八年级下学期期中重难点检测卷（培优卷）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

八年级下学期期中重难点检测卷（培优卷） 【考试范围：二次根式、一元二次方程、数据分析初步、平行四边形】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若式子有意义，则点的坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件与平面直角坐标系中象限的符号特征，掌握二次根式有意义的条件及各象限内点的坐标符号特征是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，确定的取值范围，再判断点的坐标符号，从而确定所在象限． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，即， ∴， ∴点中，，且，故， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点在第二象限． 故选：B． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，通过计算判别式的值，对比其与0的大小关系即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 3．某连锁咖啡店的店长计划推出一个“惊喜福袋”，里面包含7款不同的杯子．为了控制成本，店长希望这7款杯子的价格中位数正好为50元．目前，编号为1至5的5款杯子已确定入选，它们的价格（单位：元）如下图所示．经计算，这5款杯子的价格中位数恰好为50元．现在，需要从三款杯子中挑选1款作为第6款，再从两款杯子中挑选1款作为第7款，使得最终7款杯子的价格中位数依然是50元．可以选择（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中位数的定义进行求解． 【详解】解：根据题意得，前5款杯子的价格中位数恰好为50元， ∴第6款和第7款价格都为50元，或者一个大于50元，且另一个小于50元， ∴组合满足条件． 4．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．已知整式，其中为正整数，、、、为自然数，下列说法： ①当时，若，则满足条件的整式有21个； ②若，令，（是整数，且），则有最大值； ③记，若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的运算、代数式规律、配方法的应用等知识点，弄清代数式之间的关系是解题的关键． ①先说明、，设（k为正整数），则，然后根据k的取值分情况列举即可解答；②先发现是以6为周期循环的，然后得到，，然后代入化简并运用配方法求最值即可判断；③由题意可得，，再利用同底数幂的除法即可判断． 【详解】解：①当时，整式，其中为正整数，为自然数，且． 设（k为正整数），则． 当时，，此时可取0，1，2，3，4，5，共6种情况； 当时，，此时可取0，1，2，3，4，共5种情况； 当时，，此时可取0，1，2，3，共4种情况； 当时，，此时可取0，1，2，共3种情况； 当时，，此时可取0，1，共2种情况； 当时，，此时，共1种情况； 所以满足条件的整式的个数为个，故①正确． ②已知，令，则 ； ； ； ； ； ， 可以发现是以6为周期循环的． 因为， 所以； 同理可得： 所以 ， 当时，有最大值，故②正确； 已知，则， 因为， 所以， 同理可得：， 所以， 即， 所以， 所以，故③正确． 综上，正确的有①②③，共3个． 故选：D． 6．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 7．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，不能证明对角线互相平分，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； ③当时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④符合题意； 综上所述，②③④符合题意， 故选：D． 8．某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯・热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（   ） A．乙组成绩比甲组成绩集中 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组的中位数是80分 【答案】A 【分析】本题主要考查了箱线图，解题的关键是掌握箱线图的定义． 根据箱线图数据，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由箱线图可得，乙组成绩比甲组成绩集中，该选项正确，符合题意； B. 由箱线图可得，甲组成绩的上四分位数是96分，该选项错误，不符合题意； C. 由箱线图可得， 乙组同学的成绩最高为96分，该选项错误，不符合题意； D. 由箱线图可得， 乙组的中位数是90分，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、图形旋转的性质和坐标规律探究，掌握通过多次旋转操作归纳坐标周期规律，再利用规律求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过前几次旋转找到点​的坐标规律，最后根据规律计算的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，点为坐标原点 ∴， ∴在中，根据勾股定理可得： ∵ 将绕点顺时针旋转到​，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将 绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点在的正上方，点的坐标为 ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点的坐标为，点的坐标为 ∵ 将绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵ 将绕点顺时针旋转到 ∴ ，点在的正上方，所以点的坐标为 通过观察点和 的坐标，可以发现规律： 对于偶数下标点，其坐标恒为，坐标为 即点的坐标为 ∵的下标为，是偶数 ∴令，解得 ∴点的坐标为 ∴点的坐标为． 故选：B． 10．如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，求出前n行的点数之和是解题的关键． 先求出前n行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为28、44、55、66时n的值，再进行判断即可解答． 【详解】解：由题意可得：前n行的点数之和为， A．当前n行的点数之和为28，则，解得：或（不合题意舍去），故A不符合题意； B．当前n行的点数之和为44，则，解得：都不是整数，不可能，故B符合题意； C．当前n行的点数之和为55，则，解得：或（不合题意舍去），故C不符合题意； D．当前n行的点数之和为66，则，解得：或（不合题意舍去），故D不符合题意． 故选：B． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，．将变形为，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 【点睛】一元二次方程的根与系数的关系为，． 12．将化为最简二次根式为____________． 【答案】 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式． 【详解】解：先把化为分数：，则． 根据二次根式的性质，将分母有理化： ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分母有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式． 13．已知七名学生投篮，每人投了10个，其中小陈同学投中了4个，统计他们每人投中的个数，并进行整理和分析，得出下表．现给出下列说法；①有学生可能投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和可能为42；④m可能等于5．其中正确的是______．（填序号） 最小值 中位数 众数 平均数 2 6 7 m 【答案】①④ 【分析】本题考查了统计量（最小值、中位数、众数、平均数）的概念与应用，解题的关键是根据已知统计量推断数据的分布特征，再逐一验证各说法的合理性． 【详解】解：已知7名学生投篮，每人投个，小陈投中4个，统计数据的最小值为2，中位数为6，众数为7． 将7个数据按从小到大排列为：， ∵中位数为6， ∴ ∵众数为7， ∴7出现的次数最多，至少出现2次． ∵最小值为2， ∴ 又∵小陈投中4个， ∴数据中包含4． ①有学生可能投中9个数据排列可为2，4，x，6，7，7，y，其中y可为9，符合所有条件，故①正确． ②投中6个的学生只有1人：中位数为6，数据中可能有多个6（如2，4，6，6，7，7，7），无法确定只有1人，故②错误． ③这七个数据之和可能为，若数据之和为，其中一种可能的数据组合为， ， ， ， ， ， ，但此时众数为6和7，与已知众数为7矛盾，故③错误． ④可能等于5当数据为2，2，4，6，7，7，7时，， 符合众数为7的条件，故④正确． 故答案为：①④． 14．一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为________________． 【答案】或或 【分析】本题考查的知识点是多边形的概念，解题关键是列举出所有可能的情况．一个多边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为，， 故答案为：，，． 15．如图，在中，点在上，连接，，点在上，连接，，若，的面积为，则的长为____．    【答案】 【分析】先进行把绕点逆时针旋转，，绕点逆时针旋转，根据性质可以得出，继而利用勾股定理可得，利用面积即可求解． 【详解】如图，绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应，绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应            ∵，，， ∴旋转后与重合，与重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴点，，三点共线，， ∴， ∴，，， ∴ ∴，， 在，由勾股定理得：， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转及勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质与勾股定理得应用． 16．将图1中周长为28的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为38的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为________． 【答案】31 【分析】本题主要考查的是整式的加减的应用、列代数式等知识点，列代数式表示出正方形的边长成为解题的关键． 设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中是周长为28的长方形，计算出，然后再列出图2中长方形的周长和没有覆盖的阴影部分的周长代数式，将代入计算即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 如图1中是周长为28的长方形，可得， 解得：， 将A、B、C、D四点在图2中标出，如图所示： 如图，图2中长方形的周长为38， ∴， ∴， 根据平移得，没有覆盖的阴影部分的周长是如图中四边形的周长， ∴ ． 故答案为：31． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．解下列方程： (1)； (2)（用配方法）； (3)； (4)（用公式法）． 【答案】(1) (2)， (3) (4)， 【分析】（1）直接运用直接开平方求解即可； （2）先配方，然后再运用直接开平方法求解即可； （3）先移项，然后再运用因式分解法求解即可； （4）直接运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ，即， ， ， ． （3）解： ， ， 或， ． （4）解： ∵， ∴， ∴， ∴， ． 18．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）首先需对和进行分母有理化，求出与的值，再整体代入计算结果； （）首先需对和进行分母有理化，求出与的值，再运用完全平方公式，将化为，再代入数值计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ， ∴； （2）解：∵，， ∴ ， ， ∴． 19．定义：对于一元二次方程，如果a、b、c满足，那么该一元二次方程称为“零点方程”． (1)下列一元二次方程是“零点方程”的是________；（填序号） ①；②；③． (2)求证：当时，“零点方程”总有两个不相等的实数根； (3)若某“零点方程”的一个根为，则这个方程可以是________． (4)关于x的方程是“零点方程”，且是这个方程的一个根，求p的值． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3)（答案不唯一） (4)或 【分析】本题考查了根的判别式和新定义，关键是掌握新定义的应用． （1）根据“零点方程”定义判断即可； （2）根据“零点方程”定义和判别式△证明即可； （3）根据方程的根为和，构造方程即可； （4）根据“零点方程”定义和解方程即可． 【详解】（1）解：根据“零点方程”定义可知，是“零点方程”的一个根， 当时，①，是“零点方程”； ②，不是“零点方程”； ③，是“零点方程”； 故答案为：①③； （2）证明：一元二次方程是“零点方程”， ， ， ， ， ， 当时，“零点方程”总有两个不相等的实数根； （3）解：“零点方程”的一个根为，另一个根为1， ∴这个方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）； （4）解：关于的方程是“零点方程”， ， ， 是方程的一个根， ， ， ， 解得或． 20．如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)出发秒或秒后，的面积为 (2)出发秒或秒后，线段的长为 (3)的面积不能为，见解析 【分析】本题考查了直角三角形的面积，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握性质和应用是解题的关键． （1）设运动时间为秒时，则，．根据的面积为，列方程解答即可． （2）设运动时间为秒时，则，．根据勾股定理，列方程解答即可． （3）根据三角形的面积，构造一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有实数根；若有，则可能；若没有，则不能． 【详解】（1）解：设运动时间为秒时，则，． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，的面积为． （2）解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，线段的长为． （3）解：假设能，根据题意得：， 整理，得：， ， 该方程无解， 假设不成立，即的面积不能为． 21．某校舞蹈队共名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据如下： ，，，，，，，，，，，，，，，． (1)求这名学生身高的平均数和众数； (2)对于不同组的学生，若一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是哪组？ 甲组学生的身高/cm 162 165 165 166 166 乙组学生的身高/cm 161 162 164 165 175 (3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为，，，他们的身高的方差为，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为________和________． 【答案】(1)平均数为，众数为 (2)舞台呈现效果更好的是甲组 (3)， 【分析】本题考查了平均数、众数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键． （1）根据平均数和众数的意义求解； （2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可； （3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于，结合其余学生的身高即可做出选择． 【详解】（1）解：平均数为： ， 出现次数最多的数是，出现了3次， 众数为； （2）甲组身高的平均数为， 甲组身高的方差为 乙组身高的平均数为， 乙组身高的方差为， ， 舞台呈现效果更好的是甲组； （3）三名学生参赛，他们的身高分别为，，， 平均数为， 要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小， 根据数据的差别较小，数据才稳定， 可供选择的有：，， 且选择，时，平均数会增大， 但选择，或，时，导致组成的五名学生的极差增大，从而会使方差变大，当然平均数是增大的，故不符合题意． 故答案为：，． 22．如图1，在中，，点D是边上一点，过点D作，交于点E． (1)将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，连接，．求证：； (2)将绕点A逆时针旋转至如图3所示的位置，此时，过点C作，交的延长线于点F，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定，理解题意并证明三角形全等是解决本题的关键． （1）根据题意可得，由旋转的性质可得，用证，则； （2）由全等可得，进而根据角的转换可得，进而可得，进而可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴，，， ∴， ∴， 根据旋转可得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 23．某家具厂承接长方形实木桌面订单，设桌面的长为x分米，宽为y分米（，长和宽均为实数）．已知实数满足． (1)求证： (2)实际生产要求：桌面的长和宽均为正整数，且指定，同时满足，求这个桌面的长和宽． 【答案】(1)见解析 (2)长方形的长为5分米，宽为4分米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用与根与系数的关系的应用，解题关键是能找出对应的一元二次方程． （1）方法一：根据韦达定理，可看作一元二次方程的两个根，转化得到方程，利用根的判别式大于零即可求证；方法二：将转化为即可求证． （2）得出一元二次方程并求解即可 ． 【详解】（1）解：方法一：， 根据韦达定理，可看作一元二次方程的两个根， 将，代入，方程化为：， 两边同乘以a得：， 原方程有两个不相等的实数根 ， ， 方法二：， ， ． ∵，， ∴ ． （2）解：把代入，得 把，代入， 得：， 为一元二次方程的两个根， 解方程得： 答：长方形的长为5分米，宽为4分米． 24．发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析 【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长； 解决问题：利用作差法比较三种方案即可． 题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键． 【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d， ∴每行铲的路径长为， ∵每列有k个籽，呈交错规律排列， ∴相当于有行， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：；；； 方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d， ∴每列铲的路径长为， ∵每行有n个籽，呈交错规律排列，， ∴相当于有列， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：； 方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为， 根据题意得一共有列，行， 斜着铲相当于有n条线段长，同时有个， ∴铲除全部籽的路径总长为：； 解决问题 由上得：， ∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长； ， ∵， 当时， ， ， ∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗． 25．在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据，，得，，则有，再证，得出，然后证明，得，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据题意设，勾股定理求得，得出，进而得出的长，再根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，点是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图2，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， ． ②∵ 设 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期期中重难点检测卷（培优卷） 【考试范围：二次根式、一元二次方程、数据分析初步、平行四边形】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若式子有意义，则点的坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 3．某连锁咖啡店的店长计划推出一个“惊喜福袋”，里面包含7款不同的杯子．为了控制成本，店长希望这7款杯子的价格中位数正好为50元．目前，编号为1至5的5款杯子已确定入选，它们的价格（单位：元）如下图所示．经计算，这5款杯子的价格中位数恰好为50元．现在，需要从三款杯子中挑选1款作为第6款，再从两款杯子中挑选1款作为第7款，使得最终7款杯子的价格中位数依然是50元．可以选择（   ） A． B． C． D． 4．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．已知整式，其中为正整数，、、、为自然数，下列说法： ①当时，若，则满足条件的整式有21个； ②若，令，（是整数，且），则有最大值； ③记，若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 7．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 8．某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯・热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（   ） A．乙组成绩比甲组成绩集中 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组的中位数是80分 9．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 12．将化为最简二次根式为____________． 13．已知七名学生投篮，每人投了10个，其中小陈同学投中了4个，统计他们每人投中的个数，并进行整理和分析，得出下表．现给出下列说法；①有学生可能投中了9个；②投中6个的学生只有1人；③这七个数据之和可能为42；④m可能等于5．其中正确的是______．（填序号） 最小值 中位数 众数 平均数 2 6 7 m 14．一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为________________． 15．如图，在中，点在上，连接，，点在上，连接，，若，的面积为，则的长为____．    16．将图1中周长为28的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为38的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．解下列方程： (1)； (2)（用配方法）； (3)； (4)（用公式法）． 18．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 19．定义：对于一元二次方程，如果a、b、c满足，那么该一元二次方程称为“零点方程”． (1)下列一元二次方程是“零点方程”的是________；（填序号） ①；②；③． (2)求证：当时，“零点方程”总有两个不相等的实数根； (3)若某“零点方程”的一个根为，则这个方程可以是________． (4)关于x的方程是“零点方程”，且是这个方程的一个根，求p的值． 20．如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 21．某校舞蹈队共名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据如下： ，，，，，，，，，，，，，，，． (1)求这名学生身高的平均数和众数； (2)对于不同组的学生，若一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是哪组？ 甲组学生的身高/cm 162 165 165 166 166 乙组学生的身高/cm 161 162 164 165 175 (3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为，，，他们的身高的方差为，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为________和________． 22．如图1，在中，，点D是边上一点，过点D作，交于点E． (1)将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，连接，．求证：； (2)将绕点A逆时针旋转至如图3所示的位置，此时，过点C作，交的延长线于点F，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由． 23．某家具厂承接长方形实木桌面订单，设桌面的长为x分米，宽为y分米（，长和宽均为实数）．已知实数满足． (1)求证： (2)实际生产要求：桌面的长和宽均为正整数，且指定，同时满足，求这个桌面的长和宽． 24．发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 25．在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $