培优点04 平面向量中的最值问题（7大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

培优点04平面向量中的最值问题 目录 01方法总结… 02题型归纳 3 题型一：借助向量线性运算求解图形中向量的最值问题 3 题型二：通过向量线性运算求解向量最值问题… 题型三：采用建立平面直角坐标系方法求解向量最值 题型四：运用三角换元法求解向量最值问题.… 11 题型五：利用作图与图像分析方法求解向量最值 13 题型六：综合运用各类不等式求解向量最值 16 题型七：借助等值线方法求解向量最值问题 18 03过关测试 21 1/31 01 方法总结 2/31 02 题型归纳 题型一：借助向量线性运算求解图形中向量的最值问题 【例1】已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则AE.BE的最小值为() A B.2 1 4 D. 【答案】B 【解析】在边长为2的正方形ABCD中，AC=AB+BC, 设AE=xAC=x(AB+BC),0≤x≤1，BE=AE-AB=(x-1)AB+xBC, 而AB.BC=0,因此AE.BE=x(AB+BC)[(x-1)AB+xBC]=4x(x-1)+4x2 =8r-4红=字-分弓当且仅当时g等号。 所以正E的最小值为月 【变式1-1】如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M、N分别为边BC、CD上的动点，且MN=2, 则AM+AN的最小值为() D M A B A.4 B.2√13 C.8 D.45 【答案】C 【解析】取线段MN的中点O,连接AO、OC、AC,如下图所示： D 0.- M 3/31 因为CM1CN,所以Oc=N=1, 因为四边形ABCD为矩形，则AC=√AB2+AD2=V4+32=5, 因为AM+AN=(A0+0M)+(A0+ON)=2A0, 所以AM+AN=2AO=2AC+C可≥2AC-CO列=2×(5-1)=8， 当且仅当AC与CO方向相反时，等号成立，故AM+AN的最小值为8 故选：C 【变式1-2】（多选题）如图，在ABC中，∠BAC=120°，AC=3,AB=5,点F为线段BC的中点，D、 E在线段BC上，且DE=4,则下列说法正确的是() D A.BC=7 B.AF= 2 C.D.正的最小值为-109 196 D.tanDAE的最小值为-8405 109 【答案】AC 【解析】在ABC中，∠BAC=120°，AC=3,AB=5, 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACc0 SLBAC=52+32-2×5×3c0s120°=49， 所以BC=7,故A正确； 因为点F为线段BC的中点，所以F=B+AC), 所以F-B+AC-(aB+2B4C+4C） 5+2x5x》?所以-5，做B错满： 设BD=x,则DC=7-x,BE=4+x, 所以而=B+D=+8C=+(4C-)-（1-8+4C, 正-丽+旺=丽+号c-孤+ac-)(,B+牛C, 而G-[〔-西+c[不 4/31 -+-亚c+c -2丽+-引sc+号x -+-号5 -w〉w =921-10r+rjx25+28+6r-2x)r(5》-r+4x9 当程时，而正1= 196,故C正确 0.- 2时，(AD,AE)=0,且0。∈(90,180）， 当x=0时，而.正-5，此时(0,4）=8，且0，∈45,90， 由题意可得〈AD,AE)可在[0,0]连续变化，故当(AD,AE)从大于90°越接近90°， tanZDAE越小，故tanZDAE无最小值，故D错误 故选：AC 【变式13】在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=DE,BE=元BA+BC, 则1+4= ;F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF.DG的最小值为 【答案】 4 5 3 18 【解折】圆为CE=号DE,即CE-写A,则E=BC+CE=BA+BC, 又因为旺=28+8C,可得入写H=山，所以入+H手 因为正方形ABCD的边长为1，可得BC=BA=1,且BABC=0, 又因为F为线段BE上的动点，设BF=kBE=kBA+kBC,且k∈[0,1， 则AF=AB+BF=AB+kBE= G-1a+8c, 因为G为巾点，则DG=D1+4G=-c+号F-}-1a+}-18c, 5/31 可将亚元[-+c非+传-c -传-小- 又因为e0,小，所以当k=1时，正.DG取到最小值- D 题型二：通过向量线性运算求解向量最值问题 【例2】已知向量a=(2,2),b=(cos0,sin0)(0∈R),则a.b的最小值为() A.2W2 B.2 C.-2 D.-2√2 【答案】D 【解析】向量a=(2,2),b=(cos0,sin0)(0∈R), 则a-6=2cos0+2sin0=25sin0+号}： 当sm0+星到-1时，a方取最小值-22 【变式2-1】（多选题）已知平面向量a,方，c满足=2，=-3，a-=l,且孔eR,a-b的最小值为5， 则下列选项正确的是() A.的取值范围是[1,3] B.a-胃 c.6-c=万+l D.C在五上的投影向量的模长最大值为2 【答案】AD 【解析】对于A,因为a-c=l, a-=al2-2ad+"=a2-2acosa,+o2 =4-4c cosa,&+o=1, 6/31 即3+=4cosa,c,即-4|≤3+le≤4|d 则∈[1,3，故A正确： 对于B,因为a-6=d-2元a.6+226=922-2(a.b)1+4, 所以令t=922-2(a.b)1+4,1eR, 又因为我eR6-的最小值为5，所以1-4x9-白-=3， 9 所以a-万=士3，则cosa,6=ab=3=士} a62x3t2, 因为a,5e0小，所以a6-号或6=径，放B错误 3 对于C,因为6-d-lka-c)-(a-sa-d+la-i=a+-2la5cos3+i-, 其la--+-25cos-万或a--+-21cos-丽 所以5-=V7+1或5-=i9+1,故C错误； 对于D,设0A=a,0B=i,0C=c,且AC=e-a=1,0A,0C分别为a,c在b上的投影向量， 当∠40B=时，结合图形（图1）可知，当4C,0丽同向共线时，DC有最大值： 当∠40B=号时，结合图形（图2》可知，当C.05反向共线时，月 C有最大值： 而0C=OA+4C=OA×cos+1=2;故D正确 故选：AD C C A a a b B 图1 图2 【变式2-2】已知向量e是单位向量，向量a在e上的投影向量为22，向量b在e上的投影向量为3，则 a-的最小值为 7/31 【答案】1 【解析】令OA=2e,0B,=3e,过A作OA的垂线I,在Z上任取一点A,则a=OA,过B作OB的垂线马， 在上任取一点B,则万=OB,则ā-=DA-0B=BA≥B,A=1. B 6 洪B 故答案为：1 【变式2-3】已知向量ā，6满足2a+=3,且a-)=3,则a-的最小值为 【答案】3v5-3 2 【解析】解法一：由a(a-列=[2a+列+(a-列](a-)=3, 即(2a+b)(a-b)+(a-b)2=9, 而(2a+b)a-)=|2a+ba-cos0∈-3a-,3a-b(0为2a+6与a-6的夹角)， 所以-3a-≤9-1ā-6≤3a-b, 解得35-3s6-335+3 2 所以后-的最小值为35-3 2 解法=：设0i=a.0丽=6,2a+-3,符号+1， 取线段4B上靠近A的三等分点C,则0C-号a+5,且od=1 2 由a.a-b=3,得OA.CA=1. 如图，以OC所在直线为x轴，线段OC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 则o(,c6 8/31 设工川，由O1C=1,得x+y=,易得点4的轨迹是圆。 所以4C的最小值为5-」，所以AB的最小值为35-3， 2 2 即丘-6的最小值为35-3 2 故答案为： 3V5-3 2 题型三：采用建立平面直角坐标系方法求解向量最值 【例3】己知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如 图加黑的9个点)，A,C,B为这9个点中均不相同的三个点，则AC.AB的最大值为() 田字格 A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【解析】建立如图所示的直角坐标系， 珠田字格 A 9个点的坐标为0,0)，（0,1，(0,2)，(1,2)，(1,1，(1,0)，（2,0)，（2,1,2,2)， 若点A在原点，任取两点作为向量坐标，发现(2,1)(2,2)=6或(2,2)(1,2)=6取得最大值， 故AC.AB的最大值为6.经检验可知，当A,C,B取其他坐标时，AC.AB的值均不会超过6 故选：C 【变式3-1】如图，正方形ABCD的边长为2，E为边BC的中点，F为边CD上一点，当AE.AF取得最 大值时，tanZEAF=() 9/31 D F E B A B吉 C. D. 【答案】B 【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则 A0,0),E2,1. D E 设DF=x,则F(x,2),0≤x≤2，故AF=(x,2),AE=(2,1 所以AE·AF=(2,1(x,2)=2x+2,当x=2时，AE,AF取得最大值， 1- 此时tan∠EAF=tam-∠BAE=2=} 4 13 1+ 2 故选：B 【变式3-2】如图，在梯形ABCD中，AD18C,BC=24B=24D=8,B=号，若M,N是线段BC上的 动点，且MN=2,则DM.DN的最小值为 B M 【答案】11 【解析】以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy, 10/31 培优点04 平面向量中的最值问题 目录 01 方法总结 2 02 题型归纳 3 题型一：借助向量线性运算求解图形中向量的最值问题 3 题型二：通过向量线性运算求解向量最值问题 4 题型三：采用建立平面直角坐标系方法求解向量最值 4 题型四：运用三角换元法求解向量最值问题 5 题型五：利用作图与图像分析方法求解向量最值 5 题型六：综合运用各类不等式求解向量最值 6 题型七：借助等值线方法求解向量最值问题 6 03 过关测试 8 题型一：借助向量线性运算求解图形中向量的最值问题 【例1】已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（多选题）如图，在中，，，，点为线段的中点，、在线段上，且，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【变式1-3】在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 题型二：通过向量线性运算求解向量最值问题 【例2】已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 【变式2-1】（多选题）已知平面向量满足，且的最小值为，则下列选项正确的是（ ） A．