精品解析：山东省滕州市滕南中学2024-2025学年下学期九年级中考第二次模考数学试题

山东省滕州市滕南中学2024-2025学年度第二学期 北师大版九年级第二次模考数学试题 一、单选题 1. 使分式有意义的实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. “春季是甲流的高发期，甲流是一种由．病毒引起的流行性感冒．为预防感染；同学们应增强自身免疫力．”甲流病毒的直径约为，用科学记数法表示该数据为（ ） A. B. C. D. 3. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个正数的正的平方根是，那么比这个正数大的数的平方根是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将一对三角板按如图方式摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 双眼皮由显性基因控制，小颍的爸爸、妈妈关于眼皮的基因组成分别为和，则小颖是双眼皮的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的边长为6，对角线AC，BD交于点O，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，当取得最小值时，菱形两条对角线的和为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 9. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 8 10. 如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题 11. 已知，则的值是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式组的解集为______． 13. 如图，内接于，是的直径，交于点C，若，则的度数为________°． 14. 如图，在边长为2的正方形中，以点为圆心，以长为半径作弧，交对角线于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的长为________． 15. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则_____． 16. 如图，圆心都在轴正半轴上的半圆，半圆，…，半圆与直线相切．设半圆，半圆，…，半圆的半径分别是，，…，，则当时，_________． 三、解答题 17. （）计算：． （）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 18. 【问题背景】 小明家最近购入一辆新能源汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量（%）与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 0 10 30 60 增加的电量（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如图2： 【建立模型】观察表1、图2发现都是一次函数模型，请结合表1、图2数据， （1）关于的函数表达式为____________； （2）当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是多少? 【解决问题】 （3）小明家自驾新能源汽车从长春出发去沈阳的辽宁体育馆观看联赛，全程400千米，汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，在途中的铁岭服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后新能源汽车仪表盘显示电量，则新能源汽车在服务区充电______分钟． 19. 北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如下统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人； （2）补全条形统计图； （3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率． 20. 如图，现有一根长为匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在O点左侧处挂一个重的物体，在点O的右侧处用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤的示数F（单位：）与相应的L的部分实验数据如下表： … 10 15 20 25 … … 30 20 15 a … （1）填空：表中a的值为______． （2）猜想并验证F与L之间的函数关系式． （3）保持木杆处于水平状态，移动弹簧秤到什么位置时，弹簧秤的示数F最小？是多少？ 21. 小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面l上，底座的高为，长度均为的连杆与始终在同一平面上． （1）转动连杆，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度； （2）为了让光线更佳，他将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当时，台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？ 22. 如图，是的直径，是的弦，连接是的切线，交的延长线于点，半径交于点． （1）写出图中任意一组相等的角：___________； （2）求证：； （3）若，求图中阴影部分的面积． 23. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 24. 已知二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1． （1）求的值． （2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省滕州市滕南中学2024-2025学年度第二学期 北师大版九年级第二次模考数学试题 一、单选题 1. 使分式有意义的实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键．根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：要使分式有意义，分母不为零， 即， 解得． 故选：B． 2. “春季是甲流的高发期，甲流是一种由．病毒引起的流行性感冒．为预防感染；同学们应增强自身免疫力．”甲流病毒的直径约为，用科学记数法表示该数据为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键， 绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此来解答即可． 【详解】， 故选：B． 3. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】其俯视图为： ． 故选：B． 4. 绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找出题干中的等量关系是解题的关键．根据“原计划工作时间实际工作时间”列出方程，即可解题． 【详解】解：设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米， 则实际工作时每天绿化的面积为万平方米， 根据题意得： 故选：C． 5. 一个正数的正的平方根是，那么比这个正数大的数的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是求平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义求出这个正数，即可求解． 【详解】解：一个正数的正的平方根是， 这个正数是， 比这个正数大的数的平方根是， 故选：D． 6. 如图，将一对三角板按如图方式摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，平行线的性质求出，再根据三角形的外角，得到，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 7. 双眼皮由显性基因控制，小颍的爸爸、妈妈关于眼皮的基因组成分别为和，则小颖是双眼皮的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率．画出树状图，求出概率即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中小颍是双眼皮的结果3种； ∴； 故选：D． 8. 如图，菱形的边长为6，对角线AC，BD交于点O，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，当取得最小值时，菱形两条对角线的和为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，由菱形的性质得，可证四边形为矩形，连接，则，当时，最短，由勾股定理结合面积法求得，，，再利用完全平方公式变形计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵于点，于点， ∴四边形是矩形， 连接，则，当时，的值最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴(负值已舍)， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴菱形两条对角线的和为， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用．依据题意，可得，，再由，从而，进而得解． 【详解】解：由题意，得，． ， 由两点距离公式可得：． ． 或5． 又， ． 故选：C． 10. 如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，包括二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，一元二次方程的根与系数的关系．根据二次函数的图象和性质逐项判断，由抛物线的顶点坐标为，可得函数有最小值，可判断①②；由且，则，可判断③；由对称性可得一元二次方程的根为或，可判断④错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线，，可得，可判断⑤．即可得到答案． 【详解】解：①∵抛物线的顶点坐标为 ∴对称轴直线， ∴，即，故①正确 ②根据函数图象可得抛物线开口向上， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴时，函数有最小值， ，所以②错误； ③若且，则，故，③正确； ④抛物线的对称轴为直线，可得关于的一元二次方程的根为或，故④错误； ⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ∵点，在抛物线上， ， ∴，所以⑤正确． 正确选项有3个， 故选：B． 二、填空题 11. 已知，则的值是______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．利用平方差公式分解，结合已知，推出，再将式子变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：25． 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，解一元一次不等式组，解题的关键在于求出交点坐标． 先根据两直线的交点为，将交点分别代入两直线解析式，求出，再解一元一次不等式组即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，直线和相交于点， ∴， 解得：， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴不等式组即为：， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，内接于，是的直径，交于点C，若，则的度数为________°． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，平行线的性质，圆周角定理，先根据圆周角定理以及平行线的性质得，再结合垂径定理得，故，即可求出，再结合圆周角定理得，即可作答． 【详解】解：连接记与的交点为，如图所示： ∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在边长为2的正方形中，以点为圆心，以长为半径作弧，交对角线于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质以及尺规作图，解直角三角形，正确作出垂线是解题的关键． 过点E作于点G，由题意得，平分，则，设，则，由得，求解，再由求解即可． 【详解】解：过点E作于点G， 由题意得，平分， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 设，则， ∴在中，由得：， 解得：，经检验是分式方程的解， ∴， 故答案为：． 15. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含直角三角形的性质是解题的关键． 过点作轴，垂足为，设，，根据含直角三角形的性质，求得，同理求得，继而求得，即点坐标，进而可求值． 【详解】解：过点作轴，垂足为，设，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， 在中，即， ∴， 在中，即，， ，即， ∴， ∴． 故答案为：4． 16. 如图，圆心都在轴正半轴上的半圆，半圆，…，半圆与直线相切．设半圆，半圆，…，半圆的半径分别是，，…，，则当时，_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系及切线的性质，解直角三角形，一次函数的性质，含30度角的直角三角形等知识点，通过解直角三角形找出是解题的关键．过点作直线于点，由直线的解析式可得出，根据切线的性质结合解直角三角形即可得出、、、…、的值，代入即可得出结论． 【详解】解：过点作直线于点，如图所示． ∵直线解析式为， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得：， 同理：可求出，，…， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. （）计算：． （）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】（）；（） 【解析】 【分析】（）根据乘方的定义、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别运算，再合并即可； （）分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集为解答即可求解； 本题考查了实数的混合运算，由不等式组的解集求参数，正确计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ； （）解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， ． 18. 【问题背景】 小明家最近购入一辆新能源汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量（%）与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 0 10 30 60 增加的电量（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如图2： 【建立模型】观察表1、图2发现都是一次函数模型，请结合表1、图2的数据， （1）关于的函数表达式为____________； （2）当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是多少? 【解决问题】 （3）小明家自驾新能源汽车从长春出发去沈阳的辽宁体育馆观看联赛，全程400千米，汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，在途中的铁岭服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后新能源汽车仪表盘显示电量，则新能源汽车在服务区充电______分钟． 【答案】（1）与的函数表达式为 （2）此时仪表盘显示的电量是 （3）30 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，掌握待定系数法及求函数值是解题的关键： （1）设，利用待定系数法求解即可； （2）设，利用待定系数法求出，将代入求出函数值即可； （3）分别求出前后路程需消耗的电量，假设充电t分钟，应增加电量为，由此列方程求解． 【详解】解：（1）设，将代入，得 ， 解得， ∴关于的函数表达式为， 故答案为； （2）设，将代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是； （3）当时，， ∴未充电前电量显示为， 假设充电t分钟，应增加电量为， 再次出发时电量， 走完剩下的路程为（km），故， ∴需消耗的电量为 ∴， 解得， 故答案为30． 19. 北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如下统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人； （2）补全条形统计图； （3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率． 【答案】（1）100，800 （2）补全条形统计图见解析 （3）树状图见解析，抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率为 【解析】 【分析】（1）先利用花样滑冰的人数除以其所对应的百分比，可得调查的总人数；再利用2000乘以花样滑冰的人数所占的百分比，即可求解； （2）分别求出单板滑雪的人数，自由式滑雪的人数，即可求解； （3）根据题意，画出树状图可得从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有12种，抽到项目中恰有一个项目为自由式滑雪C的有6种等可能结果．再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：调查的总人数为人； 人； 故答案为：100，800 【小问2详解】 解：单板滑雪的人数为人， 自由式滑雪的人数为人， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：根据题意，画出树状图如下： 从四项中任取两项运动的所有机会均等的结果共有12种，抽到项目中恰有一个项目为自由式滑雪C的有6种等可能结果． ∴抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率为． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，利用树状图和列表法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键． 20. 如图，现有一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在O点左侧处挂一个重的物体，在点O的右侧处用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤的示数F（单位：）与相应的L的部分实验数据如下表： … 10 15 20 25 … … 30 20 15 a … （1）填空：表中a的值为______． （2）猜想并验证F与L之间的函数关系式． （3）保持木杆处于水平状态，移动弹簧秤到什么位置时，弹簧秤的示数F最小？是多少？ 【答案】（1）12 （2）猜想：，见解析； （3）距离为时，弹簧秤的示数最小，为 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用； （1）由的乘积为定值，再列式计算可得的值； （2）先猜想，再进行验证即可； （3）根据反比例函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：猜想： 验证：，， 与成反比例函数关系，且（求三个点的乘积 确定定值） 猜想正确； 【小问3详解】 解：，， 当时，随的增大而减小 ， 当取最大值时，取最小值， 木杆长100cm，为木杆的中点，故， 当时，， 距离为50cm时，弹簧秤的示数最小，为6N． 21. 小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面l上，底座的高为，长度均为的连杆与始终在同一平面上． （1）转动连杆，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度； （2）为了让光线更佳，他将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当时，台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握构造直角三角形的方法和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键． （1）作于O，根据矩形的判定，可得四边形是矩形，先求出，然后根据锐角三角函数即可求出，从而求出； （2）过C作于点G，于点K，根据锐角三角函数，即可求出，从而求出，再求出，利用锐角三角函数即可求出，从而求出此时连杆端点D离桌面l的高度，即可求出结论． 【小问1详解】 解：如图2中，作于O．    ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∵成平角， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点C作于点G，于点K， 由题意得，， ∴在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴此时连杆端点D离桌面l的高度为， ∴比原来降低了． 22. 如图，是的直径，是的弦，连接是的切线，交的延长线于点，半径交于点． （1）写出图中任意一组相等的角：___________； （2）求证：； （3）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，解直角三角形，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明， （2）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，得到； （3）根据三角形面积公式、扇形面积公式计算即可． 小问1详解】 解：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：（）（答案不唯一）． 【小问2详解】 证明：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，， ， ， ， ， ． 23. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 【答案】（1）相等（2）成立，理由见解析（3）6或2 【解析】 分析】（1）利用证明 ，得； （2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立； （3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立． 【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：相等； （2）成立， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴∠； （3）当点D在线段上时，如图2， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 当点D在线段的延长线上时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上可知，的长为2或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明是解（1）的关键，证明是解（2）（3）的关键． 24. 已知二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1． （1）求的值． （2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，求的值． 【答案】（1） （2）①有最大值为；② 【解析】 【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式可得二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，结合题意得出，计算即可得解； （2）①由题意可得，，结合，得出，最后由二次函数的性质即可得解；②由题意可得，从而可得，整理可得，解得，，结合时，始终有，即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数，， ∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为， ∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵时，始终有， ∴的值不会随的变化而变化， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $