精品解析：山东省济宁市任城区济宁学院附属中学2024—2025学年第二学期期中考试七年级数学试题

2024-2025学年第二学期期中考试 初一数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是平板电脑支架侧面的平面示意图，其中还可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” B. 在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 C. 画一条直线，使它的长度为 D. 射线和射线是同一条射线 4. 如图，一个含角的直角三角板的两个顶点分别落在一把直尺的两边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 小李在解关于x的方程时（其中为已知数），误将“”中的“”号看成“”号，得方程的解为，则原方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，两点在直线上，，两点在直线上，，，，点到直线的距离是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 8. 如图，三条直线相交于点O，且，若平分．的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有5个刻度（如图，单位：厘米）．用这把直尺能直接量出多少个不同的长度（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 将一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为，则这三个扇形中最大的圆心角的度数为_________． 12. 阅读下框中解方程的过程，四个步骤中，不是依据等式的性质变形的是_____．（请填写序号） 13. 如图，已知点在线段上，线段，线段的长是线段长的两倍，点是线段的中点，则线段的长是________________. 14. 如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为______． 15. 定义一种新运算“”，，例如：，则关于x的方程的解是___________． 三、解答题：（共55分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，已知平面上三个点，，，请按要求完成下列问题： （1）画线段，射线，直线； （2）在线段上求作点，使得；（尺规作图，保留作图痕迹） （3）在（2）所作的图中标出线段的中点，如果，，求的长． 18. 如图，已知直线，相交于点，与互余，平分，． （1）的对顶角是_____________，的邻补角是_____________和_____________； （2）求的度数． 19. 为备战济宁马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校的环形跑道上跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑．如果两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 20. 如图，， （1）试说明：； （2）若是的平分线，，求的度数． 21. 市场调研：某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 《哪吒•2》票房大卖以后，商场从厂家购进哪吒、敖丙图案的两款书包，其中哪吒图案书包6个，敖丙图案书包5个，共付款1050元，已知每个哪吒图案书包的进价比每个敖丙图案书包贵10元． 信息二 商场将哪吒图案书包按信息一中的进价提高50%后标价，实际销售时再打折出售，此时每个哪吒图案书包仍可获利20%． 问题解决： （1）请利用方程的知识，求每个哪吒和敖丙图案书包的进价分别为多少元？ （2）在信息二中，哪吒图案书包实际销售时打多少折出售？ 22. 探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点作，…… （1）补全证明过程（在对应序号位置补全）： 证明：过点作． ①（②） ，， （③）， ④（两直线平行，内错角相等）， 又， ． （2）在图2中，猜测与，之间的数量关系，并完成证明． （3）善思小组提出： ①如图3，已知，则角、、之间的数量关系为____________．（直接填空） ②如图4，，，分别平分，．则与之间的数量关系为__________．（直接填空） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中考试 初一数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）进行判断． 【详解】解：A、方程只含一个未知数，且未知数的最高次数为1，是整式方程，符合一元一次方程的定义，符合题意； B、含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，不符合题意； C、分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元一次方程的定义，不符合题意； D、未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程的定义，不符合题意， 故选：A． 2. 如图是平板电脑支架侧面的平面示意图，其中还可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的表示方法．角的表示方法有四种：用三个字母，中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点；当以某点为顶点的角只有一个时，可以只用这个角的顶点字母表示；用一个数字表示一个角；用一个希腊字母表示一个角． 【详解】解：的顶点是点，的两条边分别是和，其中点在边上，点在边上， 还可以表示为．   故选：B ． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” B. 在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 C. 画一条直线，使它的长度为 D. 射线和射线是同一条射线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何基本概念，包括直线的性质、射线的定义以及公理的应用．选项A正确应用了“两点确定一条直线”的原理；选项B混淆了“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”；选项C错误地认为直线有长度；选项D错误地认为方向相反的射线是同一条射线． 【详解】解：∵两点确定一条直线，选项A中用两个钉子固定木条符合这一原理，∴A正确． ∵选项B中缩短路程是基于“两点之间线段最短”的公理，而非“两点确定一条直线”，∴B错误． ∵直线是无限延伸的，没有固定长度，∴C错误． ∵射线是以A为端点向B方向延伸，射线是以B为端点向A方向延伸，方向相反，不是同一条射线，∴D错误． 故选：A． 4. 如图，一个含角的直角三角板的两个顶点分别落在一把直尺的两边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，再由即可求得的度数． 【详解】解：如图，∵直尺的两边平行， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，平行线性质的使用是关键． 5. 下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式得性质，等式两边同时加或减同一个数或式子，等式仍然成立；等式两边乘同一个数，等式仍成立；等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立．根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、当时，由，不能推出，故本选项不符合题意． B、等式两边同时加上x，得，故本选项不符合题意． C、因为，所以，故本选项不符合题意． D、因为，当等式两边同时乘以4，得，故本选项符合题意． 故选：D． 6. 小李在解关于x的方程时（其中为已知数），误将“”中的“”号看成“”号，得方程的解为，则原方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值，再将其代入原方程，解之即可得出结论． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， 原方程为， 解得：， 原方程的解为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 7. 如图，，两点在直线上，，两点在直线上，，，，点到直线的距离是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，从图中找出点到直线的垂线段，这个垂线段的长度就是点到直线的距离． 【详解】解：∵， ∴线段是点到直线的垂线段， 线段的长度是点到直线的距离, 故选：A． 8. 如图，三条直线相交于点O，且，若平分．的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，垂线等知识．熟练掌握对顶角相等，角平分线，明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据小船数量表示大船数量，再根据总人数列方程． 【详解】解：设有x只小船，则大船有只． ∵小船每只坐4人，∴小船共坐4x人． ∵大船每只坐6人，∴大船共坐人． ∵总人数为38人， ∴． 故选D． 10. 有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有5个刻度（如图，单位：厘米）．用这把直尺能直接量出多少个不同的长度（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的计数问题，找出不同长度的线段即可． 【详解】解：用这把直尺能直接量出的线段有：1厘米，3厘米，7厘米，10厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米， 所以用这把直尺能直接量出8个不同的长度． 故选C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 将一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为，则这三个扇形中最大的圆心角的度数为_________． 【答案】160° 【解析】 【分析】根据面积之比即为圆心角度数之比进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，三个圆心角的和为360°， ∵三个扇形的面积比为， ∴三个扇形的圆心角度数之比为， ∴最大的圆心角度数为：． 故答案为：160°． 【点睛】本题考查了扇形圆心角的度数问题，掌握周角的度数即三个扇形圆心角的和是360°是解题关键． 12. 阅读下框中解方程的过程，四个步骤中，不是依据等式的性质变形的是_____．（请填写序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程．利用等式的性质1“等式两边同时加上或减去同一个数（或代数式），所得结果仍然是等式”；等式的性质2：“等式两边同时乘或除以同一个不是零的数（或代数式），所得结果仍然是等式”判断即可． 【详解】解：①等式两边同时乘以10去分母，利用了“等式的性质2”； ②在方程的两侧同时加上，利用了“等式的性质1”； ④在方程的两边同时除以3，利用了“等式的性质2”； ③合并同类项，不是利用等式的性质； 故答案为：③． 13. 如图，已知点在线段上，线段，线段的长是线段长的两倍，点是线段的中点，则线段的长是________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得到，求得，由于点 是线段的中点，求出的长，再得到结论． 【详解】解：，线段的长是线段长的两倍， ， ， 点是线段的中点， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了两点间的距离，正确记忆中点的性质，线段的和差等知识是解题关键． 14. 如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为______． 【答案】55° 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键． 过点作，故可得出，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 定义一种新运算“”，，例如：，则关于x的方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、解一元一次方程，准确的计算是解决本题的关键． 根据新运算的定义，将转化为代数表达式，然后建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∴ 解得． 故答案为：． 三、解答题：（共55分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 17. 如图，已知平面上三个点，，，请按要求完成下列问题： （1）画线段，射线，直线； （2）在线段上求作点，使得；（尺规作图，保留作图痕迹） （3）在（2）所作的图中标出线段的中点，如果，，求的长． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）以点为圆心，线段长为半径画圆，即可得解；（3）根据线段的长度计算结果； 【小问1详解】 如图，即为所作图形： 【小问2详解】 如图，点即为所求： 【小问3详解】 如图，点是的中点， ， ， ， ， 点是的中点， ， ． 18. 如图，已知直线，相交于点，与互余，平分，． （1）的对顶角是_____________，的邻补角是_____________和_____________； （2）求的度数． 【答案】（1）；和 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对顶角的定义和邻补角的定义判断即可； （2）先算出的度数，进而可得的度数，即可求得的度数，根据对顶角的定义求解即可； 【小问1详解】 解：由图可知：的对顶角是， ，， 的邻补角是和； 【小问2详解】 解：与互余，， ， 平分， ， ， 的对顶角是， ． 19. 为备战济宁马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校的环形跑道上跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑．如果两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 【答案】 【解析】 【分析】设经过两人首次相遇，两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，方向相反，相对速度为速度之和，首次相遇时，总路程等于跑道周长减去，即可列出方程进行求解． 【详解】解：设经过两人首次相遇， 根据题意，得， 解得． 答：经过两人首次相遇． 20. 如图，， （1）试说明：； （2）若是的平分线，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）由，得到，再由，得到，由此即可证明； （2）先求出，由是的平分线，得到，再由，即可得到的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴ . 【小问2详解】 ∵且， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 21. 市场调研：某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 《哪吒•2》票房大卖以后，商场从厂家购进哪吒、敖丙图案的两款书包，其中哪吒图案书包6个，敖丙图案书包5个，共付款1050元，已知每个哪吒图案书包的进价比每个敖丙图案书包贵10元． 信息二 商场将哪吒图案书包按信息一中的进价提高50%后标价，实际销售时再打折出售，此时每个哪吒图案书包仍可获利20%． 问题解决： （1）请利用方程的知识，求每个哪吒和敖丙图案书包的进价分别为多少元？ （2）在信息二中，哪吒图案书包实际销售时打多少折出售？ 【答案】（1） 每个哪吒图案书包的进价为100元，每个敖丙图案书包的进价为90元 （2） 哪吒图案书包实际销售时打八折出售 【解析】 【分析】（1）设每个哪吒图案书包的进价为元，则每个敖丙图案书包的进价为元，根据哪吒图案书包6个，敖丙图案书包5个，共付款1050元建立方程求解即可； （2）先求出每个哪吒图案书包的标价，每个哪吒图案书包实际售价，再设打折出售，由标价乘以折扣等于售价即可建立方程求解折扣． 【小问1详解】 解：设每个哪吒图案书包的进价为元，则每个敖丙图案书包的进价为元， 由题意，得，解得，则（元）， 答：每个哪吒图案书包的进价为100元，每个敖丙图案书包的进价为90元； 【小问2详解】 解：每个哪吒图案书包的标价为（元）， 每个哪吒图案书包实际售价为（元）， 设打折出售， 由题意，得，解得， 答：哪吒图案书包实际销售时打八折出售． 22. 探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点作，…… （1）补全证明过程（在对应序号位置补全）： 证明：过点作． ①（②） ，， （③）， ④（两直线平行，内错角相等）， 又， ． （2）在图2中，猜测与，之间的数量关系，并完成证明． （3）善思小组提出： ①如图3，已知，则角、、之间的数量关系为____________．（直接填空） ②如图4，，，分别平分，．则与之间的数量关系为__________．（直接填空） 【答案】（1）见解析 （2）；证明见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）发现由平行线的性质得出，由，，推出，得出，推出，即可得出结论； （2）过点P作，由平行线的性质得出，由，，推出，得出，则； （3）①过点M作，由平行线的性质得出，由，推出，得出，即可得出结果； ②过点P作，过点F作，由平行线的性质得出，，由角平分线的性质得出，即，由，，推出，得出，，由角平分线的性质得出，即，推出，，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：过点P作． ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴ (平行于同一直线的两直线平行)， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又， ∴． 【小问2详解】 ； 证明：过点P作，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①；理由如下： 过点M作，如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②； 证明：过点P作，过点F作，如图4所示： ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $