17 2024年青大附中学业水平第二次阶段性质量检测-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东青岛专版）

∴存在ｔ＝３时，使得ＰＱ⊥ＰＤ。 （３）当点Ｐ在ＡＢ上运动，即０＜ｔ≤６时，△ＰＤＱ是 等腰三角形。 ①若ＰＱ＝ＰＤ，则 ＰＱ２＝ＰＤ２， ∴５ｔ２－４８ｔ＋１４４＝１４４＋４ｔ２。 解得ｔ１＝４８（舍去），ｔ２＝０（舍去）； ②若ＱＤ＝ＰＤ，则ＱＤ２＝ＰＤ２， ∴ｔ２－２４ｔ＋２８８＝１４４＋４ｔ２。 解得ｔ１＝４，ｔ２＝－１２（舍去）； ③若ＰＱ＝ＱＤ，则ＰＱ２＝ＱＤ２， ∴５ｔ２－４８ｔ＋１４４＝ｔ２－２４ｔ＋２８８。 解得ｔ１＝３＋槡３５（舍去），ｔ２＝３－槡３５（舍去）。 当点Ｐ在ＢＣ上运动，即６＜ｔ≤１２时，△ＰＤＱ不可 能是等腰三角形。 综上，当ｔ＝４时，△ＰＤＱ是等腰三角形。 （４）①当点Ｐ在ＡＢ上运动，即０＜ｔ≤６时， ∵Ｓ正方形ＡＢＣＤ＝ＡＢ ２＝１２２＝１４４（ｃｍ２）， ∴Ｓ＝Ｓ正方形ＡＢＣＤ－Ｓ△ＡＤＰ－Ｓ△ＢＰＱ－Ｓ△ＣＤＱ ＝１４４－ １ ２ ×１２×２ｔ－ １ ２ ×（１２－２ｔ）×ｔ－ １ ２ ×１２×（１２－ｔ） ＝（ｔ２－１２ｔ＋７２）ｃｍ２。 ∵Ｓ＝ １ ３ Ｓ正方形ＡＢＣＤ， ∴ｔ２－１２ｔ＋７２＝ １ ３ ×１４４。 解得ｔ１＝６－槡２３，ｔ２＝６＋槡２３（舍去）； ②当点Ｐ在ＢＣ上运动，即６＜ｔ≤１２时， Ｓ＝ １ ２ ＰＱ·ＣＤ＝ １ ２ ×［ｔ－（２ｔ－１２）］×１２ ＝（７２－６ｔ）ｃｍ２。 ∵Ｓ＝ １ ３ Ｓ正方形ＡＢＣＤ， ∴７２－６ｔ＝４８。 解得ｔ＝４（舍去）。 综上，当点Ｐ在ＡＢ上运动时，Ｓ＝ｔ２－１２ｔ＋７２（０＜ｔ≤ ６）；当点Ｐ在ＢＣ上运动时，Ｓ＝７２－６ｔ（６＜ｔ≤１２）。 当ｔ＝６－槡２３时，Ｓ＝ １ ３ Ｓ正方形ＡＢＣＤ。 １７２０２４年青大附中学业水平第二次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ Ｂ Ａ Ｂ Ｄ Ｄ １．Ｃ　【解析】∵１亿＝１０８，∴４１．７６亿＝４．１７６×１０９。 ∴４１．７６亿≈４．２×１０９。故选Ｃ。 ２．Ｂ　【解析】原式＝４×槡 ２ ２ ＋３×槡 ３ ３ －槡２２＝ 槡２２＋槡３－ 槡２２＝槡３。故选Ｂ。 ３．Ｄ　【解析】Ａ是轴对称图形，故此选项错误；Ｂ是轴 对称图形，故此选项错误；Ｃ是轴对称图形，故此选项 错误；Ｄ不是轴对称图形，故此选项正确。故选Ｄ。 ４．Ａ　【解析】该几何体的俯视图是 。故选Ａ。 ５．Ｄ　【解析】∵２０２４年的扶贫资金为ａ万元，比２０２３ 年增长了ｘ％，∴２０２３年的扶贫资金为 ａ １＋ｘ％ 万元。 ∵计划２０２５年的增幅调整为上一年的２倍， ∴２０２５年的扶贫资金为 ａ（１＋２ｘ％）万元。∴这 ３年的扶贫资金总额将达到 ａ １＋ｘ％ ＋ａ＋ａ（１＋２ｘ％）＝ ａ １ １＋ｘ％ ＋２＋２ｘ％( ) 万元。故选Ｄ。 ６．Ｂ　【解析】∵ＢＤ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＢＡＤ＝９０°。 ∵ＡＢ) ＝ＡＤ) ，∴ ∠Ｂ＝∠Ｄ＝４５°。∵ ∠ＤＡＣ＝ １ ２∠ ＣＯＤ＝ １ ２ ×１２６°＝６３°，∴∠ＡＧＢ＝∠ＤＡＣ＋ ∠Ｄ＝６３°＋４５°＝１０８°。故选Ｂ。 ７．Ａ　【解析】由数轴可知－２＜ａ＜－１，１＜ｂ＜２， ∴ａ＋１＜０，ｂ－１＞０，ａ－ｂ＜０。 ∴ （ａ＋１）槡 ２＋ （ｂ－１）槡 ２－ （ａ－ｂ）槡 ２ ＝｜ａ＋１｜＋｜ｂ－１｜－｜ａ－ｂ｜＝－（ａ＋１）＋（ｂ－１）＋（ａ－ｂ）＝ －ａ－１＋ｂ－１＋ａ－ｂ＝－２。故选Ａ。 ８．Ｂ　【解析】∵抛物线过点（０，６），（１，６），∴抛物线的 对称轴为直线ｘ＝ １ ２ ，故Ａ不正确，不符合题意；∵抛 物线过点（－２，０），∴抛物线与 ｘ轴的一个交点为 （３，０），故Ｂ正确，符合题意；∵抛物线的最值在ｘ＝ １ ２ 处取得，不是６，故Ｃ不正确，不符合题意；由表格 可知，在对称轴右侧，ｙ随 ｘ增大而减小，故 Ｄ不正 确，不符合题意。故选Ｂ。 ９．Ｄ　【解析】Ａ．∵６出现了 ３次，出现的次数最多， ∴该组成绩的众数是 ６环，故本选项正确；Ｂ．该组 成绩的中位数是６环，故本选项正确；Ｃ．该组成绩 的平均数ｘ＝ １ ７ （４＋５＋６＋６＋６＋７＋８）＝６（环），故本选 项正确；Ｄ．该组成绩数据的方差 ｓ２＝ １ ７ ［（４－６）２＋ （５－６）２＋３×（６－６）２＋（７－６）２＋（８－６）２］＝ １０ ７ ，故本选 项错误。故选Ｄ。 １０．Ｄ　【解析】①当ａ＞０时，抛物线开口向上，且抛物 线的对称轴为 ｘ＝－ ２ａ ２ａ ＝－１，∴根据抛物线的对称 性可得，点（－４，ｙ１）与（２，ｙ１）关于对称轴对称。 ∵当ａ－１≤ｘ≤２时，ｙ＜４，∴ａ－１＝－４。∴ａ＝－３（不 合题意）。∵当－４≤ｘ≤２时，ｙ＜４，∴把 ｘ＝２代入 抛物线的解析式，得４ａ＋４ａ＋３＜４，解得ａ＜ １ ８ 。∴ａ 的取值范围是０＜ａ＜ １ ８ ；②当ａ＜０时，抛物线开口向                                                                —７５— 下，∴抛物线的顶点为最高点，其坐标为（－１，－ａ＋３）。 ∵ａ－１＜－１＜２，∴－ａ＋３＜４，解得ａ＞－１。∴ａ的取值范围 是－１＜ａ＜０。综上，ａ的取值范围是０＜ａ＜ １ ８ 或－１＜ａ＜０。 故选Ｄ。 １１．－ ３ ２ ａ４ｂ５　【解析】－ ３ ４ ａ６ｂ７÷ １ ２ ａ２ｂ２＝ － ３ ４ ÷１ ２( ) · ａ６－２ｂ７－２＝－ ３ ２ ａ４ｂ５。 １２． ２ ９ 　【解析】若将每个方格地砖的面积记为 １，则 图中地砖的总面积为 ９，其中阴影部分的面积为 ２，所以该小球停留在黑色区域的概率是 ２ ９ 。 １３． １５ ４ 　【解析】如图，过点Ａ作ＡＭ⊥ＢＣ于点Ｍ。 ∵边ＡＣ的垂直 平分 线 交 ＢＣ 于点 Ｄ，交 ＡＣ 于点Ｅ， ∴∠ＡＥＤ＝９０°， ＡＥ＝ＣＥ＝ １ ２ ＡＣ＝ １ ２ ×１０＝５，ＡＤ＝ＣＤ。 ∴∠ＤＡＣ＝∠Ｃ。 ∵△ＡＢＤ的周长为２６， ∴ＡＢ＋ＢＤ＋ＡＤ＝ＡＢ＋ＢＤ＋ＣＤ＝ＡＢ＋ＢＣ＝２６。 ∵ＡＢ＝ＡＣ＝１０， ∴ＢＣ＝１６，∠Ｂ＝∠Ｃ。 ∴∠Ｂ＝∠ＤＡＣ。 ∵∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＡ， ∴△ＡＢＣ∽△ＤＡＣ。 ∴ ＡＭ ＤＥ ＝ＢＣ ＡＣ 。 ∵ＡＢ＝ＡＣ， ∴ＢＭ＝ １ ２ ＢＣ＝８。 ∴ＡＭ＝ ＡＢ２－ＢＭ槡 ２＝ １０２－８槡 ２＝６。 ∴ ６ ＤＥ ＝１６ １０ 。∴ＤＥ＝ １５ ４ 。 １４．３　【解析】根据题意，得 ３ａ－１≠０且 Δ＝ａ２－４× （３ａ－１）× １ ４ ＝０，即ａ２－３ａ＋１＝０，所以原式＝ａ２－ ３ａ＋１＋ａ＋ １ ａ ＝０＋ａ＋ １ ａ ＝ａ ２＋１ ａ ＝３ａ ａ ＝３。 １５．（３－ａ，－ｂ）　【解析】由图可知，△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′ 关于点（１．５，０）对称，设点Ｐ′的坐标为（ｘ，ｙ）。 ∴ ａ＋ｘ ２ ＝１．５， ｂ＋ｙ ２ ＝０。解得ｘ＝３－ａ，ｙ＝－ｂ。 ∴点Ｐ′的坐标为（３－ａ，－ｂ）。 １６．槡 ２ ２ 　【解析】如图，延长ＧＨ交ＡＤ于点Ｍ。 在△ＡＭＨ和△ＦＧＨ中， ∠ＨＡＭ＝∠ＨＦＧ， ＡＨ＝ＦＨ， ∠ＡＨＭ＝∠ＦＨＧ，{ ∴△ＡＭＨ≌△ＦＧＨ（ＡＳＡ）。 ∴ＡＭ＝ＦＧ，ＭＨ＝ＧＨ。 ∵四边形ＣＥＦＧ与四边形ＡＢＣＤ都是矩形， ∴ＦＧ＝ＣＥ＝１，ＤＧ＝２－１＝１，ＤＭ＝ＡＤ－ＡＭ＝２－１＝１。 在Ｒｔ△ＭＤＧ中，ＧＭ＝ ＤＭ２＋ＤＧ槡 ２ ＝槡２，∴ＧＨ＝ １ ２ ＧＭ＝槡 ２ ２ 。 １７．解：如图，点Ｐ即为所求。 １８．解： 槡∵３＜ １０＜４， ∴ａ＝３，ｂ＝槡１０－３。 ∴原式＝（－３）３＋（槡１０＋３－３） ２＝－２７＋１０＝－１７。 １９．解：原式＝ （ｘ＋２）２ （ｘ＋２）（ｘ－２） －（ｘ＋２）[ ] ·ｘ－２ｘ＋２ ＝ｘ ＋２ ｘ－２ －ｘ ２－４ ｘ－２( ) ·ｘ－２ｘ＋２ ＝ －ｘ２＋ｘ＋６ ｘ－２ · ｘ－２ ｘ＋２ ＝－（ｘ ＋２）（ｘ－３） ｘ－２ · ｘ－２ ｘ＋２ ＝－（ｘ－３） ＝－ｘ＋３。 ∵ｘ≠±２，∴可取ｘ＝１。 ∴原式＝－１＋３＝２。 ２０．解：（１）３６０°×１－１５％－２０％－ ９０ ３６０( ) ＝１４４°， ２０×２０％＝４（人）。 将甲校的２０名学生的成绩从小到大排列，处在中 间位置的两个数的平均数为 ８５＋８６ ２ ＝８５．５（分），即 ａ＝８５．５。 故答案为１４４°，４，８５．５。 （２）小华的成绩排名更靠前。理由如下： 小明的成绩为８２分，在甲校中位数８５．５分以下， 而小华的成绩为８２分，在乙校中位数８１分以上， 因此小华的成绩排名更靠前。 （３）８００× ２＋７ ２０ ＝３６０（人）。 答：估计甲校成绩超过８７分的人数为３６０。                                                                —８５— ２１．（１）证明：如图，连接ＯＤ。 ∵ＤＥ是⊙Ｏ的切线， ∴ＯＤ⊥ＤＥ。 ∵ＯＤ＝ＯＢ， ∴∠ＯＤＢ＝∠ＯＢＤ。 ∵ＡＣ＝ＢＣ， ∴∠ＣＡＢ＝∠ＣＢＡ。 ∴∠ＯＤＢ＝∠ＣＡＢ。 ∴ＯＤ∥ＡＣ。∴ＤＥ⊥ＡＣ。 （２）解：如图，连接ＣＤ。 ∵ＡＣ＝ＢＣ，ＢＣ＝４ｃｍ，∴ＡＣ＝４ｃｍ。 ∵ＢＣ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＢＤＣ＝９０°。 ∴∠ＡＥＤ＝∠ＡＤＣ。 ∵∠Ａ＝∠Ａ， ∴△ＡＤＥ∽△ＡＣＤ。 ∴ ＡＥ ＡＤ ＝ＡＤ ＡＣ ，即 ＡＥ ３ ＝３ ４ 。解得ＡＥ＝ ９ ４ 。 ∴ＡＥ的长为 ９ ４ ｃｍ。 ２２．（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，ＯＢ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＣ。 ∴∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ。 ∵Ｅ，Ｆ分别是ＯＢ，ＯＤ的中点， ∴ＢＥ＝ １ ２ ＯＢ，ＤＦ＝ １ ２ ＯＤ。 ∴ＢＥ＝ＤＦ。 在△ＡＢＥ和△ＣＤＦ中， ＡＢ＝ＣＤ， ∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ， ＢＥ＝ＤＦ，{ ∴△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ（ＳＡＳ）。 （２）解：当ＡＣ＝２ＡＢ时，四边形ＥＧＣＦ是矩形。 理由：∵ＡＣ＝２ＯＡ，ＡＣ＝２ＡＢ，∴ＡＢ＝ＯＡ。 ∵Ｅ是ＯＢ的中点， ∴ＡＧ⊥ＯＢ。 ∴∠ＯＥＧ＝９０°。 同理，ＣＦ⊥ＯＤ， ∴ＡＧ∥ＣＦ，即ＥＧ∥ＣＦ。 ∴ＥＧ∥ＣＦ。 ∵ＥＧ＝ＡＥ，ＯＡ＝ＯＣ， ∴ＯＥ是△ＡＣＧ的中位线。 ∴ＯＥ∥ＣＧ，即ＥＦ∥ＣＧ。 ∴四边形ＥＧＣＦ是平行四边形。 ∵∠ＯＥＧ＝９０°， ∴四边形ＥＧＣＦ是矩形。 ２３．解：如图，延长ＡＣ交ＰＱ于点Ｅ，交ＭＮ于点Ｆ。 ∴ＡＢ＝ＣＤ＝ＥＱ＝ＦＮ＝１．２米， ＡＣ＝ＢＤ＝１０米，ＣＥ＝ＤＱ，ＡＦ＝ＢＮ。 设ＣＥ＝ＤＱ＝ｘ米， 则ＡＥ＝ＡＣ＋ＣＥ＝（ｘ＋１０）米。 ∴ＡＦ＝ＢＮ＝２ＡＥ＝（２ｘ＋２０）米。 在Ｒｔ△ＰＥＣ中，∠ＰＣＥ＝２７°， ∴ＥＰ＝ＣＥ·ｔａｎ２７°≈０．５１ｘ米。 ∴ＦＭ＝ＥＰ＝０．５１ｘ米。 在Ｒｔ△ＡＭＦ中，∠ＭＡＦ＝１０°， ∴ＦＭ＝ＡＦ·ｔａｎ１０°≈０．１８（２ｘ＋２０） ＝（０．３６ｘ＋３．６）米。 ∴０．５１ｘ＝０．３６ｘ＋３．６。解得ｘ＝２４。 ∴ＭＮ＝ＦＭ＋ＦＮ＝０．３６×２４＋３．６＋１．２≈１３．４（米）。 ∴路灯的高度约为１３．４米。 ２４．解：（１）∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠Ａ＝∠ＦＢＣ＝９０°。 ∵ＢＥ⊥ＣＦ， ∴∠ＢＯＣ＝９０°。 ∴∠ＡＢＥ＝９０°－∠ＯＢＣ＝∠ＢＣＦ。 ∵ＡＢ＝ＢＣ， ∴△ＡＢＥ≌△ＢＣＦ（ＡＳＡ）。 ∴ＢＥ＝ＣＦ。 故答案为ＢＥ＝ＣＦ。 图１ （２）①如图 １，过点 Ｏ作 ＯＭ⊥ ＡＤ于点Ｍ，ＯＮ⊥ＣＤ于点 Ｎ，则 ∠ＯＭＤ＝∠ＯＮＤ＝９０°。 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠ＭＤＮ＝∠Ａ＝∠ＢＣＤ＝９０°。 ∴四边形ＯＭＤＮ是矩形。 ∴∠ＭＯＮ＝９０°。 ∵ＰＥ⊥ＣＦ于点Ｏ，∴∠ＣＯＥ＝９０°。 ∴∠ＣＯＮ＝∠ＥＯＭ＝９０°－∠ＥＯＮ。 ∵∠ＯＮＣ＝∠ＯＭＥ＝９０°， ∴△ＯＮＣ∽△ＯＭＥ。∴ ＯＣ ＯＥ ＝ＯＮ ＯＭ 。 ∵∠ＯＮＤ＝∠ＢＣＤ，∴ＯＮ∥ＢＣ。 ∴△ＤＯＮ∽△ＤＢＣ。∴ ＯＮ ＢＣ ＝ＯＤ ＢＤ 。 同理， ＯＭ ＡＢ ＝ＯＤ ＢＤ ，∴ ＯＮ ＢＣ ＝ＯＭ ＡＢ 。 ∴ ＯＮ ＯＭ ＝ＢＣ ＡＢ 。∴ ＯＣ ＯＥ ＝ＢＣ ＡＢ 。 ∵ＢＣ＝ＡＤ＝６，ＡＢ＝ＣＤ＝８， ∴ ＯＣ ＯＥ ＝ＢＣ ＡＢ ＝６ ８ ＝３ ４ 。 ②如图２，连接ＣＥ，ＣＧ。 ∵∠ＡＢＣ＝９０°， ∴∠ＰＢＧ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝９０°。 ∴∠ＰＢＧ＝∠ＰＯＣ＝９０°。 图２ ∵∠ＢＰＧ＝∠ＯＰＣ， ∴△ＢＰＧ∽△ＯＰＣ。 ∴ ＰＢ ＰＯ ＝ＰＧ ＰＣ 。                                                                —９５— ∴ ＰＢ ＰＧ ＝ＰＯ ＰＣ 。 ∵∠ＯＰＢ＝∠ＣＰＧ， ∴△ＯＰＢ∽△ＣＰＧ。 ∴∠ＣＢＤ＝∠ＯＧＣ。 ∵ ＯＣ ＯＥ ＝３ ４ ， ＣＢ ＣＤ ＝６ ８ ＝３ ４ ， ∴ ＯＣ ＯＥ ＝ＣＢ ＣＤ 。 ∴ ＯＣ ＣＢ ＝ＯＥ ＣＤ 。 ∵∠ＣＯＥ＝∠ＢＣＤ＝９０°， ∴△ＣＯＥ∽△ＢＣＤ。 ∴∠ＣＤＢ＝∠ＯＥＣ。 ∴∠ＯＧＣ＋∠ＯＥＣ＝∠ＣＢＤ＋∠ＣＤＢ＝９０°。 ∴∠ＥＣＧ＝９０°。 ∴∠ＢＣＧ＝∠ＤＣＥ＝９０°－∠ＢＣＥ。 ∵∠ＣＢＧ＝∠ＣＤＥ＝９０°， ∴△ＣＢＧ∽△ＣＤＥ。 ∴ ＢＧ ＤＥ ＝ＣＢ ＣＤ 。 ∴ＤＥ＝ ＢＧ·ＣＤ ＣＢ ＝２ ×８ ６ ＝８ ３ 。 故答案为 ８ ３ 。 ２５．解：（１）设公司生产该商品每件的成本为ｍ元。 根据题意，得０．８（１０＋２０）－ｍ＝０．２ｍ。 解得ｍ＝２０。 答：公司生产该商品每件的成本为２０元。 （２）设第ｘ天的利润为ｗ元。 ①当１≤ｘ≤４９且ｘ是整数时， ｗ＝（ｘ＋２０－２０）（２００－４ｘ）＝－４ｘ２＋２００ｘ ＝－４（ｘ－２５）２＋２５００， ∴当ｘ＝２５时，ｗ有最大值，最大值为２５００； ②当５０≤ｘ≤６０且ｘ是整数时， ｗ＝（５５－２０）（ｘ－４０）＝３５ｘ－１４００。 ∵３５＞０， ∴ｗ随ｘ的增大而增大。 ∴当ｘ＝６０时，ｗ有最大值，最大值为７００。 答：销售该商品第２５天时，当天的利润最大，最大 利润为２５００元。 （３）第１天和第４９天的利润均为ｗ＝－４×５７６＋２５００ ＝１９６（元）， 第２天和第４８天的利润均为ｗ＝－４×５２９＋２５００＝ ３８４（元）， 第５０天的利润为ｗ＝３５×５０－１４００＝３５０（元）， 第５１天的利润为ｗ＝３５×５１－１４００＝３８５（元）， 其余每天的利润都大于３８５元， 故最多只有第 １，４９，２，４８，５０天扣除费用后不盈 利，所以ａ的取值范围是３５０≤ａ≤３８４。 故答案为３５０≤ａ≤３８４。 ２６．解：（１）如图１，过点Ａ作ＡＭ⊥ＢＣ于点Ｍ。 图１ ∵ＡＤ∥ＢＣ，∠ＡＤＣ＝９０°， ∴四边形ＡＭＣＤ是矩形。 ∴ＣＭ＝ＡＤ＝４ｃｍ，ＡＭ＝ＣＤ＝３ｃｍ。 ∵ＢＣ＝８ｃｍ， ∴ＢＭ＝ＢＣ－ＣＭ＝４ｃｍ。 ∴ＡＢ＝ ＡＭ２＋ＢＭ槡 ２＝ ３２＋４槡 ２＝５（ｃｍ）。 ∵ＡＧ＝１ｃｍ，动点Ｐ从点Ｇ出发以１ｃｍ／ｓ的速度 沿线段ＧＢ向终点Ｂ匀速运动，运动时间为ｔｓ， ∴ＡＰ＝（ｔ＋１）ｃｍ。 ∴ＢＰ＝ＡＢ－ＡＰ＝（４－ｔ）ｃｍ。 ∵动点Ｑ从点Ｂ出发以２ｃｍ／ｓ的速度沿线段ＢＣ 向终点Ｃ匀速运动， ∴ＢＱ＝２ｔｃｍ。 ∵四边形ＰＱＨＤ是平行四边形， ∴ＰＱ∥ＣＤ。 ∴ＰＱ∥ＡＭ。 ∴△ＢＰＱ∽△ＢＡＭ。 ∴ ＢＰ ＢＡ ＝ＢＱ ＢＭ 。 ∴ ４－ｔ ５ ＝２ｔ ４ ，解得ｔ＝ ８ ７ 。 ∴当ｔ＝ ８ ７ 时，四边形ＰＱＨＤ是平行四边形。 （２）如图２，过点Ｐ作ＰＫ⊥ＡＤ，交 ＡＤ的延长线于 点Ｋ，延长ＫＰ交ＢＣ于点Ｎ。 图２ ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴ＰＮ⊥ＢＣ。 ∴四边形ＡＭＮＫ是矩形。 ∴ＫＮ＝ＡＭ＝３。 ∵ＰＮ∥ＡＭ，∴△ＢＰＮ∽△ＢＡＭ。 ∴ ＢＰ ＢＡ ＝ＰＮ ＡＭ 。∴ ４－ｔ ５ ＝ＰＮ ３ 。 ∴ＰＮ＝ ３ ５ （４－ｔ）＝ １２ ５ －３ ５ ｔ( ) ｃｍ。 ∴ＰＫ＝ＫＮ－ＰＮ＝ ３ ５ ｔ＋ ３ ５( ) ｃｍ。 ∴Ｓ△ＤＰＱ＝Ｓ梯形ＡＢＣＤ－Ｓ△ＡＰＤ－Ｓ△ＣＤＱ－Ｓ△ＢＰＱ                                                                —０６— ＝１ ２ （４＋８）×３－ １ ２ ＡＤ·ＰＫ－ １ ２ ＢＱ·ＰＮ－ １ ２ ＣＱ·ＣＤ ＝１８－ １ ２ ×４× ３ ５ ｔ＋ ３ ５( ) －１２×２ｔ× １２５－３５ｔ( ) －１２× （８－２ｔ）×３＝ ３ ５ ｔ２－ ３ ５ ｔ＋ ２４ ５( ) ｃｍ２。 ∴Ｓ与ｔ的函数关系式为 Ｓ＝ ３ ５ ｔ２－ ３ ５ ｔ＋ ２４ ５ （０＜ｔ＜ ４）。 （３）∵ＤＱ平分四边形ＰＱＣＤ的面积， ∴Ｓ△ＰＤＱ＝Ｓ△ＤＣＱ。 ∴ ３ ５ ｔ２－ ３ ５ ｔ＋ ２４ ５ ＝１ ２ ×（８－２ｔ）×３， 解得ｔ＝２或ｔ＝－６（不合题意，舍去）。 ∴当ｔ＝２时，ＤＱ平分四边形ＰＱＣＤ的面积。 （４）①当ＢＰ＝ＰＱ时，如图３。 图３ ∵ＢＰ＝ＰＱ，ＰＮ⊥ＢＱ， ∴ＢＮ＝ＱＮ＝ １ ２ ＢＱ＝ｔｃｍ。 ∵ＰＮ∥ＡＭ， ∴△ＢＰＮ∽△ＢＡＭ。 ∴ ＢＰ ＢＡ ＝ＢＮ ＢＭ 。 ∴ ４－ｔ ５ ＝ｔ ４ 。 ∴ｔ＝ １６ ９ ； ②当ＢＰ＝ＢＱ时，４－ｔ＝２ｔ， ∴ｔ＝ ４ ３ ； ③当ＢＱ＝ＰＱ时， 如图４，过点Ｑ作ＱＬ⊥ＢＰ于点Ｌ， 图４ ∴ＢＬ＝ＰＬ＝ １ ２ ＢＰ＝２－ １ ２ ｔ( ) ｃｍ。 ∵∠Ｂ＝∠Ｂ，∠ＱＬＢ＝∠ＢＭＡ＝９０°， ∴△ＢＬＱ∽△ＢＭＡ。 ∴ ＢＬ ＢＱ ＝ＢＭ ＢＡ 。 ∴ ２－ １ ２ ｔ ２ｔ ＝４ ５ 。 ∴ｔ＝ ２０ ２１ 。 综上所述，当 ｔ为 １６ ９ 或 ４ ３ 或 ２０ ２１ 时，△ＢＰＱ是等腰 三角形。 １８２０２４年局属四校学业水平第二次阶段性质量检测 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ Ｄ Ａ Ａ １．Ｂ　【解析】∵一个数的倒数是１ １ ４ ＝５ ４ ，∴这个数 是 ４ ５ 。故选Ｂ。 ２．Ｂ　【解析】Ａ不是轴对称图形，是中心对称图形， 故本选项错误；Ｂ是轴对称图形，不是中心对称图 形，故本选项正确；Ｃ不是轴对称图形，是中心对称 图形，故本选项错误；Ｄ既是轴对称图形，也是中心 对称图形，故本选项错误。故选Ｂ。 ３．Ｃ　【解析】１４０纳米＝１４０×０．００００００００１米＝１．４× １０－７米。故选Ｃ。 ４．Ｃ　【解析】Ａ．主视图是 ，故选项错误； Ｂ．主视图是 ，故选项错误；Ｃ．主视图、 左视图以及俯视图均符合图中要求，故选项正确； Ｄ．主视图是 ，故选项错误。故选Ｃ。 ５．Ｂ　【解析】∵ａ２·ａ３＝ａ２＋３＝ａ５，∴Ａ选项的运算不 正确；∵（－１）－１＋（－１）０＝－１＋１＝０，∴Ｂ选项的运 算正确；∵３５ｘ３ｙ２÷５ｘ２ｙ２＝７ｘ，∴Ｃ选项的运算不正 确；∵当ｍ为偶数时，ａ２ｍ＝（－ａ２）ｍ；当ｍ为奇数时， ａ２ｍ＝－（－ａ２）ｍ，∴Ｄ选项的运算不正确。故选Ｂ。 ６．Ｄ　【解析】由表知甲、丁射击成绩的平均数相等， 且大于乙、丙的平均数，∴从甲、丁中选择一人参加 比赛。∵丁的方差较小，∴丁发挥稳定。∴选择丁 参加比赛。故选Ｄ。 ７．Ｄ　【解析】由题图可知，△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′关于点 （－１，０）成中心对称，设点Ｐ′的坐标为（ｘ，ｙ）。 所以 ａ＋ｘ ２ ＝－１， ｂ＋ｙ ２ ＝０。解得ｘ＝－ａ－２，ｙ＝－ｂ。所以 Ｐ′（－ａ－２，－ｂ）。故选Ｄ。 ８．Ｄ　【解析】如图，连接ＯＰ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，ＡＣ＝２０，ＢＤ＝１０，                                                                —１６— — ９７— — ９８— — ９９— 　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分） １．中国青岛作为北方第三大经济城市，某年第四季 度财政收入为４１．７６亿元，将数据“４１．７６亿”用 科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为 （　　） Ａ．４１×１０８ Ｂ．４．１×１０９ Ｃ．４．２×１０９ Ｄ．４１．７×１０８ ２．计算４ １ ２槡 ＋３ １ ３槡 －槡８的结果为 （　　） 槡Ａ．３＋槡 槡２ Ｂ．３ Ｃ．槡 ３ ３ 槡 Ｄ．３－槡２ ３．第２４届冬季奥林匹克运动会，在北京市和张家口 市联合举行。在会徽的图案设计中，设计者常常 利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽 图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是 （　　） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ４．如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体， 它的俯视图是 （　　） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ５．某市２０２４年的扶贫资金为ａ万元，比２０２３年 增长了ｘ％，计划２０２５年的增幅调整为上一年 的２倍，则这３年的扶贫资金总额将达到 （　　） Ａ．ａ（３＋３ｘ％）万元 Ｂ．ａ １ １－ｘ％ ＋２＋２ｘ％( )万元 Ｃ．ａ（３＋ｘ％）万元 Ｄ．ａ １ １＋ｘ％ ＋２＋２ｘ％( )万元 ６．如图，ＢＤ是⊙Ｏ的直径，点 Ａ，Ｃ在⊙Ｏ上， ＡＢ ) ＝ＡＤ ) ，ＡＣ交ＢＤ于点Ｇ。若∠ＣＯＤ＝１２６°，则 ∠ＡＧＢ的度数为 （　　） Ａ．９９° Ｂ．１０８° Ｃ．１１０° Ｄ．１１７° 第６题图 　　 第７题图 ７．实数 ａ，ｂ在数轴上的位置如图所示，化简 （ａ＋１）槡 ２＋ （ｂ－１）槡 ２－ （ａ－ｂ）槡 ２的结果为 （　　） Ａ．－２ Ｂ．０ Ｃ．－２ａ Ｄ．２ｂ ８．抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ上部分点的横坐标ｘ、纵坐 标ｙ的对应值如表，从表中可知，下列说法正 确的是 （　　） ｘ … －２ －１ ０ １ ２ … ｙ … ０ ４ ６ ６ ４ … Ａ．抛物线的对称轴为直线ｘ＝０ Ｂ．抛物线与ｘ轴的一个交点为（３，０） Ｃ．ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的最大值为６ Ｄ．在对称轴右侧，ｙ随ｘ增大而增大 ９．八年级某学生在一次户外活动中进行射击比 赛，七次射击成绩依次为（单位：环）４，５，６，６，６， ７，８，则下列说法错误的是 （　　） Ａ．该组成绩的众数是６环 Ｂ．该组成绩的中位数是６环 Ｃ．该组成绩的平均数是６环 Ｄ．该组成绩数据的方差是１０ １０．二次函数 ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋３（ａ为常数，ａ≠０），当 ａ－１≤ｘ≤２时二次函数的函数值 ｙ恒小于４， 则ａ的取值范围是 （　　） Ａ．ａ＜ １ ８ Ｂ．ａ＞－１ Ｃ．０＜ａ＜ １ ８ 或ａ＜０ Ｄ．０＜ａ＜ １ ８ 或－１＜ａ＜０ 二、填空题（本大题共６小题，每小题３分，共１８分） １１．－ ３ ４ ａ６ｂ７÷ １ ２ ａ２ｂ２＝　　　　。 １２．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动， 并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、 质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的 概率是　　　　。 １３．如图，在等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，边 ＡＣ的 垂直平分线交 ＢＣ于点 Ｄ，交 ＡＣ于点 Ｅ。若 △ＡＢＤ的周长为２６，则ＤＥ的长为　　　　。 １４．已知关于ｘ的一元二次方程（３ａ－１）ｘ２－ａｘ＋ １ ４ ＝ ０有两个相等的实数根，则代数式ａ２－２ａ＋１＋ １ ａ 的值等于　　　　。 １５．如图，把图中的△ＡＢＣ经过一定的变换得到 △Ａ′Ｂ′Ｃ′，如果图中△ＡＢＣ边 ＡＢ上的点 Ｐ 的坐标为（ａ，ｂ），那么它的对应点 Ｐ′的坐标 为　　　　。 １６．矩形ＡＢＣＤ与矩形ＣＥＦＧ如图放置，点Ｂ，Ｃ， Ｅ共线，点Ｃ，Ｄ，Ｇ共线，连接ＡＦ，取ＡＦ的中 点Ｈ，连接 ＧＨ。若 ＢＣ＝ＥＦ＝２，ＣＤ＝ＣＥ＝１， 则ＧＨ＝　　　　。 三、作图题（本大题共４分） １７．已知：如图，△ＡＢＣ（ＡＢ＞ＡＣ）。在 ＡＢ左侧求 作一点 Ｐ，使得 ＰＡ＝ＰＢ，且∠Ｃ＋∠ＡＰＢ＝ １８０°。 四、解答题（本大题共９小题，共６８分） １８．（６分）已知ａ是槡１０的整数部分，ｂ是它的小 数部分，求（－ａ）３＋（ｂ＋３）２的值。 １９．（６分）先化简 ｘ２＋４ｘ＋４ ｘ２－４ －ｘ－２( ) ÷ｘ＋２ｘ－２，然后从 －２≤ｘ≤２范围内选取一个合适的整数作为 ｘ 的值代入求值。 ２０．（６分）为了解甲、乙两校九年级学生对《校园安 全》的学习情况，每个学校随机抽取２０名学生 进行测试，测试后对学生的成绩进行了整理和 分析。 信息一：绘制成了如下两幅统计图。 　 （数据分组为Ａ组：６０≤ｘ＜７０，Ｂ组：７０≤ｘ＜８０， Ｃ组：８０≤ｘ＜９０，Ｄ组：９０≤ｘ≤１００） 信息二：甲校学生的测试成绩（单位：分）位于Ｃ 组的为８０，８２．５，８２．５，８５，８６，８９，８９．５，８２．５， ８５。 信息三：甲、乙两校成绩的平均数、中位数、众数 如表： 平均数 中位数 众数 甲校 ８３．２ ａ ８２．３ 乙校 ８０．６ ８１ ８０ 根据以上信息，回答下列问题： （１）扇形统计图中，Ｃ组所在的圆心角度数为 　　　　，乙校学生的测试成绩位于Ｄ组的人数为 　　　　，表格中ａ＝　　　　； （２）在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均 为８２分，则两名同学谁在各自学校测试成绩中的 排名更靠前？并说明理由； （３）假设甲校学生共有８００人参加此次测试，估计 甲校成绩超过８７分的人数。                                                                                                                                                                                                                     １７２０２４年青大附中学业水平第二次阶段性质量检测 （时间：１２０分钟　总分：１２０分） — １００— — １０１— — １０２— ２１．（８分）如图，以ＢＣ为直径的⊙Ｏ交△ＡＢＣ的边 ＡＢ于点Ｄ，过点 Ｄ作⊙Ｏ的切线交 ＡＣ于点 Ｅ， 且ＡＣ＝ＢＣ。 （１）求证：ＤＥ⊥ＡＣ； （２）若ＢＣ＝４ｃｍ，ＡＤ＝３ｃｍ，求ＡＥ的长。 ２２．（８分）如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，Ｅ，Ｆ分别是ＯＢ，ＯＤ的 中点，连接ＡＥ并延长ＡＥ至点Ｇ，使ＥＧ＝ＡＥ， 连接ＣＧ，ＣＦ。 （１）求证：△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ； （２）当线段ＡＢ与线段ＡＣ满足什么数量关系 时，四边形ＥＧＣＦ是矩形？请说明理由。 ２３．（６分）在一次测量物体高度的数学实践活动 中，张老师从一条笔直公路上选择三盏高度相 同的路灯进行测量。如图，他先在路灯Ｂ处利 用测倾器测得路灯 ＭＮ顶端的仰角为 １０°，再 沿ＢＮ方向前进１０米，到达点Ｄ处，在点Ｄ处 利用同一个测倾器测得路灯ＰＱ顶端的仰角为 ２７°。若测倾器的高度为 １．２米（ＡＢ＝ＣＤ＝ １．２米），相邻两根灯柱之间的距离相等，求路 灯的高度（结果精确到０．１米）。（参考数据： ｓｉｎ１０°≈０．１７，ｃｏｓ１０°≈０．９８，ｔａｎ１０°≈０．１８， ｓｉｎ２７°≈０．４５，ｃｏｓ２７°≈０．８９，ｔａｎ２７°≈０．５１） ２４．（８分）如图，点 Ｆ在四边形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ上。 （１）如图１，当四边形 ＡＢＣＤ是正方形时，过 点Ｂ作ＢＥ⊥ＣＦ，垂足为Ｏ，交ＡＤ于点Ｅ，则 ＢＥ与ＣＦ的大小关系是　　　　； （２）当四边形 ＡＢＣＤ是矩形，ＡＤ＝６，ＡＢ＝ ８时， ①如图２，点 Ｐ是 ＢＣ上的一点，过点 Ｐ作 ＰＥ⊥ＣＦ，垂足为 Ｏ，点 Ｏ恰好落在对角线 ＢＤ上，求 ＯＣ ＯＥ 的值； ②如图 ３，点 Ｐ是 ＢＣ上的一点，过点 Ｐ作 ＰＥ⊥ＣＦ，垂足为 Ｏ，点 Ｏ恰好落在对角线 ＢＤ上，延长 ＥＰ，ＡＢ交于点 Ｇ，当 ＢＧ＝２时， ＤＥ＝　　　　。 图１ 　 图２ 　 图３ ２５．（８分）某公司经过市场调查发现，该公司生产 的某商品在第ｘ天的销售单价为ｔ（元／件），且 ｔ＝ ｘ＋２０，（１≤ｘ≤４９且ｘ为整数） ５５，（５０≤ｘ≤６０且ｘ为整数）{ 该商品在第 ｘ天 的 销 量 为 ｙ （件 ）， 且 ｙ ＝ ２００－４ｘ，（１≤ｘ≤４９且ｘ为整数） ｘ－４０，（５０≤ｘ≤６０且ｘ为整数）{ 已知该商品 第１０天的售价若按 ８折出售，仍然可以获得 ２０％的利润。 （１）公司生产该商品每件的成本为多少元？ （２）销售该商品第几天时，当天的利润最大？ 最大利润为多少？ （３）该公司每天还需要支付人工、水电和房租 等其他费用共计 ａ元，这 ６０天内要保证至少 ５５天最多５７天在除去各项费用后还有盈利，则 ａ的取值范围是　　　　（直接写出结果）。 ２６．（１２分）如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠ＡＤＣ＝ ９０°，ＡＤ＝４ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ，ＣＤ＝３ｃｍ，Ｇ是ＡＢ上一点 且ＡＧ＝１ｃｍ，过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ，交ＢＣ延长线于点 Ｅ。动点Ｐ从点Ｇ出发以１ｃｍ／ｓ的速度沿线段ＧＢ 向终点 Ｂ匀速运动；同时动点 Ｑ从点 Ｂ出发以 ２ｃｍ／ｓ的速度沿线段ＢＣ向终点Ｃ匀速运动，过点 Ｑ作ＱＦ∥ＰＤ，交ＣＤ于点Ｈ，交ＤＥ于点Ｆ，当点Ｐ 到达点Ｂ时，点Ｑ也停止运动。设运动时间为ｔｓ （０＜ｔ＜４）。解答下列问题： （１）当ｔ为何值时，四边形ＰＱＨＤ是平行四边形？ （２）设△ＤＰＱ的面积为Ｓ（ｃｍ２），求Ｓ与ｔ的函数关 系式； （３）在运动过程中，是否存在某一时刻ｔ，使ＤＱ平 分四边形ＰＱＣＤ的面积？ （４）当ｔ为何值时，△ＢＰＱ是等腰三角形？                                                                                                                                                                                                                           