数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

数列：奇偶数列间题、数列恒成立求参数问题专项训练 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 考点目录 奇偶数列问题 数列恒成立求参数问题 考点一 奇偶数列问题 例1.(25-26高三上·浙江宁波·月考)己知各项均不相等的正项等差数列an}的前n项和为Sn,S,=6,且 log2 a log2 a -210g2 a3 =0. (I)求{an}的通项公式： 1,(n为奇数 (2)设数列bn={aa+2 求数列b,}的前2n项和Tn. an+1,(n为偶数 【答案】()an=n a +n2+2n 【详解】(1)因为log2a1+log2a,-2log2a3=0,即l0g2a,a,=l0g2a, 设等差数列{an}的首项和公差分别为a,d, S3=6 3a,+3d=6 由己知条件可得 a-a=a“aa+8d=a+2d2 a1=1 解得 d=1'a,=n; (2)bn= a.a2nn+2:n为奇数) an+1=n+l,(n为偶数) 3+3+ 1 +5+…+ 3×5 (2n-1(2n+0+2n+1 (11 1 x3*3x5++2n-2n+0 +(3+5+…+2n+1) X 2n-12n+1 2 n +n2+2n 2+1 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 例2.(25-26高二上·重庆月考)己知数列(an}满足：对任意的n∈N,a+1=2an+1,a1=1,正项递增等差数列 {bn}中，b为b与b的等比中项，b=1 (1)求an、bn; (2)若对数列an}、{b,},在a与a1之间插入b个lk∈N),组成一个新数列cn}，令{cn}的前n项和为Sn,求使 得Sn≥535成立的的最小值； (3)令dn= -(an1+1)b,n为奇数 2n (a,+1b,n为偶数，求∑d k=1 【答案】(1)a=2"-1，,bn=n (2)41 624,- (12n-7)4+1+28 k=1 【详解】(1)对任意的neN,an1=2an+1,所以anH+1=2(an+l,又a,+1=2, 所以{a。+1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an+1=2·2-1=2",即an=2”-1, 设等差数列{bn}的公差为d, 因为b为b与b,的等比中项，b=1,由b好=b,b,可得1+2d)2=1+8d, 整理可得d2-d=0,解得d=0或d=1, 又因为等差数列{bn}递增，故d=1, 所以bn=b,+n-1d=1+n-1=n. (2)将新数列进行分组：a与k个1分为1组， 则前组中包含a,中的前项，以及1+2+3+…+k=k+个1， 2 假设一共有m项，则Sm=(2-1+(22-1+…+2*-1+1+2+3+…+k _21-21+2++k-1=2n-2+-. 1-2 2 令T=21-2+ k(k-1 2 2 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 21+k>0,故{T}单调递增， 当k=7时，T,=28-2+21=275,当k=8时，I=2°-2+28=538， 此时m=8+1+2+3++8=8+8×9=44,即54=538， 2 故使得Sn≥535的最小的值为44-3=41. (3)由题意可得dn= 「-n2.2,n为奇数 n22”,n为偶数’ 对任意的k∈N,d2-1+d24=-(2k-1)2.22+(2k)2.22=(4k-1)4, 所以4-2[4-小4]=34+74+14+n-4… 令0，=3×4+7×42+11×43+…+(4n-14"①， 则42n=3×42+7×43+11×44+…+(4n-5)4"+(4n-14m②， ①-②：-30n=3×4+442+43+…+4）-(4n-14+, 所以-30=12+4 164）-4n-l4-28-2n-7）4. 1-4 所以Qn= (12n-7）4m1+28 9 例3.(25-26高二上·新疆和田期末)己知数列an}满足41=1，an+1= an+1,n为奇数 (20,n为偶数，b,=an (1)求证：{b.+1为等比数列： (2)求数列{b}的通项公式： (3)若数列{an}的前项和为Sn,求S25· 【答案】(1)证明见详解； (2)bn=32"-1-1: (3)=9.2102-3044. 【详解】(1)当n≥2时，因为2n-1为奇数，2(n-1)为偶数， 所以bn=a2m=a2+1=2a21m-+1=2bn+1,所以bn+1=2(bn-1+1, 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 又a2=a1+1=2,b+1=a2+1=3, 所以{b,+1是以3为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)可得b,+1=32-,所以b,=321-1. (3)由(2)可得an=b,=32-1-1,又a21=2a.=6.2--2, 所以a2m+a2m+1=32--1+62"-1-2=92"-1-3, 所以S2025=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a)+旺+(a2024+a225)】 =1+(92°-3+(92-3+(922-3+旺(921-3 =92°+2+22+旺201）-1012×3+1 =9x1210g -3035 1-2 =9.21012-3044 例4.(25-26高二上广东期末)在各项均为正数的数列{a}中，a=1,且{a,}满足a1-a=2a,+2a1,数列 {bn}的前项和为Sn,Sn=2b。-1 (I)求{an}和{b}的通项公式： (②)若cn=anbn,求数列cn}的前项和Tn; (3)设dn= an,n为奇数， 份为倒数数列d的前喷和为Q,且0。-2+n+兰≥6，恒成立，求x的最大筐 【答案】(1)an=2n-1,b,=2- (2)Tn=(2n-32"+3 号 【详解】(1)由a1-a2=2an+2a1,得(a41-a,)a1+a,=2a1+a,), 因为a+1+an>0,所以a1-a,=2,所以{an}是首项为1，公差为2的等差数列， 所以an=2n-1. 由Sn=2bn-1,得当n=1时，b=2b-1,解得b=1, 当n22时，bn=Sn-Sn1=2b,-1-(2bn-1-1),所以b,=2b-1n22), 4 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 所以{b}是首项为1，公比为2的等比数列，即b,=2- (2)因为cn=a,bn=(2n-2, 所以Tn=1×2°+3×2+…+(2n-3)·2"-2+2n-12"-, 所以2T,=1×2+3×22+…+2n-3)2"-+2n-1·2”, +22+2++2E2n-2=+2232n =(3-2n)2”-3,所以Tn=2n-3)2”+3 ，2(4-1, （3)由等差数列的求和公式及等比数列的求和公式可得Q.=n+”-4+24--2n-n+子 2 4-1 3 所以0.-2m+n+之6，等价于2到4-+34之元-2， 3 3 3 化简可得元≤2+32 3.2-’ 令2=1≥1，则2m+32_8x+32-8+32-8+4）≥32 3.2"-4Γ 31=3+31+ , 当且仅当t=2,即n=2时，等号成立， 所以元s32」 32 即2的最大值 变式1.(2026江西上饶一模)已知递增的等差数列an}满足4+4，+4=9,4·424=15，数列{b,}的各项均为 正数，6=2，且2b-b1b,+2b,-bH=0. (1)求数列{an},{b,}的通项公式； bn为奇数口 (2)设cn= 1 n为偶数' 求数列{cn}的前2n项和T2m an-anl 【答案】(1)an=2n-1,bn=2" (2)T2n 2(4-+n 34n+1 【详解】(1)设等差数列公差为d,则d>0,由a,+a2+a=9得a2=3, 由aa,a=15得a,2-d=5,所以d=2,所以a,=a,-d=1, 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 所以数列{an}的通项公式为a,=2n-1; 又(bn+1(2bn-bn1=0, 由数列{bn}的各项均为正数得2bn-bn+1=0,即b1=2b., 又b=2,所以数列{b}为首项为2且公比为2的等比数列， 所以b,=2×2-1=2" (2)当n为奇数时，记An=C+C3+C+…+Cm-1,则有 A,=2+23+25++22m1= 2(4”-1 3 1 1 当n为偶数时，Cn= 111 an-1a1(2n-3)(2n+142n-32n+1 所以，记B,=C2+c4+C6+…+C2m,则有 5599134n-34n+1 所以Tn= 24”-1，n 3 4n+1 变式2.(25-26高二上重庆沙坪坝期末)己知正项数列an}的前n项和为S,2S。=an2+a。-6,数列bn}满足 b=2,bn1=3bn+4 (1)求数列{an}和bn}的通项公式： [ n为奇数1 (2)设Cn= 证明：数列c,的前2m项和.<6 la-ai’ n为偶数1 【答案】(1)an=n+2,b.=43-2 (2)证明见解析 【详解】(1)由2Sn=an2+an-6可得2Sn1=a+an1-6(n≥2)， 两式作差得2a,=a+an-a-1-a-1, 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 整理得an-a-1-1(a,+a-=0, 因为an>0,所以an+an1≠0，所以am-a1=1(n之2)， 令n=1可得2S,=a2+a,-6,解得a=3或-2（舍去）， 故数列{an}是以首项为3，公差为1的等差数列， 所以a。=3+(n-1)1=n+2 b+2=3, 由b1=30.+4可得6.+2 所以数列{b,+2是以首项为b,+2=4,公比为3的等比数列， 所以bn+2=43-，即b。=43”-1-2 n+2 (2)由(1)可知 11 an 所以Tn=G+C2+…+C2m+C2n=(G+C+…+C2m)+(C2+C4+…+C2n) 1 1 1- 0 9.1895 323628816 变式3.(25-26高三上天津期末)已知{an}为公比大于1的等比数列，且a+a4=20,a,=8. (1)求{an}的通项公式： (2)设数列b}满足b=3，b1= 「bn+1,n=2k-1 6+2,n=2kk∈N) (i)记cn=b2m,写出C,C2,C,并求出数列cn}的通项公式； (i)求数列{a,b}的前2n项和. 【答案】(1)a=2” @m3,6o,6=,-号m}2” 20 【详解】(1)设{an}的公比为q,由已知可知g>1, 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 且/49+ag=20 ,又等比数列中a,≠0， a92=8 可得24-59+2=0，解得9=2或9=}（舍） 所以4，=2， 所以an=a,g"--2" (2)(1)c=b,=3, c2=b3=b2+2=b,+1+2=6, 93=b=b+2=(b+1)+2=9, CnH=b2m+H=b2n+2=(b2m-1+1)+2=Cn+3, Cn+1-Cn=3, 所以{c}为首项G=3,公差d,=3的等差数列， cn=c+(n-1)d=3n. (i)由(1)可知bn=bm-1+1=cn+1=3n+1, 方法一：T2m=ab+a,b2+a,b3+a4b4+…+a2m-b2-1+a2nb2m, =(ab+ab+…+a2m-b2m-)+(ab2+a,b,+…+a2nb2n), A=ab+a3b3++a2nb2B=ab2+abs++a2bn, A=3×2+6×23+9×23+…+3n×22m-1, 4A=3×23+6×25+9×27++3n-1×22m-1+3n×22m1, -3A=3×2+3×23+3×2+…+3×22m--3n×22m1, -3A=3×2+23+23+…+22m-1）-3n×22m, 、2×1-4"） -3A=3× -3nx22m*1, 1-4 -3A=1-3n×22m1-2, B=4×22+7×2+10×2…+(3n+1)×22", b 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 4B=4×24+7×2+10×2…+(3n+1×22m+2, -3B=4x22+3×2+3x26…+3×22n-3n+刂×22+2， -3B=4×22+3×24+26…+22m）-(3n+1×22m+2, -3B=4×22+3 21-4-3n+1小×22， 1-4 -3B=4x22+22a*2-24-(3n+1川×22+2， -3B=-3n×22m+2, B=n×22m+2, =+8如引+ 3 方法二：T2n=ab+a,b2+a,b3+a4b4+…+a2w-b2-1+a2nb2m, Tn=3×2+4×22+6×23+7×24+…+3n×22m+(3n+1×22m, Tn=(3×2+8×2+6×23+14×2）+…+(3n×22m+2×(3n+1)×22m-）, Tn=An=11×2+20×23+29×2+9n-7）×22m-3+(9n+2×22m-, 4An=11×23+20×2+29×27+…+(9n-7）×22m-1+(9n+2×22m1, -3An=11×2+9×23+9×2+…+9×22m-1-(9n+2×22m1, =11×2+9 2×1-4--9n+2×2, 1-4 =22+3×22m-8-(9n+2×22m1, =-2+1-9m)x2a1, 2. 2 所以4，+6m- ×22m, 2（2 即7.-+6-x2 变式4.(2526高二上广东深圳期未)已知数列a,}为等比数列，日=2，且4,4，，成等差数列 4 (I)求{an}的通项公式； (2)若{an}为单调递增数列，且cn= ∫a,n为奇数 0g,a,n为偶数，求数列c,}的前2n项和1 9 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 【答案】(1)a,=2×(月，或a,=2 ②7.-2-2+n+ 3 【详解】1）a,a, 三a4成等差数列， 3 2a,=a+404 又{an}为等比数列，设公比为q, 3 2a192=a9+2a19, 4 2 解得9-5，或9=2， 2 当g=5时，a,=2x月；当g=2时，a,=2: 综上所述，a.=2×(宁)，或a,=2. (2)由题意，可知an=2”, 2”,n为奇数 ..Cn= n,n为偶数 ∴T2m=G1+C2+C3+C4+…+C2m-1+C2m=(G+C3+…+C2m-)+(C2+C4+…+C2n) =(2+23+…+22m-)+(2+4+…+2n), 21-4)n(2+2m） 1-4 22m1-2 +(n+1) 3 10数列：奇偶数列间题、数列恒成立求参数问题专项训练 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 考点目录 奇偶数列问题 数列恒成立求参数问题 考点一 奇偶数列问题 例1.(25-26高三上·浙江宁波月考)己知各项均不相等的正项等差数列{a,}的前n项和为S。,S,=6,且 log2 a +log2 a -210g2 a3 =0. (1)求{4，}的通项公式； 1,n为奇数 (2)设数列bn={anan+2 ，求数列{bn}的前2n项和Tm an+l,(n为偶数 例2.(25-26高二上重庆月考)已知数列{a}满足：对任意的n∈N,a1=2a,+1,a,=1,正项递增等差数列 {bn}中，b为b,与b的等比中项，b=1 (1)求an、bn; (2)若对数列{a}、{b},在a与a1之间插入b个1k∈N),组成一个新数列{cn},令{c}的前n项和为Sn,求使得 Sn≥535成立的n的最小值； -(a1+1)b,n为奇数 令d。a+刊，n为偶数，驼 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 例3.(25-26高二上新疆和田期末)已知数列{a,}满足a,=1,a1= an+1,n为奇数 2a,n为偶数，b。=a (I)求证：{b,+1为等比数列； (2)求数列{b}的通项公式； (3)若数列{a}的前n项和为S,求S202s 例4.(25-26高二上广东期末)在各项均为正数的数列{an}中，a,=1,且{an}满足a,-a=2an+2a1,数列 {bn}的前n项和为Sn,Sn=2b。-1. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和T; an,n为奇数， (3)设dn= bn,n为偶数， 数列d的前n项和为0，且Q.-2+a+≥6恒成立，求2的最大值 2 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 变式1.(2026江西上饶一模)己知递增的等差数列{a,}满足a+4十4=9，a·%·4=l5,数列{b.}的各项均为正 数，=2，且2b-b1bn+2b,-b1=0. (1)求数列{an},{bn}的通项公式： b,n为奇数口 (2)设Cn= 1 ，n为偶数' 求数列{cn}的前2n项和Tn an-1·an+ 变式2.(25-26高二上·重庆沙坪坝期末)已知正项数列{a}的前n项和为S.,2Sn=a,2+an-6,数列{b}满足 b,=2,bn+1=3bn+4 (1)求数列{a}和{b}的通项公式： n为奇数 (2)设Cn= ， 证明：数列c的前2m项和7.<6 an n为偶数 数列：奇偶数列间题、数列恒成立求参数问题专项训练 变式3.(25-26高三上天津期末)已知{an}为公比大于1的等比数列，且4，+a=20,4=8. (1)求{a,}的通项公式： bn+1,n=2k-1 (②)设数列{bn}满足b=3，b+1= +2n=2k (kEN) (1)记cn=b2m-1,写出G,C2,C3,并求出数列{cn}的通项公式； (ii)求数列{a,bn}的前2n项和. 3 变式4.(25-26高二上广东深圳期末)已知数列{a}为等比数列，a=2,且4,4，三a4成等差数列。 4 (I)求{an}的通项公式； an,n为奇数 (2)若{an}为单调递增数列，且cn= log,a,n为偶数'求数列ic,3的前2n项和7gn 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 考点二 数列恒成立求参数问题 例1.(25-26高三上天津滨海新区·月考)已知等差数列{a}和等比数列{b}满足：a=b=1，bn∈N, a2+ag=18,bb4=81. (1)求数列{a,}和(b}的通项公式： (2)求数列 n2 的前n项和S: anan) (3)已知cn= 数列{c,的前n项和T,若对任意正整数n,不等式1-工，<恒成立，求实数元的取值范围. 3b, 2 例2.(25-26高二上内蒙古期末)设{a}是等差数列，{b}是公比大于0的等比数列，其中 a1+1=b=2,a2+b2=7,b3-2a2=2. (I)求数列{a},{b}的通项公式： 2令c,=20+ ，记数列c,前n项和为r. (i)求T; 者对任意的neN,均有B+4加≥2a-列-]小恒成立，求实数m们眼能花同. 5 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 例3.(2526高三上辽宁抚顺期未)已知数列a的前a项和为S,且8=0-a. (1)求{an}的通项公式： (2)设bn=（-1·an,求数列{bn}的前n项和Tn: (3)若k∈N,T-1<元<Tk,求2的取值范围. 例4.(2526高二上·上海普陀期末)等差数列{an}的公差不为0，Sn是其前n项和.己知S,=-15,且a,4,a 依次成等比数列. (1)求数列{a}的通项公式； (2)若S。+9≥元(a,+9)对一切正整数n都成立，求实数入的取值范围. 6 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 变式1.(25-26高二上四川宜宾期末)已知函数f(x)=x+2,数列{a}满足：a=1,a1=f(a),数列{b}的 前n项和为Sn,且2bn=Sn+2. (①)求数列{an}、{b.}的通项公式： ②设数列，C,一会，前n项和为g若对一切正整数n了<m叫m∈Z恒成立，求加的最小值： t++< ③)设数列a,的前n项和为P,证明：户十户+…+p3· 变式2.(25-26高二上新疆克拉玛依期末)己知等比数列{a,}的公比g>1,且a,+a=40,a4=16. (1)求数列{a}的通项公式： 。1 2i记b,=1og,a.-10g2 一，求数列{b.}的前n项和Tn; (6)设C,=,S,是数列c的前n项和，对任意正整数n,不等式S.+>-1恒成立，求的取值范围. a 数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练 变式3.(25-26高二上·天津河西月考)已知{a}是首项为1的等差数列，其前n项和为S,S,=70,{b}为等比 数列，b2=a6,b2+b=80. (1)求数列{an}和(b,}的通项公式： (2)设数列{a·bn}的前n项和为Tn,求Tn; ⊙记6，=6，+6，若之品4 Ci-Can 对任意n∈N恒成立，求实数的取值范围. 变式4.(2025·河南模拟预测)记f(x)=sinx,g(x)=cosx,F(x)=f2"(x)+g2(x),n∈N°. (1)判断并证明F(x)的奇偶性： (2)将F(x)的最小值记为a, (i)求数列{a}, (i)若∑(2i+1a,<m恒成立，求m的最小整数值m,. 6