4.4 平行四边形的判定定理讲义（知识梳理+题型突破）2025-2026学年八年级数学下册浙教版

本讲义聚焦平行四边形的判定定理这一核心知识点，系统梳理定义及5个判定定理，通过判定思路图从对边、对角、对角线角度构建知识框架，结合常用结论和技巧总结，形成从基础原理到解题应用的完整学习支架。 资料以数学思维与几何直观为特色，通过“解题口诀”强化推理意识，典例涵盖坐标系、尺规作图等情境培养空间观念，课中辅助教师分层教学，课后练习题帮助学生查漏补缺，提升应用意识与问题解决能力。

4.4 平行四边形的判定定理 讲义 基础知识梳理 1. 平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 平行四边形的5个判定定理（必背） 设四边形为 ，对角线交于 。 ①定义判定：两组对边分别平行， ②两组对边分别相等： ③一组对边平行且相等： ④两组对角分别相等： ⑤对角线互相平分： 3. 判定思路图 看对边：平行 / 相等 / 平行且相等 看对角：两组分别相等 看对角线：互相平分 4. 常用结论 一组对边平行，一组对角相等 平行四边形 对角线分成的两个三角形全等 夹在平行线间的平行线段相等 技巧总结归纳（解题直接用） 判定首选：题目给平行就用一组对边平行且相等 题目给对角线：优先用对角线互相平分 题目给角相等：优先用两组对角相等 中点条件：连对角线，用互相平分 网格/坐标系找点：用对边平行且相等 添加条件题型：只加一个条件即可判定 易错提醒： ①一组对边平行，另一组对边相等 不一定是平行四边形 ②一组对边相等，一组对角相等 不一定是平行四边形 典例精讲 题型一 判定定理辨析（基础） 典例 1下列说法中，①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理，对每个说法逐一判断，统计正确的个数即可． 【详解】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴①正确， ∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不是平行四边形，∴②错误， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴③正确， ∵四边形内角和为，两组对角分别相等，则邻角和为，可推出两组对边分别平行，∴两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④正确， 综上，正确的有①③④，共3个， 故选：B． 技巧点拨：牢记“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定。 变式 1如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，一组对边平行另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，不可以判定，不符合题意； B、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可判断，可以判定，符合题意； C、两组邻角相等的四边形可能是等腰梯形，不可以判定，不符合题意； D、一组邻边相等，一组对角相等的四边形可能是筝形，不可以判定，不符合题意． 题型二 添加条件判定平行四边形 典例 2如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 变式 2如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． 【分析】根据平行四边形的性质得出相等的角和边，通过证明三角形全等，得出相等的边，利用平行四边形的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：添加一个条件使得四边形是平行四边形的选项是①②④； （2）选择① 证明：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； 选择② 证明：∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 同理，, ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择④ 证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 题型三 平行四边形的证明问题（核心题型） 典例 3如图，平行四边形的顶点O、A、C的坐标分别是，E，F分别是上的点． (1)点B的坐标是 ； (2)若，求证：四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到轴，，即可得出结果； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平行四边形， ∴，，即轴， ∵， ∴，即； （2）解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 变式 3如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 【分析】对于（1），根据“角边角”证明这两个三角形全等； 对于（2），先根据全等三角形的对应边相等得，进而得出，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得出答案． 【详解】（1）证明：在和中，， ； （2）证明：由（1）得：， ． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 题型四 全等三角形拼接平行四边形 典例 4用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 题型五 性质+判定综合题 典例 5如图，在中，、分别是、的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积是7，求四边形的面积． 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，可得，，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点E是中点， ． 又， ∴四边形是平行四边形． ，． 点是中点， ， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）知四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ∴． ∴平行四边形的面积是28． 题型六 坐标系中的平行四边形 典例 6如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若绕着点逆时针旋转后得到，画出，并写出点的对应点的坐标是________； (2)若为平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【分析】对于（1），需依据绕点逆时针旋转的坐标变换规则，先将点相对于旋转中心平移至原点，完成旋转后再平移回原位置，从而确定点的对应点的坐标； 对于（2），根据平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分的性质，分三种情况（以不同边为对角线）讨论，计算满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求．由图可得，点的坐标是． 故答案为：． （2）解：当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点的坐标为； 当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点的坐标为； 当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或． 题型七 尺规作图+平行四边形判定与性质 典例 7如图，在平行四边形中，E为线段延长线上的一点，连接．请完成以下作图和填空： (1)在平行四边形的外部，用尺规作，且交直线于点F，连接，． (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴___①___， ∵，，∴___②___， 在和中，，∴， ∴___③___，，∴___④___，∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据题意作图即可． （2）根据题中思路求解即可． 【详解】（1）解：即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴①， ∵，， ∴②， 在和中，， ∴， ∴③，， ∴④， ∴四边形是平行四边形． 拓展重难题型（压轴） 典例 8如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，． ①线段长为 ． ②四边形的面积为 ． 【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质得，，再根据，得，根据平行四边形的判定即可得证； （2）①在中，由勾股定理得，进而得，从而即可得解；②过点作于，根据面积公式得，再证明（），得，从而利用面积公式即可得解． 【详解】（1）证明：连接交于． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②过点作于， ∵，，，， ∴， ∴， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中，， ∴（）， ∴， ∴． 故答案为：． 典例 9在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 【分析】（1）如图①，过点P作分别交，于点M，N，先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，，即可得出结论； （2）如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点，先证明四边形是平行四边形，，再结合（1）的结论，即可求得答案． 【详解】（1）解：；证明如下： 如图①，过点P作分别交，于点M，N， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点， 由（1）得， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 平行四边形的周长为． 课堂小结（必背） 1. 判定五法 两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等（最常用） 两组对角分别相等 对角线互相平分 2. 解题口诀 有平行，找相等；有相等，找平行 对角线，看平分；有中点，用平分 坐标系，找平移；三点定，有三个 3. 易错点 一组对边平行另一组相等 不行 一组对边相等一组对角相等 不行 判定必须用定理，不能凭“看着像” 题型一．平行四边形的性质 1．（2025春•嘉兴校级期中）平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行 【答案】C 【分析】根据平行四边性质对每一项判断即可解答． 【解答】解：∵平行四边形的性质是对边相等，对角相等，对边平行，对角线互相平分， ∴平行四边形的性质不一定是对角线相等， 故A，B，D选项不符合题意， 故选：C． 2．（2025春•义乌市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（　　） A．80° B．40° C．70° D．140° 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°，即可求出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠C＝80° ∴∠A＝∠C＝40°， ∴∠D＝180°﹣∠A＝140°， 故选：D． 3．（2025春•林州市期末）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，根据以上结论即可选出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°， 即∠A和∠C的度数相等，∠B和∠D的度数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D， 故选：D． 4．（2025春•锦江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论不一定正确的是（　　） A．AC⊥BD B．∠BAD+∠ABC＝180° C．AD＝BC D．OA＝OC 【答案】A 【分析】根据平行四边形得到AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC，再由平行线的性质得到∠BAD+∠ABC＝180°，但是对角线不一定互相垂直，即可判断． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， 故B、C、D正确，不符合题意，A不一定成立，符合题意， 故选：A． 5．（2025秋•宁波校级期中）若以A（﹣5，2），B（﹣3，5），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】分三种情况讨论，一是以AB、BC为邻边作平行四边形，则第四个顶点在第三象限；二是以AB、AC为邻边作平行四边形，则第四个顶点在第一象限；三是以AC、BC为邻边作平行四边形，则第四个顶点在第二象限，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AB、AC、BC， 以AB、BC为邻边作平行四边形ABCD1，则点D1在第三象限； 以AB、AC为邻边作平行四边形BACD2，则点D2在第一象限； 以AC、BC为邻边作平行四边形ACBD3，则点D3在第二象限， 综上所述，第四个顶点不可能在第四象限， 故选：D． 6．（2025春•龙港市期中）如图，在▱ABCD中，∠ADC的角平分线交AB于点E．若平行四边形的周长为16，且BE＝2，则AE的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质及等腰三角形的性质可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB， ∴∠CDE＝∠DEA， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠DEA， ∴AD＝AE， ∵平行四边形的周长为16，AD＝BC，CD＝AB， ∴AD+AB＝8， ∵BE＝2， ∴AD+AE＝6， ∵AD＝AE， ∴AE＝AD＝3， 故选：A． 7．（2025春•新昌县期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】D 【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论． 【解答】解：设BC＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40， ∴BC+CD＝20， ∴CD＝20﹣x， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝6（20﹣x）， 解得：x＝12， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48． 故选：D． 8．（2025春•天门期中）如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则▱ACBD的对角线CD的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出直线EF的解析式为y＝x+5，设C（x，x+5），根据平行四边形的性质得D（﹣x，1﹣x），由勾股定理可得CD2＝（2x）2+（1﹣x﹣x﹣5）2＝8（x+1）2+8，根据非负数的性质可得CD2的最小值是8，即可得CD的最小值． 【解答】解：设直线EF的解析式为y＝kx+b， ∵E（0，5），F（﹣5，0）， ∴，解得， ∴直线EF的解析式为y＝x+5， 设C（x，x+5）， ∵四边形ACBD是平行四边形，A（0，8），B（0，﹣2）， ∴D（﹣x，1﹣x）， ∴CD2＝（2x）2+（1﹣x﹣x﹣5）2＝8（x+1）2+8， ∴CD2的最小值是8， ∴CD的最小值是2． 故选：A． 9．（2025春•金东区期末）如图，在▱ABCD中，∠D＝5∠CAB，在AC上取点P，使PC＝BC，连接BP，过点P作EF⊥CD交AB，CD分别于点E，F．已知BE＝2，AE＝x，BP＝y，当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 【答案】B 【分析】设∠CAB＝α，再依次求出∠ABC＝∠D＝5α，∠CPB＝∠CBP＝3α，∠PBA＝2α，由此想到在AE上取QE＝BE＝2，连接PQ，推出QA＝QP＝BP＝y，进而可利用线段间的和差关系解决问题． 【解答】解：设∠CAB＝α，则∠D＝5∠CAB＝5α， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝5α，AB∥CD， 在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣α﹣5α＝180°﹣6α， ∵PC＝BC， ∴∠CPB＝∠CBP3α， ∴∠PBA＝∠ABC﹣∠CBP＝5α﹣3α＝2α， 如图，在AE上取QE＝BE＝2，连接PQ， ∵EF⊥CD，AB∥CD， ∴EF⊥AB， ∴EF是QB的垂直平分线， ∴PQ＝PB， ∴∠PQB＝∠PBQ＝2α， ∴∠QPA＝∠PQB﹣∠CAB＝2α﹣α＝α， ∴∠QPA＝∠CAB＝α， ∴AQ＝QP＝BP＝y， ∵AE＝x， ∴AE﹣AQ＝QE＝2，即x﹣y＝2， ∴x，y发生变化时，x﹣y不变． 故选：B． 10．（2025春•拱墅区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作EO⊥BD，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若EF＝OF，∠CBD＝45°，，CE＝2，则下列结论中：①EO平分∠BED；②DE⊥BE；③CF：DF＝1：2；④．正确结论的个数序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】①根据平行四边形的性质得OB＝OD，则EO是线段BD的垂直平分线，进而得△EBD是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论结论①进行判断；②根据∠CBD＝45°得△BED是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；③过点F作FN⊥CE于点E，先求出DE＝BE＝6，，，证明△EFN是等腰直角三角形，可求出，根据勾股定理求得，，进而得到，即可得到CF：DF＝1：3，据此可对结论③进行判断，④分别求出S△CEF＝1.5，S▱ABCD＝24，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）， ∵EO⊥BD， ∴EO是线段BD的垂直平分线， ∴BE＝DE， ∴△EBD是等腰三角形， ∵OB＝OD， ∴EO平分∠BED，故①正确； ②∵∠CBD＝45°，BE＝DE， ∴∠BDE＝∠CBD＝45°， ∴∠BED＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴DE⊥BE，故②正确； ③过点F作FN⊥CE于点E， ∵∠BED＝90°，BE＝DE， ∴△BED是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵EO⊥BD， ∴， ∴△OBE是等腰直角三角形，， ∴∠BEO＝45°， ∴△EFN是等腰直角三角形， ∴， ∵CE＝2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ， ∴， ∵DE＝BE＝6， ∴BC＝BE﹣CE＝6﹣2＝4， ∴S▱ABCD＝BC•DE＝4×6＝24， ∴， ∴，故④正确． 综上：所有正确结论的序号是①②④．故选：B． 11．（2025•宁波一模）如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ 　 　 ． 【答案】70° 【分析】先利用三角形的外角性质求得∠BFD的度数，再根据平行四边形的性质推出FB∥CD，利用平行线的性质，即可求出答案． 【解答】解：∵∠A＝40°，∠ABF＝30°， ∴∠BFD＝∠A+∠ABF＝70°， ∵四边形BCDF是平行四边形， ∴FB∥CD， ∴∠CDE＝∠BFD＝70°， 故答案为：70°． 12．（2025春•乐清市校级期中）在▱ABCD中，AE平分∠BAD交直线BC于点E，BE：EC＝2：1，AB＝6，那么▱ABCD的周长是　 　 ． 【答案】30或18． 【分析】首先根据题意作图，由AE平分∠BAD交直线BC于点E，可知点E在边BC上或者在其延长线上；分别求解即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB＝6， 如图1，∵BE：EC＝2：1， ∴EC＝3， ∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝6， ∴这个四边形的周长是：9+6+9+6＝30； 如图2，∵BE：EC＝2：1， ∴EC＝3， ∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝6， ∴这个四边形的周长是：3+6+3+6＝18； ∴这个四边形的周长是：30或18． 故答案为：30或18． 13．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠ACB的度数是　 　 ． 【答案】52°． 【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC， ∵AD＝AE＝BE， ∴BC＝AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB， ∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB， ∴∠ACB＝2∠CAB， ∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°， ∴∠BAC＝26°， ∴∠ACB＝52°， 故答案为：52°． 14．（2025春•义乌市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，DE平分∠ADC，AF⊥DE，G是BC的中点，连结FG，则FG＝ 　 　 ． 【答案】2． 【分析】延长DE交AB的延长线于点T，过点F作FH∥AD交AB于点H，先证明∠T＝∠ADE得AT＝AD＝8，进而得BT＝2，再证明FH是△ATD的中位线得AH＝TH，进而根据直角三角形斜边中线性质得FH＝TH＝AH＝4，由此得FH＝BG＝4，BH＝2，然后证明四边形BGHB是平行四边形即可得出FG的长． 【解答】解：延长DE交AB的延长线于点T，过点F作FH∥AD交AB于点H，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝6，AD＝8， ∴CD＝AB＝6，BC＝BC＝AD＝8，AB∥CD，AD∥BC， ∵点G是BC的中点， ∴BGBC4， ∵AB∥CD， ∴∠T＝∠CDE， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADE， ∴∠T＝∠ADE， ∴AT＝AD＝8， ∴BT＝AT﹣AB＝8﹣6＝2， 在△ADT中，AT＝AD＝8，AF⊥BT， ∴DF＝TF，△AFT是直角三角形， ∵FH∥AD交AB于点H， ∴FH是△ATD的中位线， ∴AH＝TH， 在Rt△AFT中，FH是斜边AT上的中线， ∴FH＝TH＝AHAT＝4， ∴FH＝BG＝4，BH＝TH﹣BT＝4﹣2＝2， ∵FH∥AD，AD∥BC， ∴FH∥BC， ∴四边形BGHB是平行四边形， ∴FG＝BH＝2． 故答案为：2． 15．（2025春•望城区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8．求OB的长度及▱ABCD的面积． 【分析】直接利用勾股定理得出BD的长，再由平行四边形的性质即可得出答案． 【解答】解：∵BD⊥AD，AB＝10，AD＝8， ∴BD6． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OBBD＝3， ∴S▱ABCD＝6×8＝48． 16．（2025春•桐柏县期末）（1）填空： ①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边 　 　 ． ②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角 　 　 ． ③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线 　 　 ． （2）在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质 　 　 ． 已知：ABCD是平行四边形，求证： ． 【分析】（1）根据平行四边形的性质求解； （2）选择①，利用全等三角形的性质证明即可． 【解答】解：（1）①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等． ②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角相等． ③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线互相平分． 故答案为：相等，相等，互相平分； （2）选择性质①． 已知：四边形ABC都是平行四边形， 求证：AB＝CD，AD＝BC． 证明：如图，连接AC． ∵四边形ABC都是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠ACB，∠ACB＝∠DAC， 在△ABC和△CDA中，， ∴△ABC≌△CDA（ASA）， ∴AB＝CD，AD＝BC． 故答案为：①，AB＝CD，AD＝BC． 17．（2025春•余杭区校级月考）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G． （1）求证：BE⊥CF； （2）若AB＝5，CF＝6，求BE的长． 【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCBABC∠DCB＝90°，进而可得BE⊥CF； （2）过A作AM∥FC，首先证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F， ∴∠EBC+∠FCBABC∠DCB＝90°， ∴EB⊥FC； （2）解：如图，过A作AM∥FC，交BE于点O， ∵AM∥FC， ∴∠AOB＝∠FGB， ∵EB⊥FC， ∴∠FGB＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE＝5， ∵AO⊥BE， ∴BO＝EO， 在△AOE和△MOB中，， ∴△AOE≌△MOB（ASA）， ∴AO＝MO， ∵AF∥CM，AM∥FC， ∴四边形AMCF是平行四边形， ∴AM＝FC＝6， ∴AO＝3， ∴EO4， ∴BE＝8． 18．（2025春•静海区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：AE＝FE； （2）若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出∠D＝∠ECF，由ASA即可证出△ADE≌△FCE，进而解答即可； （2）证出AB＝FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠D＝∠ECF， 在△ADE和△FCE中，， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AE＝FE； （2）解：∵△ADE≌△FCE， ∴AD＝FC， ∵AD＝BC，AB＝2BC， ∴AB＝FB， ∴∠BAF＝∠F＝36°， ∴∠B＝180°﹣2×36°＝108°． 题型二．平行四边形的判定 1．（2026春•南岗区校级月考）下列能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组邻角互补 C．一组对边相等，一组邻角互补 D．一组对边平行，另一组对边也平行 【答案】D 【分析】根据平行四边形的定义和判定定理，对各选项逐一判断即可得到结果． 【解答】解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故A不符合题意． B．一组对边平行，一组邻角互补的四边形可能是直角梯形，不能判定是平行四边形，故B不符合题意． C．一组对边相等，一组邻角互补，无法推出两组对边平行或相等，不能判定是平行四边形，故C不符合题意． D．四边形一组对边平行，另一组对边也平行，即两组对边分别平行，根据平行四边形的定义，可知该四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 2．（2026春•襄城区校级月考）下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：1：2：2 B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC D．∠B＝∠C，∠A＝∠D 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C：∠D＝1：1：2：2， ∴，， ∴∠B+∠A＝120°， ∴AD与BC不平行，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故本项不符合题意； B．AB＝AD，CB＝CD，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故本项不符合题意； C．AB＝CD，AD＝BC，两组对边分别相等，可以判定四边形ABCD为平行四边形，故本项符合题意； D．∠B＝∠C，∠A＝∠D，且∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，可得∠B+∠A＝180°， ∴AD∥CB，只有一组对边平行，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故本项不符合题意． 故选：C． 3．（2026春•东台市月考）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意，根据平行四边形的判定定理逐个进行分析可以判断得解． 【解答】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； B、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； C、∵∠ACB＝∠DAC＝40°， ∴AD∥BC， ∵AB＝CD， ∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意； D、∠ACB＝∠CAD＝40°， ∴AD∥BC， ∵∠ABD＝∠BDC＝35°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； 故选：C． 4．（2025秋•鄞州区校级期末）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），再找一点D，使它与点A，B，C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣4，2） C．（0，﹣4） D．（2，4） 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得出满足条件的点D有三个． 【解答】解：满足条件的点D有三个，坐标分别为（2，4）或（﹣4，2）或（0，﹣4）， ∴点D的坐标不可能是（﹣3，2）， 故选：A． 5．（2025秋•沙坪坝区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD＝BC，以下条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD B．∠DAO＝∠BCO C．AD＝AC D．∠BAD＝∠DCB 【答案】B 【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC，进而利用平行四边形的判定解答即可． 【解答】解：A、∵AB∥CD，AD＝BC，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； B、∵∠DAO＝∠BCO， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故符合题意； C、∵AD＝AC，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； D、∵∠BAD＝∠DCB，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 6．（2026春•姑苏区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使得四边形ABCD为平行四边形，则下列不正确的是（　　） A．AD∥BC B．AD＝BC C．AB＝CD D．∠A＝∠C 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【解答】解：A、根据AB∥CD，AD∥BC，能判断四边形ABCD为平行四边形，故A不符合题意； B、根据AB∥CD，AD＝BC，不能判断四边形ABCD为平行四边形，故B符合题意； C、根据AB∥CD，AB＝CD，能判断四边形ABCD为平行四边形，故C不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠A＝∠C， ∴∠ABC+∠A＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故D不符合题意； 故选：B． 7．（2026春•东阿县月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（　　） A． B．3 C．3或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题． 【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝9+3t﹣12，解得t， ②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝12﹣9﹣3t，解得t， 综上所述，t或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 故选：D． 8．（2026春•沭阳县校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且BO＝DO，请你添加的一个条件是 　 ，使四边形ABCD是平行四边形． 【答案】AD∥BC（答案不唯一）． 【分析】根据平行四边形的判定方法作答即可． 【解答】解：添加条件：AD∥BC， 证明：∵AD∥BC， ∴∠DAO＝∠BCO， ∵∠AOD＝∠COB，DO＝BO， ∴△DAO≌△BCO（AAS）， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故答案为：AD∥BC（答案不唯一）． 9．（2026•丛台区校级一模）如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形ABCD为平行四边形，则这条线段为 ． 【答案】AD． 【分析】根据已知条件结合平行线的判定得出AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，则需满足AD＝BC，即可求解． 【解答】解：当AD＝5时， ∵BC＝5， ∴AD＝BC， ∵∠DAC＝∠BCA＝55°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：AD． 10．（2026春•工业园区校级同步）下列给出的是四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比：①1：2：3：4；②2：2：3：4；③2：3：2：3；④2：3：3：2；⑤3：2：3：2．其中能使四边形ABCD为平行四边形的是 　 　 （填序号）． 【答案】③⑤． 【分析】由“两组对角对边相等的四边形是平行四边形”进行判断即可． 【解答】解：①∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1：2：3：4， ∴四边形ABCD的四个角都不相等， ∴四边形ABCD不是平行四边形，故①不符合题意； ②∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2：2：3：4， 即四边形ABCD的两组对角不是分别相等， ∴四边形ABCD不是平行四边形，故②不符合题意； ③∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2：3：2：3， 即四边形ABCD的两组对角分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故③符合题意； ④∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为2：3：3：2， 即四边形ABCD的两组对角不是分别相等， ∴四边形ABCD不是平行四边形，故④符合题意； ⑤∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为3：2：3：2， 即四边形ABCD的两组对角分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故⑤符合题意； 故答案为：③⑤． 11．（2026春•襄城区校级月考）如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成平行四边形的个数是 　 　 个． 【答案】4 【分析】根据平行四边形的判定解答即可． 【解答】解：对图形进行标记如下： ①顺次连接EF、FN、NM、ME，可得四边形EFNM为平行四边形； ②顺次连接AD、DB、BC、CA，可得四边形ADBC为平行四边形； ③顺次连接ED、DN、NC、CE，可得平行四边形EDNC； ④顺次连接AF、FB、BM、MA，可得四边形AFBM为平行四边形． 综上分析，可得这些点可以构成4个平行四边形． 故答案为：4． 12．（2026春•东台市月考）如图，已知△ABC，分别以C，A为圆心，AB，BC 的长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD，则四边形ABCD是平行四边形的依据是 　 　 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【分析】利用平行四边形的判定方法可直接求解． 【解答】解：∵分别以点A，C为圆心，BC，AB长为半径作弧，两弧交于点D， ∴BC＝AD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 13．（2025秋•博山区期末）如图，已知：∠1＝∠2，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】根据内错角相等，两直线平行得到AB∥CD，结合题意，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可求解． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边平行的四边形是平行四边形）． 14．（2026春•长沙月考）如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形． 【分析】根据平行线的性质和判定证得EB∥DC，再根据平行四边形的判定即可证得结论． 【解答】证明：∵EF∥AC， ∴∠EDC+∠C＝180°， 又∵∠EDC＝∠CBE， ∴∠CBE+∠C＝180°， ∴EB∥DC， ∵DE∥BC，BE∥CD， ∴四边形BCDE是平行四边形． 15．（2026春•锡山区校级月考）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】由条件可利用ASA，可得OE＝OF，则可求得AE＝CF，可求得OA＝OC，则可证得四边形ABCD为平行四边形． 【解答】证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角， ∴∠EOB＝∠FOD， 在△BEO和△DFO中，， ∴△BEO≌△DFO（ASA）； ∴OE＝OF， ∵AE＝CF， ∴OA＝OC， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 16．（2025春•耀州区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是BC，AD上的点，且AE∥CF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若∠BAE＝∠DCF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】（1）欲证明四边形AECF是平行四边形，只需推知AF∥EC，AE∥CF； （2）由（1）中平行四边形的对角相等推知∠EAF＝∠FCE，∠AEC＝∠AFC，结合已知条件∠BAE＝∠DCF和三角形外角性质可以得到：∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，所以根据两组对角相等的四边形为平行四边形证得结论． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴AF∥EC． 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）由（1）知，四边形AECF是平行四边形，则∠EAF＝∠FCE，∠AEC＝∠AFC． ∵∠BAE＝∠DCF，∠AEC＝∠B+∠BAE，∠AFC＝∠D+∠DCF， ∴∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形． 17．（2025春•杭州校级月考）在①AD∥BC，②∠B+∠C＝180°，③∠B＝∠D这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C，　 　 ． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：选择①．∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形； 选择②．∵∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形； 选择③．∵∠B＝∠D，∠A＝∠C， ∴四边形ABCD是平行四边形． 故答案为：①或②或③． 18．（2025春•紫阳县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝4cm，其中BD是AC边上的高，点G从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为3cm/s；同时点E由点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点E的直线EF∥AC，交BC于点F，连接EG，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5）． 解答下列问题： （1）线段BE＝ t cm，AG＝ 　 cm（用含t的代数式表示）； （2）求AD的长； （3）当t为何值时，以E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形？ 【分析】（1）根据路程＝速度×时间，计算即可； （2）如图，过点A作AH⊥BC于点H．利用勾股定理求出AH，再利用面积法求出BD，再利用勾股定理求出AD即可； （3）根据EF＝DG，构建方程求解． 【解答】解：（1）由题意BE＝tcm，AG＝3tcm． 故答案为：t，3t； （2）如图，过点A作AH⊥BC于点H． ∵AB＝AC＝10cm，BC＝4cm，AH⊥BC， ∴BH＝CH＝2， ∴AH4（cm）， ∵BD⊥AC， ∴•AC•BD•BC•AH， ∴BD8， ∴AD6（cm）； （3）∵EF∥AC， ∴当EF＝DG时，以E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形， ∴t＝|6﹣3t|， 解得t或3（舍去）． ∴当t时，以E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形． 题型三．平行四边形的判定与性质 1．（2025春•广阳区校级期中）如图给出了四边形ABCD的部分数据，则α的值为（　　） A．35° B．32° C．28° D．25° 【答案】D 【分析】由题意得，OA＝OC＝4，OB＝OD＝6，推出四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可求解． 【解答】解：由题意得，OA＝OC＝4，OB＝OD＝6， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴α＝∠DBC＝∠ADB＝25°， 故选：D． 2．（2025春•分宜县校级期中）如图，在▱ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（　　）对 A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定与性质可知，平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对面积相等的平行四边形． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，S△ABD＝S△CBD． ∵GH∥AB，EF∥BC， ∴GH∥AB∥CD，EF∥BC∥AD， ∴四边形ABHG、四边形CDGH、四边形BHPE、四边形CHPF、四边形AEPG、四边形DFPG、四边形AEFD、四边形BCFE都是平行四边形， ∵BP是平行四边形BEPH的对角线， ∴S△BEP＝S△BHP， ∵PD是平行四边形GPFD的对角线， ∴S△GPD＝S△FPD． ∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△GPD＝S△BCD﹣S△BHP﹣S△PFD， 即S▱AEPG＝S▱HCFP， ∴S▱ABHG＝S▱BCFE， 同理S▱AEFD＝S▱HCDG． 即：S▱ABHG＝S▱BCFE，S▱AGPE＝S▱HCFP，S▱AEFD＝S▱HCDG． 故选：C． 3．（2025春•阳东区期中）如图，在△ABC中，∠B＝49°，分别以点A，C为圆心，BC，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，CD，则∠ADC的度数为（　　） A．41° B．49° C．51° D．59° 【答案】B 【分析】判定四边形ABCD是平行四边形，推出∠ADC＝∠B＝49°． 【解答】解：由题意得到：AD＝BC，CD＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC＝∠B＝49°． 故选：B． 4．（2025春•济源校级期中）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误 【答案】B 【分析】根据作图过程可得AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，由l1∥l2，可得∠ADB＝∠CBD，然后可以证明四边形ABCD是菱形，进而可以解决问题． 【解答】解：根据作图过程可知：AB＝CB，∠ABD＝∠CBD， ∵l1∥l2， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝CB， ∴四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD对角线互相垂直． ∴①错误，②正确． 故选B． 5．（2025春•新沂市期中）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】①正确．根据平行四边形的判定方法即可判断． ②错误．观察图形即可判断． ③错误．面积是变小了． ④正确．根据平行四边形性质即可判断． 【解答】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确， ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误， ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误， ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 6．（2025春•红花岗区期中）如图，在腰长为8的等腰△ABC中，AB＝AC，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据题意得出四边形MEAF是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得∠B＝∠EMB，得出EM＝EB，则AE+AF＝AB，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【解答】解：∵ME∥AC，MF∥AB， ∴四边形MEAF是平行四边形， ∴FM＝AE，EM＝AF， ∵ME∥AC， ∴∠EMB＝∠C， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠B＝∠EMB， ∴EM＝EB， ∴AF＝BE， ∴AE+AF＝AE+BE＝AB， ∵AB＝AC＝8， ∴平行四边形MEAF的周长＝2（AE+AF）＝2AB＝2×8＝16； 故选：D． 7．（2025春•衡山县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（　　） A．4次 B．3次 C．2次 D．1次 【答案】B 【分析】易得两点运动的时间为12s，PD＝BQ，那么以P、D、Q、B四点组成平行四边形，列式可求得一次组成平行四边形，算出Q在BC上往返运动的次数可得平行的次数． 【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC＝AD＝12，AD∥BC， ∵四边形PDQB是平行四边形， ∴PD＝BQ， ∵P的速度是1cm/秒， ∴两点运动的时间为12÷1＝12s， ∴Q运动的路程为12×4＝48cm， ∴在BC上运动的次数为48÷12＝4次． 第一次PD＝QB时，12﹣t＝12﹣4t，解得t＝0，不合题意，舍去； 第二次PD＝QB时，Q从B到C的过程中，12﹣t＝4t﹣12，解得t＝4.8； 第三次PD＝QB时，Q运动一个来回后从C到B，12﹣t＝36﹣4t，解得t＝8； 第四次PD＝QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12﹣t＝4t﹣36，解得t＝9.6． ∴在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有3次， 故选：B． 8．（2025春•拱墅区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AO＝OC，∠DAC＝∠BCA，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F．若AC＝2DE，AB＝6，则BF的长为　 　 ． 【答案】3． 【分析】证明△AOD≌△COB，根据全等三角形的性质得到OD＝OB，证明四边形ABCD为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式计算得到答案． 【解答】解：在△AOD和△COB中，， ∴△AOD≌△COB（ASA）， ∴OD＝OB， 又∵AO＝OC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴S四边形ABCD＝AB•DEAC•BF×2， ∵AC＝2DE，AB＝6， ∴BF＝3， 故答案为：3． 9．（2025春•息县期中）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB长为4，射线CD∥AB，点E为射线CD上一点，过点E作EF⊥BC于点F，连接AE，点M为AE中点，则MF的最小值为　　 ． 【答案】． 【分析】延长EF交AB于点N，连接CM，MN，易得四边形ANEC是平行四边形，进而得到C，M，N三点共线，再利用直角三角形的性质得到，当CN⊥CD时，CN有最小值，即MF有最小值，求出∠ACN＝30°，即可求出，利用勾股定理即可求出CN，即可解答． 【解答】解：延长EF交AB于点N，连接CM，MN， ∵∠CFE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴AC∥EN， ∵CD∥AB， ∴四边形ANEC是平行四边形， ∵点M为AE中点， ∴C，M，N三点共线， ∵∠CFN＝90°， ∴， 当CN⊥CD时，CN有最小值，即MF有最小值， ∵Rt△ACB中，∠B＝30°，AB＝4， ∴，∠BAC＝60°， ∵∠NCD＝90°，CD∥AB， ∴∠CNA＝90°， ∴∠ACN＝30°， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（2025春•义乌市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF． （1）求证：四边形ADFE是平行四边形； （2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长． 【分析】（1）证△FCE≌△ACD（ASA），得EF＝AD，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得DF＝AE＝6，再由等腰三角形的性质得CD＝BD＝2，则DE＝2CD＝4，进而由勾股定理得EF＝2，然后由面积法求出EG的长即可． 【解答】（1）证明：∵EF∥AD， ∴∠FEC＝∠ADC， 又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD， ∴△FCE≌△ACD（ASA）， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形； （2）解：如图， 由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形， ∴DF＝AE＝6， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝BD＝2， ∴CE＝CD＝2， ∴DE＝2CD＝4， ∵EF∥AD， ∴EF⊥BC， ∴∠DEF＝90°， ∴EF2， ∵EG⊥DF， ∴S△DEFDF•EG•EF， ∴EG， 即EG的长为． 11．（2025春•昌江县校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF． （1）当∠BAD＝120°时，∠BCD＝　 　 ． （2）当AD＝10，BC＝　 　 ． （3）求证：四边形BFDE是平行四边形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质求解即可； （2）根据平行四边形的性质求解即可； （3）根据平行四边形对角线互相平分得到OA＝OC，OB＝OD，再证明OE＝OF，则可由对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠BAD＝120°， ∴∠BCD＝∠BAD＝120°， 故答案为：120°； （2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，AD＝10， ∴BC＝AD＝10， 故答案为：10； （3）证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF， ∴四边形BFDE是平行四边形． 12．（2025春•历下区期中）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为边AD上一点，且AB＝AE，连接BE． （1）如图1，求证：BE平分∠ABC； （2）如图2，过点A作AF⊥BE，垂足为F，延长AF，交DC的延长线于点G．若DE＝2，求CG的长． 【分析】（1）根据平行四边形的判定求出四边形ABCD是平行四边形，∠AEB＝∠CBE，结合等腰三角形的性质求出∠ABE＝∠CBE，由角平分线的定义可得出结论； （2）根据平行四边形的性质定理及平行线的性质求出∠BAG＝∠G，AB＝CD，根据等腰三角形的性质求出∠BAG＝∠EAG，则∠EAG＝∠G，再根据等腰三角形的判定及线段的和差求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠AEB＝∠CBE， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD， ∴∠BAG＝∠G，AB＝CD， ∵AB＝AE，AF⊥BE， ∴∠BAG＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠G， ∴DG＝AD， ∵DE＝AD﹣AE＝2，AB＝AE＝CD， ∴CG＝DG﹣CD＝2． 13．（2025春•河曲县期中）如图，在△ABC中，D为AC的中点，连接BD并延长到点E，使DE＝DB，连接AE，CE． （1）四边形ABCE　 　 （填“是”或“不是”）平行四边形，依据是　 　 ． （2）若F，G分别为AE，BC上的点，且EF＝BG，连接CF，AG，试猜想∠AGC与∠EFC之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到答案； （2）证明四边形AGCF是平行四边形，得到∠AGC＝∠AFC，即可证得结论． 【解答】解：（1）∵D是边AC的中点， ∴AD＝CD， ∵DE＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形， 故答案为：是，对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）∠AGC+∠EFC＝180°．理由如下： 由（1）知，四边形ABCE是平行四边形， ∴AE∥BC，AE＝BC， ∵EF＝BG， ∴AF＝CG，AF∥CG， ∴四边形AGCF是平行四边形， ∴∠AGC＝∠AFC， ∵∠AFC+∠EFC＝180°， ∴∠AGC+∠EFC＝180°． 14．（2025春•元氏县校级期中）已知：在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动． （1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数． （2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【分析】（1）易证∠DPC＝∠DCP，得DP＝CD，又CD＝CP，则△PDC是等边三角形，即可得出结果； （2）若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ，设运动时间为t秒， ①当0≤t≤3时，6﹣0.5t＝6﹣2t，解得t＝0； ②当3＜t≤6时，6﹣0.5t＝2t﹣6，解得t＝4.8； ③当6＜t≤9时，6﹣0.5t＝18﹣2t，解得t＝8； ④当9＜t≤12时，6﹣0.5t＝2t﹣18，解得t＝9.6． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DPC＝∠PCB， ∵CP平分∠BCD， ∴∠PCD＝∠PCB， ∴∠DPC＝∠DCP， ∴DP＝CD， ∵CD＝CP， ∴CP＝CD＝DP， ∴△PDC是等边三角形， ∴∠B＝60°； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴PD∥BC， 若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ， 设运动时间为t秒， ①当0≤t≤3时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝6﹣2t， ∴6﹣0.5t＝6﹣2t， 解得：t＝0； ②当3＜t≤6时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣6， ∴6﹣0.5t＝2t﹣6， 解得：t＝4.8； ③当6＜t≤9时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝18﹣2t， ∴6﹣0.5t＝18﹣2t， 解得：t＝8； ④当9＜t≤12时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣18， ∴6﹣0.5t＝2t﹣18， 解得：t＝9.6； 综上所述，当运动时间为0秒或4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 15．（2025春•海城市期中）如图，在▱ABCD中， （1）若点E、F是AD、BC的中点，连接BE、DF，求证：BE＝DF． （2）若BE平分∠ABC且交边AD于点E，如果AB＝6cm，BC＝10cm，试求线段DE的长． 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，又由点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，可得DE＝BF，证得四边形BFDE是平行四边形，即可证得结论． （2）由平行线的性质和角平分线得出∠ABE＝∠AEB，证出AE＝AB＝6cm，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点， ∴DEAD，BFBC， ∴DE＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴BE＝DF． （2）解：∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝6cm， ∴DE＝AD﹣AE＝10cm﹣6cm＝4cm． 16．（2025春•郸城县期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动时间为t秒． （1）求AB与CE间的距离； （2）t为何值时，四边形PBCF为平行四边形； （3）直接写出t为何值时，PF＝3． 【分析】（1）根据勾股定理，可得AB的长，根据面积的不同表示方法，可得答案； （2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案； （3）根据平行四边形的判定与性质，可得；根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质，可得t＝4.3． 【解答】解：（1）如图，作CH⊥AB于点H， ∵BC＝3，AC＝4， ∴根据勾股定理得：AB5， ∴AB•CHAC•BC，即5×CH4×3， ∴CH， 则AB与CE间的距离为； （2）∵D是AC中点， ∴当P为AB中点时，PD∥BC， 又∵CE∥BA， ∴四边形PBCF为平行四边形， 此时PBAB，即t； （3）∵EC∥AB， ∴∠A＝∠FCD，∠APD＝∠CFD． 在△ADP和△CDF中， ∴△ADP≌△CDF， FD＝DPBC， ∴P是AB的中点， PB，即t； 作FH∥BC，FG⊥AB于G，如图1， ∵EC∥AB， ∴∠A＝∠FCD，∠APD＝∠CFD． 在△ADP和△CDF中， ∴△ADP≌△CDF， AP＝FC． ∵FH∥BC，FC∥HB， ∴FH＝BC＝PF＝3，HB＝FC＝AP． ∵FG2.4． HG1.8， PH＝2HG＝3.6． HB＝AP0.7， PB＝AB﹣AP＝5﹣0.7＝4.3， 即t＝4.3， 综上所述：t的值为，4.3． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 平行四边形的判定定理 讲义 基础知识梳理 1. 平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 平行四边形的5个判定定理（必背） 设四边形为 ，对角线交于 。 ①定义判定：两组对边分别平行， ②两组对边分别相等： ③一组对边平行且相等： ④两组对角分别相等： ⑤对角线互相平分： 3. 判定思路图 看对边：平行 / 相等 / 平行且相等 看对角：两组分别相等 看对角线：互相平分 4. 常用结论 一组对边平行，一组对角相等 平行四边形 对角线分成的两个三角形全等 夹在平行线间的平行线段相等 技巧总结归纳（解题直接用） 判定首选：题目给平行就用一组对边平行且相等 题目给对角线：优先用对角线互相平分 题目给角相等：优先用两组对角相等 中点条件：连对角线，用互相平分 网格/坐标系找点：用对边平行且相等 添加条件题型：只加一个条件即可判定 易错提醒： ①一组对边平行，另一组对边相等 不一定是平行四边形 ②一组对边相等，一组对角相等 不一定是平行四边形 典例精讲 题型一 判定定理辨析（基础） 典例 1下列说法中，①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式 1如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 题型二 添加条件判定平行四边形 典例 2如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 变式 2如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． 题型三 平行四边形的证明问题（核心题型） 典例 3如图，平行四边形的顶点O、A、C的坐标分别是，E，F分别是上的点． (1)点B的坐标是 ； (2)若，求证：四边形是平行四边形． 变式 3如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在，上，已知，． (1)求证：； (2)添加，求证：四边形是平行四边形． 题型四 全等三角形拼接平行四边形 典例 4用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 性质+判定综合题 典例 5如图，在中，、分别是、的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积是7，求四边形的面积． 题型六 坐标系中的平行四边形 典例 6如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若绕着点逆时针旋转后得到，画出，并写出点的对应点的坐标是________； (2)若为平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 题型七 尺规作图+平行四边形判定与性质 典例 7如图，在平行四边形中，E为线段延长线上的一点，连接．请完成以下作图和填空： (1)在平行四边形的外部，用尺规作，且交直线于点F，连接，． (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴___①___， ∵，，∴___②___， 在和中，，∴， ∴___③___，，∴___④___，∴四边形是平行四边形． 拓展重难题型（压轴） 典例 8如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，． ①线段长为 ． ②四边形的面积为 ． 典例 9在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 课堂小结（必背） 1. 判定五法 两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等（最常用） 两组对角分别相等 对角线互相平分 2. 解题口诀 有平行，找相等；有相等，找平行 对角线，看平分；有中点，用平分 坐标系，找平移；三点定，有三个 3. 易错点 一组对边平行另一组相等 不行 一组对边相等一组对角相等 不行 判定必须用定理，不能凭“看着像” 题型一．平行四边形的性质 1．（2025春•嘉兴校级期中）平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行 2．（2025春•义乌市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（　　） A．80° B．40° C．70° D．140° 3．（2025春•林州市期末）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1 4．（2025春•锦江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论不一定正确的是（　　） A．AC⊥BD B．∠BAD+∠ABC＝180° C．AD＝BC D．OA＝OC 5．（2025秋•宁波校级期中）若以A（﹣5，2），B（﹣3，5），C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2025春•龙港市期中）如图，在▱ABCD中，∠ADC的角平分线交AB于点E．若平行四边形的周长为16，且BE＝2，则AE的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2025春•新昌县期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 8．（2025春•天门期中）如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则▱ACBD的对角线CD的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D． 9．（2025春•金东区期末）如图，在▱ABCD中，∠D＝5∠CAB，在AC上取点P，使PC＝BC，连接BP，过点P作EF⊥CD交AB，CD分别于点E，F．已知BE＝2，AE＝x，BP＝y，当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 10．（2025春•拱墅区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作EO⊥BD，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若EF＝OF，∠CBD＝45°，，CE＝2，则下列结论中：①EO平分∠BED；②DE⊥BE；③CF：DF＝1：2；④．正确结论的个数序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 11．（2025•宁波一模）如图，四边形BCDF是平行四边形，已知∠A＝40°，∠ABF＝30°，则∠CDE＝ 　 　 ． 12．（2025春•乐清市校级期中）在▱ABCD中，AE平分∠BAD交直线BC于点E，BE：EC＝2：1，AB＝6，那么▱ABCD的周长是　 　 ． 13．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠ACB的度数是　 　 ． 14．（2025春•义乌市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，DE平分∠ADC，AF⊥DE，G是BC的中点，连结FG，则FG＝ 　 　 ． 15．（2025春•望城区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8．求OB的长度及▱ABCD的面积． 16．（2025春•桐柏县期末）（1）填空： ①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边 　 　 ． ②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角 　 　 ． ③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线 　 　 ． （2）在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质 　 　 ． 已知：ABCD是平行四边形，求证： ． 17．（2025春•余杭区校级月考）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G． （1）求证：BE⊥CF； （2）若AB＝5，CF＝6，求BE的长． 18．（2025春•静海区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：AE＝FE； （2）若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数． 题型二．平行四边形的判定 1．（2026春•南岗区校级月考）下列能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组邻角互补 C．一组对边相等，一组邻角互补 D．一组对边平行，另一组对边也平行 2．（2026春•襄城区校级月考）下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：1：2：2 B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC D．∠B＝∠C，∠A＝∠D 3．（2026春•东台市月考）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•鄞州区校级期末）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），再找一点D，使它与点A，B，C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣4，2） C．（0，﹣4） D．（2，4） 5．（2025秋•沙坪坝区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD＝BC，以下条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD B．∠DAO＝∠BCO C．AD＝AC D．∠BAD＝∠DCB 6．（2026春•姑苏区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使得四边形ABCD为平行四边形，则下列不正确的是（　　） A．AD∥BC B．AD＝BC C．AB＝CD D．∠A＝∠C 7．（2026春•东阿县月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（　　） A． B．3 C．3或 D．或 8．（2026春•沭阳县校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且BO＝DO，请你添加的一个条件是 　 ，使四边形ABCD是平行四边形． 9．（2026•丛台区校级一模）如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形ABCD为平行四边形，则这条线段为 ． 10．（2026春•工业园区校级同步）下列给出的是四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比：①1：2：3：4；②2：2：3：4；③2：3：2：3；④2：3：3：2；⑤3：2：3：2．其中能使四边形ABCD为平行四边形的是 　 　 （填序号）． 11．（2026春•襄城区校级月考）如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成平行四边形的个数是 　 　 个． 12．（2026春•东台市月考）如图，已知△ABC，分别以C，A为圆心，AB，BC 的长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD，则四边形ABCD是平行四边形的依据是 　 　 ． 13．（2025秋•博山区期末）如图，已知：∠1＝∠2，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 14．（2026春•长沙月考）如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形． 15．（2026春•锡山区校级月考）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 16．（2025春•耀州区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是BC，AD上的点，且AE∥CF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若∠BAE＝∠DCF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 17．（2025春•杭州校级月考）在①AD∥BC，②∠B+∠C＝180°，③∠B＝∠D这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C，　 　 ． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（2025春•紫阳县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝4cm，其中BD是AC边上的高，点G从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为3cm/s；同时点E由点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点E的直线EF∥AC，交BC于点F，连接EG，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5）． 解答下列问题： （1）线段BE＝ t cm，AG＝ 　 cm（用含t的代数式表示）； （2）求AD的长； （3）当t为何值时，以E，F，D，G为顶点的四边形是平行四边形？ 题型三．平行四边形的判定与性质 1．（2025春•广阳区校级期中）如图给出了四边形ABCD的部分数据，则α的值为（　　） A．35° B．32° C．28° D．25° 2．（2025春•分宜县校级期中）如图，在▱ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（　　）对 A．5 B．2 C．3 D．4 3．（2025春•阳东区期中）如图，在△ABC中，∠B＝49°，分别以点A，C为圆心，BC，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，CD，则∠ADC的度数为（　　） A．41° B．49° C．51° D．59° 4．（2025春•济源校级期中）如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论： ①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形； ②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误 5．（2025春•新沂市期中）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 6．（2025春•红花岗区期中）如图，在腰长为8的等腰△ABC中，AB＝AC，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 7．（2025春•衡山县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（　　） A．4次 B．3次 C．2次 D．1次 8．（2025春•拱墅区校级期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AO＝OC，∠DAC＝∠BCA，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F．若AC＝2DE，AB＝6，则BF的长为　 　 ． 9．（2025春•息县期中）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB长为4，射线CD∥AB，点E为射线CD上一点，过点E作EF⊥BC于点F，连接AE，点M为AE中点，则MF的最小值为　　 ． 10．（2025春•义乌市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF． （1）求证：四边形ADFE是平行四边形； （2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长． 11．（2025春•昌江县校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF． （1）当∠BAD＝120°时，∠BCD＝　 　 ． （2）当AD＝10，BC＝　 　 ． （3）求证：四边形BFDE是平行四边形． 12．（2025春•历下区期中）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为边AD上一点，且AB＝AE，连接BE． （1）如图1，求证：BE平分∠ABC； （2）如图2，过点A作AF⊥BE，垂足为F，延长AF，交DC的延长线于点G．若DE＝2，求CG的长． 13．（2025春•河曲县期中）如图，在△ABC中，D为AC的中点，连接BD并延长到点E，使DE＝DB，连接AE，CE． （1）四边形ABCE　 　 （填“是”或“不是”）平行四边形，依据是　 　 ． （2）若F，G分别为AE，BC上的点，且EF＝BG，连接CF，AG，试猜想∠AGC与∠EFC之间的数量关系，并说明理由． 14．（2025春•元氏县校级期中）已知：在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动． （1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数． （2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 15．（2025春•海城市期中）如图，在▱ABCD中， （1）若点E、F是AD、BC的中点，连接BE、DF，求证：BE＝DF． （2）若BE平分∠ABC且交边AD于点E，如果AB＝6cm，BC＝10cm，试求线段DE的长． 16．（2025春•郸城县期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动时间为t秒． （1）求AB与CE间的距离； （2）t为何值时，四边形PBCF为平行四边形； （3）直接写出t为何值时，PF＝3． 学科网（北京）股份有限公司 $