精品解析：海南文昌中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

2025—2026学年度第二学期高二第一次月考试题 数 学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置． 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写．选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效．写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆C:的一个焦点F坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由椭圆方程为，可得，，且； ； 又，. ，焦点在轴上，可得焦点坐标为； 椭圆的一个焦点F坐标为. 2. 已知等差数列中， ，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即，解得. 所以， 故选：A. 3. 某著名学校利用暑假期间组织高二年级学生研学，学生可以从东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山四个景点中任选一处前往，小翟、小云、小韩3个好朋友每人随机选择一个目的地，不同选法的种数是（ ） A. 12 B. 24 C. 64 D. 81 【答案】C 【解析】 【详解】根据分步乘法计数原理，每个学生从4个景点中任选一处，均有4种独立选法. 小翟、小云、小韩3人依次选择，总选法为各步方法数的乘积：. 4. 二项式的展开式中，第2项的系数为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理求解. 【详解】根据二项式定理： ，第二项即 ， ， 第二项的系数为：； 故选：B. 5. 已知函数，则这个函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确认点在曲线上，再对函数求导，根据乘积求导法则得导函数，然后将切点横坐标代入导函数， 得切线斜率 ，最后利用点斜式写出切线方程，将方程化为一般式即可. 【详解】因为，故点为函数图象上的切点， 因为，所以， 又因为，切线斜率为 在 处的值， 所以， 所以，， 所以， 即 . 6. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减 C. 在 处取得最大值 D. 在 处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定函数图像，判断导数的正负时的取值范围，再利用单调性逐项判断即可. 【详解】由导函数图像可知，当或时，， 当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故选项A，B错误； 在处取得极大值，且，故C错误，D正确； 故选：D. 7. 已知数列中，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得. 【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列. 则，即，由，得， 所以. 故选：B 8. 已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化为，令，由，利用函数的单调性求解. 【详解】解：原不等式等价于， 设，则. 又，所以在上单调递增， 则，即. 设，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，所以. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案. 【详解】因为， ， ， ， 所以AD错误，BC正确. 10. 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（ ） A. 若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案 B. 若每人分得2本，则有90种方案 C. 若三人分得书本数互不相同，则有360种方案 D. 共有450种分配方案 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用分组分配问题的解法即可得解. 【详解】对于A，甲1本､乙2本､丙3本，方案数为，故A正确； 对于B，每人2本，方案数为，故B正确； 对于C，书本数互不相同（即1，2，3），所以方案数为，故C正确； 对于D，分三类：第一类，每人2本，方案数为90种；第二类，一人1本，一人2本，一人3本，方案数为360种； 第三类，一人4本，另外两人各1本，方案数为， 故总的分配方案数为种，故D错误. 故选：ABC. 11. 关于函数，为导数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调递减区间为 B. 令，则 C. 若函数有两个不同的零点，则 D. 若函数的图象与直线交于两点，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性和最值，即可得函数的图象，即可判断ABC；令，，利用导数结合单调性可得，根据的单调性结合极值点偏离分析证明. 【详解】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 可得函数的图象，如图所示； 对于选项A：函数的单调递减区间为，故A正确； 对于选项B：由题意可知：的定义域为，且， 所以，故B错误； 对于选项C：令，则， 原题意等价于与有2个交点， 结合函数的图象可得，所以的取值范围为，故C正确； 对于选项D：令，， 则， 因为，则，，，，可得， 可知在内单调递减，则，即，， 因为，且，则， 可得，，，且函数在内单调递增， 则，所以，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的两条渐近线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程可知，，且焦点在x轴上，即可得双曲线方程. 【详解】双曲线方程即为，可知，，且焦点在x轴上， 所以两条渐近线方程是. 13. 如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网，处的甲､乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则甲从必须经过到达处的走法种数为______． 【答案】9 【解析】 【详解】甲从到达，需要走3步，其中向上1步，向右2步，共有种； 从到达处，需要走3步，其中向上2步，向右1步，共有种， 所以甲从必须经过到达处的走法种数共有种. 14. 已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解. 【详解】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值． 【答案】（1）见解析 （2）极小值，极大值 【解析】 【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系及导数法求函数单调性的步骤即可求解； （2）根据函数的极值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，的定义域为. 因为，所以 令即，解得， 令即，解得或， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和. 【小问2详解】 由（1）可知，当变化时，的变化情况如下表： 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以的极小值为， 极大值为. 16. 已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】根据条件先求出的通项公式，再求出的通项公式即可. 【小问1详解】 设公差为，则，即 解得或 ，所以或； 【小问2详解】 因为数列为递增数列，，，， 所以 ； 所以. 17. 如图，平面ABCD，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． （1）求证：平面CPM； （2）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接EM，利用平行公理、线面平行的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面PQM的法向量，设出点的坐标，利用线面角的向量求法列式计算即得. 【小问1详解】 连接EM，由，得， 又，则四边形为平行四边形， 由点E和M分别为AP和BQ的中点，得且， 而，F为CD的中点，则且， 四边形为平行四边形，则，又平面MPC，平面MPC， 所以平面MPC． 【小问2详解】 由平面，，得直线两两垂直， 以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设为平面PQM的法向量，则， 取，得， 设，即， 则，， 由直线DN与平面PMQ所成的角为，得， 即，整理得，而，解得， 所以. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其中O为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右顶点作直线与抛物线相交于A，B两点； ①求证:OA⊥OB； ②设射线OA，OB分别与椭圆相交于点M，N，求O到直线MN的距离. 【答案】（1） （2）①证明见解析;② 【解析】 【分析】（1）先根据椭圆的离心率得到之间的关系；再根据椭圆过点，代入椭圆方程即可求出，进而得出椭圆的标准方程. （2）①先根据椭圆的方程得出右顶点的坐标，根据已知条件分析设出及直线的方程；再联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得出的关系；最后根据平面向量的数量积公式得出，即证得OA⊥OB. ②法一：先设出及直线为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出之间的关系；再根据得出；最后根据点到直线距离公式即可求解.法二：先设直线，直线；再联立方程组得出，，根据两点间距离公式得出、、；最后根据三角形等面积可即可求解. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，可得：，整理得：， 则椭圆的方程可化为. 代入点得， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 由椭圆方程为可得：该椭圆的右顶点为. ①设， 当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不满足题意. 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则为方程的两不等根，有． 因为, 所以， 故． ②法一：设，直线为. 由联立方程组，整理得：（*）， 由为方程*的两不等实数根，得. 由①知， 则，有. 因为， 所以， 整理得：， 则有. 则根据点到直线距离公式可得：点到直线的距离为. 法二：不妨设位于轴的上方，则点在第一象限，点在第四象限 设直线，则直线 联立直线和椭圆得方程，解得. 同理可得 则 ， ， ， 则根据三角形等面积可得： 点到直线的距离为：. 19. 设函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）当时恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）求出导函数，并设，求得，由于 ，因此根据，以及分类讨论是否恒成 立，从而得参数范围； （3）由（2）不等式变形得，再用代后变形及放缩得，然后令后相加可证． 【小问1详解】 ， 由题意曲线在点处的切线方程为， 则，解得； 【小问2详解】 ，， ，令（），则， 当，即时，，即是上的增函数， 因此， 是增函数，所以，不合题意，舍去； 当即时，，即是上的减函数， 所以， 所以是上的减函数，从而恒成立， 当即时，， 时，，在单调递增， 时，，在单调递减， 又，所以时，恒成立，即恒成立， 此时在上单调递增，因此，与题意不合，舍去， 综上． 【小问3详解】 由（2）知时，，即，从而， 所以，又， 所以， 此不等式中分别令得 ，，，， 将这个不等式相加得. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于第（3）小题，关键是利用（2）中不等式变形及不等式的性质得出，然后分别令后相加得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高二第一次月考试题 数 学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置． 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写．选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效．写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆C:的一个焦点F坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列中， ，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 15 3. 某著名学校利用暑假期间组织高二年级学生研学，学生可以从东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山四个景点中任选一处前往，小翟、小云、小韩3个好朋友每人随机选择一个目的地，不同选法的种数是（ ） A. 12 B. 24 C. 64 D. 81 4. 二项式的展开式中，第2项的系数为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 5. 已知函数，则这个函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减 C. 在 处取得最大值 D. 在 处取得极大值 7. 已知数列中，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（ ） A. 若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案 B. 若每人分得2本，则有90种方案 C. 若三人分得书本数互不相同，则有360种方案 D. 共有450种分配方案 11. 关于函数，为导数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调递减区间为 B. 令，则 C. 若函数有两个不同的零点，则 D. 若函数的图象与直线交于两点，且，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的两条渐近线方程是______． 13. 如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网，处的甲､乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则甲从必须经过到达处的走法种数为______． 14. 已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值． 16. 已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 17. 如图，平面ABCD，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． （1）求证：平面CPM； （2）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求的值． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其中O为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右顶点作直线与抛物线相交于A，B两点； ①求证:OA⊥OB； ②设射线OA，OB分别与椭圆相交于点M，N，求O到直线MN的距离. 19. 设函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）当时恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $