⊥x轴于 点N,求线段MW长度的最大值。 y P 0 24.综合与实践 问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其 中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线 CO B N O 段AB组成的封闭图形，点A,B在矩形的边MW上。现 图1 图2 要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学 校面向全体同学征集设计方案。 方案设计：如图2，AB=6米，AB的垂直平分线与抛物线 交于点P,与AB交于点O,P是抛物线的顶点，且 0P=9米。 欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段OP上确定点C,使∠ACB=90°，用篱笆 沿线段AC,BC分隔出△ABC区域，种植串串红； 第二步：在线段CP上取点F(不与C,P重合)，过点F 作AB的平行线，交抛物线于点D,E。用篱笆沿DE,CF 将线段AC,BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分 9- 别种植不同花色的月季。 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步 △ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料。若要在 第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的 长。为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所 在直线为y轴建立平面直角坐标系。请按照她的方法 解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； (2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长； (3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进 行装饰，计划将灯带围成一个矩形。她尝试借助图2设 计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另 外两个顶点分别在线段AC,BC上。直接写出符合设计 要求的矩形周长的最大值。 L 海装海装 海判 草 草 在 坛 海海 草 M B 图1 P D 0 图2 A 0 备用图 0-23.B【解析】：四边形ABCD是平行四边形，0C=号AC。28(年-日)【解析】：C,D分别是0A,0B的中点，0C= :E是0C的中点CB=20C=子AC。yEF/AB,ACE 0D=m,Sa=××分=g(m)。58aw 1 1 aca器-8器竖4 4=4。EF=1。故选B。 00=平()花商的西积为行-8m。 360 24【解析】如图，设AC与BD的交点为 29.D 30.B【解析】如图所示，选择标有1或2的位 O。.·∠ABD=∠CDB=90°，∴.CD∥AB 置的空白小正方形，能与阴影部分组成正方 A 又AB=CD,∴.四边形ABCD是平行四 体展开图，所以能与阴影部分组成正方体展 边形。AC与BD互相平分。小0B=2BD。:AB=BD, 开图的方法有2种。故选B。 0B=2AB。在Ru△A0B中，an∠CAB=OE=号 31.B【解析】如图，延长BC交格点于E, AB=2 连接AE。根据题意，得AE⊥BE,AE= 25.60【解析】如图，过点C作CM⊥AB,CN⊥ 4√3，EC=2,∴.tan∠BCD=tan∠ACE= BF,则CM=CN。.·AB=AC,∴.∠ABC= ∠ACB。:BF∥AC,.∠ACB=∠CBF。 A EM 瓷--2。故选B 六LABC=LCBF。BC平分LABF。:Sa4a=2AB·CM, 32.(√5-1)【解析】：四边形MWPQ是正方形，∴.∠N=∠P= 90°。又：AB∥NP,∴∠BAW+∠N=180°。.∠BAN=90°。 Scm=2BF,CN,且BF=AE,SAam=G四边形EBFC 四边形ABPW是矩形。AB=MP=2cm。又BC=5-1, AB 2 的面积=SACBF+SACBE=SAACE+SACBE=SAABC。AC=13, ∴.AB=13。设AM=x,则BM=13-x。由勾股定理，得CM= ..BC=(5-1)cmo AC2-AM=BC2-BM2,即132-x2=102-(13-x)2。解得x= 33.(1)2 M. 畏cw-√3-(-0so=B.w=0, (2)如图，根据题意，切点为M;连接ME 并延长，与网格线相交于点M1;取圆与网 ∴.四边形EBFC的面积为60。 格线的交点D和格点H,连接DH并延 26.2【解析】如图，连接HF,EG。正方形ABCD A 长，与网格线相交于点M2;连接M1M2,分 的面积为4，.BC∥AD,BC=AD。H,F分别 别与AB,AC相交于点N,P,则点M,N,P即为所求 是边BC,AD的中点，∴.四边形BFHA是平行四 集训十解答题重难点突破 边形。∴.AB=FH,AB∥FH。同理可得BC= 1.(1)证明：直线1与⊙0相切于点A,AB是⊙0的直径， EG,BC∥EG。:AB⊥BC,.FH⊥EG。∴.四边形EFGH的面积为 .AB⊥CD。∠BAC=∠BAD=90°。 2GFH=号×2x2=2。 .·AB是⊙O的直径，∴.∠AFB=90°。 .∠BAF+∠ABD=90°，∠CDB+∠ABD=90° 27.2√10【解析】如图，设AG与BF A D ∴.∠BAF=∠CDB。 交于点M。四边形ABCD是矩形， (2)解：在Rt△ABD中，，AB=2r=12,AD=9, .∠ABC=∠C=90°，AB=CD=4。 M 由翻折，得CF=2CD=2,4G1 H .BD=√92+122=15。 B G 在Rt△ABC中，：AB=12,AC=12,.BC=√122+12=12√2。 BH。设BG=a,则BC=5a。∴.AG=√AB+BGC=√16+a,BF= ,·∠ABF=∠DBA,∠AFB=∠BAD,∴.△BAF∽△BDA。 VBC+CF=V2s+4。:Sm=2AB·BG=2AG·BM BF:BA=BA:BD,即BF:12=12:15,解得BF=48 9 .BM=AB.BG 4a .'∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB,∴.∠BEF=∠CDB。 .·∠BMG=∠C=90°，.∴.cos∠FBC= AG /a2+16 .·∠EBF=∠DBC,∴.△BEF∽△BDC。 能-邵。则：即=c·BC 4a V√25a+4=a·5a。 ÷.EF:DC=BF:BC,即EF:21=48:12E, √a+16 5 0=号0。经检验，a=号0是原方程的解。BC=50=2而。 解得EF=422 59 -63- 2.(1)证明：如图，连接0E。 的长为60πx3 T 180 .∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠A=∠ABC=45°。 N(B) B .∴.∠C0E=2∠ABC=90°。 .·EF∥CD,∴.∠C0E+∠OEF=180°。 ∴.∠FE0=90°。 图1 图2 .OE是⊙0的半径， (2)如图2，过点B作BI⊥OA于点I,过点O作OH⊥MN于点H, ∴.EF是⊙O的切线。 连接OM,OB。 (2)解：如图，过点M作MH⊥BC于点H,连接BD,则△BMH是等 :OA∥MN,.∠1IBH=∠BH0=∠HOI=∠BI0=90°。 腰直角三角形。 ∴.四边形BIOH是矩形。∴.BH=OI,BI=OH。 BM=4,2,BM=Mh=2BM=4。 .·MN=2√5，OH⊥MN,.MH=NH=5。 2 在△CM中，m∠BCD-捌-分CA=2Mm=8。 .·OM=3,.OH=√OM2-Mf=2=B1。 .点B到OA的距离为2。 .CM=√CH+M=4V5,CB=CH+BH=12。 AB=3,BIL0A,.AI=√AB2-Br=√5。 CD是⊙O的直径，.BD⊥BC。.MH∥BD。 .OI=OA-A1=3-√5=BH。 删-g册源DM=2.00=0=35 .x=BN=BH+NH=3-√5+5=3。 (3)①如图3，过点O作OJ⊥BC于点J,过点0作OK⊥AB于点K。 ∴.OM=OD-DM=√5。 .∠ABC=90°，过点A的切线与AC垂直， 3.(1)解：如图1，连接0E,0F。 .AC过圆心。.四边形KOJB是矩形。.OJ=BK。 由切线长定理可知，AF=AD,BD=BE。 .:AB=3,BC=32,.AC=AB2+BC2=33。 ∠C=90°，⊙0是△ABC的内切圆， .∠C=∠OEC=∠0FC=90°，0E=OF。 wc-提清有袋K5 .四边形OECF是正方形。 .OJ=BK=3-3,即d=3-√3。 设OE=OF=CF=CE=x, 图1 A' M 则BE=BC-CE=4-x=BD,AF=AC-CF=3-x=AD。 BD+AD=AB=√AC+BC=√32+4=5， 0 ∴.4-x+3-x=5,解得x=1。 图3 图4 图5 .0E=1,即⊙0的半径长为1。 ②如图4，当B是MN的中点时，过点O作OL⊥B'C于点L,过点O 故答案为AD:BE;1。 作OJ⊥BC于点J。 (2)证明：如图2，过点O作OH⊥MN于点H,连接OD,OE,OF。 :∠OJL>90°，.0L>0J,故当B是MN的中点时，d最短。 ∠ANM=90°=∠ACB,∠A=∠A,AM=AB, 如图5，过点A作AQ10B于点Q。 .△AMW≌△ABC(AAS)。AN=ACO B是MN的中点，∴.OB⊥MN。 AD=AF,..AN-AD =AC-AF, 同(2)可得0B=2。.BQ=0Q=1。 即DN=CF。 .AQ=√32-12=22。 同(1)可知，CF=0E,∴.DN=0E。 ,·∠ABC=90°=∠AQB .:∠ANM=90°=∠ODN=∠OHN, ∴.∠OBJ+∠ABO=90°=∠ABO+∠BAQ。∴.∠OBJ=∠BAQ。 四边形OHND是矩形。 图2 ∴.OH=DN。 mL0=L0.器-器方 .∴.OH=OE,即OH是⊙0的半径。 设OJ=m,则BJ=2√2m。 ,OH⊥MN,∴.MN是⊙O的切线 0+B=0B2,即m2+(22m)2=22, 4.解：(1)如图1，连接0A,0B。 解得瓜=子(m的负值配会去)。 .⊙0的半径为3，AB=3,.OA=OB=AB=3。 .△AOB是等边三角形。.∴∠AOB=60°。 :0的最小值为子，即a的最小值为子。 64 5.(1)证明：：D,E分别是BC,AC的中点，∴BD=CD,AE=CE。 ⊙0的半径为3。 EC=EA, 在△EDC和△EFA中， ∠DEC=∠FEA, DE=FE. .△EDC≌△EFA(SAS). D D ∴.CD=AF,∠EDC=∠F。 图1 图2 .BC∥AF,BD=AF。 (2)证明： .四边形ABDF是平行四边形。 证法一：如图2，过点O作OK⊥BD于点K,则BK=DK (2)证明：如图1，连接AD。 BD=2OE,∴.OE=BK。 AB=AC,BD=CD,.AD⊥BC。 :∠CE0=∠OKB=90°，OC=OB ..Rt△OEC≌Rt△BKO(HL)。 .AD垂直平分BC且经过圆心O。 ∴.∠COE=∠OBK。∴.BD∥OC 由(1)知，AF∥BC,∴.AD⊥AF。 证法二：如图2，过点O作OK⊥BD于点K,则BK=DK。 OA是⊙O的半径，∴.AF与⊙O相切。 BD=2OE,∴.OE=BK。 ·cos∠C0E=0E LOK0C0B, OB' .cos∠COE=cos LOBK。.∠COE=∠OBK。 .BD∥OC。 7.解：(1)设CD=xm。 .DE=36m,∴.CE=CD+DE=(x+36)m。 图1 图2 .CE⊥AB,.∠BCE=∠ACD=90°。 (3)解：如图2，连接OB,OC,OD。 tanL CDB BC D' ∠CDB=45°， OB-OC,BD-CD-RG-6, ∴.BC=CD·tanLCDB=x·tan45o=xmo :an∠CEB=BC,∠CEB=31, OD⊥BC,LBOD=Z∠B0C。 CE .BC=CE·tan∠CEB=(x+36)·tan31°。 ∠BMC=∠B0C,∠B0D=∠BAC。 ∴.x=(x+36)·tan31°， 解得x=36×1am3引≈36x0,6-54。 m∠BAC=, 1-tan31°≈1-0.6 答：线段CD的长约为54m。 tan LBOD BD 3 0D=4。.0D=8。 (2)mCD6 .0B=√BD2+0D=10。 ∴.AC=CD·tan∠CDA≈54×tan6°≈54×0.1=5.4(m)o .⊙0的半径为10。 .AB=AC+BC≈5.4+54≈59(m)。 答：桥塔AB的高度约为59m。 6.(1)解：如图1，过点0作OH⊥BC于点H。 8.解：(1)根据题意，得PQ⊥AE,PQ=2.6m, .OC=OB,OH⊥BC, AB CD=EO =1.6 m,AE=BO=4 m,AC=BD =3 m, ∴.∠COH=∠BOH,CH=BH。 ∴.CE=4-3=1(m),EP=2.6-1.6=1(m), .·∠BOC=2∠BCE,.∠BOH=∠BCE。 ∠CEP=90°，CE=EP。 .·∠BOH+∠OBH=90°， .∠BCE+∠OBH=90°。∴.∠CEB=90°。 B=∠PCE=45,ana=tan∠PAE=PE-1 4 AE (2)如图，过点C作CH⊥AP于点H。 BC=√EC2+EB=√5+I=√6。 CM=m=。 6 窗户 BH EB,2 1 1a. 人B -R .cosLOBH= OB=BC·OB=6 .0B=3。 D B -65 CE=EP=1m,∠CEP=90°， .CP=√2+12=√2(m)。 yma=nLPAF-8器-子 .∴.设CH=xm,则AH=4xm。 .x2+(4x)2=AC2=9。 39即0m39。 17 3√17 ÷sin∠APc=Cg-17-334 34。 9.解：(1)如图，过点A'作A'B⊥OA于点B。 设秋千绳索的长度为x尺。 由题可知，OA=OA'=x尺，AB=5-1= 4(尺)，A'B=10尺， .OB=OA-AB=(x-4)尺 -10 在Rt△OA'B中， 由勾股定理，得A'B2+OB2=OA2, 即102+（x-4)2=x2,解得x=14.5。 答：秋千绳索0A的长度为14.5尺。 (2)能。由题可知，∠OPA'=∠OQA"=90°，OA'=OA"=OA 在Rt△0A'P中，cosa=O A'? .OP=0A'·cosa=OA·coso 同理可得，0Q=OA”·cosB=0A·co8B。 .OQ-OP=h,∴.OA·cosB-OA·cosa=h。 .∴.OA·(cosB-cosa)=h。 h. .OA=cos B-cos a 10.解：如图，过点C作CH⊥AB于点H,过点D作DG⊥AB交 延长线于点G。 30 60° 459 60 A .:∠CAB=45°，AC=30 n mile, .AH=CH=l52 n mile。. .·∠CBH=60°， ∴.BC= cH-152-10W6(n mile)。 sin60° 2 .:∠DBG=180°-60°-30°-60°=30°， .∠BDG=60°。..∠CDB=60°。 ∠CBD=90,GD=BC。-105-202 n mile)). sin60° 2 答：C,D间的距离为20√2 n mile 11.解：(1)：八边形A1A2AAA5A6AAg是正八边形， 外角-30=45。 .∠CA142=45°+45°=90°，∠CA2A1=45°+(90°-59°)=76°。 故答案为90；76。 (2)如图，过点A1作AD⊥BC于点D。 在△C4,A中，A,A,= 2 ,∠CA2A1=76°， .CA1=A,A2·tan76° 2x4.00=22(km)。 在Rt△CAD中，∠CA,D=45°， A,D=CM,·cos450=22x5=2.0(km)。 答：点A1到道路BC的距离为2.0km。 (3)如图，连接CA?并延长交BM于点E,延长AAg交BE于点G, 过点Ag作AgF⊥BC于点F。 地面 北 东 590 A D As A M AsO E G :正八边形的外角均为45， ·在R△A,AG中，A,G= 2.BAG= 叉：AF=AD=CD=2,DF=A,A,= 2 CB=CD+DF+FB=5+2 2 AB的 .'∠CFAg=∠B,∠FCAg=∠BCE,∴.△CAgF△CEB。 2 CF AgF 2+2 2 CBEB。· 5+2EB1 2 √2≈1.41，BE≈2.4(km)。 答：小李离点B不超过2.4km,才能确保观察雕塑不会受到游乐 城的影响。 12.(1)证明：如图，设AD与圆交于点M,连接BM。 则∠AMB=∠APB。 .·∠AMB>∠ADB, .∠APB>∠ADB。 -66 (2)解：∠APH=60,PH=6m,.tanLAPH= (2)如图所示。 PH ∴.AH=PH·tan60°=6×√3=6√3(m)。 2 ∠APB=30°， 10 ∴.∠BPH=∠APH-∠APB=60°-30°=30°。 9 tanLBPH=B盟 PH 61 :BH=PH·tan300=6x5-25(m)。 3 .∴.AB=AH-BH=63-2√3=4√3≈4×1.73≈6.9(m)。 3 答：塑像AB的高约为6.9m。 13.解：(1)设A款文创产品每件的进价为a元，则B款文创产品每 .00.20.300.40050o7mL 0 件的进价为(a-15)元。 (3)①当V=320mL时，h1=8.0cm,由图象可知相差约为 根据题意，得05解得a0 1.2cm。故答案为1.2。 ②在①的条件下两杯相差1.2cm,此时h,为8cm,加上0.6cm 经检验，α=80是原分式方程的解，且符合题意。 为8.6cm。故答案为8.6。 .a-15=65。 16.解：(1)根据题意，得∠CBM=∠CMH=∠HEM=90°。 答：A款文创产品每件的进价为80元，B款文创产品每件的进价 .'∠CMB+∠BCM=∠CMB+∠HME=90°， 为65元。 ∠BCM=LME。.△MCB∽△HME。六EM-EH BC BM (2)设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品(100-x) 件，总利润为w元。 BC=AB=2,EH=EF=12,BE=10. 根据题意，得80x+65(100-x)≤7400。 102m贸。解得BM=4或6。 2 解得x≤60。 ∴点M与点B之间的距离为4或6。 w=(100-80)x+(80-65)(100-x)=5x+1500。 k=5>0,w随x的增大而增大。 (2)由(1)，知%-器设BA=y,BM=。 ∴.当x=60时，0的值最大， 2= 0最大=5×60+1500=1800。 :BB=10,.EM=10-x。10-x=y 答：购进A款文创产品60件，B款文创产品40件，才能使销售完 y=-2+5x=-分(-52+12.5 后获得的利润最大，最大利润为1800元。 y-子<0，当x=5时，=12.5，即E的最大值为12.5。 14解：(1)根据题意，得8a+76=670 解得a=40, (3).·∠CMH=90°，O是CH的中点， L4a+5b=410 b=50. ∴.CH=2OM。 ∴.a的值为40，b的值为50。 ∴.2OM+BH=CH+BH。 (2)易得购买B种型号吉祥物的数量为(90-x)个。 ∴.2OM+BH的最小值就是CH+BH的最小值。 根据题意，得 ≥号(0- 解得360 ≤x≤60。 如图，连接FH,则点H在∠EFG的平分线上，作点B关于FH Lx≤2(90-x), 的对称点B,连接B'C交FH于点H',则H'即为所求H位置， y=(40-35)x+(50-42)(90-x)=-3x+720。 B'C的长度即为CH+HB的最小值， -3<0,∴y随x的减小而增大。 过点C作CQ⊥B'F。 R .360≤x≤60且x为整数， 7 .当x=52时，y的值最大，y大=-3×52+720=564。 N 15.解：(1)设h1=kV,将(100,2.5)代人，得2.5=100k。 解得=0。么=动。 V=40,∴.h1=1.0。 D C 故答案为1.0。 ABM -67 ∠BFH=∠B'FH=45°，.点B在FG的延长线上。 ②(1)当垂中平行四边形是作法一时， .∠CBF=∠BFQ=∠FQC=90°， 方法一：如图4，作PQ⊥AC于点Q。 .四边形CBFQ是矩形。.FQ=BC=2。 △ABC关于直线AC对称得到△AB'C,·∠ACB=∠ACP。 BF=B'F=22,∴.B'Q=B'F-QF=20。 AH∥BC,.∠PAC=∠ACB。∠ACP=∠PAC。.AP=CP。 在Rt△B'CQ中，B'C2=√CQ2+B'Q=222I, A0=CQ=2AC=9。BQ=CB-CQ=3。 即CH+BH的最小值为2√22I。 :tan∠ACB=tan∠PCQ ∴20M+BH的最小值为2√221。 故答案为2√22I。 8能-设即3-解得P0=只。 17.解：(（1)由题可知，AF=7AD=9c。 PE=VPQ2+B0=-3Y④ 49 1/c△acB,小2器-器- 方法二：如图5，建立平面直角坐标系，以BB为x轴，以AC为 CE=2,∴.AE=1。 y轴，∴.A(0,6),C(0,-12),B(-5,0)。 .BC=2AF=25, 由tan LBCE= 得km=-号kw=号 5 .BE=√BC2-CE=4。 直线的表达式为y=-号+6， AB=√AE2+BE=√17。 故答案为1；√17。 直线BC的表达式为y=号-12。 (2)AF=√2CD。理由如下： ,:四边形ABCD是垂中平行四边形， 联立表达式求解得P(?,-3) AD∥BC,AD=BC。.△AED△FEB。 器器0子 =√+3-3。 41 设BE=x,则DE=2x。 AB=BD=3x,AE=√AB-BE=22x。 EF=2AE=2x。AF=AE+EF=32x。 图5 图6 .AF=√2AB。∴.AF=2CD (3)①作法一：如图1，平行四边形ABCH即为所求作。 (2)当垂中平行四边形是作法二时， 作法提示：过点A作AH∥BC,过点C作CH∥AB,两条直线交于 方法一：如图6，连接PA,延长CA交HQ的延长线于点G。 同理可得PG=PC, 点H。 ∴.PA垂直平分CG。 △GPM△C8"E,AC=18,GE=l2,BE=5,PM=5. PE=34 2 0 图1 图2 方法二：建立坐标系法，同理可得PE=34」 作法二：如图2，平行四边形CBQH即为所求作。 (3)当垂中平行四边形是作法三时， 作法提示：过点C作CH∥AB,交BE的延长线于点H,过点H作 则没有交点，不存在PE。 HQ∥BC,交BA的延长线于点Q。 18.解：(1).AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°， 作法三：如图3，平行四边形BCDF即为所求作。 .△ADE≌△ABC(SAS),AC=AE=√32+42=5。 作法提示：过点A作AD∥BC,交BE的延长线于点D,连接CD,在 ∴.∠DAE=∠BACG DA的延长线上取点F,使AF=AD,连接BF。 .∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE。 ~温瓷-1△h8a4c,器光 aB=3,4c=580 图3 (2)如图1，连接CE,延长BM交CE于点Q,连接AQ交EF于点P, 68 延长EF交BC于点N。 ②如图3，当AD在CA的延长线上时，DE⊥AC,此时△CDE是 直角三角形。 SaE=CD.D6=7×(5+3)x4=16: ③如图4，当DE⊥CE时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥ EC于点Q。 ·AQ⊥EC,DE⊥EC,DE⊥AD,∴.四边形ADEQ是矩形。 ∴.AD=EQ=3,AQ=DE=4。 同(1)，得△ADB∽△AEC, Ac=AC=5,B0=C0=2cB。2CE=3。 .∠ABD=∠ACE。 .CE=6。.SACDE= BM是中线， 0.CB=x4x6=12: 六B=AW=CM=24C= 20 .∠MBC=∠MCB。 .∠ABD+∠MBC=90°， .∴.∠ACE+∠MCB=90°，即∠BCE=90°。 .AB∥CE。 图4 图5 ∴.∠BAM=∠QCM,∠ABM=∠CQM。 ④如图5，当CD⊥CE时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥ 又'AM=CM,∴.△BAM≌△QCM(AAS)。 CE于点Q,交DE于点N。 ∴.BM=QM。 ·CD⊥CE,AQ⊥CE,.∴.AQ∥CD。 .四边形ABCQ是平行四边形。 :AC=AE,AQ⊥CE,∴.EQ=CQ。 .·∠ABC=90°，∴.四边形ABCQ是矩形。 .NQ是△CDE的中位线。 .AB=CQ=3,BC=AQ=4,∠AQC=90°，PQ∥CN。 .EQ=√AE2-AQ2=V52-42=3。.EQ=CQ。 DN=BN=2DE=2,CD=2N0。 :PQ是△CBN的中位线。PQ=2CN。 :∠AND=∠ENQ,LADN=∠EQN=90°， .∴.∠DAN=∠QEN。 设PQ=x,则CN=2x,AP=4-x。 .tan∠DAN=tan∠QEN。 .·∠EPQ=∠APD,∠EQP=90°=∠ADP,EQ=AD=3, .△EQP≌△ADP(AAS)。∴.EP=AP=4-x。 器器器子0-子0。 EP2=PQ2+EQ2,即(4-x)2=x2+32, 解得=冬。AP=4--空，CN=2x=子。 NQ2+BQ2=BN,即（号0）+B0=2,解得0=6里 13 'PQ∥CN,.△APF∽△CNF。 B=20=2,0-号0-4 13 -器。4+cr.4 CN CF CF CD=2N0=83 139 25.7 AC=5874=0cF=0。 39 5am-m.B=7×8Sx12-8 13 13 -139 综上所述，直角三角形CDE的面积为4或16或12或8。 139 (3)C,D,E三点能构成直角三角形。理由如下： ①如图2，当AD在AC上时，DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形。 19.解：(1).0A=17m,∴.A(0,17)。 1 .0C=100m,PD=2m, Sace=2CD·DE=2×(5-3)×4=4; ∴.抛物线的顶点P为(50,2)。 故可设抛物线的表达式为y=a(x-50)2+2。 将A(0,17)代入，得2500a+2=17。 解得a=500° 3 图3 缆索么所在抛物线的表达式为y=高(x-50)2+2。 -69 (2):缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称， 又抛物线过(2,4)， 缆索乙所在抛物线为y=(x-50)2+2, ax+=4。 3 缆索L所在抛物线为y=00x+50)+2。 ∴.a=1。 3 %=(-2+子。 令y=2.6,得2.6=50x+50)2+2。 ∴.x=-40或x=-60。 (2)当销售量x=2吨时，成本最低为子万元， 又：0F<0D=50m,∴.x=-40。 又.·销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y,(万元)与销售量 ∴.0F的长为40m。 x(吨)的函数表达式为y1=5x, 20.解：(1)当a=1时，抛物线为y=x2-2x+2=(x-1)2+1, 当x=之时，销售额为1=5x=5×分=25（万元）。 ∴.抛物线的顶点坐标为(1,1)。 (2)当x=0时，y=2a, 此时利润为2.5-子=075（万元。 即抛物线与y轴的交点A的坐标为(0,2a)。 答：当成本最低时，销售产品所获利润为0.75万元。 ,线段OA上的“完美点”的个数大于3且小于6， 即“完美点”的个数为4或5，而a>0, (3)利润=n-%=5-[(-厂+好引 .当“完美点”个数为4时，这4个“完美点”的坐标分别为 =-x2+6x-2=-(x-3)2+7。 (0,0),(0,1),(0,2),(0,3);当“完美点”个数为5时，这5个 .-1<0, “完美点”的坐标分别为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)。 .当x=3时，利润取最大值，最大值为7。 3≤2a<5。 答：当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润为7万元。 a的取值范图是号≤a<弓。 5 22.(1)解：将点A(-2,5)代入二次函数的表达式， 得5=-4+c,解得c=9,∴.此二次函数的表达式为y=-x2+9。 (3)易知抛物线的顶点坐标为(1，a),过点P(2,2a),Q(3,5a), (2)证明：令0=-x2+9,得x=±3，则点B(3,0)。 R(4,10a)。 由点A,B的坐标，得直线AB的表达式为y=-x+3。 显然，“完美点”(1,1)，(2,2)，(3,3)符合题意。 设点P(x1,-x12+9),Q(x2,-x22+9),D(x1,-x1+3), 下面讨论抛物线经过(2,1)，（3,2)的两种情况： ①当抛物线经过(2,1)时，解得a=7 则5m=克·Pm0(,-）=2×(-x2+9+-3)(名-名) 此时，P2,1),0(3,)4,5。 =(-2++6)。 如图所示，满足题意的“完美点”有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,3)， 同理可得Sc=20D（(,-)=2（-2++6)。 共4个； S△Pm=3为定值。 S△ADC (3)解：设点P(x1,-x12+9),Q(-2x1,-4x12+9), 由点P,Q的坐标，得直线PQ的表达式为 y=x1(x-x1）-x12+9=x1-2x12+9。 012345 0"12345 w=w=(6-1-2x+9=-(与+3+s ②当抛物线经过(3,2)时，解得a= 2 故MV的最大值为？。 此时，P,),0(3,2),R(4,4)。 1 23.解：(1)设平移抛物线y=了后得到的新抛物线的表达式为 如图所示，满足题意的“完美点”有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)， (3,3),(4,4),共6个。 y=号++c,把A0,-号)和B(5,0)代入， a的取值范圈是子<a≤}。 5 c=-3 4 b=-3’ 得 解得 21解：1)顾点为分，) 25 5 13 +5b+c=0 c=-3 六设物线为⅓=：+子。 ·平移后新抛物线的表达式为y=3 x2- 3、 5 39 -70- (2)①如图1， 则∠P'QT=∠BPT,过点P'作P'S⊥PQ于点S。 ∠Ps0=∠BT=0,△Ps0△BP.器-器。 设P(,写）则P(✉+2，写-3》， 32 sx+2,3),0[x+2,号(x+2)] 5-4-3-2-012345 x+22-3 2 -2 -3 2-3 x+2-59 -4 -5 解得x=1(不符合题意，舍去)。 图1 综上，点P的坐标为7，)。 设（写）则（写-亭-）》 24.解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系。 m=-++-手+ ·OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB=6米， P0小于3亭+亭<3。x<1。 0A=0B=24B=7×6=3(米). 点B的坐标为(3,0)。 x=m(m>0),0<m<1o OP=9米，∴.点P的坐标为(0,9)。 ②y3-寺-音3（x-22-3, P是抛物线的顶点，∴.设抛物线的函数表达式为y=ax2+9。 .点B(3,0)在抛物线y=ax2+9上， “平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度。 ∴.9a+9=0。解得a=-1。 根据题意，得点P在点B的右边， ·抛物线的函数表达式为y=-x2+9(-3≤x≤3)。 如图2，当BP'∥PQ时， (2)点D,E在抛物线y=-x2+9上， ∴设点E的坐标为(m,-m2+9)。 DE∥AB,交y轴于点F, .设DF=EF=m米，OF=(-m2+9)米。.DE=2m米。 图2 ·在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OA=OB 则BP1x轴，r=a=5。P(5,)。 0c=4B=7×6=3(米)。 由平移可得P5+2,-3),即P,) ∴.CF=0F-0C=-m2+9-3=(-m2+6)(米)。 根据题意，得DE+CF=6米，∴2m-m2+6=6。 如图3，当P'Q∥BP时， 解得m1=2,m=0(不符合题意，舍去)。 ∴m=2。∴.DE=2m=4(米)，CF=-m2+6=2(米)。 答：DE的长为4米，CF的长为2米。 (3)如图，矩形灯带为GHML。由点A,B,C的坐标，得直线AC 和BC的表达式分别为y=x+3,y=-x+3。 设点C(n,-n2+9),H-n,-n2+9),L(n,n+3),M(-n,-n+3) 则矩形周长=2(GH+GL)=2(-2n-n2+9-n-3) =-2a+1.5)+受≤受（米）。 图3 故矩形周长的最大值为空米。 -71