全概率公式与贝叶斯公式3种高频考点专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

统计与概率：全概率公式与贝叶斯公式3种高频考点专项训练 统计与概率：全概率公式与贝叶斯公式3种高频考点专项训练 考点目录 利用全概率公式求概率 利用贝叶斯公式求概率 全概率公式与数列综合问题 考点一 利用全概率公式求概率 例1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用频率估计概率，再由全概率公式计算可得. 【详解】记“现场挂号”，“患者对医院的服务满意”，则. 因为通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意， 所以用频率估计概率，得. 又由全概率公式得 . 所以随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为. 例2．（25-26高三下·江西·月考）若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，结合全概率公式得，再解不等式即可得答案. 【详解】设从甲盒中取出白球、红球、黑球的事件分别为， 从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件， 则，，， 所以，根据全概率公式得： ， 所以，整理得：，解得， 所以满足题意的的最小值为. 例3．（2026·吉林长春·二模·多选）景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B．该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 【答案】BCD 【分析】设相应事件，利用全概率公式求，即可判断B，结合条件概率公式判断ACD. 【详解】设该游客第一次选择套餐为事件，第二次选择套餐为事件， 则，，且，， 可得，. 对于选项A：该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐为事件， 其概率为，故A错误； 对于选项B：因为， 即，所以该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小，故B正确； 对于选项C：因为， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故D正确. 例4．（2026·河北保定·一模·多选）某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（    ） A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C．甲设备检测该芯片为良品的概率为 D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 【答案】ACD 【分析】设事件表示“甲设备检测为良品”，事件表示“乙设备检测为良品”，事件表示“芯片为良品”，事件表示“芯片为次品”，选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下，为代入数值得解；选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是，代入数值得解；选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率为，代入数值得解；选项D，甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为，代入数值得解. 【详解】设事件表示“甲设备检测为良品”，事件表示“乙设备检测为良品”， 事件表示“芯片为良品”，事件表示“芯片为次品”， 则，，， ，，， 选项A，若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率如下， 为 ，故A正确； 选项B，若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率如下， 是，故B错误； 选项C，由题意得甲设备检测该芯片为良品的概率如下， 为， ，故C正确； 选项D，而甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率如下， 为，故D正确. 例5．（2026·黑龙江吉林·一模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 【答案】 【分析】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（），利用全概率公式列式求解；当时，由全概率公式得，再通过构造等比数列求. 【详解】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（）， 则，， 所以； 当时， ， 所以，又， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 即从第2个盒子中取到白球的概率是，从第个盒子中取到白球的概率是. 例6．（2026·甘肃·二模）某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________. 【答案】 【分析】根据全概率公式计算即可求解. 【详解】由题意可知顾客在区进行付款的概率分别为， 设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件， 由题意可知 ， 则 ，解得. 例7．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 【答案】(1) (2)该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大 【分析】（1）记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件，结合全概率公式，即可求解； （2）当该运动员第一次选择2分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值；当该运动员第一次选择3分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件， 则 所以. （2）解：当该运动员第一次选择2分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 4 0.1 0.16 0.1 0.64 所以 当该运动员第一次选择3分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 6 0.1 0.4 0.25 0.25 所以， 因为，即， 所以该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大. 例8．（25-26高三上·江苏南京·月考）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； (2)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，结合古典概型的概率公式和对立事件的概率公式，可求解；②由缩小样本空间求条件概率的方法可求得所求概率； （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件，根据条件概率公式及全概率公式，可得所求概率. 【详解】（1）①设“所取到的2个球中至少有一个红球”为事件，则表示取到的2个球全是白球， 由题可知，， 所以，即取出的2个球中至少有一个红球的概率为； ②第1次取到白球，则在第1次取球后，甲袋中有2个红球，2个白球， 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为. （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，则. 设“从乙袋中随机取2个球，取到的2个球中恰有1个红球”为事件， 则，. 所以. 变式1．（25-26高三下·陕西西安·月考）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件的概率关系求出，由条件概率公式求得，根据全概率公式求得，再由条件概率公式求得. 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 变式2．（25-26高二下·上海松江·月考）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 由全概率公式得： ， . 变式3．（25-26高二下·重庆·月考·多选）设 分别为随机事件 的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有 （     ） A． B．若 ，则 C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，举反例即可判断；利用条件概率公式及概率的性质可判断BC，利用全概率公式可判断D. 【详解】对于A，设为“掷骰子点数为偶数”，为“掷骰子点数为奇数”，为“掷骰子点数大于2”， 则，，此时，故A错误； 对于B，，所以， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 变式4．（2026·湖北孝感·二模·多选）春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B．小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小 C．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 【答案】BCD 【分析】根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD. 【详解】记小张第次去洗车店为，第次去洗车店为， 则，，，，，. 选项A：，故A错误. 选项B：， ， 所以小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小，故B正确. 选项C：，故C正确. 选项D：，故D正确. 变式5．（25-26高三下·山东·月考）一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，则___________． 【答案】 【分析】根据题意两次利用全概率公式依次求出、. 【详解】由题意知，， 所以， 因为，， 所以. 故答案为： 变式6．（25-26高三下·上海黄浦·月考）盒中有3个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同，从盒中随机取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，记事件A为“第1次取到白球”，事件为“第2次取到白球”，则____ 【答案】 【分析】根据题意可得，，，，由全概率公式可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：，，则，， 由全概率公式可得， 所以. 变式7．（25-26高二下·江苏盐城·月考）一个盒子中有个白球、个黑球，从中不放回地每次任取个，连取次． (1)求第一次取得白球的概率； (2)求第二次取得白球的概率； (3)已知第二次取得白球，求第一次取得白球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可； （2）利用全概率公式求解即可； （3）利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）记事件第一次取得白球，则. （2）记事件第二次取得白球，第次取得黑球， 则，，， 由全概率公式可得. （3）由条件概率公式可得. 变式8．（25-26高三下·河北衡水·月考）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. (1)求的分布列和数学期望； (2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； 【答案】(1)分布列为： 2 3 4 (2) 【分析】（1）由题设随机变量服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列或超几何分布的期望求法求期望； （2）应用全概率公式求概率即可； 【详解】（1）由题意知随机变量服从超几何分布，其中，，， 且的所有可能取值为2，3，4，，，， 故的分布列为： 2 3 4 法一：所以的数学期望. 法二：根据超几何分布的期望公式知. （2）记“下达的动作指令表述清晰”为事件， 记“下达的动作指令表述模糊”为事件， 记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. 因为， 所以. 考点二 利用贝叶斯公式求概率 例1．（24-25高二上·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助全概率公式及贝叶斯公式计算即可得. 【详解】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为， 从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B， 由题意：①，； ②，； ③，. 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球， 则从甲袋中取出的是2个红球的概率为： . 故选：A. 例2．（2025·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病，利用全概率公式求出的值，然后利用贝叶斯公式可求出的值，即为所求. 【详解】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病， 由题意可知，，，，， 所以，， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为， 故选：A. 例3．（25-26高二下·福建龙岩·月考）某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用全概率、贝叶斯公式求乘地铁回家的概率即可. 【详解】若表示乘地铁，表示乘汽车，则， 若表示5:45到5:49到家，则， 所以， 所以. 故选：C 例4．（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 【答案】 【分析】由求出，再由求出,最后利用即可求解. 【详解】设为第天选A套餐，为第天选B套餐， 则， ； 从而， ， . 例5．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）某单位举行了一次有奖竞猜活动，活动内容为主持人准备了4个形状、大小相同的小球，在其中一个里面放入获奖信息（主持人知道哪个小球里面有奖），由参与者首先进行抽取（不打开），之后主持人会从剩余的3个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球.已知一名参与者选择了1号小球，则在主持人打开2号小球的情况下，获奖信息在4号小球的概率为__________. 【答案】 【分析】利用全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式计算得解. 【详解】用表示号小球内有获奖信息，用表示主持人打开号小球， 依题意，， 又， 则， 所以所求概率为. 例6．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1，2，3号箱中分别占，，.从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1，2，3号箱子被选中的概率为，，，问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为______. 【答案】 【分析】由题意，根据古典概型的概率公式以及条件概率计算公式，结合全概率公式和贝叶斯公式即可计算得解. 【详解】设事件为“取出的小球来自号箱”，事件为“取出的球为红球”， 则构成了总的样本空间，且，，两两互斥， 由题意有，，， ，，， 则由全概率公式得， 则在取出的球为红球的条件下， 该球取自3号箱的概率为. 故答案为： 变式1．（25-26高三下·浙江温州·开学考试）小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第天早上八点以的概率向存钱罐中存入100元，．若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案. 【详解】余额恰好成等差数列，即， 其中第天存入元的是， 故所求概率为. 故选：A 变式2．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用互斥事件的概率加法公式、积事件的乘法公式进行计算求解. 【详解】设“王同学第i天去A餐厅就餐”，“王同学第i天去B餐厅就餐”，， 依题意，，，，则， 由有：， 因为，所以 ， 所以. 故选：B. 变式3．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式及贝叶斯公式计算可得. 【详解】设从甲中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为， 从乙中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 所以 所以， 即已知从乙袋中取出的是个红球，则从甲袋中取出的也是个红球的概率为. 故选：C. 变式4．（25-26高三下·河南濮阳·开学考试）甲盒中装有6个红球和2个黑球，乙盒中装有3个红球和5个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从甲､乙两个盒子中随机选1个盒子，再从该盒子中随机取出1个球，若摸出的球是黑球，则选中的盒子为甲盒的概率是__________． 【答案】 【分析】设出事件，运用全概率公式和条件概率公式求解即可. 【详解】记“选到甲盒子”为事件，“选到乙盒子”为事件，“摸到黑球”为事件B. 由全概率公式得， 由条件概率公式得， 故答案为：. 变式5．（25-26高三下·江苏无锡·开学考试）某小学举办家长开放日，欢迎家长参加活动，小明母亲参加活动的概率为，若母亲参加，则父亲参加的概率为；若母亲不参加，则父亲参加的概率为，请问小明父亲参加活动的概率为______；在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为______. 【答案】 【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件为小明母亲参加活动，设事件为小明父亲参加活动， 由题意可得, 所以， 因为， 所以在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为. 故答案为：； 变式6．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为________（用分数表示或者保留三位小数）. 【答案】0.024 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故答案为：0.024 考点三 全概率公式与数列综合问题 例1．（2026·四川眉山·二模）为培养学生的晨读习惯，某高校推行“每日晨读打卡”学分制度，学生每日需完成线上打卡，打卡结果分为有效打卡和无效打卡，打卡结果如下： ①学生首日进行晨读打卡时，有效打卡的概率为，无效打卡的概率为； ②若前一日为有效打卡，则次日有效打卡的概率为，无效打卡的概率为； ③若前一日为无效打卡，则次日有效打卡的概率为，无效打卡的概率为． 记事件：第天该学生晨读打卡为有效打卡，表示事件发生的概率． (1)求的值，并推导与的关系式． (2)记该学生前天晨读打卡中有效打卡的总次数为，为的数学期望． （i）当时，求的分布列与； （ii）对任意，证明：数列是常数数列，并说明其实际意义． 【答案】(1)； (2)（i） 0 1 2 ； （ii）证明见解析；长期来看，该学生每日晨读有效打卡的概率恒为，前天有效打卡的期望总次数恒为，说明打卡的概率分布达到稳定状态. 【分析】（1）利用全概率公式，将拆分为计算，同样用全概率公式，将表示为，再代入已知概率化简； （2）(i)先确定的所有可能取值，分别计算每种组合的概率得到分布列，再利用期望公式计算； （2）(ii)根据期望的线性性质得到，将的表达式代入该数列的通项，结合（1）中与的关系式，推导相邻两项的差为0. 【详解】（1）根据全概率公式，第2天有效打卡分两种情况：第1天有效次日有效、第1天无效次日有效， 因此：； 由全概率公式，， 代入条件概率得：， 化简得：（）； （2）(i)的分布列与期望 的所有可能取值为，计算概率得： ； ； ； 的分布列为： 0 1 2 期望：， (ii) 由期望的可加性，（为指示变量，第天有效取1，否则取0），因此， 对递推式变形得：， 又，因此对任意恒成立， 代入期望关系式得：， 移项得：， 即数列任意相邻两项相等，故该数列是常数数列（常数为0）； 实际意义：长期来看，该学生每日晨读有效打卡的概率恒为，前天有效打卡的期望总次数恒为，说明打卡的概率分布达到稳定状态. 例2．（25-26高二下·福建三明·月考）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）利用贝叶斯公式计算求解即可. （3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【详解】（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得. （2）由贝叶斯公式，得所求概率为. （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 【答案】(1)①；② (2) 0 1 【分析】（1）①结合概率矩阵的定义求解即可； ②根据条件概率公式及贝叶斯公式求解即可. （2）根据条件概率公式及全概率公式得到递推关系，进而求出，从而得到分布列. 【详解】（1）①由题意，车道转移概率： 当前在车道0时，留在0的概率为，变道到1的概率为； 当前在车道1时，变道到0的概率为，留在1的概率为； 因此一步转移的概率矩阵为. ②设事件：时刻车辆在车道0，：时刻车辆在车道1，：时刻车辆在车道1， 已知，，，， 由贝叶斯公式. （2）设，由全概率公式得递推关系， 则，首项， 因此通项为：. 所以. 故的分布列为 0 1 变式1．（25-26高三上·辽宁葫芦岛·月考）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 如图，一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为， (1)求； (2)求的通项公式，求 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）利用全概率公式列出递推关系，再利用数列构造法及累加法求出通项公式即可. 【详解】（1）依题意，质点运动到的概率，则. （2）运动到分两种情况，由点向右运动1个单位，由点向右运动2个单位， 则，即， 而，因此是首项为，公比为的等比数列， 则， 所以 ， . 变式2．（2026·山东德州·模拟预测）甲乙两人玩游戏，甲有标号为的张卡片，乙有标号为的张卡片．规则如下：甲乙交替从对方手中抽取一张卡片，甲先抽；若抽到的卡片数字与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃，否则，将抽到卡片放入自己手中；当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束． (1)已知，记为游戏结束时，甲乙双方抽取的次数和．对于正整数，求，并根据==，求． (2)记甲有张卡片，乙有张卡片时，甲获胜的概率为． （ⅰ）求； （ⅱ）求． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）由题意可得，进而计算可解； （2）（ⅰ）由计算可解；（ⅱ）由可得，根据题意可得，分为奇数与为偶数结合等差数列通项公式求法计算可解. 【详解】（1）由题意可知， 所以， 令， 则， 所以，即， 所以， 所以==， （2）（ⅰ）由题意可知当时，甲有，乙有； 甲第一次抽中的概率 (甲胜)；抽中的概率， 此时甲有，乙有，后续甲获胜概率为， 所以，所以； （ⅱ）同理当时，，所以， 当时，①若甲先抽，则甲、乙手中卡片的状态互换， 接下来乙抽，乙胜的概率为，所以甲胜概率为， ②若甲先抽中一张之后，甲有张卡片， 乙有张卡片（含有和甲手中卡片相同数字的所有卡片）， 后续乙抽后，状态必然变为甲有张卡片， 乙有张卡片（包含与甲手中卡片数字相同的所有卡片），则后续甲胜概率为， 所以， 所以，所以， 所以数列的奇数项与偶数项都是公差为1的等差数列， 又因为， 所以当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，所以， 综上：. 变式3．（2026·陕西西安·模拟预测）袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作，的数学期望记为． (1)求随机变量，的分布列； (2)设． （i）用含的式子表示； （ii）证明是等比数列，并求． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析， 【分析】（1）按照分布列的步骤进行求解即可； （2）（i）利用条件概率及全概率公式即可求解； （ii）利用（i）中的结论及可得到递推公式，再利用构造法即可得证，进而求出. 【详解】（1）根据题意的可能取值为， 即一次摸球摸到白球，， 即一次摸球摸到黑球，， 所以的分布列为 4 5 根据题意的可能取值为，   即二次摸球均摸到白球，， 即二次摸球恰好摸到一白一黑球，， 即二次摸球均摸到黑球，， 所以的分布列为 4 5 6 （2）（i）设第次摸球摸到黑球为事件， 则，     ，     ，     所以．     （ii）由（i）及得， ，   所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，     所以，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：全概率公式与贝叶斯公式3种高频考点专项训练 统计与概率：全概率公式与贝叶斯公式3种高频考点专项训练 考点目录 利用全概率公式求概率 利用贝叶斯公式求概率 全概率公式与数列综合问题 考点一 利用全概率公式求概率 例1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三下·江西·月考）若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 例3．（2026·吉林长春·二模·多选）景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B．该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 例4．（2026·河北保定·一模·多选）某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（    ） A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74 B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9 C．甲设备检测该芯片为良品的概率为 D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为 例5．（2026·黑龙江吉林·一模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 例6．（2026·甘肃·二模）某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________. 例7．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 例8．（25-26高三上·江苏南京·月考）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回， ①求取出的2个球中至少有一个红球的概率； ②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率； (2)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 变式1．（25-26高三下·陕西西安·月考）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·上海松江·月考）某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·重庆·月考·多选）设 分别为随机事件 的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有 （     ） A． B．若 ，则 C． D． 变式4．（2026·湖北孝感·二模·多选）春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B．小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小 C．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D．若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 变式5．（25-26高三下·山东·月考）一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，则___________． 变式6．（25-26高三下·上海黄浦·月考）盒中有3个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同，从盒中随机取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，记事件A为“第1次取到白球”，事件为“第2次取到白球”，则____ 变式7．（25-26高二下·江苏盐城·月考）一个盒子中有个白球、个黑球，从中不放回地每次任取个，连取次． (1)求第一次取得白球的概率； (2)求第二次取得白球的概率； (3)已知第二次取得白球，求第一次取得白球的概率． 变式8．（25-26高三下·河北衡水·月考）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. (1)求的分布列和数学期望； (2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； 考点二 利用贝叶斯公式求概率 例1．（24-25高二上·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·福建龙岩·月考）某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 例5．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）某单位举行了一次有奖竞猜活动，活动内容为主持人准备了4个形状、大小相同的小球，在其中一个里面放入获奖信息（主持人知道哪个小球里面有奖），由参与者首先进行抽取（不打开），之后主持人会从剩余的3个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球.已知一名参与者选择了1号小球，则在主持人打开2号小球的情况下，获奖信息在4号小球的概率为__________. 例6．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在1，2，3号箱中分别占，，.从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个球，若1，2，3号箱子被选中的概率为，，，问在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为______. 变式1．（25-26高三下·浙江温州·开学考试）小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第天早上八点以的概率向存钱罐中存入100元，．若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）某学校有两家餐厅，王同学第1天选择餐厅就餐的概率是，若第1天选择餐厅，则第2天选择餐厅的概率为；若第1天选择餐厅就餐，则第2天选择餐厅的概率为；已知王同学第2天是去餐厅就餐，则第1天去餐厅就餐的概率为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三下·河南濮阳·开学考试）甲盒中装有6个红球和2个黑球，乙盒中装有3个红球和5个黑球，这些球除颜色外完全相同．先从甲､乙两个盒子中随机选1个盒子，再从该盒子中随机取出1个球，若摸出的球是黑球，则选中的盒子为甲盒的概率是__________． 变式5．（25-26高三下·江苏无锡·开学考试）某小学举办家长开放日，欢迎家长参加活动，小明母亲参加活动的概率为，若母亲参加，则父亲参加的概率为；若母亲不参加，则父亲参加的概率为，请问小明父亲参加活动的概率为______；在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为______. 变式6．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为________（用分数表示或者保留三位小数）. 考点三 全概率公式与数列综合问题 例1．（2026·四川眉山·二模）为培养学生的晨读习惯，某高校推行“每日晨读打卡”学分制度，学生每日需完成线上打卡，打卡结果分为有效打卡和无效打卡，打卡结果如下： ①学生首日进行晨读打卡时，有效打卡的概率为，无效打卡的概率为； ②若前一日为有效打卡，则次日有效打卡的概率为，无效打卡的概率为； ③若前一日为无效打卡，则次日有效打卡的概率为，无效打卡的概率为． 记事件：第天该学生晨读打卡为有效打卡，表示事件发生的概率． (1)求的值，并推导与的关系式． (2)记该学生前天晨读打卡中有效打卡的总次数为，为的数学期望． （i）当时，求的分布列与； （ii）对任意，证明：数列是常数数列，并说明其实际意义． 例2．（25-26高二下·福建三明·月考）某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 变式1．（25-26高三上·辽宁葫芦岛·月考）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 如图，一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为， (1)求； (2)求的通项公式，求 变式2．（2026·山东德州·模拟预测）甲乙两人玩游戏，甲有标号为的张卡片，乙有标号为的张卡片．规则如下：甲乙交替从对方手中抽取一张卡片，甲先抽；若抽到的卡片数字与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃，否则，将抽到卡片放入自己手中；当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束． (1)已知，记为游戏结束时，甲乙双方抽取的次数和．对于正整数，求，并根据==，求． (2)记甲有张卡片，乙有张卡片时，甲获胜的概率为． （ⅰ）求； （ⅱ）求． 变式3．（2026·陕西西安·模拟预测）袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作，的数学期望记为． (1)求随机变量，的分布列； (2)设． （i）用含的式子表示； （ii）证明是等比数列，并求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $