17 2025年青大附中学业水平第二次阶段性质量检测-【中考321】2026年中考数学3年真题2年模拟1年预测（青岛专版）

172025年青大附中学业水平第二次阶段性质量检测 (时间：120分钟总分：120分)》 第I卷（共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）》 1.2025年开年，某人工智能仅用二十天就实现了21600000的日活跃用户(DAU),展现出巨大的市场 潜力。用科学记数法表示21600000为 () A.21.6×10 B.2.16×10 C.2.16×10 D.0.216×108 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.正五边形 D.正六边形 3.估计√27-√3的运算结果在 A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 4.如图是某个几何体的展开图，该几何体是 A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 5.下列各式中，正确的是 A.(-2)°=0 B.3-2=-6 C.m4÷m=m3(m≠0) D.√2x+√3x=√5x 6.如图，△ABO缩小后变为△A'B'O,其中点A,B的对应点分别为点A',B',点A',B'均在图中格点上 若线段AB上有一点P(m,n),则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为 () A(受 B.(m,n) c(2) D.(m.2) 7.《九章算术》中记载：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并重十一 斤。问：玉、石重各几何？大意：若有玉1立方寸，重7两；石1立方寸，重6两。今有石为棱长3寸的 正方体（体积为27立方寸），其中含有玉，总重11斤（注：1斤=16两）。问：玉、石各重多少？若设玉 重x两、石重y两，则可列方程组为 () rx+y=11, rx+y=176, rx+y=11, rx+y=176, A. +6=27 B. C.76=27 D. 16=27 + [x y y 129 8.如图，A,B,C为⊙0上的点，D为⊙0外一点，∠AOB=34°，BC=√2OB,则∠D的度数可以是（) A.61° B.63 C.65° D.66° D B 第8题图 第9题图 9.如图，已知顶点为(-3，-6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1，-4)，则下列结论中，错误的是 A.b2>4ac B.ax2+bx+c≥-6 C.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根分别为-5和-1 D.若点(0，m),(-7,n)在抛物线上，则m>n 第Ⅱ卷（共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10.如果cos∠A= ,那么锐角1的度数为 °。 11.一个不透明的口袋中有红球10个、黑球若干个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀后， 从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程1000次，发现有400次摸到红 球，估计口袋中有黑球 个。 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2,AB=23,则BC的长是 B 13.如图，四边形OABC和CDEF均为正方形，点C,D均在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，点F 在BC上，点B,E在反比例函数y=4的图象上，则点E的坐标为 F 14.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=2,以点A为圆心，AD的长为半径作圆，交AB于点E,过点B作⊙A 的切线BG交CD于点G,切点为F,则图中阴影部分的面积为 DG —130 15.某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓展》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行 探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为2和1,3和1,4和1,5和1,6和1,7和1,8和1,9和1 时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的？；当已知矩形的相邻 两边分别为10和1时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的 ?,请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为 ；当已知矩形的长和宽分别为a和b时，若存 在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的？，则a和b应满足的关系式为 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16.已知：如图，线段a,∠a。 求作：Rt△ABC,使∠C=90°，∠A=∠a,AC=a。 a 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17.（本题满分8分，每小题4分) x+1>3x-1 (1)解不等式组： 2 2x-(x-3)≥5； （2)分式化简：2+a-2列心后9。 a+2 —131 18.（本小题满分6分) 米小果同学为了解某动画电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女 生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分 为四组：A:x<70;B:70≤x<80;C:80≤x<90;D:90≤x≤100)，下面给出了部分信息： 10名女生对该电影的评分分数为67,77,79,83,89,91,98,98,98,100。 10名男生对该电影的评分分数在C组的数据是82,83,86。 20名同学对该电影评分统计表 10名男生对该电影评分 扇形统计图 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 A 女生 88 90 112.2 10% % B 男生 88 100 b 200.2 50% 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的a= b= ,m= (2)根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢这部电影还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理 由即可) (3)我校初三年级有500名女生和600名男生去看过这部电影，估计这些学生中对该电影的评分在D 组的人数有多少。 19.（本小题满分6分) 把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是3,4,5）洗匀后正面朝下放在桌面上。 (1)如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是4的概率是多少？ (2)小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后 正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字。当两张牌面数字相同时，小王胜；当两张牌 面数字不相同时，小李胜。现请你利用列表法或画树状图法分析游戏规则对双方是否公平，并说 明理由。 -132 20.（本小题满分6分) 才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如下报告，请完成 任务。 课题 测量摩天轮高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 E 如图，测量小组使用无人机在点E处竖直上升至点D处，在点D处测得摩天轮AB顶部A的 测量过程 仰角为30°，然后以10m/s的速度沿水平方向向左飞行8s至点C处，在点C处测得摩天轮 AB顶部A的仰角为60°，底部B的俯角为40° 点A,B,C,D,E均在同一竖直平面内，且点B,E在同一水平线上（参考数据：sin40°≈0.64， 说明 cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，√3≈1.73) 任务 求摩天轮AB的高度（结果精确到1m) 21.(本小题满分8分) 某学校欲购买A,B两种型号的拖把，其中A型拖把的单价比B型拖把的单价少9元，且用3120元 购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等。 (1)求A,B型拖把的单价分别是多少元； (2)若购买两种拖把共200个，且购买A型拖把的数量不超过B型拖把数量的？，如何购买，才能使 购买总费用最低？最低是多少元？ 133 22.（本小题满分8分) 如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为边AB,CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB 的延长线于点G。 (1)求证：△ADE≌△CBF; (2)若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形。 23.（本小题满分8分) 在四边形ABCD中，E为边AB上的一点，F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB。 (1)若四边形ABCD为正方形。 ①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系 ②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE,DF,猜想AE与DF的数量关系并说明 理由； (2)如图3，若四边形ABCD为矩形，BC=mAB,其他条件都不变，将△EBF绕点B逆时针旋转α(0°< a<90°)得到△E'BF',连接AE',DF',请在图3中画出草图，并直接写出AE与DF的数量关系。 图1 图2 图3 -134- 24.（本小题满分10分) 某商场经营某种新型电子产品，购进时的单价为20元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价 为40元/件时，销售量为200件，销售单价每件降低1元，就可多售出20件。 (1)写出销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)之间的函数关系式； (2)写出销售该产品所获利润W(单位：元)与销售单价x之间的函数关系式，并求出商场获得的最 大利润； (3)若商场想获得不低于4000元的利润，同时要完成不少于320件的该产品销售任务，则该商场应 该如何确定该产品的销售单价？ 135- 25.（本小题满分11分) 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=10cm,BD=12cm,对角线AC与BD相交于点O,直线MN以1cm/s 的速度从点D出发，沿DB方向匀速运动，运动过程中始终保持MN⊥BD,垂足为P,过点P作PQ⊥ BC,交BC于点Q。设运动时间为t(单位：s),0<t<6。 (1)求线段PQ的长；（用含t的代数式表示） (2)设△MQP的面积为y(单位：cm),求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t,使线段MQ恰好经过点O？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由。 0 B 备用图 —136—(3).·DQ平分四边形PQCD的面积， 5w=5w号-号+4=(8-20x3, 解得t=2或t=-6(不符合题意，舍去)。 ∴.当t=2时，DQ平分四边形PQCD的面积。 172025年青大附中学业水平第二次阶段性质量检测 答案速查 1 2345 6 789 1.C【解析】21600000=2.16×10'。 2.D【解析】A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意：C是轴对称图 形，不是中心对称图形，不符合题意；D既是轴对称图形又是中心 对称图形，符合题意。 3.C【解析】√27-5=35-5=25。 .…9<23<√16，.3<23<4。 得学善总结一 解题步骤 二次根式估值的一般步骤 1.对二次根式平方；（以求万的范围为例，（√万）2=7) 2.找出与平方后所得数字相邻的两个完全平方数；(4<7<9) 3.对以上两个完全平方数开方：（√4=2，√9=3） 4.确定这个二次根式的值的范围。(2<√万<3) 若要求与该二次根式离得最近的整数（以求与√万最接近的 整数为例)，则需： 5.求以上两个整数的平均数：[(2+3)÷2=2.5] 6.比较二次根式和这个平均数的大小：(2.52=6.25<7，所以 2.5<7) 了确定二次根式离哪个整数更近。（所以与7最接近的整数是3） 4.B【解析】从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底 面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱。 5.c【解析】 选项 分析 正误 A （-2)°=1 夕 3”=) × m÷m=m-1=m3(m≠0) V D √2和√3不能合并 6.C【解析】△AB0缩小后变为△A'B'0,其中点A(4,6), B(6,2)的对应点分别为点A'(2,3),B'(3,1), 点P在A'B上的时应点P的坐标为（受，受） 7.B【解析】.石头总重11斤， .x+y=11×16,即x+y=176; ·石头的体积为27立方寸， +=27。 —6 :根经题含可列出方帮号+名=21。 rx+y=176, 8.A【解析】如图，设CD与⊙O相交于点E,连接OC,AE。 .BC=√2OB DE .20B2=BC2。 .OB=OC. .0B2+0C2=BC2。 ∴.△BOC为直角三角形， .∴.∠B0C=90°。 .·∠A0B=34°， .∴.∠A0C=∠A0B+∠B0C=34°+90°=124°。 1 六LABC=2LA0C=62。 ·∠AEC是△ADE的外角， ∴.∠D<∠AEC。∴.∠D<62°。 ∴.∠D的度数可以是61°。 9.D【解析】，·二次函数图象与x轴有两个交，点， 方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。 .b2-4ac>0。b2>4ac。 故A选项结论正确； ·抛物线的开口向上，函数有最小值-6， .ax2+bx+c≥-6。故B选项结论正确； 根据抛物线的对称性可知(-1，-4)关于对称轴直线x=-3的 对称点为(-5，-4)， 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根分别为-5和 -1。 故C选项结论正确； ,抛物线的对称轴为直线x=-3,I0-(-3)川<1-3-(-7)1， .m<n。故D选项结论错误。 10.30°【解析小：c0sLA=5 2 ∴.锐角A的度数为30°。 11.15【解析】设口袋中有黑球x个。 根据题意，得，19008 解得x=15。 经检验，x=15是原方程的解，且符合题意。 23【解析1设c0=,则4C=30e=。 .AC2 +BC2 AB2,E AC2+(CD +BD)2=AB2, .(3x)2+(x+2)2=(23)2,解得x=1。 .∴BC=CD+BD=1+2=3。 13.(5+1,N5-1)【解析】小：四边形0ABC是正方形， ∴.OA=AB=BC=OC。 设OC=BC=a,.B(a,a)。 ”点B在反比例函数y=生的国象上， a=4,解得a=2或-2（舍去）。0C=2。 a ,四边形CDEF是正方形， ∴.CD=DE=EF=CF。 设CD=DE=x,则OD=x+2, ∴.E(x+2,x)。 :点E在反比例函数y=4的图象上， x(x+2)=4,解得x=√5-1或-5-1（舍去）。 ∴.0D=2+W5-1=W5+1。 点E的坐标为(W5+1,5-1)。 m-9 14.2-1m 【解析】如图，连接AF。 ,·四边形ABCD是矩形，AB=2AD=2, ∴.DC=AB=2,BC=AD=1,DC∥AB,∠DAB=∠C=90°。 BG是⊙A的切线，切，点为F, DG AF⊥BG,AF=AD=1, sin.AnG-品安 .∠ABG=30°。 .DC∥AB, LCGB=LABG=30°。CG=BC tan30°-V3。 ∴.S阴影=S矩形ABGD-S角形DAE-S△BCG =1×2-90m×12 360 2×5x1=2-1m-5 4π-2 15号。2+8≥10b【解析】设所求的矩形的两边分剂是x和 t+y=10+1 3, x=2,「x= 5 由题意，得 解得{ 5或 3, 10×1 y= 3 y=3y=2, “这个矩形较短边的长为号。 当已知矩形的长和宽分别为a和b时， [x+y=atb 3’ 由题意，得 (小=学。 荟理，得兰+曾=0。 “春在一个短形使它的周长和面积分别为已知矩形的了， 方程2.的+弯-0有实数根。 即-10ab+&≥0。 9 .a2+b2≥10ab。 16.解：如图，△ABC即为所求作。 17解：(1)解不等式x+1>42,得x<3。 解不等式2x-(x-3)≥5，得x≥2。 不等式组的解集为2≤x<3。 (2)原式=[3+a-2)(a+22]·a+2 -a+2 a+2 (a-1)2 =02-1.。+2 a+2(a-1)7 =（a+l)(a-1).a+2 a+2 (a-1)2 =4+1 a-1 18.解：(1)989310【解析】10名女生对该电影的评分分数中， 98分最多，有3个，∴.众数a=98。 根据统计表可得男生满分的有10×50%=5（人）。 :中位数为第5个和第6个数据，10名男生对该电影的评分分 数在C组的数据是82,83,86， :第5个数据为86，第6个数据为100， 即6-86+100=93。 2 ,评分分数在A组和B组的人数和为10-10×50%-3=2，且 A组，B组的人数都不为0， .评分分数在A组和B组的人数都是1。 m%0×10%=10%,即m=10。 (2)男生更喜欢这部电影。理由如下： ·.男生对该电影的评分的中位数和众数都比女生的高， “男生更喜欢该电影。 (3)50×名+60x50%=5380(人。 答：估计这些学生中对该电影的评分在D组的人数有550。 19.解：(DP(牌面数字是4)=了。 (2)游戏规则对双方不公平。理由如下： 画树状图如下： 开始 小王 小李345345345 (3,3)3,4)(3,54,3)(4,4)(4,5X5,3)(5,4)(5,5 由树状图可知共有9种等可能出现的结果， 其中两张牌面数字相同的结果有3种，两张牌面数字不相同的 结果有6种， 31 ·P(两张牌面数字相同)=9=。 P(两张降面数字不相同》-号-子。 “号>分游戏规则对双方不公平。 20.解：如图，延长DC交AB于点F。 63 则四边形BEDF是矩形。 设FC=xm,由题意，得CD=80me 在Rt△AFC中，∠ACF=60°， .AF=FC·tan LACF=√3xmo 在Rt△BFC中，∠BCF=40°， .BF=FC·tan∠BCF≈0.84xm。 在Rt△AFD中，∠ADF=30°， AF ∴.DF= tan∠ADF=3xm。 DF-CF =CD, ∴.3x-x=80,解得x=40。 .AB=AF+BF=40√3+0.84×40≈103(m)。 答：摩天轮AB的高度约为103m。 21.解：(1)设B型拖把的单价为x元，则A型拖把的单价为(x- 9)元。 根据题意，得3120_420 x-9 解得x=35。 经检验，x=35是原方程的解，且符合题意。 .x-9=26。 答：A型拖把的单价为26元，B型拖把的单价为35元。 (2)设购买a个A型拖把，则购买(200-a)个B型拖把，总费用 0元。 由题意，得a≤3(200-a)。 解得a≤50。 由题意，得0=26a+35(200-a)=-9a+7000。 -9<0, ∴.0随a的增大而减小。 ∴.当a=50时，0小=-9×50+7000=6550。 .∴.200-50=150（个）。 答：购买50个A型拖把、150个B型拖把才能使购买总费用最 低，最低是6550元。 22.证明：(1)，·四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,AD=BC,∠DAE=∠C。 E,F分别是AB,CD的中点， MB=24B,CF=CD。A6=C。 .AD=CB. 在△ADE和△CBF中，{ ∠DAE=∠C, AE=CF, ∴.△ADE≌△CBF(SAS)。 (2).AG∥BD,AD∥BG, ∴四边形AGBD是平行四边形。 ∠G=90°，.平行四边形AGBD是矩形。 .∠ADB=90°。 .:DF∥BE,DF=BE, .四边形DEBF是平行四边形。 在Rt△ADB中，E为AB的中点， .AE=BE=DE。 .平行四边形DEBF是菱形。 6 23.解：(1)①DF=√2AE【解析】小：四边形ABCD为正方形， .△ABD为等腰直角三角形。 .BD=√2AB。 ,EF⊥AB, ∴.△BEF为等腰直角三角形。 BF=2BE。 ∴.BD-BF=√2AB-√2BE. 即DF=√2AE。 ②DF=√2AE。理由如下： 由旋转的性质可得∠ABE=∠DBF。 =0。 、BF ÷BEBA9 BF BD .△DBF∽△ABE。 器-。 ∴.DF=√2AE。 (2)如图所示。 :四边形ABCD为矩形， ∴.AD=BC=mAB。 ∴.BD=1+m2AB。 ,EF⊥AB,∴.EF∥AD。 △B8aAD.小既-S。 能贸=M+ :△EBF绕点B逆时针旋转a(0°<a<90)得到△E'BF', .∠ABE'=∠DBF',BE'=BE,BF'=BF。 BF BD 小B丽队=1+m。 ∴.△DBF'∽△ABE'。 =/1+m2, 即DF'=√1+m2AE'。 24.解：(1)由题意，得y=200+20(40-x)=1000-20x。 (2)由题意，得W=（x-20)(1000-20x)=-20x2+1400x- 20000=-20(x-35)2+4500。 ,-20<0, ∴.当x=35时，W有最大值，最大值为4500。 ∴.商场获得的最大利润是4500元。 (3)当W=4000时，(x-20)(1000-20x)=4000,解得x1= 30,x2=40。 ∴.当30≤x≤40时，商场销售利润不低于4000元。 又.1000-20x≥320， 解得x≤34，.30≤≤34。 “.该产品的销售单价的取值范围是30≤x≤34。 25.解：(1).在菱形ABCD中，AB=10cm,BD=12cm,∴.AC⊥BD, A0=C0=2 AC,BO=DO=2 1BD=6 cm,BC=CD=AD =AB= 10cm, .C0=A0=√AB-B02=√102-6=8(cm)。 由题意，得DP=tcm, ∴.BP=(12-t)cm。 mLC0器-8品 。0m8:cm (2)如图1，过点Q作QE⊥BD于点E。 ∵MW⊥BD,∴.∠MPD=90°。 m∠M0P部0-各-分 Mn=号P=号em os∠CB0==B0-6-3 BP=BC=10=5, BA0=号8p-36,3om 5 .∠BEQ=90°， m∠0器器号 BE=号60-10859c 25 cmo PB=BP-BB=12-t-10894=192,516Lcm. 25 25 yMP PE =分×分×1921 25 -3+0<1<6 (3)如图2，过点Q作QE⊥BD于点E, 则LBEQ=90°。 由(2)可知，B0=36-3。 5 cm, MP=子em EQ_0C_8_4 :sinB(0-80BC-10=5, 0=号80=144524cm. 图2 25 当MQ经过点O时，0P=OD-DP=(6-t)cm, .S△MPn=S△MoP+S△ooP -OPPOPE =20P·(MP+BQ) =26-0×学+2到 25 器+。 由(2)可知，5m=-器+2紧(0<16， 25 751 25 Γ75 解得：一语。 -6 182025年局属四校学业水平第二次阶段性质量检测 答案速查 123 4 5 678 ABC 1.B【解析】数轴上有A,B,C,D四个点，其中表示互为相反数的 是点A和，点D。 2.B【解析】6695亿=669500000000=6.695×10。 3.D【解析】A既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合 题意；B不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C是轴 对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D既是轴对称图形， 又是中心对称图形，符合题意。 4B【解析】左视图如图所示。 5.C【解析】如图所示，点C"的坐标是(4,3)。 A B 1平 01234567891011x 6.A【解析】如图，连接AE,则AE⊥BC。又AB=AC .E是BC的中点，即BE=CE=1。 在Rt△ABE中，AB=5,BE=1, 0 由勾股定理，得AE=2, .SAABC=2 BC·AE=2。 :四边形ABED内接于⊙O, .∠CDE=∠CBA,∠CED=∠CAB。 ·.△CDE∽△CBA。 、S△cmE=CE=1 SACBA AC=5。 Am=5a=号。 2 7.B【解析】小：△DEF是由△AEF翻折得到的， ∴.△DEF≌△AEF,∠A=∠EDF。 ,△ABC是等腰直角三角形， .∠EDF=∠B=45°。 由三角形外角的性质，得∠CDF+45°=∠BED+45°， ∴.∠BED=∠CDF。 设CD=1,CF=x,则AC=BC=2, .∴.DF=AF=2-xo 在Rt△CDF中， 由勾股定理，得CF2+CD2=DF2, 即x2+12=(2-x)2, 3 解得x=4。