的取值范围是 B． C． D．在上的投影向量的模长最大值为2 【变式2-2】已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 【变式2-3】已知向量满足，且，则的最小值为________． 题型三：采用建立平面直角坐标系方法求解向量最值 【例3】已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式3-1】如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为_______. 【变式3-3】在平面直角坐标系中，已知点是轴上的两个动点，且，则的最小值为__________. 题型四：运用三角换元法求解向量最值问题 【例4】（多选题）已知平面向量满足，且，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最大值为5 【变式4-1】已知平面向量满足：，，则的最小值为（　　） A．2 B． C．2 D． 题型五：利用作图与图像分析方法求解向量最值 【例5】已知平面内两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】已知向量 满足，，则的最大值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】若，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六：综合运用各类不等式求解向量最值 【例6】设非零向量满足，则夹角余弦值的最大值为_____． 【变式6-1】已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【变式6-2】若，，，则的最大值是________． 【变式6-3】平面向量满足，则的最大值为_____． 题型七：借助等值线方法求解向量最值问题 【例7】如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 【变式7-1】如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________．    【变式7-2】如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 1．已知向量满足在上的投影向量是，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，是的中线，G为的中点，过点G的直线分别与交于点，且，，其中，则的最小值为（   ）    A．4 B．9 C． D． 3．设向量，，则的最大值为（   ） A．13 B．8 C．5 D．10 4．（多选题）在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与交于点，设，其中，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等边三角形 C．若，则 D．若，则的最小值为 5．如图，在中，已知，，且，若线段的中点分别为，则的最小值为______ 6．设非零向量的夹角为，且，则函数的最小值是__________. 7．在平行四边形中，，，，若，则的最小值为_____. 8．在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若，，则的最小值是______. 9．在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为________. 10．设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为______. 11．在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____． 12．已知是单位向量，，若，则的最大值是_____． 13．如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示，则的最大值为__________，的最大值为__________. 14．已知向量与的夹角为，且，，. (1)当时，求； (2)求的最小值. 15．如图，在中，角的对边分别为．已知，为CD上一点，且满足． (1)求的值； (2)求的最小值． 16．在矩形中，分别是线段的中点，且． (1)求； (2)若为线段上的动点，求的最小值． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $