精品解析：广东揭阳市普宁市勤建学校2025-2026学年高二下学期第一次调研考试数学试题

勤建学校高二年级下学期第一次调研考试 数学试卷 2026.4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（　　） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，该质点在时的瞬时速度为. 2. 已知，则等于 A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式求出，再求. 【详解】由，得，∴， 故选C 【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，若,则 . 3. 若可导函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义计算可得. 【详解】因为可导函数满足， 所以. 故选：D 4. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数变形为，然后根据复合函数的求导法则求解出. 【详解】解析：因为，所以， 所以， 故选：C. 5. 已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据原函数单调性和导函数正负的关系，结合图象，即可得到答案． 【详解】根据的图象可知在上的单调递增区间是， 所以不等式的解集为． 故选：C 6. 设函数，则 A. 为的极大值点 B. 为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以． 又，所以为的极小值点． 考点：利用导数研究函数的极值；导数的运算法则． 点评：极值点的导数为0 ，但导数为0的点不一定是极值点． 7. 已知函数的导函数为，且，则的极值点为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，先后代入和，确定函数的解析式，再通过导函数的符号确定函数的极小值点即可. 【详解】对进行求导，可得， 将代入整理，① 将 代入可得，即， 将其代入① ，解得：，故得. 于是，由可得或，因， 故当时，，当时， ， 即是函数的极小值点，函数没有极大值. 故选：D. 8. 若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，且对恒成立，设，则问题转化为在上恒成立，利用导数说明函数的单调性，再分和两种情况讨论，结合函数的取值情况及单调性，分别计算可得. 【详解】由题意可知，，即对恒成立． 设，则问题转化为在上恒成立， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时，；当时，． ①在上，若恒成立，即，； ②在上，若，则恒成立，即恒成立， 令，，则，所以在上单调递增， 所以，所以，综上所述，实数的取值范围为． 故选：B． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的是（　　） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导后利用导数正负即可判断原函数单调性. 【详解】， 当时，，当时，， 故在区间、上单调递增，在上单调递减， 故A、B、D正确，C错误. 10. （多选）已知函数的图象与x轴相切于点，则的（　　） A. 极大值为 B. 极小值为0 C. 极小值为 D. 极大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】由导数的几何意义求得后，再求极值． 【详解】求导得，因为函数的图象与x轴相切于点， 所以，解得， 所以， 当或时，，时，， 在和上单调递增，在上单调递减， 所以极大值为，极小值为． 11. 定义域为的连续函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 若，则 D. 若0为的极小值点，则的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，先求，再令，结合奇偶性定义判断A，令，结合换元法判断B，令，结合，先求出的周期为4，算出即可判断C，利用极小值定义求出的最小值判断D. 【详解】对于选项A，令，有，解得或， 若，只令，有，则恒为0， 所以，所以， 只令，有，因为， 所以，即， 所以， 所以为偶函数，故选项A正确； 对于选项B，令，有， 令，所以，故，故选项B正确； 对于选项C，若，令，有， 所以，所以， 所以，所以， 所以的周期为4， 因为，， 所以，，， 所以， 所以，故选项C错误； 对于选项D，由选项A可知， 因为为偶函数，所以只需求解的的取值范围， 因为0为的极小值点，所以存在，使时，， 由选项B可知，， 所以， 若，则，则有， 与时，矛盾， 故，所以，解得或， 由上述过程同理可证不成立，所以， 所以当时，，又因为为偶函数， 所以当时，的最小值为1，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数大于0求解的范围即可. 【详解】由， 得， 令得，. 所以的单调递增区间为. 故答案为： 13. 设是函数的导函数，若，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】 由题可得,将代入即可 【详解】由题,, 所以当时,, 故答案为：2 【点睛】本题考查导数的运算,考查求导公式的应用,考查导数运算法则的应用 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先对求导，再对分类讨论，分析其有两个零点的情况，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为，所以， 当时，，则此时单调递增，得到不可能有两个零点， 当时，令，，令，， 得到在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点， 所以需有， 而，此时满足，解得，则实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 求下列函数的导数. （1） （2）； （3）. 【答案】（1）. （2） （3）. 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 16. 已知函数，其导函数为． （1）求在处的切线方程； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解； （2）利用导数与函数单调性的关系即可得解. 【小问1详解】 因为的导数为， 所以在处的切线斜率为，而 故所求的切线方程为，即． 【小问2详解】 因为，定义域为 所以 解得，解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 17. 已知函数在时取得极值． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若有两个零点，求的值． 【答案】（1）递增区间是，递减区间是； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求导，由可求出的值，进而确定导数，由导数正负即可得解. （2）由（1）可知函数单调性，根据单调性求出最低的端点值和极小值进行比较即可得解. （3）将函数零问题转化成图像交点问题结合函数单调性和极值情况即可求解. 【小问1详解】 由题得，且定义域为. 由函数在时取得极值，得，解得， 此时，显然是的变号零点，即是极值点， 因此， 所以当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，函数， 且在上单调递增，在上单调递减， 又 所以函数在区间上的最小值是. 【小问3详解】 因为， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值为，极大值为， 由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点， 故或，所以或. 18. 已知. （1）若函数，讨论的单调性与极值； （2）证明：. 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为，无极大值 （2） 要证成立，只需证成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为，即， 由（1）知，时，， 且的最小值点与的最大值点不同， 所以，即，所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求出函数的解析式，然后求导分析单调性，确定极值即可； （2）要证，转化为证，再构造函数，利用函数单调性证明即可. 【小问1详解】 由题意，得，则. 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）若， ①求函数的单调区间； ②求证：. （2）若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 【答案】（1）①的单调递减区间为，单调递增区间为； ②证明：令，可得， 令，可得， 所以在上单调递增，且，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 可得， 又由，可得，则， 所以，即. （2） 【解析】 【分析】（1）①当时，求得，令，可得，求得在单调递增，且，进而得到的单调区间；②令，求得，令，得到，得到在上单调性，结合零点存在性定理，得到存在，使得，进而求得的单调性与，进而证得； （2）（法一）由，得到，令，取得，得到在上递增，进而得到，令，求得，得到的单调性与最小值，即可求解；（法二）设，求得，设，得到，进而求得的单调性，求得，令，求得，得到函数的单调性与最小值，即可求解. 【小问1详解】 解：①当时，函数，可得，则， 令，可得， 所以在单调递增，且， 当时，，即，在单调递减； 当时，，即，在单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. ②略 【小问2详解】 解：（法一）由，可得，则， 令，可得，所以在上递增， 又由，可得，所以， 令，可得， 由，解得， 令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以实数的取值范围为. （法二）设，则， 设，则， 因为在上递增，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 所以在递减， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 勤建学校高二年级下学期第一次调研考试 数学试卷 2026.4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若一个质点在时间段内相应的平均速度为，则该质点在时的瞬时速度是（　　） A. B. 3 C. 6 D. 2. 已知，则等于 A. 0 B. C. D. 3. 若可导函数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 6. 设函数，则 A. 为的极大值点 B. 为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 7. 已知函数的导函数为，且，则的极值点为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 8. 若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的是（　　） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递增 10. （多选）已知函数的图象与x轴相切于点，则的（　　） A. 极大值为 B. 极小值为0 C. 极小值为 D. 极大值为 11. 定义域为的连续函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 若，则 D. 若0为的极小值点，则的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为________. 13. 设是函数的导函数，若，则________. 14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 求下列函数的导数. （1） （2）； （3）. 16. 已知函数，其导函数为． （1）求在处的切线方程； （2）求的单调区间． 17. 已知函数在时取得极值． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若有两个零点，求的值． 18. 已知. （1）若函数，讨论的单调性与极值； （2）证明：. 19. 已知函数. （1）若， ①求函数的单调区间； ②求证：. （2）若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $