精品解析：2026 年山东枣庄市初中学业水平模拟考试数学试题

2026年初中学业水平模拟考试 数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后将答题卡交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由五个大小完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 随着新一轮科技革命和产业变革逐步走向纵深，我国新能源汽车产业实现了快速发展，新能源汽车已经成为我们日常出行的重要交通工具．据统计，截至2025年底，我国新能源汽车保有量达4397万辆，其中“4397万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为深入贯彻落实“健康第一”教育理念，整体提升青少年学生身心健康水平，我市义务教育阶段学校将课间活动时间从原先的10分钟延长至15分钟．某学校在课间时间开展立定跳远、乒乓球、跳绳三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们都选择跳绳这一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱，乙带了钱，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 12. 将一个正方体木块静止放置在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数为____________． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 14. 如图所示，风车图案是由若干等腰直角三角形组成的中心对称图形，．以风车的对称中心为原点建立直角坐标系，将点绕点逆时针旋转得到点；将点绕点逆时针旋转得到点；如此循环进行下去，点的坐标是______． 15. 如图，在菱形中，，，是边上任意一点，为边上一动点，连接、，、分别为，的中点，则的最小值是____________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与化简求值 （1）计算： （2）先化简，再从、、、中选一个合适的数作为的值代入求值． 17. 如图1，在中，，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点和点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点． （1）判断的形状并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点，已知，．求的长． 18. 某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示． （1）分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； （2）求在一个循环内水温不低于的时长． 19. 【项目背景】科学种植对农林产业发展有巨大的促进作用，某苹果种植户想验证新的种植养护方式对苹果品质的提升效果，在果园内开辟了实验园区，运用新技术种植、养护．在苹果成熟采摘的时候对普通园区和实验园区苹果的大小进行对比分析． 【数据收集与整理】在普通园区和实验园区采摘的苹果中随机各抽取50个，测量它们的直径，并按照直径大小进行分组，分组标准如下： 组别 A B C D E 直径（） 数据整理1：将普通园区苹果的直径数据绘制成如图1的频数分布直方图，其中普通园区苹果优良率（直径大于或等于为优良）为． 数据整理2：将实验园区苹果的直径数据绘制成如图2的扇形统计图，实验园区苹果的直径整理记录的部分数据（已按大小进行排序）如下（单位：）： …，7.8，7.9，8.0，8.1，8.2，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.5，8.5，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，9.0，… 【数据处理和应用】 （1）普通园区苹果的直径在C组的有____________个，请补全频数分布直方图； （2）实验园区苹果直径的中位数是____________，图2中D组对应扇形的圆心角是____________； （3）已知实验园区苹果的平均直径为；普通园区苹果的直径在A，B，C，D，E五组中的平均值分别为，，，，；若实验园区苹果的平均直径比普通园区苹果的平均直径高出，就认为新的种植、养护方式效果显著．请你通过计算说明该果园实验园区实施的新种植、养护方式是否达到“效果显著”？ 20. 如图，为的直径，点为上的一点，过点作，垂足为，将沿翻折，点的对应点为，交于点，延长交的延长线于点． （1）判断与的位置关系并说明理由； （2）若，，求的长． 21. 【活动背景】某公园内山顶的平台上有一凉亭，其周围仅有台阶可以到达，如图1．甲、乙、丙三个数学兴趣小组要在某一段台阶上测量凉亭顶端到平台的距离． 【方案设计】 甲、乙、丙三个小组根据实地调研情况，设计了活动方案，形成了如下实践报告． 活动主题 测量凉亭顶端（点）到平台中心（点）的距离 实地情况 在该段台阶上能观察到凉亭顶端（点），观察不到平台中心（点），与平台垂直 测量工具 手持激光测距仪（仅可测量两点之间距离）、测角仪、支架 实践过程 如图2，甲小组成员选择一个合适的台阶放置支架（点处），在支架上固定好测角仪（点处），测量凉亭顶端点的仰角．用手持探测仪测量出测角仪（点）到凉亭顶端的距离为10.4米．甲小组通过计算，求出点到测角仪所在水平面的垂直距离． 如图3，乙小组保持支架位置和高度与甲小组一致，选取了凉亭靠近下方一点，利用同甲小组相同的方法进行测量，经过计算得到点到测角仪所在水平面的垂直距离为2.5米．乙小组还测量出了点到平台的垂直距离为0.8米（点，在同一水平面上)． 丙小组收集了甲乙两个小组的结果，在同一平面内画出示意图，如图4． 示意图 备注 ，． 【解决问题】 （1）请仔细阅读实践报告，根据方案设计，求出点到测角仪所在水平面的垂直距离．（结果精确到0.1．参考数据：，，） （2）结合实践报告，求出凉亭顶端到平台中心的距离． 22. 已知，二次函数（为常数）的图象经过点，两点． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）若点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，有最大值7，最小值，求的取值范围． 23. 探究解题： （1）如图，等腰直角中，点是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点是边上任意一点（不与点，重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点是直线上任意一点，请直接写出当时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试 数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后将答题卡交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，已知进球数记为正，则失球数应记为负，据此求解即可． 【详解】解：如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作个， 故选：B． 2. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3. 如图是由五个大小完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主视图是指从正面看得到的图形，从正面看，从左往右3列小正方形的个数依次为，，，由此即可得出答案， 【详解】解：从正面看，从左往右3列小正方形的个数依次为，，，， 如图所示：， 4. 随着新一轮科技革命和产业变革逐步走向纵深，我国新能源汽车产业实现了快速发展，新能源汽车已经成为我们日常出行的重要交通工具．据统计，截至2025年底，我国新能源汽车保有量达4397万辆，其中“4397万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：4397万 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 6. 为深入贯彻落实“健康第一”教育理念，整体提升青少年学生身心健康水平，我市义务教育阶段学校将课间活动时间从原先的10分钟延长至15分钟．某学校在课间时间开展立定跳远、乒乓球、跳绳三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们都选择跳绳这一项活动的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列表，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】设立定跳远、乒乓球、跳绳三项活动分别为，，， 共有种等可能结果，他们都选择跳绳这一项活动的结果有1种， 所以他们都选择跳绳这一项活动的概率是． 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱，乙带了钱，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找到两个等量关系，分别列出方程即可得到正确结果． 【详解】解：设甲带了钱，乙带了钱， ∵甲得到乙所有钱的一半后，甲共有钱50， ∴甲原有钱加上乙钱的一半等于50，得方程 ， ∵乙得到甲所有钱的后，乙共有钱50， ∴乙原有钱加上甲钱的等于50，得方程 ， 因此可得方程组 ． 8. 如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】连接，可得，即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ， ∴这个正多边形的边数为． 9. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象在点和之间即可作出判断． 【详解】解：反比例函数的图象在点和之间， ，即， 观察四个选项，只有选项D符合题意． 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】由图象得，抛物线顶点坐标为，即可判断①②，然后利用待定系数法求出函数解析式，然后分别将和代入即可判断③④． 【详解】解：①由图象得，抛物线顶点坐标为 ∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确； ②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故，故②正确； ③设函数解析式为：， 把代入得，解得， 函数解析式为， 当时，，故③错误； ④当时，， 解得：，故④错误． 综上所述，其中正确的有①②． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 12. 将一个正方体木块静止放置在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数为____________． 【答案】##155度 【解析】 【分析】过作，先求，再由两直线平行，同位角相等得到，结合求解． 【详解】如图，过作， 根据题意可知，， ， ， ， ， ． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根可以得到，且判别式，从而求出结果． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且判别式， ∴， 解得，即， 又∵， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 14. 如图所示，风车图案是由若干等腰直角三角形组成的中心对称图形，．以风车的对称中心为原点建立直角坐标系，将点绕点逆时针旋转得到点；将点绕点逆时针旋转得到点；如此循环进行下去，点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得点的坐标每次旋转为一个循环，然后通过，得的坐标和相同，求出坐标即可． 【详解】解：如图， 根据题意得每次旋转，则旋转一周所需要的次数为（次），即点的坐标每次旋转为一个循环， ∵， ∴的坐标和相同， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 15. 如图，在菱形中，，，是边上任意一点，为边上一动点，连接、，、分别为，的中点，则的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点D作于G，根据三角形中位线定理，可得，从而得到当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长，在菱形中，得到，则，然后根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点G， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与化简求值 （1）计算： （2）先化简，再从、、、中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1） （2），10 【解析】 【分析】（1）先计算平方、算术平方根、绝对值，再合并即可． （2）先根据分式的混合运算法则化简，再代入使得分式有意义的值求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， 根据分式有意义得，即， 故取，则原式． 17. 如图1，在中，，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点和点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点． （1）判断的形状并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点，已知，．求的长． 【答案】（1） 解：为等腰三角形，理由如下： ，， ， 由作法得平分， ， ， ，即为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得为的平分线，计算角度可得为等腰三角形； （2）根据题意可得为的垂直平分线，可得，则可得，利用勾股定理列方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由作法可得为的垂直平分线， ， ， ， ， 设，则， 则， ， 解得．即 18. 某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示． （1）分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； （2）求在一个循环内水温不低于的时长． 【答案】（1）； （2）分钟 【解析】 【分析】（1）根据函数图象分为当时和当时，分别求出函数关系式即可； （2）分别求出当时，，解得；，解得；然后相减即可； 【小问1详解】 解：水温上升时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图象可得：， 解得：， ； 水温下降时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图象可得：，解得：， 关于的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，，解得； ， 解得， 在一个循环内水温不低于的时间为（分钟） 19. 【项目背景】科学种植对农林产业发展有巨大的促进作用，某苹果种植户想验证新的种植养护方式对苹果品质的提升效果，在果园内开辟了实验园区，运用新技术种植、养护．在苹果成熟采摘的时候对普通园区和实验园区苹果的大小进行对比分析． 【数据收集与整理】在普通园区和实验园区采摘的苹果中随机各抽取50个，测量它们的直径，并按照直径大小进行分组，分组标准如下： 组别 A B C D E 直径（） 数据整理1：将普通园区苹果的直径数据绘制成如图1的频数分布直方图，其中普通园区苹果优良率（直径大于或等于为优良）为． 数据整理2：将实验园区苹果的直径数据绘制成如图2的扇形统计图，实验园区苹果的直径整理记录的部分数据（已按大小进行排序）如下（单位：）： …，7.8，7.9，8.0，8.1，8.2，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.5，8.5，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，9.0，… 【数据处理和应用】 （1）普通园区苹果的直径在C组的有____________个，请补全频数分布直方图； （2）实验园区苹果直径的中位数是____________，图2中D组对应扇形的圆心角是____________； （3）已知实验园区苹果的平均直径为；普通园区苹果的直径在A，B，C，D，E五组中的平均值分别为，，，，；若实验园区苹果的平均直径比普通园区苹果的平均直径高出，就认为新的种植、养护方式效果显著．请你通过计算说明该果园实验园区实施的新种植、养护方式是否达到“效果显著”？ 【答案】（1）12，补全频数分布直方图如图： （2）8.05， （3）达到“效果显著” 【解析】 【分析】（1）根据普通园区苹果优良率（直径大于或等于为优良）为，得出D，E组有10个，进而求得D组的个数，根据频数分布直方图求得C组的个数，进而补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义可知实验园区苹果直径的中位数在D组，进而求得第25，26个数据分别为8.0，8.1，即可求得中位数，根据D组的个数为16个，用其占比乘以，进而求得D组对应圆心角的度数； （3）根据加权平均数的方法计算普通园区苹果的平均直径，进而求得实验园区苹果的平均直径比算普通园区苹果的平均直径高出的百分比，和比较，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：（个）， ∴D组的个数为：（个）． 则C组的个数为：（个）． 补全频数分布直方图略 【小问2详解】 解：D组， ∴D组的数据为：8.0，8.1，8.2，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.5，8.5，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，8.9，共16个． A组：（个）， B组：（个）， E组：（个）， C组： （个）， A、B、C组一共有：（个）， ∴第25，26个数据分别为8.0，8.1． ∴实验园区苹果直径的中位数是 ． D组对应扇形的圆心角是． 【小问3详解】 解：普通园区苹果的平均直径为： ， ， ∴该果园实验园区实施的新种植、养护方式达到“效果显著”． 20. 如图，为的直径，点为上的一点，过点作，垂足为，将沿翻折，点的对应点为，交于点，延长交的延长线于点． （1）判断与的位置关系并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：与相切，理由：连接， ， ， 将沿翻折，点的对应点为， ，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，即可得出，得到，从而得出是的切线； （2）连接，交于点，证明四边形为矩形，根据垂径定理可得，再利用解直角三角形求得半径，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点， 为直径， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理可得，， ， 根据勾股定理可得， ． 21. 【活动背景】某公园内山顶的平台上有一凉亭，其周围仅有台阶可以到达，如图1．甲、乙、丙三个数学兴趣小组要在某一段台阶上测量凉亭顶端到平台的距离． 【方案设计】 甲、乙、丙三个小组根据实地调研情况，设计了活动方案，形成了如下实践报告． 活动主题 测量凉亭顶端（点）到平台中心（点）的距离 实地情况 在该段台阶上能观察到凉亭顶端（点），观察不到平台中心（点），与平台垂直 测量工具 手持激光测距仪（仅可测量两点之间距离）、测角仪、支架 实践过程 如图2，甲小组成员选择一个合适的台阶放置支架（点处），在支架上固定好测角仪（点处），测量凉亭顶端点的仰角．用手持探测仪测量出测角仪（点）到凉亭顶端的距离为10.4米．甲小组通过计算，求出点到测角仪所在水平面的垂直距离． 如图3，乙小组保持支架位置和高度与甲小组一致，选取了凉亭靠近下方一点，利用同甲小组相同的方法进行测量，经过计算得到点到测角仪所在水平面的垂直距离为2.5米．乙小组还测量出了点到平台的垂直距离为0.8米（点，在同一水平面上)． 丙小组收集了甲乙两个小组的结果，在同一平面内画出示意图，如图4． 示意图 备注 ，． 【解决问题】 （1）请仔细阅读实践报告，根据方案设计，求出点到测角仪所在水平面的垂直距离．（结果精确到0.1．参考数据：，，） （2）结合实践报告，求出凉亭顶端到平台中心的距离． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）延长和交于点，解直角三角形，求得即可； （2）过点作平行于地面的直线，延长交于点，根据题意可得米，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，延长和交于点， 米， 答：点到测角仪所在水平面的垂直距离约为米； 【小问2详解】 解：如图，过点作平行于地面的直线，延长交于点， 根据题意可得四边形为矩形，米， 米， 米， 米． 答：凉亭顶端到平台中心的距离为米． 22. 已知，二次函数（为常数）的图象经过点，两点． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）若点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，有最大值7，最小值，求的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求得抛物线的对称轴，进而可求得b，可得表达式和顶点坐标； （2）先求出点P平移后的点的坐标，然后把坐标代入（1）中表达式求解，即可解答； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（为常数）的图象经过点，两点， ∴该函数的对称轴为直线，则， 解得， ∴该二次函数的表达式为， 当时，， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后的坐标为， 将代入中，得， 解得或（舍去）， 故m的值为4； 【小问3详解】 解：由（1）知，该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，开口向下， 又当时，有最大值7，最小值， ∴当时，取最大值7， ∵当时，， 又点关于对称轴对称的点的坐标为 ∴． 23. 探究解题： （1）如图，等腰直角中，点是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点是边上任意一点（不与点，重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点是直线上任意一点，请直接写出当时的长． 【答案】（1）解：，理由如下： 是等腰直角三角形， ，， ， 即， ， ， ； （2） 解：成立，理由： ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用证明，得； （2）根据等腰三角形的性质得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）分两种情况，即点在线段上和点在线段的延长线上，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，当点在线段上， 根据（2）可得， ， ，， ， ． 如图3，当点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，， ， ． 综上所述，为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $