安徽省濉溪中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

安徽省濉溪中学高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知曲线f)=-x2+2x在点Mxy%)处的切线与直线L:x+y+1=0垂直，则x等于() A克 B C.1 D.-1 2已如等差数列a,布，]的前n项和分别为s、T:若铲= n+2 ,则t+9=() b2+b10 A贯 B器 c罗 D器 3.若函数f)=x2-2ax2+4x+a不存在极值，则a的取值范围是() A.[-V3,3 B.(-V3,V3 c.「-√z② D.(-V2V② 4.某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款α元用来购买该电动汽车， 银行贷款的月利率是t,并按复利计息，若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即 州12个月等额还款，则小胡每个月月底需要还款() A.a(1+t)12元 B09元 c器元 at(1+)12 D.z+-可元 5.教不等式√(a-b)2+(a-lnb)乎≥m对任意a∈R,b∈(0，+∞)恒成立，则实数m的取值范围是() A(-∞，] B.(-m,1 C.(-∞，V] D.(-∞，2] D 6.用五种不利颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用 四种颜色，则不同的涂色方法有() A.240 B.480 C.420 D.360 7.已知X是离散型随机变量，P(X=1)=,P《=a)=,B(网=子则D2X-1)=() A月 B c用 D 8.小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（朱看被丢掉小 球的颜色)现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为() A B c D C③扫描全能王 3亿人都在用的日mAP单 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在(-)(m∈N)的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则() A.常数项为160 B.含x2项的系数为60 C.第4项的二项式系数为15 D.各项系数的绝对值的和为36 10.已知x1,2为函数f(x)=x3+ax2+3的两个极值点，直线过P(x1,f(x1),Q(x2f(x2)两点，则下列 说法正确的是() A.x=0是f(x)的一个极值点 B.若f)的单调递减区间为(0，)，则a=-1 C.若的斜率为-2，则a=-3 D.当a=3时，f(x)的图象关于点(-1,5)对称 11.朱世杰(1249年一1314年)，字汉卿，号松庭，元代数学家，教有家，毕生从事 数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉他的一部名著筑学启蒙》是中 国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道们题如下：今有三 角锥垛果子，每面底子四十四个，何共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆躲 三角锥垛 成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44 个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为1,3,6,10,15，，共有44层，问全垛共有多 少个果子？现有一个n层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列(a,其前n项和为Sn,则下 列结论正确的是()（参考公式：1+22+32+…+n2=若n(m+1)(2m+1) A{an-an-1(n≥2，n∈W)是等差数列 B.a7=27 C,函数fm=兰meN单调递增 D.原书中该“堆垛问题”的结果为15180 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.等比数列[a,的各项均为实数，其前n项和为S,已知S,=子56=是则ag= 13.2025年5月31日，是我国的传统节日“端午节”这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅， 三个豆沙馅。小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉 馅的概率为」 14.设函数f(x)=e+a(x-1)+b在区间1,3)上存在零点，则a2+b2的最小值为 2 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫量Ap的 四、解答题：本题共5小题，共7刀分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知正项数列〔aJ的前n项和为Sn,an2+a=2Sm+2,数列b,满足ba=a.·3%. (1)求数列(anJ的通项公式： (2)求数列[bn的前n项和Tm 16.(本小题15分) 游泳是一种高效的锻炼方法，坚持游泳可以增强体质，提高免疫力。某游泳馆为了了解是否喜欢游冰与性 别有关联，随机在某小区调查了200人，得到的数据如表所示： 游泳 性别 合计 喜欢 不喜欢 男 80 40 120 女 32 48 80 合计 112 88 200 (1)依据小橛率值α=0.001的独立性检验，能否认为是否喜欢游冰与性别有关联？ (②)为分析喜欢游泳的原因，在喜欢游泳的人中采用分层抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取 3人进行调查，记随机变量X为这3人中女性的人数，求X的分布列与数学期望 n(ad-be)2 附：2=a+bc+0(a+o+可 其中n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(本小题15分) 已知函数f()=ax2+(a-2)x-lnx. (1)讨论fx)的单调性； (2)若f()20恒成立，求实数a的取值范围. C③扫描全能王 3亿人都在用的行量Ap中 18.(本小题17分) 强基计划于2020年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学 科拔尖的学生。为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏 令营活动， (1)若数学组的7名学员中恰有4人来自A中学，从这7名学员中随机选取4人，表示选取的人中来自A 中学的人数，求的分布列和数学期望： (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中， 每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每 道题的概率分别为P1,P2,假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当p1+p2=时，求甲、乙两 位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值 19.(本小题17分) 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式当f(x)在x=0 处的nn∈N门阶导数都存在时，它的公式表达式如下：f闭=fO)+f'(Ox+型2+把2+…+ 2 x+注：f'0)表示函数f(在原点处的一阶导数，f'‘(0)表示在原点处的二阶导数，以此类推 l 严(0)(n≥3)表示在原点处的n阶导数. (1)求f()=ln(1+x)的泰勒公式（写到含x的项为止即可），并估算ln1.1的值（精确到小数点后三位）： (②)当x>0时，比较n(1+)与x-兰的大小，并证明： 3)设neN,证明：，是<1n(+m)<-1是 C③扫描全能王 3亿人都在用的日量A的答案和解析 1.【答案】 解：因为曲线()在点处的切线与直线++1=0垂直，直线++1=0的斜率为-1， 则()在点处的切线的斜率为1，所以‘(0)=-20+2=1，解得。= 2.【答案】 解：设等差数列)的公差为，则3+7+8=1+2+1+6+1+7=31+15=36 因为2+0=26，所以抽=名-子台 因为等差数列和（的前项和分别为、，满足一=3兰 +21 11(1+112 所以四益==学=器所以=兰=子意=×器=岩 3.【答案】 解：由()=3-22+4+，得‘()=32-4+4， 因为函数()=3-22+4+不存在极值，所以·()≥0在上恒成立， 所以=162-48≤0，解得-√3≤≤√3，即的取值范围是[-V3,V3 4.【答案】 解：设每个月月底还款为， 根据等额本息还款法可得，第1个月末所欠银行贷款为：1=(1+)一， 第2个月末所欠银行贷款为：2=(1+)-=(1+)2-(1+)-， 第12个月末所欠银行贷款为： 12=(1+)12-(1+)11-.-(1+) =(1+)12-[1+)11+(1+)10+..+1] =a+)2--+=1+)2+-+凸 1-(1+) 由于要用12个月还清所有的欠款，故1+)严+-+)出=0，解得=光元 5.【答案】 解：设=√(-)2+(-n),则的几何意义是直线=上的点(，)与曲线()=n上的点 (,n)的距离，将直线=平移到与面线()=n相切时，切点到直线=的距离最小 1 而‘()=1，令‘()=1=1，则。=1，可得(1,0) 0 此时，到直线=的距肉儿号=号故=号所以≤号 6.【答案】 【解析】解：当用四种颜色时，有(4+)=240种不同的涂色方法： 当用五种颜色时，有；=120种不同的涂色方法. 所以不同的涂色方法有240+120=360种. 7.【答案】 解：根据题意，(=1)=(=)=子 则(=1)+(=)=+=1，则只有两个变量1、， 则()=1×+子=子得=2，即（=2)=子 则()=×1-2+×2-2=毫则Q-1)=4×器=是 8.【答案】A 解：用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球， 用1表示丢掉的小球为红球，2表示丢掉的小球为黑球， 则()=()=克（1)==号（1)== 由全概率公式可得 ()=()(1+()(1)=×+x号=品 服)终-身 3 9.【答案】 解：依题意，只有第4项的二项式系数最大，根据二项式系数性质，可知=6， 则通项为+1=66-(-名)=(-2)66-2， 令6-2=0，得=3，则4=（-2)3言=-160，选项A错误： 令6-2=2，得=2，则3=(-2)2名2=602，选项B正确： 令+1=4，得=3，则二项式系数为=20，选项C错误： (-)的各项系数的绝对值的和即是(+)°的各项系数的和， ∴令=1，可得各项系数和为(1+2)6=36.选项D正确. 10.【答案】 解：”1,2为函数()=3+2+3的两个极值点， ÷‘()=32+2=0必有两个不等实根分别为1=0,2=-3（≠0）， ：=0是（)的一个极值点，故A正确：”()的单调递减区间为(0，)， ·‘()<0的解集为(0，引，即-子=子解得=-1，放B正确： ”（)=0)=3,()=(-号)=-号+号+3=号+3，的斜率为-2 6少心=兰=-2号=-2，解得=士3，故C错谈： 2=1 当=3时，()=3+32+3=(+1)3-3(+1)+5， 其图象可以看做是由=3一3向左平移一个单位，再向上平移5个单位得到， 由于=3-3关于原点对称，所以()的图象关于点(-1,5)对称，故D正确 11.【答案】 【解析】解：依题意，每层的果子数分别为1x+,2x2+,3×3+),4×4+)5x5+ 2 2 2 2 2 则数列的通项=（+卫， 2 对于，≥2时， --1=9-卫=，故[--1（≥2，∈）为等差数列，4正确： 2 2 对于，7=7x?+型=28，B错误： 2 对于，=1x++22++3x3++…+（+四 2 2 2 2 =2+22+32+…+)+1+2+3++)_君(+1)2+1)+3(+1) 2 2 =名(+1)(+2)，则-=子()=子单调递增，C正确： 对于，4=若×44×45×46=15180，D正确 12.【答案】32 【解答】解：设等比数列的公比为，由题意知不为1，则 g== 1- =2, 6=11-0=3 解得 1 (1=4 1- =4 所以 =1-1=2-3,从而8=25=32. 13.【答案】4 2 【解析】解：由题意可得，设事件为“取出的两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为腊 肉馅”，则()=号=京()=是品 故(1)==京即小明取到的两个棕子为同一种馅，则这两个棕子都为腊肉馅的概率为 14.【答案】2 【详解】设零点为t,则a(t-l)+b+e=0,即(t-1)a+b+e=0,所以点(a,b)在直线 《-x+y+=0上，而a2+代表(ab)到原点的距离，所以有a+b之e 0-0+71e3, 考虑函数g(x)=(x2-2x+2)e2,其导函数g'(x)=(-2x2+6r-6)e2<0, 因此函数g(x)在山，3】上单调递减，从而a2+b2的最小值为 g(1) 15.【答案】解： (1)当=1时，子+1=21+2，即12-1-2=0,1=2或1=-1（舍）…2分 当≥2时，21+-1=2-1+2， 又因为2+=2+2， 两式相减得2--12-一-1=0，整理得(+-1)(--1一1)=0 4分 “{}为正项数列，÷一-1=1数列班}为等差数列，公差为1. 5分 =1+(-1)×1=+1 6分 (2)=·3=(+1)3+1, 47分 =2×32+3×33+4×34+…+(+1)×3+1 3=2×33+3×34+4×35+…+(+1)×3+2 9分 两式相减得 -2=2×32+33+3+35+…+31-(+1)×32=2-(+)×32 412分 =232-是 4 13分 16.【答案】【详解】(1)零假设为：是否喜欢游泳与性别无关联. 根据列联表中的数据，计算得到2=200x8032=20≈13.853>10.828=001， 120×80×112×88 231 4分 所以根据小概率值=0.001的独立性检验，我们推断。不成立， 即认为是否喜欢游泳与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001， 6分 (②)由愿意可知抽取的男性有7×即7=5人，女性有7×心品=2人 8分 随机变量的所有可能取值为0,1,2， 9分 且(=0-得-号（=-=乡(=-警- 12分 所以的分布列为： 0 1 2 2 7 7 所以()=0×号+1×+2×号号 15分 17.【答案】解：(1)由题意可知：()的定义域为(0，+∞)： 1分 且‘（)=2+(-2)-1=2+(-2， 2分 当≤0时，()<0，可知()在(0，+∞)上单调递减. 3分 当>0时，由()>0得>1，由()<0得0<<1 4分 可知()在(0，马)上单调递减，在（仁，+∞）上单调递增. 5分 综上所述：当≤0时，()在(0，+∞)上单调递减： 当>0时，()在(0，)上单调递减，在（仁，+∞）上单调递增。 6分 (2)解法一：（分离参数法）由已知得2+(-2)-1n≥0在(0，+∞)上恒成立， 等价于之2在(0，+∞)上恒成立， 8分 构建()=2护，>0， 则'（)=2+24)上ne+_2+-n (2+)2 (2+)2 10分 构建h()=1--ln,>0,可知h()在(0，+o)上单调递减，且h(1)=0, 11分 当0<<1时，h()>0,即‘()>0， 当>1时，h()<0,即'()<0， 可知()在(0,1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减，则()mx=(1)=1, 14分 可得≥1，即实数的取值范围为[1，+∞)： 15分 解法二：（分类讨论法）由题意可知：()mn≥0在(0，+o)上恒成立， 由(1)知，当≤0时，()在(0，+∞)上单调递减， 8分 且(1)=2-2<0，不合题意： 9分 当>0时，可知()mn=(月=1-1+1n≥0， …10分 构建()=1-+ln,>0,可知()在(0，+o)上单调递增，且(1)=0， 13分 若()mim≥0，则（)≥0，可得≥1， 14分 故实数的取值范围为[1，+o). …15分 18.【答案】解：(1)由题意知，的可能取值有1,2,3,4， …】分 4×1. 4×3×2× （=)=号-号(==号= 5分 所以的分布列为 2 3 4 12 1 35 35 3 (0=1×第+2×号铝+3×号+4×元=9 7分 (2)设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件， 则()=+21(1-1)号+2？2(1-2) =1212+2(1-)2+21(1-2】 =1221+22-312]: .10分 由1+2=名得()=12（号-312 11分 令=12=（号-），因为0≤1≤1,0≤2≤1，所以≤1≤1， 所以e设()=号-3)，则()=-32+号=-3(-+号 l4分 因为号≤号当=时，()取得最大值器 16分 所以，当1=时，甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值兴 1625 17分 19.【答案)解：()因为‘（)=+（)=a+:′（)=+ 1 2 所以′(0)=1，‘(0)=-1，’’‘(0)=2， 2分 又(0)=0，所以()=n(1+)的泰勒公式为： +)=-+--+ 4分 6 所以=01时，11=01-09+00≈095： 3 4分 (2)证明： 记g)=1m(1+）-+2x>0 因为‘()=+-1+=有>0， 2 6分 所以()在(0，+∞)上单调递增，又(0)=0， 2 所以>0时有()=ln(1+)-+乞>(0)=0， 8分 所以n1+)>-子 9分 (③)证明：2得，n1+马)>-产=1-文 10分 即ln(+1)->1-,e, 所以0n2-ln1)+an3-ln2)+…+ln(+1)-ln]>=1(2-), 即(+)>2 12分 令h)=ln(1+)-,>0,则h'()=本-1=-+<0， 所以h()在(0，+oo)上单调递减， 所以h()<h(0)=0,故1n(1+)<, 14分 所以n(1+)=ln(+1)-<, 则(2-1)+(3-2)++(n(+1)-)<1 即n(+)< 16分 综上，e时，2子<(1+)< …17分