专题02整式乘法专项训练(17大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题02整式乘法专项训练 题型01.单项式乘法运算 题型02.单项式的应用 题型03.单项式乘多项式的应用 题型04.多项式.乘法运算 题型05.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型06.多项式乘法的化简求值 题型07.多项式乘积不含某一项求参数 题型08.多项式乘法与图形面积 题型09.多项式乘法中的规律性问题 题型10.整式的混合运算 题型11.平方差公式与几何图形 题型12.完全平方公式与几何图形 题型13.乘法公式计算题 题型14.完全平方公式的变形求值 题型15.完全平方式中字母系数求解 题型16.利用乘法公式的非负性求值 题型17.乘法公式之配方法求最值 题型18.新定义运算 解答题10题 核心法则：整式乘法三阶梯（从简单到进阶，步步拆解） 第一阶：单项式 × 单项式（基础中的基础） 法则：系数相乘定符号，同底数幂按法则算，单独字母连指数照抄！ 步骤：① 系数相乘（同号正、异号负）→ ② 同底数幂相乘 → ③ 单独字母保留 示例：2a2b3ab3=(2×3)(a2a)(bb3)=6a3b4 提醒：结果还是单项式，别漏乘字母、算错系数！ 第二阶：单项式 × 多项式（分配律 ） 法则：用单项式乘多项式的每一项，再把积相加（m(a+b+c)=ma+mb+mc） 避坑点：① 多项式的项带符号，相乘时符号跟着走（例：−2a(3a−b)=−6a2+2ab）；② 别漏乘任何一项！ 第三阶：多项式 × 多项式（进阶难点，拒绝漏项） 法则：一个多项式的每一项，乘另一个多项式的每一项，再相加合并同类项（(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn） 技巧：未合并前，积的项数 = 两个多项式项数的乘积（比如二项式 × 三项式，先写 6 项再合并） 秒杀公式：一次项系数为 1 的二项式相乘：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab（十字相乘超省心） ✨ 黄金公式：两大乘法公式（中考高频，变形超重要） 整式乘法的 “天花板”，记准结构 + 灵活变形，计算速度翻倍！ 公式 1：平方差公式 → (a+b)(a−b)=a2−b2 核心特征：两个二项式相乘，一项相同，一项互为相反数，结果 = 相同项平方 - 相反项平方 百变变形：位置变、系数变、指数变都能用 例：(2a+3b)(2a−3b)=(2a)2−(3b)2=4a2−9b2） 逆用：a2−b2=(a+b)(a−b)（后续因式分解的关键！） 公式 2：完全平方公式 → 和平方 + 差平方 (a+b)2=a2+2ab+b2；(a−b)2=a2−2ab+b2 口诀：前平方，后平方，中间乘积的 2 倍放中央（和平方加 2ab，差平方减 2ab）必背变形（解题高频）： 1 a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab 2 (a+b)2−(a−b)2=4ab 3 (a−b)2=(a+b)2−4ab 公式易混辨析（别再搞反！）. 平方差：结果只有两项，没有中间项（a2−b2） 完全平方差：结果有三项，中间是−2ab（a2−2ab+b2） ⚠避坑指南：整式乘法高频错点（避开这些 = 多拿 20 分） 1.符号错误：负项相乘、负数底数的幂运算，先定符号再计算； 2.漏乘漏项：多项式相乘逐一项乘，别跳步，用项数检查； 3.法则混用：同底数幂相乘（指数加）≠幂的乘方（指数乘）； 4.忽略前提：零指数、负指数幂的底数不能为 0； 5.未化最简：计算结果一定要合并同类项，积的乘方别漏算数字因式。 解题大招：核心思想（拉分题必用） 1.整体代入：把代数式看成一个整体计算（例：已知a+b=3，求a2+2ab+b2，直接套完全平方得 9）； 2.数形结合：用正方形 / 长方形面积验证乘法公式（比如(a+b)2是边长为a+b的正方形面积，拆成a2+2ab+b2）； 3.配方法：凑完全平方式，利用非负性求最值（例：x2+4x+5=(x+2)2+1，最小值为 1）。 题型01.单项式乘法运算 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘单项式法则，分别计算系数乘积与同底数幂的乘积，保留原有单独字母即可得到结果． 【详解】解： = ． 2．计算：___________． 【答案】 【详解】解：． 3．计算：的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，涉及积的乘方，同底数幂的乘法．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加．由此计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法则、合并同类项法则、单项式乘法法则，负整数指数幂，对各选项逐一计算判断对错. 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型02.单项式的应用 5．设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 6．若＝－10，则m－n等于（   ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】B 【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出m，n的值，然后代入计算即可． 【详解】 ∴ ∴ 解得 ∴m－n=1-2=-1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键． 7．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 题型03.单项式乘多项式的应用 8．下列计算正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，单项式乘多项式，解题关键是掌握合并同类项法则． 根据合并同类项法则，单项式乘多项式法则，对四个式子分别计算，再作出判断． 【详解】解：中没有同类项，不能合并，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 9．李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为，则该长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘多项式法则求解即可． 【详解】解：长方形的面积为=， 故选D． 10．要使中不含有的四次项，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了多项式的混合运算．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有的四次项，可得，即可求解． 【详解】解： ， ∵中不含有的四次项， ∴， ∴． 故答案为：2 11．如图所示，梯形的面积为_________． 【答案】 【分析】根据梯形面积公式、单项式乘多项式的运算法则计算． 本题考查的是梯形，熟记梯形面积公式是解题的关键． 【详解】解：梯形的面积为：， 故答案为：． 12．已知，则代数式_____． 【答案】4 【分析】本题考查代数式的值问题，掌握代数式的求值方法，会利用整体代入法则求值是解题关键．将代数式展开后，利用已知条件代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为 4． 13．若的展开式是一个三次二项式，则的值有可能是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查多项式的乘法运算以及多项式的次数和项数的概念，解题的关键是根据多项式的次数和项数的要求确定m，n的值． 先根据单项式乘多项式法则展开式子，再根据展开式是三次二项式的条件，分别讨论m，n的取值，进而求出的值． 【详解】解： ∵展开式是一个三次二项式， ①当与是同类项时， ， ， ； ②当与是同类项时， ， ， ， ③当与是同类项时，不存在这种可能； 故选：A． 14．如图，长方形是由两个长为a，宽为b的长方形和），两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式运算的实际应用，设小正方形的边长为，易得，根据阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，得到，进而求出的值，根据正方形的边长相等，得到，进行求解即可． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由题意，得： 则：， ∴ 阴影部分（四个直角三角形）的面积为：， 正方形面积的面积为， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴； 故选C． 15．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 题型04.多项式.乘法运算 16．若，则与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．绝对值相等 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式运算法则，展开左侧多项式后，对比等式两边同类项系数，即可推得与的关系． 【详解】解：， ， ， ，对任意都成立， 则， ． 17．若，则_______． 【答案】3 【分析】利用多项式乘以多项式化简等式的左边，根据恒等式的意义，构造方程，逐一解答计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 18．小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是___________． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，通过错误的计算结果逆向求出参数的值，再代入正确的整式乘法式子计算正确结果． 【详解】解： ∴， 解得． ∴ 故答案为：． 19．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加上得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①第5项为；②：③若第2021项的值为0，则；④当时，第k项的值为，以上结论正确的个数为（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意可得第1项为，，第2项为，，第3项为，，根据变化规律解答即可． 【详解】根据题意， 第1项为， ， 第2项为， ， 第3项为， ， ······ ∴第5项为，故①正确； ∴，故②错误； 若第2021项的值为0，则， ∴， 即， ∴，故③正确； 当时，设， ∴， 得：， ∴，故④错误； 正确的有①③两个， 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减和乘除，数字的变化类规律探索，解题的关键是根据已知得到变化规律． 题型05.(x+p)(x+q)型多项式乘法 20．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的计算．多项式乘多项式的法则：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，据此进行计算即可． 【详解】解： 故答案是：． 21．已知，则的值为(　　)． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴． 22．已知，为常数，且为恒等式，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，由，再比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【详解】解：， 比较系数得：且， 解得 ，； ∴， 故答案为 23．若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了整式乘法的应用，代数式求值等知识点，掌握多项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键． 按照多项式的乘法法则进行计算后可得，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 题型06.多项式乘法的化简求值 24．已知，则____________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式以及代数求值，解题的关键是掌握相关运算法则． 根据得到，将去括号合并同类项，再代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 25．若，则的值为______． 【答案】8 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，先计算单项式乘多项式、多项式乘多项式，再合并同类项，最后将代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， 原式， 故答案为：8． 26．若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的， ， ， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 题型07.多项式乘积不含某一项求参数 27．若的结果中不含x项，则a的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先展开原式合并同类项，再令x项的系数为0，即可求解a的值． 【详解】解： ∵ 结果中不含x项， ∴ x项的系数为，即， 解得∶． 28．若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据结果中不含x的一次项，即含x的一次项系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项， ∴，即． 29．有如下的一列代数式：，，，，，⋯⋯；且每个代数式的各项系数均不为0，若将前个代数数相加记为，其中为正整数．那么下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若代数式含有因式，则； ③若，那么当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查代数式规律，多项式乘以多项式，代数式求值，根据的定义列出式子找到规律，再取特殊值代入计算即可． 【详解】解：①若， ， 故①正确； ② ， ∵代数式含有因式， ∴设 ∴， ∴，整理得， ∴， 故②正确； ∵， ， ， ， ， ∴， ， ∴当时，， ，， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴； ∴， 当时，，，，则； ∴， 故③正确， 综上所述，正确的个数为3， 故选：D． 题型08.多项式乘法与图形面积 30．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的长方形，那么需要A类卡片______张． 【答案】 2 【详解】解：由题意得：， 由图可知A类卡片的面积为，所以需要A类卡片2张． 31．如图，把一块原长为，宽为的长方形草坪，加长了，加宽了，则扩大后的草坪面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的实际应用，熟练掌握长方形面积公式和多项式乘多项式法则是解题的关键．先确定扩大后长方形的长和宽，再根据长方形面积公式计算面积． 【详解】解：， 故选：B． 32．如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片的张数为______． 【答案】7 【分析】运用多项式乘多项式求得所拼长方形的面积进行求解． 【详解】解： ， 类纸片面积为， 需要类纸片的张数为． 题型09.多项式乘法中的规律性问题 33．如图，为杨辉三角的一部分，下数表给出了的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是__________． 【答案】 【分析】根据题意得出展开式，据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 展开式中各项的系数依次为1，5，10，10，5，1， 所以 所以的展开式中第二项是． 34．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中a项的系数是_____________． 【答案】8 【分析】根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的多项式按照的降幂，的升幂顺序排列，项数为项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类推，根据，即可得出结论； 【详解】解：，， ， ， ， ， 项的系数是8． 35．“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知，的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2025，因此除以2025，余数为，即2024．故④结论错误． 综上所述，①②③结论正确． 题型10.整式的混合运算 36．如图，是型钢条截面，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将图形分割成三部分，分别将三部分的面积表示出来，相加即可． 【详解】 将该图形如图分割，则该图形面积可表示为：=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，将不规则图形分割成几个规则的图形是解题的关键． 37．对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算；根据新定义的运算规则代入，再利用完全平方公式展开化简即可． 【详解】解：∵☆， ∴☆， ∵， ∴， 故选：C． 38．若规定，则当时，的值为__________． 【答案】 【分析】先根据新定义将所求式子转化为常规的代数式，再结合已知条件，通过变形或整体代入的方法求出该代数式的值．本题主要考查了新定义运算以及整式的混合运算，同时涉及整体代入的思想，熟练掌握新定义运算规则，以及根据已知条件对代数式进行灵活变形和整体代入是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， 当时，原式 故答案为：． 39．如果，那么代数式的值是_______． 【答案】5 【分析】利用平方差公式，以及整式的混合运算，将整理为，再将代入求解，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握整式的混合运算法则． 【详解】解：， ． 40．已知整式，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则；②若是完全平方式，则常数k的值为5；③若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算、完全平方公式的变形应用、解一元一次方程等知识点，熟练进行整式的运算是解题的关键． ①将代入得到关于x的方程求解判断即可；②先将展开，然后根据完全平方公式的特点即可解答；将代入可得，然后整理并将代入求值即可判定③． 【详解】解：①将代入得：，解得：，故①错误． ②将展开为：， 若为完全平方式，则：，解得：，故②正确； ③∵， ∴，即 ∴ ，故③正确． 综上，②③正确，正确个数为2． 故选：C． 题型11.平方差公式与几何图形 41．如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式． 【详解】解：图①中，图②中， ∴． 42．如图，点，，在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，则阴影部分的面积的大小是__________． 【答案】12 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，得出，再根据阴影部分面积的计算方法得出即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则． ∵两个正方形的面积之差是24， ， ． 故答案为：． 43．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 题型12.完全平方公式与几何图形 44．如左图所示，将长为，宽为的两个全等的长方形分成四个全等的直角三角形，将四个直角三角形按右图的方式拼合成一个大的正方形，请用，表示大正方形的面积______．    【答案】/ 【分析】根据图形可知正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，由此问题可求解． 【详解】解：由图可知：正方形的面积为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 45．已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为16的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，空白部分的面积为65，则的值为（   ） A．12 B．9 C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图1中间小正方形的面积，图2空白部分的面积，再根据得到的，利用完全平方公式及变形求出的值即可． 【详解】解：图1中，中间小正方形的边长为，面积为， 由图2可得，大长方形的长为，宽为，因此面积为， 所以，即， ，即，而， ， ，而，则, ． 故选：C． 46．如图，两个正方形的边长分别为a和b，若，，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】阴影部分的面积可利用正方形面积的一半减去空白小三角形的面积进行计算． 【详解】解：由完全平方公式， ∴， 阴影部分的面积为： ． 题型13.乘法公式计算题 47．下列各式中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的结构特征，平方差公式为，要求两个相乘的二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可 【详解】解：A、 中，常数项与不互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算； B、，两项都相同，没有互为相反数的项，不符合要求，不能用平方差公式计算； C、 是完全平方，不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式计算； D、，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算 48．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 49．已知，那么__________． 【答案】10 【分析】首先将两边除以x得到，然后两边同时平方得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 50．若两个正方形面积之和是29，边长之和是7，则它们的面积相差_____． 【答案】 【分析】设两个正方形的边长分别为，根据题意得到边长之和与面积之和的关系式，再利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】解：设两个正方形的边长分别为， 根据题意得，， ， ， ，， 又， （负值舍去）， 则它们的面积相差． 51．下面计算正确的是（     ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用； 先将原式变形为符合平方差公式的形式，再利用公式计算判断选项即可． 【详解】解：∵， 又∵平方差公式为，令，， ∴原式， ∴故选：C． 52．设，，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】将所求表达式展开，利用已知条件代入计算． 【详解】解：， . 又 ，且 ， ， . 故选：C． 【点睛】本题考查分式的值，解决本题的关键是将所求表达式展开，利用已知条件代入计算． 题型14.完全平方公式的变形求值 53．若，，则的值为（   ） A． B． C．15 D．不存在 【答案】C 【分析】利用完全平方公式进行变形，将已知条件代入即可求出的值． 【详解】解：∵， ． 又∵， ∴， ， ∴． 54．已知，，则的值是______． 【答案】/ 【分析】先由已知得到，代入第二个等式后对式子配方，利用偶次方的非负性求出，，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将其代入中， 得 ， ∵任意实数的平方为非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0， ∴，， 解得，， 将代入得， 将，，代入得：． 55．设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值求代数式的值，根据，得出，，再分别代入，整理得，因为，故，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则 ， ∵， ∴， 则， 即代数式的最大值为3， 故选：C． 题型15.完全平方式中字母系数求解 56．已知是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．3或5 B．3或7 C． D．7或 【答案】D 【分析】先将原式与完全平方公式对应，得到关于的一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 解得或． 57．已知是一个完全平方式，那么______________． 【答案】或 【分析】形如“”的式子叫做完全平方式．据此列式求解． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ 解得：或． 58．已知多项式是某个整式的平方的展开式，则a的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方公式对应系数即可求出a的值． 【详解】解：∵多项式是某个整式的平方的展开式，符合完全平方公式的结构， ∴令，，得， ∴中间项满足， 即， 解得． 题型16.利用乘法公式的非负性求值 59．在实数范围内求代数式的最小值_____． 【答案】 8 【详解】解： ； 根据平方的非负性，可得，， 因此当且，代数式取得最小值，最小值为8． 60．已知，则代数式的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质和代数式求值问题．根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零，则每个部分为零，解出a和b的值，再代入代数式求值． 【详解】解：∵， ∴且， 解得，， 代入代数式，得． 故答案为：． 61．若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值．根据非负数的性质可得，代入代数式求值即可求解． 【详解】解：∵， ， b， ∴． 故答案为：． 62．已知，则的值_______． 【答案】 【分析】将已知转化为，再根据“形如：，得：，”求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 题型17.乘法公式之配方法求最值 63．利用可求某些整式的最值．例如，由可知，当时，多项式有最小值是2．对于多项式，当_______时，该多项式有最小值． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握利用配方法将二次三项式化为完全平方式是解题的关键． 利用配方法将二次多项式化为完全平方的形式，再根据非负数的性质求出多项式取得最小值时的值． 【详解】解： ， 由可知，当，即时，多项式取得最小值． 故答案为：． 64．若a，b为有理数且满足，，则P的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据已知条件利用完全平方公式得到，再由非负性的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴当时，P有最小值，最小值为3，此时满足， 故答案为：3． 65．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”、如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)判断下列各组多项式是否互为“对消多项式”，如果是求出它们的“对消值”． ①与；②与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求a和b为_____，它们的“对消值”为_____； (3)关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，，求代数式的最小值． 【答案】(1)①组多项式不是互为“对消多项式”，②组多项式是互为“对消多项式”，“对消值”是 (2)，1；2 (3)28 【分析】（1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； （2）先运用题目中的定义求得的值，再代入求解； （3）先求得，再将原式进行配方变形进行求解； 【详解】（1）解：， ， ∴①组多项式不是互为“对消多项式”，②组多项式是互为“对消多项式”，“对消值”是； （2）解：， ， ∵A与互为“对消多项式”， ， ， ∴它们的“对消值”为； （3）解：， ， ∵C与互为“对消多项式”且“对消值”为， ，， ， ， ， ∴代数式的最小值是28． 66．阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程等问题中都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本为运输量，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)，求的值 (2)求的最小值． (3)如图，线段，点是线段上任意一点，以为边向上作正方形，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （2）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （3）设，则，根据得到，再化简，配方求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， （2）解： ， ， 当时，有最小值； （3）解：设，则， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴当时，面积的最大值为． 题型18.新定义运算 67．如果规定表示多项式，表示多项式，则计算的结果是__________． 【答案】 【分析】根据题目中规定的运算方式列式计算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 68．对定义一种新运算：．如：．计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据新定义计算出，再根据新定义计算可得，据此计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 69．新定义  对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，立意较新颖，读懂规定运算的运算方法并列出算式是解题的关键． 根据定义利用完全平方公式及多项式乘以多项式计算求解即可． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 70．定义：对于两个正数，如果，那么记．例如：因为，所以． （1）填空： ①_____； ②_____． （2）观察下列等式： ，发现 一般地，对于任意正数，猜想（a，_____），并证明你的猜想． 【初步应用】 （3）如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）2，4；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）设，，则，根据新定义可知，即可得出答案； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴；； （2）解：猜想，证明如下： 设，， 则， 根据新定义可知， 即； （3）解：∵，，， ∴， ∵大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 解答题 71．计算 (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查实数运算和整式乘法的基础计算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）运用乘方的定义、负整数指数幂运算法则、零指数幂运算法则，分别计算每一项后求和即可； （2）先计算乘方，再按照单项式乘单项式的运算法则计算，系数相乘，同底数幂相加指数即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 72．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 73．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算积的乘方和单项式乘以单项式，再合并同类项即可； （2）根据单项式乘以多项式的运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 74．先化简，再求值：，其中． 【答案】；10 【分析】先根据单项式乘多项式运算法则，多项式乘多项式运算法则，合并同类项法则，进行化简，然后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 75．若的展开式中不含和项，求的值． 【答案】36 【分析】直接利用多项式乘以多项式进而得出和项的系数为零进而得出答案． 【详解】解： ， 由题意知：展开式中不含和项，则有，， 解得：，， ∴． 76．如图，某小区有一块长、宽的长方形空地，物业规划了一块长方形草坪（阴影部分），草坪的三面都留有宽度为的小路（空白部分）． (1)求该长方形草坪（阴影部分）的面积；（用含，的代数式表示） (2)若，，种植草坪的价格为每平方米30元，那么种植草坪需要多少元？ 【答案】(1)该长方形草坪的面积为； (2)种植草坪需要8190元． 【分析】（1）根据题意列出算式，进行计算即可； （2）将，代入求出解析（1）中的代数式，求出草坪的面积，然后求出种植草坪需要的价格即可． 【详解】（1）解： ． 答：该长方形草坪的面积为． （2）解：当，时， ． （元）． 答：种植草坪需要8190元． 77．【问题提出】 已知对任意实数x均成立，求的值． 解：当时，． 原式． 从这一题可以看出，在处理某些求代数式值的题目时，我们可以使用代入特殊值法将问题简化，从而解决问题． 请借助“特殊值法”，解决下列问题． 【问题解决】 (1)若对任意实数x均成立，求的值； (2)若对任意实数x均成立，求代数式的值； (3)求展开式合并同类项之后，奇数次数项系数之和； (4)将多项式展开后合并同类项，各项系数和为多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令，可得，化简即求解； （2）令，代入求得，令，代入求得，求出，令，求出，即可求解； （3）分别求出当时和当时，式子的值，结合（2）中的解题方法，即可求解； （4）求出时，式子的值，即可求解． 【详解】（1）当时，， 整理，得， 故． （2）当时，， 当时，， 整理，得， 故 ∴． 当时，， ∴． （3）当时，， 当时，， 奇数次数项系数之和为． （4）当时，， 即各项系数和为． 【点睛】通过观察所给的式子，将所求的式子进行恰当的赋值，从而求解是解题的关键． 78．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查幂的运算，整式乘法与乘法公式的化简计算，整体解题思路为： （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂除法，最后合并同类项； （2）依次化简乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值，再计算加减； （3）先将原式分组变形，再利用平方差公式、完全平方公式展开化简； （4）先交换因式顺序，利用平方差公式计算后，再用完全平方公式展开得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 79．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①__________ 图②__________； (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________（用字母a、b表示）； 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，则的值为___________； ②计算：； 【拓展】 (4)计算 【答案】(1)， (2) (3)12； (4) 【分析】（1）图①根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积差即可求解，图②根据阴影部分的面积等于一个大长方形的面积即可求解； （2）根据图①与图②的面积相等即可得； （3）①根据（2）的乘法公式即可求解；②利用两次（2）的乘法公式即可求解； （4）每一项运用（2）的乘法公式即可求解． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，即，图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为． （2）解：由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：． （3）解：①． ②． （4）解：原式 ． 80．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得等式__________； (2)根据图2所得的公式，若，，求的值； (3)如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在三角形和三角形区域内种花，在三角形和三角形的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】(1) (2)54 (3)种草区域的面积和为平方米 【分析】（1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）设米，米，由题意得，米，，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ； （2）解：因为，， 所以； （3）解：设米，米， 由题意得，米，， 即， 因为， 所以，解得， 所以种草区域的面积和为（平方米）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02整式乘法专项训练 题型01.单项式乘法运算 题型02.单项式的应用 题型03.单项式乘多项式的应用 题型04.多项式.乘法运算 题型05.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型06.多项式乘法的化简求值 题型07.多项式乘积不含某一项求参数 题型08.多项式乘法与图形面积 题型09.多项式乘法中的规律性问题 题型10.整式的混合运算 题型11.平方差公式与几何图形 题型12.完全平方公式与几何图形 题型13.乘法公式计算题 题型14.完全平方公式的变形求值 题型15.完全平方式中字母系数求解 题型16.利用乘法公式的非负性求值 题型17.乘法公式之配方法求最值 题型18.新定义运算 解答题10题 核心法则：整式乘法三阶梯（从简单到进阶，步步拆解） 第一阶：单项式 × 单项式（基础中的基础） 法则：系数相乘定符号，同底数幂按法则算，单独字母连指数照抄！ 步骤：① 系数相乘（同号正、异号负）→ ② 同底数幂相乘 → ③ 单独字母保留 示例：2a2b3ab3=(2×3)(a2a)(bb3)=6a3b4 提醒：结果还是单项式，别漏乘字母、算错系数！ 第二阶：单项式 × 多项式（分配律 ） 法则：用单项式乘多项式的每一项，再把积相加（m(a+b+c)=ma+mb+mc） 避坑点：① 多项式的项带符号，相乘时符号跟着走（例：−2a(3a−b)=−6a2+2ab）；② 别漏乘任何一项！ 第三阶：多项式 × 多项式（进阶难点，拒绝漏项） 法则：一个多项式的每一项，乘另一个多项式的每一项，再相加合并同类项（(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn） 技巧：未合并前，积的项数 = 两个多项式项数的乘积（比如二项式 × 三项式，先写 6 项再合并） 秒杀公式：一次项系数为 1 的二项式相乘：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab（十字相乘超省心） ✨ 黄金公式：两大乘法公式（中考高频，变形超重要） 整式乘法的 “天花板”，记准结构 + 灵活变形，计算速度翻倍！ 公式 1：平方差公式 → (a+b)(a−b)=a2−b2 核心特征：两个二项式相乘，一项相同，一项互为相反数，结果 = 相同项平方 - 相反项平方 百变变形：位置变、系数变、指数变都能用 例：(2a+3b)(2a−3b)=(2a)2−(3b)2=4a2−9b2） 逆用：a2−b2=(a+b)(a−b)（后续因式分解的关键！） 公式 2：完全平方公式 → 和平方 + 差平方 (a+b)2=a2+2ab+b2；(a−b)2=a2−2ab+b2 口诀：前平方，后平方，中间乘积的 2 倍放中央（和平方加 2ab，差平方减 2ab）必背变形（解题高频）： 1 a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab 2 (a+b)2−(a−b)2=4ab 3 (a−b)2=(a+b)2−4ab 公式易混辨析（别再搞反！）. 平方差：结果只有两项，没有中间项（a2−b2） 完全平方差：结果有三项，中间是−2ab（a2−2ab+b2） ⚠避坑指南：整式乘法高频错点（避开这些 = 多拿 20 分） 1.符号错误：负项相乘、负数底数的幂运算，先定符号再计算； 2.漏乘漏项：多项式相乘逐一项乘，别跳步，用项数检查； 3.法则混用：同底数幂相乘（指数加）≠幂的乘方（指数乘）； 4.忽略前提：零指数、负指数幂的底数不能为 0； 5.未化最简：计算结果一定要合并同类项，积的乘方别漏算数字因式。 解题大招：核心思想（拉分题必用） 1.整体代入：把代数式看成一个整体计算（例：已知a+b=3，求a2+2ab+b2，直接套完全平方得 9）； 2.数形结合：用正方形 / 长方形面积验证乘法公式（比如(a+b)2是边长为a+b的正方形面积，拆成a2+2ab+b2）； 3.配方法：凑完全平方式，利用非负性求最值（例：x2+4x+5=(x+2)2+1，最小值为 1）。 题型01.单项式乘法运算 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．计算：___________． 3．计算：的结果是________． 4．下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型02.单项式的应用 5．设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 6．若＝－10，则m－n等于（   ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 7．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 题型03.单项式乘多项式的应用 8．下列计算正确的是（     ）． A． B． C． D． 9．李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为，则该长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 10．要使中不含有的四次项，则______． 11．如图所示，梯形的面积为_________． 12．已知，则代数式_____． 13．若的展开式是一个三次二项式，则的值有可能是（   ） A． B． C．或 D．或 14．如图，长方形是由两个长为a，宽为b的长方形和），两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方形面积的4倍，则的值是（   ） A．2 B． C． D．3 15．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 题型04.多项式.乘法运算 16．若，则与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．绝对值相等 17．若，则_______． 18．小力计算一道整式乘法的题：，由于抄错了第一个多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为这道整式乘法的正确结果是___________． 19．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加上得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①第5项为；②：③若第2021项的值为0，则；④当时，第k项的值为，以上结论正确的个数为（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型05.(x+p)(x+q)型多项式乘法 20．计算：________． 21．已知，则的值为(　　)． A．， B．， C．， D．， 22．已知，为常数，且为恒等式，则________． 23．若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 题型06.多项式乘法的化简求值 24．已知，则____________． 25．若，则的值为______． 26．若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型07.多项式乘积不含某一项求参数 27．若的结果中不含x项，则a的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 28．若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 29．有如下的一列代数式：，，，，，⋯⋯；且每个代数式的各项系数均不为0，若将前个代数数相加记为，其中为正整数．那么下列说法正确的个数为（   ） ①若，则； ②若代数式含有因式，则； ③若，那么当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 题型08.多项式乘法与图形面积 30．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的长方形，那么需要A类卡片______张． 31．如图，把一块原长为，宽为的长方形草坪，加长了，加宽了，则扩大后的草坪面积为（    ） A． B． C． D． 32．如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片的张数为______． 题型09.多项式乘法中的规律性问题 33．如图，为杨辉三角的一部分，下数表给出了的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是__________． 34．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中a项的系数是_____________． 35．“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 题型10.整式的混合运算 36．如图，是型钢条截面，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 37．对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 38．若规定，则当时，的值为__________． 39．如果，那么代数式的值是_______． 40．已知整式，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则；②若是完全平方式，则常数k的值为5；③若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 题型11.平方差公式与几何图形 41．如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 42．如图，点，，在同一直线上，大正方形与小正方形的面积之差是24，则阴影部分的面积的大小是__________． 43．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 题型12.完全平方公式与几何图形 44．如左图所示，将长为，宽为的两个全等的长方形分成四个全等的直角三角形，将四个直角三角形按右图的方式拼合成一个大的正方形，请用，表示大正方形的面积______．    45．已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为16的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，空白部分的面积为65，则的值为（   ） A．12 B．9 C．7 D．5 46．如图，两个正方形的边长分别为a和b，若，，则阴影部分的面积是________． 题型13.乘法公式计算题 47．下列各式中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 48．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 49．已知，那么__________． 50．若两个正方形面积之和是29，边长之和是7，则它们的面积相差_____． 51．下面计算正确的是（     ） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 52．设，，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型14.完全平方公式的变形求值 53．若，，则的值为（   ） A． B． C．15 D．不存在 54．已知，，则的值是______． 55．设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型15.完全平方式中字母系数求解 56．已知是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．3或5 B．3或7 C． D．7或 57．已知是一个完全平方式，那么______________． 58．已知多项式是某个整式的平方的展开式，则a的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 题型16.利用乘法公式的非负性求值 59．在实数范围内求代数式的最小值_____． 60．已知，则代数式的值是_____． 61．若，则的值为________． 62．已知，则的值_______． 题型17.乘法公式之配方法求最值 63．利用可求某些整式的最值．例如，由可知，当时，多项式有最小值是2．对于多项式，当_______时，该多项式有最小值． 64．若a，b为有理数且满足，，则P的最小值为________． 65．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”、如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)判断下列各组多项式是否互为“对消多项式”，如果是求出它们的“对消值”． ①与；②与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求a和b为_____，它们的“对消值”为_____； (3)关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，，求代数式的最小值． 66．阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程等问题中都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本为运输量，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)，求的值 (2)求的最小值． (3)如图，线段，点是线段上任意一点，以为边向上作正方形，求面积的最大值． 题型18.新定义运算 67．如果规定表示多项式，表示多项式，则计算的结果是__________． 68．对定义一种新运算：．如：．计算：___________． 69．新定义  对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算______． 70．定义：对于两个正数，如果，那么记．例如：因为，所以． （1）填空： ①_____； ②_____． （2）观察下列等式： ，发现 一般地，对于任意正数，猜想（a，_____），并证明你的猜想． 【初步应用】 （3）如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，求图中阴影部分的面积． 解答题 71．计算 (1) (2) 72．计算． (1)； (2)． 73．计算： (1) (2) 74．先化简，再求值：，其中． 75．若的展开式中不含和项，求的值． 76．如图，某小区有一块长、宽的长方形空地，物业规划了一块长方形草坪（阴影部分），草坪的三面都留有宽度为的小路（空白部分）． (1)求该长方形草坪（阴影部分）的面积；（用含，的代数式表示） (2)若，，种植草坪的价格为每平方米30元，那么种植草坪需要多少元？ 77．【问题提出】 已知对任意实数x均成立，求的值． 解：当时，． 原式． 从这一题可以看出，在处理某些求代数式值的题目时，我们可以使用代入特殊值法将问题简化，从而解决问题． 请借助“特殊值法”，解决下列问题． 【问题解决】 (1)若对任意实数x均成立，求的值； (2)若对任意实数x均成立，求代数式的值； (3)求展开式合并同类项之后，奇数次数项系数之和； (4)将多项式展开后合并同类项，各项系数和为多少？ 78．计算： (1) (2) (3) (4) 79．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图①__________ 图②__________； (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________（用字母a、b表示）； 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，则的值为___________； ②计算：； 【拓展】 (4)计算 80．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得等式__________； (2)根据图2所得的公式，若，，求的值； (3)如图3，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在三角形和三角形区域内种花，在三角形和三角形的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $