利用导数研究函数的图像与性质、利用导数研究恒成立问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

函数与导数：利用导数研究函数的图像与性质、利用导数研究恒成立问题专项训练 函数与导数：利用导数研究函数的图像与性质、利用导数研究恒成立问题专项训练 考点目录 利用导数研究函数的图像与性质 利用导数研究恒成立问题 考点一 利用导数研究函数的图像与性质 例1．（25-26高三下·重庆·月考·多选）已知，函数，则（    ） A．的图象关于y轴对称 B．恰有3个零点 C．恰有2个极值点 D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】根据奇偶函数的定义判断与的关系即可判断A；求出后，式子比较复杂，构造函数，通过导数研究的单调性，零点来研究的性质，从而可判断BCD. 【详解】因为函数是定义在上的函数， 所以定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A错误. 由得， 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又，， 由函数零点存在定理知在上只有一个零点，设为，在上只有一个零点，设为，作出的大致图象如图1： 所以当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减， 所以恰有2个极值点，故C正确. 又，且当时，, 作出的大致图象如图2： 所以恰有3个零点，故B正确. 因为，由图1知， 当时，，即，单调递增，故D正确. 例2．（25-26高三上·安徽·月考·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．， B．的图象是中心对称图形 C．若是的极大值点，则在区间上单调递减 D．若是的极值点，则 【答案】ABD 【分析】对于A利用零点存在定理即可判断，对于B即证即可判断，对于C由时，有两个不等实根，利用二次方程即可得的单调性，进而判断，对于D由即可判断. 【详解】对于A：当，，且函数是上的连续函数， 所以，，故A正确； 对于B：由 ， 所以关于中心对称，故B正确； 对于C：由，当时，有两个不等的实数根， 不妨设，当时，有或，当时，有， 所以在单调递减，在单调递增， 若是的极大值点，则，所以单调递减，在单调递增，故C错误； 对于D：若是的极值点，所以，故D正确. 故选：ABD. 例3．（25-26高二下·山东淄博·月考·多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数既存在极大值又存在极小值 B．函数存在3个不同的零点 C．函数的最小值是 D．若函数有两个不同的零点，则或 【答案】ACD 【分析】对于函数的极值，需要通过求导判断函数的单调性，进而确定极值点，对于函数的零点，可结合函数的单调性和特殊点的值来判断，对于函数的零点问题，可转化为函数与直线的交点问题. 【详解】因为，所以， 令， 令，令， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减. 所以是极小值点，是极大值点. 即既存在极大值又存在极小值，故A正确. 由选项A可知，， 可得， 当时，且， 同理，当时，， 所以函数在和上各有一个零点，共两个零点，所以B不正确. 由选项A和B，可知 且当时，，所以的最小值是，故C正确. 函数有两个不同的零点，即有两个不同的解. 即函数与的图像有两个不同的交点， 由选项A和B，可知，结合图像可以看出， 当时，函数与的图像有两个不同的交点， 当时，函数与的图像有两个不同的交点，故选项D正确. 例4．（25-26高二下·四川成都·月考·多选）设函数，则（    ） A．在上单调递减 B．时，的值域为 C．有三个零点 D．曲线关于点对称 【答案】AD 【详解】，求导得， 令，得，；当时，，单调递减， 因，故A正确； 在上单调递减，在上单调递增，，， ，故时，的值域为，B错误； ，，时，故仅有1个零点，C错误； 由中心对称定义，若曲线关于点对称， 则需满足， 计算， ， 两式相加得； 计算，故， 满足， D正确. 变式1．（2026·湖北十堰·二模·多选）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．3是的极大值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上存在最大值 【答案】AC 【详解】A，，显然是奇函数，正确； B，，易得在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，错误； C，，，故曲线在点处的切线方程为，即，正确； D， ，在处左增右减，故为极大值点，极大值，在上单调递增，且时，，所以在上不一定存在最大值，错误. 变式2．（25-26高二下·山东济南·月考·多选）已知函数，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【详解】已知函数，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时等号成立，所以函数在上为增函数； 由，得. 因为函数在上为增函数，由可得. 故不等式的解集为，ACD都对，B错. 变式3．（2026·云南玉溪·二模·多选）设函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A．可能为奇函数 B．既有极大值也有极小值 C．不等式的解集是 D．若恒成立，则 【答案】BCD 【分析】根据奇函数的性质，判断A，判断导函数的零点个数，判断B，根据零点，解不等式，判断C，根据函数和的对称性，结合函数的零点和不等式的关系，判断D. 【详解】对A，若为奇函数，则，且，则，， 这样的三个零点不关于原点对称，则不是奇函数，故A错误； 对B，，所以 . 由. ， 因为，所以， 所以有两个不相等的零点，不妨设为， ，得或；，得. 所以函数的增区间为和，减区间为， 所以是的极大值点，是的极小值点，故B正确； 对C，当时，，当时，，当时，， 当时，，所以的解集为，故C正确； 对D，与关于对称，若恒成立， 则的零点关于直线对称，所以，故D正确. 变式4．（25-26高二下·江苏苏州·月考·多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有两个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AD 【分析】A选项，求定义域，求导，得到函数单调性、极值情况；B选项，结合函数单调性，求出极值与0进行比较，数形结合，由零点存在定理即可判断函数的零点情况；C选项，计算，故可判断不是函数的对称中心；D选项，求得函数在处的切线方程刚好为，D正确. 【详解】对于A：因为， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以时极大值点，是极小值点，即有两个极值点，故A正确； 对于B：因为， 当时，， 由零点存在定理，在内有一个零点，且在时，， 所以只有一个零点，故B错误； 对于C：假设曲线关于点对称，则满足：， 而， 当时，，所以不是对称中心，故C错误； 对于D：由，得或; 当时，；当时，， 所以当切点为时，切线为，即； 当切点为时，切线为，即， 所以直线是曲线的切线，故D正确. 考点二 利用导数研究恒成立问题 例1．（2026·湖北黄冈·一模）已知函数，． (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，证明：在上存在2个不同的零点，且； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数单调性和函数导数之间的关系，求出函数导数，进而判断函数单调性，求出函数最值； （2）根据函数零点与函数导数之间的关系，进而求出函数单调性，根据函数单调性判断函数最值，判断函数零点，再构造函数，根据函数单调性列出不等式，证明结果即可； （3）根据不等式恒成立的条件，构造函数，根据函数导数求出函数单调性和最值，求出参数范围. 【详解】（1）由题意可知． 当时，，在上单调递减， ∴． （2）当时，，即，可得， 令，， 令，由定义域为，可得，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以． 又时，时， 所以在上2个不同的零点，即在上2个不同的零点， 设，令，， 则， ∴在上单调递减，∴， ∴，即，又，， 而在上单调递增，，故． （3）令在上恒成立． 记，．则， 所以原不等式等价于在上恒成立． 可知，令，． 当时，，即在上单调递增，即在上单调递增， ∴， 当即时，，在上单调递增，，不等式恒成立； 当即时，存在使得， 即存在使得在上单调递减，在上单调递增， 即在上，不等式不恒成立．所以； 当时，，，， 可知在上单调递增， ，．即在上有唯一解， 使得，即时，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 因为， ∴存在，使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减， 而，． ∴当时，，即在上单调递增， 而，∴，∴． 例2．（2026·云南玉溪·二模）． (1)若，讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)证明：． 【答案】(1)在R上单调递减. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，根据基本不等式判断导数的符号后可判断函数的单调性； （2）就、、分类讨论，结合局部保号性可求参数的取值范围； （3）根据（2）中的结论通过赋值法可证. 【详解】（1）当时，，故， 时等号成立， 故在R上单调递减. （2）由题设有 ， ， 因，由基本不等式有， 若，， 则（不恒为零），此时为上的减函数，故， 矛盾； 若，则，故， 此时为上的增函数，故， 若，设， 则，故存在，使得，总有， 故为上的减函数，故，有，矛盾； 综上，. （3）取，则在上恒成立， 再令，故， 故，故， 故. 取，则，故， 则由（2）可得， ， 当时，设， 则，故在为增函数，故， 即在上恒成立，故在上为减函数， 故在上恒成立， 故，故， 整理得. 综上，. 例3．（25-26高二下·四川成都·月考）已知函数，. (1)若函数在处取得极大值，求实数的值以及的极值； (2)已知，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，极大值，极小值 (2). 【分析】（1）由导函数为0，求出的值，再检验，最后根据函数单调性求极值即可. （2）构造，求导分析其单调性，将不等式恒成立问题转化为函数最小值大于零，求解即得. 【详解】（1）根据题意，，定义域为， 则. 因为函数在处取得极大值，所以， 解得或2. 当时，， 令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 此时为极小值点，不合要求； 当时，， 令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 此时为极大值点，为极小值点，符合要求. 综上，，，. （2）根据题意，，定义域为， 则. 因时，则， 由得，由得， 故在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，解得，解得， 故实数的取值范围是. 例4．（25-26高二下·四川成都·月考）已知函数，其中. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若函数在定义域上单调，求实数的取值范围； (3)若，，对任意的，恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1) 先对函数求导，结合导数的几何意义求出函数在处的切线方程，再求切线与坐标轴的交点，由此可求结论； (2)因为函数在定义域内单调，可得只能单调递减，不能单调递增，对求导，根据参数分离的方法整理导函数，可得，求的最小值即可. (3)因为对任意恒成立，所以；对求导，分析的单调性，求出的表达式，从而将转化为关于的函数，再通过求导分析该函数的单调性，进而求出最小值. 【详解】（1）当时，，函数定义域为 故，，又，所以切线方程为. （2）由题意得， 若在定义域上单调，经过分析，当趋近于0时，趋近于负无穷 所以只能单调递减，不能单调递增，所以只能恒成立 即恒成立， 令，，当时，当时 所以在单调递减，在单调递增，所以，所以，即 因此所求实数的取值范围为. （3）由（2）知， 所以在单调递减，又，， 令，则 ，，，，在上单调递减，且当时， ，，， 所以必存在正数，使得，即， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减；由上可知在单调递增，在单调递减，所以， 所以，即， 令， 因为 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，所以的最小值为，当且仅当，，时成立. 变式1．（25-26高二下·天津·月考）已知 (1)讨论函数的单调区间； (2)若有两个零点，，求a的取值范围； (3)证明：，恒成立. 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求导数，利用导数分和两种情况讨论，即可得的单调区间； （2）利用（1）中得到的在上的单调性，分析出当时，只有在上的最大值时，才能保证有两个零点，求解不等式即可得解； （3）将原不等式转化为在恒成立，只须利用导数证明在上单调递减，且即可得证. 【详解】（1）已知，其定义域为，对其求导可得. 当时，对于任意的，恒成立，所以， 所以在上单调递增； 当时，令，解得. 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）知，当时，在上单调递增， 此时最多只有1个零点，不可能有两个零点； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值. 若有两个零点，则，即. 因为函数在上单调递增，所以. 又因为当时，；当时，， 所以只有当最大值时，才能保证在，上各有1个零点， 共两个零点，因此a的取值范围为； （3）要证，恒成立， 即证，恒成立. 令，. 对求导得. 因为，所以，则， 所以在上单调递减，所以， 即，即， 即，恒成立. 变式2．（25-26高二下·广东珠海·月考）已知函数． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若对区间内任意两个不等的实数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出函数在处的切线方程； （2）先通过求导，研究函数的单调性，然后利用零点的存在性定理计算即可得； （3）不妨设，恒成立等价于，化简为，然后，令，然后判断的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，， ， 故的图象在处的切线方程为，即； （2）， 则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则由题意可得，解得， 即实数的取值范围为； （3）不妨设，恒成立等价于， 即， 令， 由，具有任意性知，在区间内单调递减， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，， 故在上单调递增，故， 故实数a的取值范围是. 变式3．（25-26高二下·湖北武汉·月考）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意正整数，都有. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由分析需满足条件，得到，再说明时不满足条件； （3）结合（2）得对恒成立，令（），则，再累加求和即可证明. 【详解】（1）当时，， 所以，，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， 所以，得； 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（2）知，当时，对任意恒成立， 所以对恒成立，当且仅当时等号成立， 令（），则，即， 所以，，，，，， 累加得： 所以，证毕. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：利用导数研究函数的图像与性质、利用导数研究恒成立问题专项训练 函数与导数：利用导数研究函数的图像与性质、利用导数研究恒成立问题专项训练 考点目录 利用导数研究函数的图像与性质 利用导数研究恒成立问题 考点一 利用导数研究函数的图像与性质 例1．（25-26高三下·重庆·月考·多选）已知，函数，则（    ） A．的图象关于y轴对称 B．恰有3个零点 C．恰有2个极值点 D．在上单调递增 例2．（25-26高三上·安徽·月考·多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．， B．的图象是中心对称图形 C．若是的极大值点，则在区间上单调递减 D．若是的极值点，则 例3．（25-26高二下·山东淄博·月考·多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数既存在极大值又存在极小值 B．函数存在3个不同的零点 C．函数的最小值是 D．若函数有两个不同的零点，则或 例4．（25-26高二下·四川成都·月考·多选）设函数，则（    ） A．在上单调递减 B．时，的值域为 C．有三个零点 D．曲线关于点对称 变式1．（2026·湖北十堰·二模·多选）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．3是的极大值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上存在最大值 变式2．（25-26高二下·山东济南·月考·多选）已知函数，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．不等式的解集为 变式3．（2026·云南玉溪·二模·多选）设函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A．可能为奇函数 B．既有极大值也有极小值 C．不等式的解集是 D．若恒成立，则 变式4．（25-26高二下·江苏苏州·月考·多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有两个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 考点二 利用导数研究恒成立问题 例1．（2026·湖北黄冈·一模）已知函数，． (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，证明：在上存在2个不同的零点，且； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 例2．（2026·云南玉溪·二模）． (1)若，讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)证明：． 例3．（25-26高二下·四川成都·月考）已知函数，. (1)若函数在处取得极大值，求实数的值以及的极值； (2)已知，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 例4．（25-26高二下·四川成都·月考）已知函数，其中. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若函数在定义域上单调，求实数的取值范围； (3)若，，对任意的，恒成立，求的最小值. 变式1．（25-26高二下·天津·月考）已知 (1)讨论函数的单调区间； (2)若有两个零点，，求a的取值范围； (3)证明：，恒成立. 变式2．（25-26高二下·广东珠海·月考）已知函数． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若对区间内任意两个不等的实数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 变式3．（25-26高二下·湖北武汉·月考）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意正整数，都有. 2 学科网（北京）股份有限公司 $