8 2025年长清区学业水平第一次模拟试题-【中考321】2026年中考数学3年真题2年模拟1年预测（济南专版）

8 2025年长清区学业水平第一次模拟试题 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1 1在0,2，-1,2这四个数中，最小的数是 1 A.0 C.-1 D.√2 2.篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功。如图是一块雕刻印章的材料，从正面看到的平 面图形为 () M 从正面看 B B IN 第2题图 第4题图 第9题图 3.根据某网站统计数据，截至2025年1月，某知名AI软件的总访问量达到了278000000次，其中 278000000用科学记数法表示为 () A.2.7×108 B.2.78×10 C.0.278×109 D.2.78×10 4.如图，已知△ABC≌△ADC,∠B=30°，∠DAC=25°，则∠ACB的大小为 ( A.55o B.60° C.120° D.125° 5.下列运算结果正确的是 A.4a-3a=1 B.a2·a3=a C.(a2)3=a D.a6÷a3=a2 6.小芳和小颖分别从“灵岩寺”“孝堂山”“五峰山”三处景点中随机选择一处游玩，则两人恰好选中同 一景点的概率是 () 1 02 7.关于x的一元二次方程x2-2x+k=0无实数根，则k的取值范围是 A.k>1 B.k>-1 C.k<-2 D.k<1 8若a+6-2,则代数式低a)的值为 a 1 B. 2 C.2 D.-2 9.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,以点B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD,BC于M,N两点； 再分别以点M,N为圆心，大于，MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线BP交CD于点F;再以 点B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E,则EF的长为 () 4.35 B.25 C.5、3⑤ D.5-2√5 2 2 43 10.如图1，在☐ABCD中，点O为其中心，∠ABC=60°，∠BAO=45°，动点P从点A出发，沿AB运动到 点E,再从点E沿直线运动到BC上的点F。设点P运动的路程为x,△AOP的面积为y(当点A,O, P共线时，y=0),y与x的函数关系的图象如图2新示，则下列结论：①AE=1+√3；②EF∥AO:③BE AE;④BC=4。其中正确的是 () 21 01+31+3+6元 图1 图2 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②④ 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。直接填写答案） 11.若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是 12.一个蚂蚁在如图所示的地板上自由走动，并随机停在某块方砖上，每块方砖除颜色外完全相同，那 么它停留在黑色区域的概率是 个S/元 B 30 A 20 10 100150/分钟 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 13.将一块直角三角板ABC按如图所示的方式放置在平行线a,b之间。若∠2=52°，则∠1的度数 为 0 14.电信公司手机的收费标准有A,B两类，已知每月应缴费用S(单位：元)与通话时间t(单位：分钟) 之间的关系如图所示。当通话时间为180分钟时，按这两类收费标准缴费的差为 元。 15.如图，在矩形ABCD中，AD=4AB。将矩形ABCD对折，得到折痕MN;沿着CM折叠，点D的对应点 为点E,ME与BC的交点为F;再沿着MP折叠，使得MA与ME重合，折痕为MP,此时点B的对应 点为点G,则E 的值为 PN 三、解答题（本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(本小题满分7分)计算：-12+6an30+(2）'-(3-m)°-131。 44 2(x+1)≥3x+1, 17.(本小题满分7分)解不等式组{x、x-1 并写出该不等式组的整数解。 23 18.(本小题满分7分)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，且AD=DE,F为线段DE上一 点，且∠AFD=∠C。求证：AF=DC。 E 19.（本小题满分8分)踢正步是军训中的一门必修课。如图是一名学生踢正步的示意图，已知，这名 学生的身高AD为174.0cm,他的帽子(AE)的长为AB长的)，BF为他的右臂，CD,CC分别为他的 右腿和左腿，AD⊥AE。 (1)若点G到AD的垂直距离为75.0cm,∠DCG=60°，求他的腿的长度； (2)若(1)中条件不变，右臂的长度为302cm,点F到点C的竖直距离为21.3cm,∠FBC=45°，求 军帽AE的长度。（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73。结果精确到0.1cm) Ap B C D. —45 20.（本小题满分8分)如图，△ABC内接于⊙O,AC是⊙0的直径，过OA上的点P作PD⊥AC,交CB 的延长线于点D,交AB于点E,过点B作⊙O的切线交DP于点F。 (1)求证：∠A=∠FBD; (2)若O0的半径为5，os∠FBD=2,5 ,BD=4,求DP的长。 21.(本小题满分9分)近年来，体育在青少年成长中的多元价值已经得到广泛认同，某校鼓励学生利 用课余时间进行体育锻炼。为了解本校学生周末校外体育活动情况，随机对本校40名学生周末某 天的校外体育活动时间（体育活动时间用x表示，单位：min)进行了调查，并按照体育活动时间分 A,B,C,D四个阶段，以下是部分数据和不完整的统计图表： 体育活动时间在60≤x<90范围内的数据： 70,80,75,80,75,70,85,75,70,80,80,65,75,85,80,70。 不完整的统计表 不完整的统计图 体育活动时间x/min 0≤x<30 30≤x<60 60≤x<90 x≥90 等级 D C B A 25% 人数 6 16 B a 结合以上信息回答下列问题： (1)统计表中的a= (2)统计图中B组对应扇形的圆心角为 度； (3)体育活动时间在60≤x<90范围内的数据的众数是」 :调查的40名学生体育活动时间的中位数 是 (4)根据调查结果，请你估计全校1600名学生体育活动时间不少于60min的人数。 46 22.(本小题满分10分)为落实《健康中国行动(2019一2030年)》等文件精神，某学校准备购进一批排球 和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用800元购买的排球数量与用 素材1 1000元购买的足球数量相等。 该学校决定购买排球和足球共50个，且购买足球的数量不少于排球的数量，同时该体 素材2 育器材店为支持该学校体育活动，对排球给予七五折优惠，足球给予八折优惠。 问题解决 任务1 探求商品单价 请求出每个排球和足球的价格； 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案， 任务2 确定购买方案 并求出最少费用。 23.（本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图象与x轴交于点 A(-2,0),与反比例函数y=点（0的图象交于点B(1,m)。 (1)求反比例函数的表达式； (2)M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴的垂线，交一次函数y=2x+b的图象 于点N,连接BM。若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积； (3)P为反比例函数y=(x>0)图象上一点，连接PB。若∠PBA=LBA0,求点P的坐标。 AO AO 备用图 47 24.（本小题满分12分)二次函数y=ax2+bx-3的图象交x轴于点A(-1,0),B(3,0),交y轴于点C,抛 物线的顶点为M。 (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为m(m>3),点Q在对称轴上，且AQ⊥PQ。若 AQ=2PQ,请求出m的值； (3)如图2，将抛物线绕x轴正半轴上一点R旋转180°得到新抛物线C,C1交x轴于D,E两点，点 A的对应点为点E,点B的对应点为点D。若m∠BMB=号水旋转中心点R的坐标。 B D 图1 图2 25.（本小题满分12分)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究。 (1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B。求证：AC2=AD·AB; 【拓展探究】 (2)如图2，在菱形ABCD中，E,F分别为BC,DC上的点，且∠EMF=)∠BMD,射线AE交DC的延 长线于点M,射线AF交BC的延长线于点N。若AF=2,CF=1,求CM的长； 【学以致用】 (3)如图3，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的 动点，则PD+了C的最小值为 图1 图 图3 48.0E=0B=1。 .点E的坐标为(0，-1)。 设直线BE的表达式为y=x+b',把点B(1,0),E(0,-1)分别 代入，得0解得，， -1=b' .直线BE的表达式为y=x-1。 (2)①若抛物线C,向左上方平移，则抛物线与直线BE始终 有两个交点，不符合题意： ②若抛物线C,向右下方平移， 第二、四象限角平分线的表达式为y=-x, .抛物线向右平移m个单位长度的同时向下平移m个单位 长度。 原抛物线C1为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, ∴.顶点坐标为(-1,4)。 .平移后顶点为(-1+m,4-m)。 .平移后抛物线表达式为y=-(x+1-m)2+4-m。 令-(x+1-m)2+4-m=x-1, 化简得-x2-(3-2m)x+m-m2+4=0。 若平移后抛物线与直线BE恰好只有一个交点， 则△=[-(3-2m)]2-4×(-1)×(m-m2+4)=-8m+25=0, 25 解得m= 8 ·抛物线平移的距离为252 (3)设M(0,n),点M关于直线y=x-1的对称点为M'。 易知MM'所在直线的表达式为y=-x+n。 [1+n x= 联立=-1，解得 2, (y=-x+n, n-1 2 .M'(1+n,-1)。 .·点M'在抛物线C,上 .将点(1+n,-1)代入y=-x2-2x+3, 可得-1=-(1+n)2-2(1+n)+3, 解得n=-2+√5或n=-2-√5（舍去）。 .点M的坐标为(0，-2+5)。 善总结 要点巧记 抛物线平移后确定表达式的方法 1.方法一：根据顶点变化确定抛物线的表达式。 ①根据平移变换不改变抛物线的开口方向和大小 可知平移后二次函数的二次项系数a的值不变，从 而设出平移后抛物线的表达式为y=a(x-h)+k。 ②根据平移方式确定平移后顶，点的坐标，即确定h,k 的值，代入y=a(x-h)2+k即可。 2.方法二：根据平移规律“左加右减，上加下减”确定表 达式。 平移前抛物平移n个单位 平移后抛物线的表达式 线的表达式 长度(n>0) 向左 y=a(x +n)2+b(x +n )+c 向右 y=a(x -n)2+b(x -n )+c y=ax2+bx+c 向上 y=ax"+bxtc +n 向下 y=ax'+bx+c-n 82025年长清区学业水平第一次模拟试题 答案速查 1 2345 678910 CABDB BADCB 1.C【解析】-1<0 22。 2.A【解析】这块雕刻印章材料从正面看到的平面图形为 3.B【解析】278000000=2.78×108。 4.D【解析】.△ABC≌△ADC,.∠BAC=∠DAC=25°。 .·∠B=30° ,∠BAC=25°，.∠ACB=180°-30°-25°=125°。 5.B【解析】 选项 分析 正误 A 4a-3a=a B a2.a3=a3 (a2)3=a 0 a6÷a3=a3 6.B【解析】将“灵岩寺”“孝堂山”“五峰山”三处景点分别记为 A,B,C, 列表如下： A B C (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一景点的结果有 3种，两人怡好选中同一景点的概率为3=】 93 3巧点拨 一题解 也可以通过画树状图的方法解决本题，如下： 开始 7.A 【解析】小：关于x的一元二次方程x2-2x+k=0无实数根， .△<0，即4-4k<0,解得k>1。 8DI解折J名-aa-b-a:-b=-a6a-0. aaa a a-6 -(a+b)。当a+b=2时，原式=-2。 善总结 解题技巧 分式化简的一般步骤 1.有括号的，先算括号里面的，括号内如果是异分母分 式的加减运算，需先将异分母分式通分化为同分母 分式，再将分子合并同类项： 2.有除法运算的，将除法运算变为乘法运算； 3.对于分式的乘法运算，利用因式分解、约分计算； 4.按照运算顺序，从左到右进行分式加减运算，直到化 为最简分式。 9.C【解析】如图，过点F作FQ⊥BD于点Q。 四边形ABCD是矩形，AB=4,BC=3, .DC=AB=4,AD=BC=3,∠C=90°。 .BD=√42+3=5。 根据题意可知BE为∠CBD的平分线，BD=BE=5, .FQ=FC,∠FBQ=∠FBC。 又.·∠FOB=∠FCB, ∴.△FBQ≌△FBC(AAS)。 .BQ=BC=3。.DQ=5-3=2。 设FQ=FC=x,则DF=4-x。 在Rt△DQF中，DF2=DQ+QF2, 3 (4-)2=2+。x=20FC= -vBcF-+(-35 .EF=BE-BF=5- 3w5 2 10.B【解析】如图，连接OC,过点F作FH⊥AB于点H,结合题 意可得A,0,C三点共线。 由函数图象可得当0≤x≤1+√3时，动点P从 ,点A出发，沿AB匀速运动到点E, .AE=x=1+√3。故①正确； 当1+√3≤x≤1+√3+√6时，动，点P从点E沿 直线运动到BC上的，点F,此时△AOP的面积y不变， ∴EF∥A0,EF=6。故②正确； .∠BEF=∠BA0=45°。 由条件可知H那=HE=6x=5。 2 .·∠B=60° tan 600=1,BF=BH .BH=、FH c0s60°-2。 .BE=BH+HE=1+V3=AE。故③错误； AC ∴.BF=CF。∴.BC=2BF=4。故④正确。 11.8【解析】：多边形外角和是360°，正多边形的一个外角 是45°， .∴.360°÷45°=8。 24 【解析】黑色区域(4块)的面积占总面积(9块)的号，则 它最终停留在黑色区战概率是4 9 13.142°【解析】如图，过点A作AM∥a,标注∠3。 .…ab,∴.AMb。 .∠MAB=∠2=52°，∠3+∠MAC=180°。 2入 ∠MAC=90°-∠MAB=38°， .∠3=142°。.∠1=∠3=142°。 14.16【解析】设A类收费标准的表达式为S4=at+b。 将(0,20)，(100,30)分别代入S=at+b, 1 得0三0样得6。 （b=20, 1 :A类收费标准的表达式为S=10+20。 设B类收费标准的表达式为S。=t。 将(100,30)代入，得30=100k, —2 解得k=3 10 B类收费标准的表达式为S=100 3 当1=180时，3=0180+20=38， 3 ,=i0×180=54, .54-38=16(元)。 当通话时间为180分钟时，按这两类收费标准缴费的差为 16元。 【解析】由折叠可知LAMP=LEMP,∠DMC=LEMC. 15.2 .∠AMP+∠EMP+∠DMC+∠EMC=180°， .∴.∠EMP+∠EMC=∠CMP=90°。 ∴.△CMP是直角三角形。 设AB=CD=a,则AD=BC=4a。 由折叠可知BN=CN=2a,MN=AB=a,AM=EM=DM=2a, .MC=√CD2+MD2=5a。 .·∠PMN+∠NMC=∠MCN+∠NMC=90°， .∴.∠PMN=∠MCN。 又.'∠PNM=∠MNC,∴.△PMN∽△MCN。 、MN_PN即a_PN CN MN'2a a :.PN=20o 1 :在矩形ABCD中，DMNC, ∴.∠DMC=∠MCN。 由折叠可知∠DMC=∠CMF, .∴.∠CMF=∠MCN。 .∴.FC=FM。 设FC=FM=x,则FN=2a-x。 .FM2=MN2+FN2,Ex2=a2+(2a-x)2, 53 解得x=5a,则FN=2a-4, 3 NF 4a 3 P1=2° 6解：原武=-1+6x+2-1月=3 2(x+1)≥3x+1,① n解台号@ 解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x>-2, .不等式组的解集为-2<x≤1。 .不等式组的整数解为-1,0,1。 18.证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC。 ·LADF=LDEC。 ∠AFD=∠C, 在△FDA和△CED中，{ ∠ADF=LDEC, AD=DE, .△FDA≌△CED(AAS)。 ∴.AF=DC。 19.解：(1)如图，过点G作GH⊥CD于点H。 .:GH=75.0cm,∠DCG=60°， cG=75.0-75=50w5=86.5(cm)。 sin60°5 2 ∴.他的腿的长度约为86.5cm。 (2)如图，过点F作FK⊥BC于点K。 BF=302cm,∠FBC=45°， 0 Bk=302xc0s450=302× 2 =30(cm)。 又.：CD=CG=86.5cm, .AB=174.0-CD-CK-BK=174.0-86.5-21.3-30=36.2(cm)。 AE=号AB=18.1cmg 20.（1)证明：如图，连接OB。 .AC是⊙0的直径， ∴.∠ABC=90°。 ∴.∠ABD=180°-∠ABC=90°。 ∴.∠ABF+∠FBD=90°。 .·BF与⊙O相切， .OB⊥BF,即∠OBF=90°=∠OBA+∠ABF。 .∠OBA=LFBD。 .·0A=OB, ∴.∠OBA=∠A。 ∴.∠A=∠FBD。 (2)解：由(1)知，∠A=∠FBD, .cos∠FBD=cosA= 25_AB 5 AC 设AB=25a,AC=5a, .BC=√AC2-AB=√5a. .'sin A= BC√J5 AC5 ⊙0的半径为5， .AC=25 BC√5 在Rt△ACB中，sinA=AC5° .BC=2。 .BD=4, .'.CD=BC+BD=2+4=6。 .PD⊥AC, .∠EPA=90°。 .∠C+∠D=90°。 又.∠A+∠C=90°， .∠A=∠D。 DP 25 在Rt△CDP中，cosD CD 5 Dp=12/5 21.解：(1)10【解析】由题意可得a=40×25%=10。 (2)144【解析】统计图中B组对应扇形的圆心角为360°× 814 (3)8070【解析】根据所给数据，可知体育活动时间在 60≤x<90范围内的数据的众数是80； 调查的40名同学体育活动时间的中位数是70+70=70。 2 2 (4)A等级人数为40-6-10-16=8， 1600x1648=960(人)。 40 答：估计全校1600名学生体育活动时间不少于60min的人 数为960。 22.解：任务1 设排球的单价为x元，则足球的单价是(x+20)元。 根据题意，得00_1000 xx+201 解得x=80。 经检验，x=80是原方程的根，且符合题意。 .x+20=100。 答：每个排球80元，每个足球100元。 任务2 设购买排球m个，则购买足球(50-m)个。 根据题意，得50-m≥m,解得m≤25。 设总费用为w元。 根据题意w=0.75×80m+0.8×100(50-m)=-20m+4000。 .-20<0, .w随m的增大而减小， .当m=25时，0最小=-20×25+4000=3500。 答：该学校本次购买排球25个、足球25个时费用最少，最少 费用为3500元。 23.解：(1)将点A(-2,0)代入y=2x+b,得b=4, .∴.y=2x+4。 将点B(1,m)代入一次函数y=2x+4,得m=2+4=6, ∴.k=1×6=6。 反比例函数的表达式为y三。(>0) (②)设点N的坐标为a,2a+40,则点M的坐标(a,)。 如图1，过点B作BH⊥MN于点H。 .BN=BM,·.NH=MH。 由(1)可知B(1,6), 2n+4-6=6-6 解得n=3或n=1(舍去)。 ∴.M(3,2),N(3,10), 图1 SARNY=2×(3-1)×(10-2)=8。 (3)如图2，取AB的中点C,过点C作CD⊥AB交x轴于点D, DA=DB。 .∠DAB=∠DBA。 连接BD,则BD与反比例函数图象的交点即为点P,过点B作 BH⊥x轴于点H。 .·∠BHA=∠DCA=90°，∠BAH=∠DAC .△BHA△DCA。 AH AB ·ACAD :A(-2,0),B(1,6),且点C为AB的中点， .AB=√(-2-1)2+(0-6)2=3V5,AH=3, 图2 AC-1AB=3/5 2 20 AD=1C·AB15 AH 2 直线BD的函数表达式为y=-4x+22 3* 39 6 Y=- 联立 解得x= 9 422 2 或x=1(舍去)， 3+3, 点P的坐标为(？)： 24.解：(1)将点A(-1,0),B(3,0)分别代入y=ax2+bx-3, 得0=a-b-3, (0=9a+3b-3, 0侣 ∴.二次函数的表达式为y=x2-2x-3。 (2)如图1，设抛物线对称轴与x轴的交点为G,过点P作PH ⊥QM于点H。 b 抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=- =1 2a .G(1,0),M(1,-4)。∴.AG=2。 ∠QAG=∠PQH=90°-∠AQG, ∠AGQ=∠PHQ=90°， ∴.△AQG∽△QPH。 AG QG AQ QH PH OP =2。 图1 Qm=24G=1,0G=2Pm。 点P的横坐标为m(m>3), ∴.PH=m-1,QG=2PH=2m-2,HG=QG-QH=2m-3。 .P(m,2m-3)。 将点P代入y=x2-2x-3,得m2-2m-3=2m-3, 解得m=4或0（舍去）， .m=4。 (3)如图2，过点M作MF⊥x轴于点F,过点E作EN⊥MB,交 MB的延长线于点N。 令E(a,0),则EB=a-3。 Y B(3,0),M(1,-4), ∴.BF=2,FM=4。 .BM=√2+4=25。 ,'∠FBM=∠NBE, ∠BFM=∠BNE=90°， ∴.△FMB△NEB。 图2 .BF BN 1 FM NE 2 在Rt△NEB中，2BN=NE,则BE=√BW2+NE=√/5BN, ·BW=⑤ (a-3),NE=2BN=25 5 (a-3)。 在Rt△MNE中，sin L BME=3 3 EN ∴.tan∠BME= 4-MN MN-4 EN=8/5(d 3 15(a-3)。 在Rt△FBM中，MB=25,则MN=MB+BN, 即85 5(a-3)=25+5(a-3) 解得a=9,.E(9,0)。 由题意知，点A,E关于点R对称。 A(-1,0),E(9,0),∴R(4,0)。 .3 25.(1)证明：∠ACD=∠B,∠A=∠A, .△ACD∽△ABCO .AC_AD ABAC0AC=AD·AB。 (2)解：如图1，连接AC。在菱形ABCD中， 1 人EAF=号∠BAD,LBAC=2∠BAD=∠EAF ∴.∠BAM=LFAC。 .·AB∥CD,∴.∠BAM=∠M。 .∠FAC=∠M。 又.·∠AFC=∠MFA, ∴.△AFC∽△MFA。 AF FC 图1 MF FA AF2=MF.CF。 .AF=2,CF=1,∴.MF=4。 .CM=MF-CF=3。 (3)337 2 【解析】如图2，过点D作DM⊥BC,交BC的延长 3 线于点M,在BC上取一点Q,使得BQ=之，连接PB,PQ,DQ。 在菱形ABCD中，AB=6,LABC=60°， .BC=CD=AB=6,AB/∥CD。 .∠DCM=LABC=60°。 DM L BM, ∴.∠CDM=90°-∠DCM=30°。 B Cw=2cD=3。 图2 DM=√CD2-CM=√6-3=35， QM=BC+CM-BQ=6+3-3-15 229 00=v0w+0w-√+(3v5-3 29 BQ BP 1 :BQ=,BC=6,BP=3,∴BPBG=)号 ∠PBQ=∠CBP,∴.△BPQ△BCP。 ..OP_Bp 1 PG-BCQP=Pc。 2 PD+QP≥DQ,即PD+QP≥ 37 2 .'PD+- c≥3v37 2 20 PD+2PC的最小值为3，可 92025年章丘区学业水平第一次模拟试题 答案速查 12345678910 CBB C D DDCAB 1.C【解析】-√3<-0.4<0<2。 2.B【解析】186000=1.86×10°。 3.B【解析】小∠EDF=90°，∠E=60°， .∠F=90°-∠E=30°。 :EFBC,.∠GDC=∠F=30°。 ∠BAC=90°，∠B=45°，.∠C=45°。 ∴.∠DGC=180°-∠C-∠GDC=105°。