精品解析：广东省揭阳市普宁市多校2024-2025学年高二下学期6月联考数学试卷

2024-2025学年度高二年级6月联考 数学试题 全卷满分150分 时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 1和2025的等比中项为 （ ） A. 50 B. 45 C. D. 2. 端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是（ ） A. 4 B. 16 C. 32 D. 64 3. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 某超市正在进行有奖促销活动，其中一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，某消费者从中随机取出2瓶，记为其中有奖的瓶数，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 某种运算经过反复迭代后，结果必然落入一个点或若干点的情况被称为数字黑洞.已知一个各位数字均不为0且各不相同的三位数，将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为，例如：，则.已知数列满足.若存在数字黑洞：对于任意的的取值，当足够大时，的结果始终为一个常数，则 （ ） A. 693 B. 396 C. 954 D. 495 7. 某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 24种 D. 28种 8. 王教师对所带班级学生在三模考试中的语文成绩与英语成绩进行统计，得到如下信息：随机抽取本班的一名同学，该同学语文成绩优秀的概率为，英语成绩优秀的概率为，语文成绩和英语成绩均未达到优秀的概率为，则该班学生在语文成绩优秀的条件下，英语成绩也优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地小人国的环保骑士了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩（满分100分），其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（ ） A. 该知识竞赛的及格率为60% B. C. D. 10. 记为正项数列的前项和，且，则（ ） A. B. C. 数列单调递增 D. 11. 若曲线的方程为，其部分图象如图所示，直线与在第四象限存在唯一公共点，则 （ ） A. 是中心对称图形 B. 过点可向作两条相互垂直的切线 C. 与直线相切 D. 的纵坐标小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若2是的极小值点，则____________. 13. 的展开式中的系数为_______________（用数字作答）. 14. 某质地不均匀的正四面体骰子各面上分别有1，2，3，4的编号，随意抛掷该骰子，记该骰子落下后朝下的一面编号为.若数列为等差数列，且的期望，则的方差_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知首项为1的正项数列满足. （1）求； （2）求的通项公式； （3）求数列的前项和. 16. 设函数在点处的切线方程为. （1）求； （2）求函数的最小值. 17. 某社会兴趣研究机构为了解某挑战赛中是否接受挑战与受邀者的性别是否有关系（假设每个人是否接受挑战互不影响，且受邀者男性与女性的比例为3：2），进行了随机抽样 调查，得到如下调查数据（单位：人）： 接受挑战 不接受挑战 合计 男性 40 60 女性 24 合计 （1）完善列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为比赛中是否接受挑战与受邀者的性别有关； （2）现从这100人中任选1人，事件表示“受邀者接受挑战”，事件表示“受邀者是男性”，记，则可表示受邀者接受挑战与受邀者的性别相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 如图，四棱锥中，，是等边三角形，平面. （1）证明：平面； （2）若，且平面与平面夹角的正弦值为，求. 19. 已知我国2015年至2023年的乡村就业人员连续9年的人数如表（人数单位：亿人），其中第1年为2015年，第2年为2016年，依次类推： 第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数 3.54 3.42 3.29 3.15 3.02 2.88 2.79 2.74 2.70 计算得到相关数据：. （1）判断年份与人数之间是否具有较强的线性相关性； （2）某同学误将2019年的数据抄漏，其余均按照剩下的正确8组数据计算.（下列计算结果均保留两位小数） ①利用最小二乘法，求该同学得到的年份与人数之间的线性回归方程； ②证明：由该同学求得的线性回归模型的决定系数比由原数据求得的线性回归模型的决定系数大. 附：①样本相关系数，当时，认为两个变量有较强的线性相关性； ②利用最小二乘法计算回归直线，截距和斜率的估计公式为，； ③决定系数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二年级6月联考 数学试题 全卷满分150分 时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 1和2025的等比中项为 （ ） A. 50 B. 45 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项定义计算求解. 【详解】设1和2025的等比中项为， 则，解得. 故选：C. 2. 端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是（ ） A. 4 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子， 则每位同学都有4种不同的购买方式种数，故总共有种不同的购买方式种数. 故选：D 3. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导可得函数单调性，根据单调性列式计算即可. 【详解】函数的定义域为， 因为恒成立，所以函数在上单调递增， 若，则， 即的取值范围为. 故选：A 4. 某超市正在进行有奖促销活动，其中一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，某消费者从中随机取出2瓶，记为其中有奖的瓶数，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合组合数，由古典概型概率公式求解即可. 【详解】， 因此. 故选：B 5. 已知随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由与是对立事件可列方程求出、，再根据离散型随机变量的均值公式求出，最后利用公式进行求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为， 所以. 故选：B 6. 某种运算经过反复迭代后，结果必然落入一个点或若干点的情况被称为数字黑洞.已知一个各位数字均不为0且各不相同的三位数，将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为，例如：，则.已知数列满足.若存在数字黑洞：对于任意的的取值，当足够大时，的结果始终为一个常数，则 （ ） A. 693 B. 396 C. 954 D. 495 【答案】D 【解析】 【分析】对任意的三位数，不妨设，则，，通过列举找规律得出结果. 【详解】对任意的三位数，不妨设，则， ， 若，则，，，， ，， 若，则，， ，， ， 若，则，，，， 若，则，， 若，则，， ， 若，则，，，， 若，则，，，，， 若存在数字黑洞：对于任意的的取值，当足够大时，的结果始终为一个常数，则. 故选：D 7. 某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 24种 D. 28种 【答案】A 【解析】 【分析】将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列，定序问题用倍缩法可得结果. 【详解】因为鸡汤最后下锅，所以将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列. 因为结果包含两种情况：茄子净肉在鸡脯肉前下锅、茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 所以茄子净肉在鸡脯肉后下锅的情况有种. 故选：A. 8. 王教师对所带班级学生在三模考试中的语文成绩与英语成绩进行统计，得到如下信息：随机抽取本班的一名同学，该同学语文成绩优秀的概率为，英语成绩优秀的概率为，语文成绩和英语成绩均未达到优秀的概率为，则该班学生在语文成绩优秀的条件下，英语成绩也优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出对应事件的概率，利用求出，代入条件概率公式求解即可. 【详解】设事件A为“该班学生语文成绩优秀”，事件B为“该班学生英语成绩优秀”，则， 因为，所以， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地小人国的环保骑士了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩（满分100分），其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（ ） A. 该知识竞赛的及格率为60% B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算可判断A；根据二项分布计算可判断BCD. 【详解】对于A，学生成绩服从， 由不低于80分为优秀，且优秀率为20%可得， 所以，故A正确； 对于B，由题意可得，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BCD 10. 记为正项数列的前项和，且，则（ ） A. B. C. 数列单调递增 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A,B，直接代入即可计算；对于选项C,D，可根据进行化简判断. 【详解】对于选项A： ，化简得：. 所以，选项A正确； 对于选项B： ，化简得：. 因为，数列为正向数列，所以. 所以，故B错误； 对于选项CD： . ， 所以，化简， 若，则，即或， 则或（舍去）， 因为，所以，所以，， 所以为递增数列，所以， 所以， 所以，CD正确. 故选：ACD. 11. 若曲线的方程为，其部分图象如图所示，直线与在第四象限存在唯一公共点，则 （ ） A. 是中心对称图形 B. 过点可向作两条相互垂直的切线 C. 与直线相切 D. 的纵坐标小于 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由其图象即可判断；对于B，记，利用导数判断它的单调性和极值，且，进而可得是的一条切线. 再证与相切（仅讨论第四象限）即可判断；对于C，由B知，进而可求出的范围，即可判断；对于D，设函数，根据导数可求出它的极值点和极大值，将极值点代入，解得，即，即可判断. 【详解】对于A，由图可知曲线是关于轴对称的轴对称图形，不是中心对称图形，A错误； 对于B，因为，记， ，所以在和单调递增，在单调递减. ，所以，仅当取等.因此是的一条切线. 下证与相切（仅讨论第四象限）， 令，则，解得，即时，恒有， 而时，，因此与相切，B正确； 对于C，由于过点和点，则令（仅讨论第四象限）， 由B项分析可知，所以，即， 所以直线与切于点，C正确； 对于D，依题意，联立与的方程，则有在内只有一解， 令 由于，可知存在极大值点，则极大值， 由，解得，即，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若2是的极小值点，则____________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数极值点的导函数值为0，列出方程求参数值，再验证在此处为极小值点即可. 【详解】由2是的极小值点可知， 由，得， 因为，则，解得， 当时，，， 可知在上单调递减，在上单调递增，所以2是的极小值点， 故答案为：3. 13. 的展开式中的系数为_______________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，求指定项的系数即可. 【详解】由， 化简得， 当时，， 当时，， 所以得系数为. 故答案为： 14. 某质地不均匀的正四面体骰子各面上分别有1，2，3，4的编号，随意抛掷该骰子，记该骰子落下后朝下的一面编号为.若数列为等差数列，且的期望，则的方差_______________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意设出数列的首项，公差，写出随机变量每一个取值下对应的事件的概率；再根据概率和为，，列出方程组求解和，得出；最后根据方差公式即可求解. 【详解】由题意可知的所有可能取值有：. 因为数列为等差数列， 所以设该数列的首项为，公差为， 则，，，. 根据概率和为，， 可得：，解得：. 所以，，，. 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知首项为1的正项数列满足. （1）求； （2）求的通项公式； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）赋值代入解方程即可； （2）由，发现数列是等差数列，可求的通项，再求即可； （3）根据题意，把通项代入得，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 ，， ，即， 解得. 【小问2详解】 有（1）得， 所以是首项为1，公差为的等差数列， ，则. 【小问3详解】 ， 故数列的前项和. 16. 设函数在点处的切线方程为. （1）求； （2）求函数的最小值. 【答案】（1）1 （2）0 【解析】 【分析】（1）根据切线的斜率为切点处的导函数值，列出方程，求出参数值. （2）化简求出函数解析式，根据导函数求函数最值的方法，先求出函数单调区间，判断函数在何处取最小值，代入函数，求出最小值. 【小问1详解】 点处的切线方程为，则， 由得， 得，化简得，解得. 【小问2详解】 由题意得， 则， 令，则，， ，且仅当，即时等号成立， 所以在R上单调递增，且，所以在上，在上， 因为，可得在上，在上单调递减，在上， 在上单调递增，在处取得最小值，， 所以函数的最小值为0. 17. 某社会兴趣研究机构为了解某挑战赛中是否接受挑战与受邀者的性别是否有关系（假设每个人是否接受挑战互不影响，且受邀者男性与女性的比例为3：2），进行了随机抽样 调查，得到如下调查数据（单位：人）： 接受挑战 不接受挑战 合计 男性 40 60 女性 24 合计 （1）完善列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为比赛中是否接受挑战与受邀者的性别有关； （2）现从这100人中任选1人，事件表示“受邀者接受挑战”，事件表示“受邀者是男性”，记，则可表示受邀者接受挑战与受邀者的性别相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表为： 接受挑战 不接受挑战 合计 男性 40 20 60 女性 16 24 40 合计 56 44 100 能 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的公式，代入数值求出，判断比赛中是否接受挑战与受邀者的性别有关有无关联. （2）根据题目给出相关程度的公式，根据条件概率公式，求出各参数的值，求出相关程度的值即可. 【小问1详解】 受邀者男性与女性的比例为3:2，男性60人，则女性40人，完成下表： 接受挑战 不接受挑战 合计 男性 40 20 60 女性 16 24 40 合计 56 44 100 数据代入公式， 依据小概率值的独立性检验，可以判断不成立，即能认为比赛中是否接受挑战与受邀者的性别有关. 【小问2详解】 由题意知， 同理， 则. 18. 如图，四棱锥中，，是等边三角形，平面. （1）证明：平面； （2）若，且平面与平面夹角的正弦值为，求. 【答案】（1）证明: 平面，共面，相交于一点， 平面，， 又，所以，即， 是等边三角形，，， ，即， 平面， 平面， 即平面. （2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意，设相交于一点，利用平面，，可计算，可得，结合前面即可证平面； （2）由两两垂直，所以以为原点建立空间直接坐标系，由，所以，设，然后求出平面，平面的一个法向量，利用平面与平面夹角的正弦值为，可得，解出即可得到. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，所以以为原点建立空间直接坐标系， 则又，所以，设，则， ， 设平面，平面的一个法向量分别为，， 则，不妨取，则， ，不妨取，则， 因为平面与平面夹角的正弦值为， 所以，解得，或（舍）， 即，则， 所以. 19. 已知我国2015年至2023年的乡村就业人员连续9年的人数如表（人数单位：亿人），其中第1年为2015年，第2年为2016年，依次类推： 第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数 3.54 3.42 3.29 3.15 3.02 2.88 2.79 2.74 2.70 计算得到相关数据：. （1）判断年份与人数之间是否具有较强的线性相关性； （2）某同学误将2019年的数据抄漏，其余均按照剩下的正确8组数据计算.（下列计算结果均保留两位小数） ①利用最小二乘法，求该同学得到的年份与人数之间的线性回归方程； ②证明：由该同学求得的线性回归模型的决定系数比由原数据求得的线性回归模型的决定系数大. 附：①样本相关系数，当时，认为两个变量有较强的线性相关性； ②利用最小二乘法计算回归直线，截距和斜率的估计公式为，； ③决定系数. 【答案】（1）有较强的线性相关性； （2）①； ②证明:， 该同学， 根据题意原数据的回归方程也为， 则时，，所以， 所以， 又决定系数， 所以该同学求得的线性回归模型的决定系数比由原数据求得的线性回归模型的决定系数大. 【解析】 【分析】（1）对公式变形，直接代入值求相关系数，再对照比较判断即可； （2）①根据数据求出回归方程即可； ②根据题意计算发现回归方程一样，决定系数的分母一样，所以只要比较分子即可. 【小问1详解】 ，， 所以 ， 即，所以年份与人数之间具有较强的线性相关性. 【小问2详解】 ①2019年对应第5组数据， 则剩余8组数据的，， ， ， 所以线性回归方程为. ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $