专题：二次根式-2026年中考数学提优练习（广东适用）

专题：二次根式-2026年中考数学提优练习（广东适用） 一、单选题 1．下列各点在抛物线上的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 2．下列关于抛物线的说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为 C．顶点坐标为 D．由抛物线向上平移一个单位得到 3．已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知是抛物线（为常数）上的点，的大小关系是（） A． B． C． D． 5．已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（） A． B． C． D． 6．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 7．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： 且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②和是关于的方程的两个实数根；③对称轴为直线；④．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线过，，三点，过点的直线（不与x轴重合）交抛物线于点D、点E，交于点Q，连接，当取得最小值时，的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若二次函数的对称轴为直线，则______． 12．二次函数的图象开口向上，写出一个符合条件的值：___． 13．如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 14．已知点是抛物线上一动点． （1）当点M到y轴的距离不大于2时，b的取值范围是________； （2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为________． 15．y是关于x的二次函数，下列结论正确的是______．（填写正确的序号） ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当时，函数图象总过定点； ③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于． 16．如图1，在中，，动点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点，过点作的垂线，垂足为，设点的运动时间为，的面积为，与之间的函数关系图象如图2所示，则图1中的___________，图2中最高点的纵坐标的值为___________． 三、解答题 17．已知抛物线 (1)请写出它的图像与轴没有交点的充要条件（的取值范围）； (2)若，函数图像在轴上方，求的取值范围． 18．因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆；第二次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆． (1)求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价； (2)经销商发现，乙型号汽车以每辆万元的价格销售时较好，每月能售台，市场调查发现，乙型号汽车每辆售价，每降低万元，销售量会增加台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？ 19．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 20．已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点E为抛物线的顶点． (1)①求抛物线的表达式及顶点E的坐标； ②判断点D是否在抛物线上； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线，点N是射线上一动点，且满足．求的最小值； (3)点P在抛物线对称轴上，若，则点P的坐标为 ． 21．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴于点，且． (1)求的值； (2)如图1，点在第四象限的抛物线上，连接交于点．若点的横坐标为，设线段长为，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，点在第三象限的抛物线上，连接，过作轴交于点，连接，，在线段上取点，连接使，过作于点交于点，若，求点的坐标，并直接写出点是否在直线上． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《专题：二次根式-2026年中考数学提优练习（广东适用）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B C C D B D C 1．B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 通过将每个点的坐标代入验证是否成立即可． 【详解】A：当时，，点不在抛物线上，故A错误； B：当时，，点在抛物线上，故B正确； C：当时，， 点不在抛物线上，故C错误； D：B说法正确，故D错误． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和平移变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数， 抛物线开口向下，故A错误； 对称轴为直线，故B错误； 当时，， 顶点坐标为，故C错误； 抛物线 向上平移一个单位得到，与给定抛物线一致，故D正确； 故选：D． 3．D 【分析】本题考查二次函数的对称性与单调性，需结合函数性质逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵二次函数开口向上，对称轴为（y轴），在时单调递减，时单调递增，且点到对称轴距离越远，函数值越大． 选项A：当时，，，两点关于y轴对称，∴，A正确． 选项B：若，则、关于y轴对称，∴，解得，B正确． 选项C：若，则，∵函数在时单调递增，∴，C正确． 选项D：若，则，两边平方得，化简得，即，并非（如时，，，但），D错误． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查二次函数的性质，通过抛物线的开口方向与对称轴，结合点到对称轴的距离判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ∵开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越远，函数值越小 又∵点在对称轴上，故是最大值． 点到对称轴的距离为 点到对称轴的距离为 ∵ ∴ ∴ 故选：B． 5．C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．抛物线有最低点需开口向上，即二次项系数大于零，据此得到，求解即可． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴抛物线开口向上， ∴， 解得． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减； 根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， ∴抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线， 再向上平移1个单位长度，得到抛物线， ∴得到新的抛物线的解析式是， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等． 根据表格数据，当时，得，；当时，，结合得，即，从而对称轴为；由时，得；再判断各结论的正确性． 【详解】解：∵时，； 时，， ∴，即， 对称轴，故结论③正确； ∵时，，且， ∴， ∴； ∵，，， ∴，故结论①正确； ∵时，，且对称轴， ∴点和关于对称轴对称，值相等， ∴时，故和是方程的根，结论②正确； 为时对应的值，为时对应的值， ， ， ∴， ∵， ∴， 故，结论④错误； 综上，正确结论为①②③，共3个， 故选D． 8．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数图象问题，首先推导出，利用三角形相似求出y关于x的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，则， 整理得， 由图象可知，点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， ∴设， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得当时，， 故选：D． 10．C 【分析】利用待定系数法求得抛物线，直线的解析式，确定交点Q的坐标，利用两点间距离公式计算，构造二次函数确定最小值，再利用正切函数的定义解答即可． 本题考查了待定系数法，根与系数的关系定理，两点间距离公式，构造二次函数求最值，换元思想，正切函数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，，， 根据题意，得，整理，得， 根据根与系数的关系，得， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得即， 令， ， ， ， ， ， 解得， ， 故， ，， 令，则， ， 根据二次函数的性质，得时，取得最小值， ，，， 根据题意，得 ， 故选：C． 11． 【分析】本题考查二次函数的对称轴方程，掌握二次函数的对称轴方程是解题关键，将已知的值与对称轴代入公式即可求解的值。 【详解】解：在二次函数中，，已知其对称轴为直线， 根据二次函数的对称轴方程为直线， 可得：即，解得． 故答案为： 12．（答案不唯一） 【分析】根据二次函数图象的性质：当二次项系数时，二次函数图象开口向上即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 取即能满足题意． 13． 【分析】根据图象上一次函数图象在二次函数图象上方部分对应的自变量取值范围即可得解． 【详解】解：由图象可知，当时，一次函数图象在二次函数图象上方， 则的解集是． 14． 或2 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，根据点M到y轴的距离不大于2，得出，根据二次函数的增减性，求出b的取值范围即可； （2）根据点到直线的距离不大于，得出，即，从而得出，然后根据，求出a的范围，即可得出． 【详解】解：（1）， ∵点M到y轴的距离不大于2， ∴， ∴当时， ， 当时，， 当时，， ∴b的取值范围是. （2）∵点到直线的距离不大于， ∴，即， ∴， 令，代入，即，解得：，， 令，代入，即，解得：，， 如图： 当或时，b的取值范围是， 当时，，，则， 当时，，，则， 综上分析可知，的值为或2； 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的最值，在取值范围内，二次函数的函数值取值范围由端点值和范围内的顶点值决定． 15．②③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题．将时的函数关系式变形为顶点式，可判断①；当时，该函数关系式可变形为，可得当时，y的值与m无关，求出的根，求出对应的y值，即可得定点坐标，可判断②；③当时，求出该函数图象与x轴的交点的横坐标，可判断③． 【详解】解：①当时，， ∴顶点坐标为，故①错误． ②当时，， 当时，y的值与m无关， 此时，， 当时，； 当时，， ∴函数图象总经过两个定点，，故②正确； ③当时，由得：， ， ∴． ∴，． ∴， ∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，故③正确． 故答案为：②③ 16． 5 【分析】本题考查动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 根据图象得出直角三角形直角边的长度，然后根据勾股定理求出斜边长度，证明，根据对应边相等，表示出相关线段的长度，然后得出，根据二次函数的性质得出最值即可． 【详解】解：由图2可知， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， 由题意得，当时，点在上运动， 如图，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴该抛物线对称轴为直线， ∴， 故答案为：5，． 17．(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质以及二次函数与轴的交点问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据二次函数与轴的交点情况，即可得出不等式，求解即可； （2）对的正负进行分类讨论即可； 【详解】（1）解：若抛物线与轴没有交点， ∴函数图象的顶点在轴上方， ∵抛物线对称轴为直线， 故顶点纵坐标为， 化简得， 令，解得， 故当时，得其对应解集为， 故充要条件为． （2）解：当抛物线顶点在轴或其左侧时，即时， 此时函数在上单调递增， 只需保证在 处的函数值非负即可， 此时， 当 时，，满足条件； 当抛物线顶点在轴右侧时，即时， 此时保证顶点纵坐标大于0即可， 即， 由（1）得结果为，结合， 故； 综上，的取值范围为． 18．(1)甲型号新能源汽车每辆进价为万元，乙型号新能源汽车每辆进价为万元 (2)乙种型号新能源汽车定价为万元时，月销售获取的利润最大 【分析】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，利用二元一次方程组和二次函数的性质是解本题的关键． （1）根据题意，建立二元一次方程组进行求解即可； （2）根据题意，得出利润与定价的关系，将该关系式转化为顶点式，即可得出利润最大时对应的定价． 【详解】（1）解：假设甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元， 根据题意，可得方程， 解得， 故甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元． （2）解：假设乙种型号新能源汽车定价为万元， 则利润为， 当万元时，月销售乙种型号获取的利润最大． 19．(1) (2)点P的坐标为或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解、二次函数的性质、三角形面积计算、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的最值问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式、通过二次函数性质求最值的方法是解题的关键． （1）先根据点A坐标及对称轴得出点B坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）利用（1）得到的解析式，可设点P的坐标为，则点P到的距离为．然后依据列出关于a的方程，从而可求得a的值，继而得点P的坐标； （3）先求得直线的解析式，设点D的坐标为，则点Q的坐标为，然后可得到与x的函数的关系，最后利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴的交点，对称轴为直线， 抛物线与x轴的交点B的坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入，得：， 解得， 则抛物线解析式为； （2）解：根据题意，设点P的坐标为，则点P到的距离为． ， 即， 解得． 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为． 点P的坐标为或． （3）解：设的解析式为，将点A的坐标代入得：，解得， 直线的解析式为． 设点D的坐标为，则点Q的坐标为． ， 当时，有最大值，的最大值为． 20．(1)①，； ②在 (2) (3)或 【分析】（1）①利用待定系数法可求出函数解析式，再将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标；②令，则，得到，根据平移得到，即可求解； （2）在射线上取一点G，使．连接，，连接，，由，，得到是等腰直角三角形，从而．连接，，由两点间距离公式可得，，从而，即可得到是等腰直角三角形，因此，从而证得，得到，进而有．证明，根据勾股定理求出，即可解答． （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【详解】（1）解：①∵抛物线交x轴于点，点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为； ②对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴， 当时，， ∴点D是在抛物线上； （2）解：如图，在射线上取一点G，使．连接，，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴轴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴． 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识是解题的关键． 21．(1)； (2)； (3)，点E不在直线上． 【分析】（1）先求出点A坐标，进而得出C点坐标，进一步得出结果； （2）作轴于Q，可证得，从而，进而得出，从而； （3）作，交的延长线于W，延长至V，使，连接，，可求得，从而得出，可证得，从而，进而证得四边形是平行四边形，从而，进而得出，作，交的延长线于R，作于T，作轴于X，可证得，从而，，，进而证得，从而，，进而证得矩形是正方形，从而设，代入抛物线的解析式，从而得出P点坐标；由（2）得出，从而，设，则，则，根据勾股定理列出关于n的方程，进而求得点E坐标，从而得出的解析式，根据和抛物线的解析式得出Q点坐标，根据直线和直线的关系得出直线的解析式，进而得出点E不在直线上． 【详解】（1）解：由得， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作轴于Q， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2， 作，交的延长线于W，延长至V，使，连接，， ∴，，， ∴C、V、B在以O为圆心，为半径的圆上， 设交x轴于I， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 作，交的延长线于R，作于T，作轴于X， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴，四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形， 则设， ∴， ∴，（舍去）， ∴ 由（2）得， ， ∴， 设，则，则， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴的解析式为：， 由得， ，（舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理求得直线的解析式为， 设直线交轴于点，作轴于点，如图， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 同理得直线的解析式为：， 当时， ， ∴点E不在直线上． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形和正方形的判定和性质等知识． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $