精品解析：安徽淮北市第十二学2025-2026学年高二下学期第一次检测数学试卷

淮北市第十二学2025-2026学年高二下学期第一次检测数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 掷一枚硬币,记事件A表示“出现正面”,事件B表示“出现反面”,则 A. A与B相互独立 B. C. A与不相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 计算出，由此判断事件的独立性，从而得出正确选项. 【详解】由意得,.为不可能事件，所以,故A与不相互独立,A,B,D不正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查事件独立性的判断，考查不可能事件的概率，属于基础题. 2. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 3. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据近视情况分为超过和低于两种可能，利用全概率公式计算可得． 【详解】某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，则有的学生每天玩手机不超过， 超过近视率约为，不超过近视率约为， 所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是． 故选：C． 4. 数列，，，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列每项的绝对值组成等差数列进行求解即可. 【详解】∵数列{an}各项值为，，，，，， ∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1 又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）. 故选：C 5. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 【答案】D 【解析】 【分析】设从核心区抽取的人数为人，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】设从核心区抽取的人数为人， 因为各区的人口比例为，且从开发区抽取的人数为300， 可得，解得，即从核心区抽取的人数为人. 故选：D. 6. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用可能平行判断，利用线面平行的性质判断，利用或与异面判断，与可能平行、相交、异面，判断. 【详解】，，则可能平行，错； ，，由线面平行的性质可得，正确； ，，则， 与异面；错， ，，与可能平行、相交、异面，错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 7. 已知抛物线，准线为，点，点在抛物线上，且点到直线的距离与到点的距离相等，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析抛物线结合条件求得垂直平分线方程，进而求得点的坐标，最后计算三角形面积. 【详解】抛物线，其焦点,准线方程为， 因点在抛物线上，且点到直线的距离与到点的距离相等， 则有,即为等腰三角形，又点， 则点的横坐标为，将其代入，解得，即， 故的面积为. 故选：C. 8. 在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 48种 D. 54种 【答案】B 【解析】 【详解】将甲、乙视为1个人，即相当于将4名同学安排到3个项目的方案，有种． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查. 根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 艺术社的学生人数有120人 B. 文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人 C. 从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为 D. 调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为文学社有60人占比为，所以五类社团总人数为人， 辩论社有90人，占比应为，所以体育社和艺术社共占比为， 又因为体育社和艺术社的人数相等，所以两社团分别占比为， 可知艺术社的学生人数有人，即A正确； 对于B，文学社和辩论社共人，分层抽样比为， 因此文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有人，即B正确； 对于C，根据已有分析可知该学生不是文学社成员的概率为，又因为是科创社成员的概率为， 因此在该学生不是文学社成员的条件下，该学生是科创社成员的概率为，即C错误； 对于D，依题意可知社团活动总体满意率为，即D正确. 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则 C. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D. 如果随机变量服从，且，那么是上的增函数 【答案】AD 【解析】 【详解】对于选项A：因为随机变量，， 所以，故A正确； 对于选项B：因为随机变量，则， 所以，故B错误； 对于选项C：因为相关系数的绝对值的大小越接近，两个变量的线性相关性越强；反之线性相关性越弱，故C错误； 对于选项D：由正态曲线的性质可知，是上的增函数，故D正确． 11. 已知抛物线：（）的焦点为，若直线：过点与交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，为坐标原点，则（ ） A. B. 可能为锐角 C. 若，则 D. 点在定直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据焦点坐标求；B联立直线与抛物线方程，计算可判断；C设直线的倾斜角为，利用抛物线的定义以及可得出，即可求出；D利用导数求出切线方程，设，代入切线方程中，利用同构思想求出直线方程，根据直线过点可求. 【详解】根据直线：过定点， 又直线过点，则，故，故A正确； 设，，由，得， 故，， 则，故是钝角，故B错误； 若，则， 设直线的倾斜角为，不妨设点在第一象限， 因为到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，即，同理可得， 所以，解得， 所以，所以， 由对称性可知，，故C正确； 设，因为在第一象限对应的函数为，所以， 所以抛物线在处的切线方程为， 因为，所以，即， 即过点的切线方程为， 同理可得过点的切线方程为， 所以，， 所以直线方程为， 因为直线过点，所以代入得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 【答案】252 【解析】 【分析】 根据展开式中所有二项式系数的和等于，求得．在展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项． 【详解】∵在的二项式中，所有的二项式系数之和为256， ∴，解得， ∴中，， ∴当，即时，常数项为． 故答案为：252． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 13. 在数列中，，，，则__________． 【答案】46 【解析】 【分析】利用累加法求解即可. 【详解】由，则有， 所以当时， ， 所以， 故答案为： 14. 三棱锥中，，且，则当该三棱锥的体积最大时二面角的正切值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用，可计算得到底面面积，当恰好为三棱锥的高时，三棱锥体积最大，此时两两互相垂直，取的中点,连接利用二面角的平面角的定义算出二面角的正切值. 【详解】 依题意可得三棱锥体积为 因为所以当面时，即时三棱锥体积最大，此时两两互相垂直. 取的中点为，连接 因为所以 又因为所以为二面角的平面角，又因为 所以二面角的正切值为 故答案为:. 15. 如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥.已知圆锥 的底面半径为，圆锥的侧面积 ．设是底面圆周上的两点，线段不经过点 O ． （1）求圆锥的体积； （2）二面角 的大小为 ，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由侧面积公式求得母线长，进而得到圆锥高，结合体积公式即可求解； （2）过点作于，连接，确定为直线与平面所成角，进而可求解． 【小问1详解】 设圆锥的母线长为，底面半径为， 由题意可得：， 所以， 所以圆锥的体积； 【小问2详解】 因为二面角的大小为， 由圆锥的结构可知：， 所以即为二面角的平面角， 所以，又， 所以， 过点作于，连接， 因为，为平面两条相交直线， 所以平面 所以即为直线与平面所成角， 又， 又平面，在平面内， 所以， 所以， 所以， 即直线与平面所成角大小为． 16. 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为.从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次摸换，袋中的红球个数记为. （1）求与； （2）求； （3）当时，求随机变量的数学期望. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式可求概率； （2）根据全概率公式可求； （3）求出的分布列后可求的数学期望. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 , 故. 【小问3详解】 当时，，，，，且，， 则 ， ， 随机变量的数学期望. 17. BMI指数是体重指数，当18.5≤BMI≤23.9时，体重正常，某健美机构随机抽取顾客的BMI数据进行统计，得到如下2×2列联表： BMI数据 合计 正常范围 不正常范围 男顾客 75 15 90 女顾客 30 20 50 合计 105 35 140 （1）依据小概率值（＝0.005的独立性检验，能否推断出男、女顾客的BMI是否存在差异？ （2）该机构统计出上述男顾客平均体重为70kg，女顾客的平均体重为56kg，试估计该机构全体顾客的平均体重． 公式：，其中n＝a＋b＋c＋d． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）能推断出男、女顾客的BMI存在差异 （2）65kg 【解析】 【分析】（1）根据列联表数据，利用公式计算的值，再与临界值比较，即可得出结论. （2）利用样本中男女顾客的比例作为全体顾客中男女比例的估计值，通过加权平均计算全体顾客的平均体重. 【小问1详解】 零假设为：男、女顾客的BMI不存在差异， . 因为，所以依据小概率值的独立性检验， 能够推断出男、女顾客的BMI存在差异. 【小问2详解】 由题意，样本中男顾客占，女顾客占. 估计该机构全体顾客的平均体重为kg. 18. 已知公差为正数的等差数列满足成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前n项和的最大正整数n． 【答案】（1）； （2）4. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的性质列方程求公差，进而求出的通项公式. （2）求出的通项公式，数列的前项和，再解不等式求n的范围. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由成等比数列， 得，则，即， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知：，等比数列的公比，，， 数列是首项、公比都为的等比数列，则， 由，得，则，即，而数列单调递增， 又，，因此， 所以所求最大正整数为4. 19. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）[方法一]【分别求得斜率的表达式利用斜率之积为即可证得题中的结论】 依题意设， 直线的斜率为，则， 所以． 又，所以， 进而有，即是直角三角形． [方法二]【利用三点共线和点差法真的斜率之积为即可证得题中的结论】 由题意设，则． 因为Q，E，G三点共线，所以， 又因为点P，G在椭圆上，所以， 两式相减得， 所以，所以． （ii） 【解析】 【分析】（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为−，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件； （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形； （ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意可知：， 所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）略 （ii）[方法一]【求得面积函数，然后求导确定最值】 设，则直线的方程为，联立解得 所以直线的方程为． 联立直线的方程和椭圆C的方程，可得， 则， 所以． 令，即 ． 注意到，得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时，． [方法二]【利用弦长公式结合韦达定理求得面积表达式，然后求导确定最值】 设的中点为N，直线的斜率为k，则其方程为． 由解得．由（Ⅰ）得．直线的方程为，直线的方程为，联立得，． 又，从而，进而．以下同解法一． 【整体点评】(2)(i)方法一：斜率之积为是证明垂直的核心和关键； 方法二：利用三点共线和点差法使得问题的处理更加简单. (ii)导数是求最值的一种重要方法，在求最值的时候几乎所有问题都可以考虑用导数求解； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北市第十二学2025-2026学年高二下学期第一次检测数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 掷一枚硬币,记事件A表示“出现正面”,事件B表示“出现反面”,则 A. A与B相互独立 B. C. A与不相互独立 D. 2. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 3. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ） A. B. C. D. 4. 数列，，，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 5. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 6. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知抛物线，准线为，点，点在抛物线上，且点到直线的距离与到点的距离相等，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 48种 D. 54种 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查. 根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 艺术社的学生人数有120人 B. 文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人 C. 从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为 D. 调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则 C. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D. 如果随机变量服从，且，那么是上的增函数 11. 已知抛物线：（）的焦点为，若直线：过点与交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，为坐标原点，则（ ） A. B. 可能为锐角 C. 若，则 D. 点在定直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 13. 在数列中，，，，则__________． 14. 三棱锥中，，且，则当该三棱锥的体积最大时二面角的正切值为__________. 15. 如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥.已知圆锥 的底面半径为，圆锥的侧面积 ．设是底面圆周上的两点，线段不经过点 O ． （1）求圆锥的体积； （2）二面角 的大小为 ，求直线与平面所成角的大小． 16. 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为.从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次摸换，袋中的红球个数记为. （1）求与； （2）求； （3）当时，求随机变量的数学期望. 17. BMI指数是体重指数，当18.5≤BMI≤23.9时，体重正常，某健美机构随机抽取顾客的BMI数据进行统计，得到如下2×2列联表： BMI数据 合计 正常范围 不正常范围 男顾客 75 15 90 女顾客 30 20 50 合计 105 35 140 （1）依据小概率值（＝0.005的独立性检验，能否推断出男、女顾客的BMI是否存在差异？ （2）该机构统计出上述男顾客平均体重为70kg，女顾客的平均体重为56kg，试估计该机构全体顾客的平均体重． 公式：，其中n＝a＋b＋c＋d． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 已知公差为正数的等差数列满足成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前n项和的最大正整数n． 19. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $