4.2.4 积化和差与和差化积公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦积化和差与和差化积公式，以两角和差的正弦余弦公式为基础支架，引导学生自主推导新公式，构建从已知到未知的知识脉络，落实公式证明与化简求值的课时目标。 其亮点在于梯度进阶式教学，通过课前基础训练、课堂题型研究（如例1积化和差求值、例2和差化积化简）及思维建模总结规律，培养学生数学思维与语言表达能力。助力学生深化公式应用，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

2.4 积化和差与和差化积公式 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式证明积化和差与和差化积公式的过程. 2.会用积化和差与和差化积公式解决简单的化简、求值. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.三角函数的积化和差 (1)sin αcos β=____________________; (2)cos αsin β=____________________; (3)cos αcos β=____________________; (4)sin αsin β=____________________. [sin(α+β)+sin(α-β)] [sin(α+β)-sin(α-β)] [cos(α+β)+cos(α-β)] -[cos(α+β)-cos(α-β)] 2.三角函数的和差化积 (1)sin α+sin β=________________ (2)sin α-sin β=________________; (3)cos α+cos β=________________; (4)cos α-cos β=________________. 2sincos 2cossin 2coscos -2sinsin 1.把2sin 10°cos 8°化成和或差的形式为 (　　) A.sin 18°-sin 2° B.sin 18°+cos 2° C.sin 18°+sin 2° D.cos 18°+cos 2° 基础落实训练 解析:2sin 10°cos 8°=sin(10°+8°)+sin(10°-8°)=sin 18°+sin 2°. √ 2.把sin 15°+sin 5°化成积的形式为(　　) A.sin 5°sin 15° B.2cos 10°cos 5° C.2sin 10°sin 5° D.2sin 10°cos 5° 解析:sin 15°+sin 5°=2sin cos=2sin 10°cos 5°. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　积化和差公式的应用 [例1]　求下列各式的值. (1)sin 37.5°cos 7.5°; 解:sin 37.5°cos 7.5°=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]= (sin 45°+sin 30°)=×=. (2)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°. 解:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°=(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°)=-sin 50°+cos 40°=-sin 50°+sin 50°=. 　　在运用积化和差公式时,如果形式为混合函数积时,化得的结果应为sin(α+β)与sin(α-β)的和或差;如果形式为同名函数积时,化得的结果应为cos(α+β)与cos(α-β)的和或差. |思|维|建|模| 针对训练 1.求下列各式的值. (1)2cos 50°cos 70°-cos 20°; 解:2cos 50°cos 70°-cos 20° =cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos 20° =cos 120°+cos 20°-cos 20°=cos 120°=-. (2)sin 80°cos 40°-sin 40°; 解:sin 80°cos 40°-sin 40°=[sin(80°+40°)+sin(80°-40°)]- sin 40°=(sin 120°+sin 40°)-sin 40°=. (3)sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°. 解:sin 37.5°sin 22.5°-cos 15°=-[cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)]-cos 15°=-(cos 60°-cos 15°)-cos 15°= -cos 60°=-. 题型(二)　和差化积公式的应用 [例2]　(1)cos 20°-cos 50°= (　　) A.cos 35°cos 15° B.sin 35°sin 15° C.2sin 15°sin 35° D.2sin 15°cos 35° 解析:cos 20°-cos 50°=cos(35°-15°)-cos(35°+15°)= 2sin 15°sin 35°.故选C.、 √ (2)sin 20°+sin 40°-sin 80°的值为 (　　) A.0 B. C. D.1 解析:sin 20°+sin 40°-sin 80° =2sincos-sin 80° =2sin 30°cos 10°-sin 80° =2×cos 10°-sin(90°-10°) =cos 10°-cos 10°=0. √ (3)计算:=(　　) A. B.- C. D.- 解析:原式==-=-=-.故选D. √ (4)cos+cos+cos=__________. 解析:原式= = ====. 在运用和差化积公式时,如果形式为混合函数和时,化得的结果应为sin α与sin β的和或差;或者化得的结果应为cos α与cos β的和或差. |思|维|建|模| 针对训练 2.利用和差化积公式,求下列各式的值: (1)sin 15°+sin 105°; 解:sin 15°+sin 105°=2sincos=2sin 60°cos(-45°)= 2××=. (2)cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°. 解:cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°=(cos 40°+cos 80°)+- cos 20°=2cos 60°cos 20°+-cos 20°=cos 20°+-cos 20°=. [例3]　求证:=. 题型(三)　公式的化简与证明 证明:左边= = = ==右边. 所以原等式成立. 利用积化和差、和差化积公式化简三角函数式要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点. |思|维|建|模| 3.求证:·tan 25°=. 针对训练 证明:左边=· = = == = == ===右边. 所以原等式成立. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.[多选]下列等式错误的是 (　　) A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ B.cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ C.sin 3θ-sin 5θ=-cos 4θcos θ D.cos 3θ+cos 5θ=2cos 4θcos θ 解析:sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ; cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin(-θ) =2sin 4θsin θ; sin 3θ-sin 5θ=-2cos 4θsin θ; cos 3θ+cos 5θ=2cos 4θcos θ.故选ABC. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.cos(x+3)-cos(x-3)+sin(x+3)-sin(x-3)= (　　) A.2cos 3·cos B.2sin 3·sin C.-2sin 3·sin D.-2sin 3·sin 解析:原式=-2sin·sin+2cos· sin =-2sin x·sin 3+2cos x·sin 3=-2sin 3·(sin x-cos x)= -2sin 3·sin.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.2cossin=(　　) A.+cos 4x B.-sin 4x C.+cos 4x D.-+sin 4x √ 解析:2cossin =sin-sin=sin 4x-sin=sin 4x-,故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.若A+B=120°,则sin A+sin B的最大值是 (　　) A.1 B. C. D. 解析:∵sin A+sin B=2sincos=cos≤, ∴sin A+sin B的最大值为. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.函数f(x)=的最小正周期是(　　) A. B. C.π D.2π √ 解析:f(x)====tan 2x.由得x≠kπ+,k∈Z,且x≠kπ+,k∈Z,可得函数f(x)的最小正周期T=.但是,当x=0时,f(0)=0,f无意义,所以T≠.又f(x+π)=f(x),且对定义域内的任意自变量x,x+π也在定义域内,所以函数f(x)的最小正周期T=π.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.对任意x,y∈R,恒有sin x+cos y=2sincos,则sin cos等于 (　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. √ 解析:由方程组解得 ∴sincos===.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)cos 2α-cos 3α化为积的形式为______________. 2sinsin 解析:cos 2α-cos 3α=-2sinsin=-2sinsin=2sinsin . 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)sin·cos化为和差的结果是____________________. cos(α+β)+sin(α-β) 解析:原式= =cos(α+β)+sin(α-β). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)=__________. 2 解析:原式===2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于________. 解析:∵α,β∈(0,π),∴sin α+sin β>0. ∴cos β-cos α>0,cos β>cos α. 又在(0,π)上,y=cos x单调递减,∴β<α. ∴0<α-β<π. 由题意可知2sin·cos =, ∴tan=.∴=.∴α-β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(10分)求下列各式的值: (1)sin 54°-sin 18°;(5分) 解:sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18°=2·====. (2)cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73°.(5分) 解:cos 146°+cos 94°+2cos 47°cos 73° =2cos 120°cos 26°+2×(cos 120°+cos 26°) =2××cos 26°++cos 26° =-cos 26°++cos 26°=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若cos B+cos C= sin B+sin C,试判断△ABC的形状. 解:在△ABC中,-π<B-C<π,即-<<,故cos的值不为0. 由cos B+cos C=sin B+sin C, 得2coscos=2sincos. 两边同除以2cos,得sin=cos,即tan=1. ∵0<B+C<π,∴0<<. ∴=.∴B+C=.∴A=. ∴△ABC为直角三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)若sin x+sin 3x+sin 5x=a,cos x+cos 3x+cos 5x=b,求tan 3x. (结果用a,b表示) 解:由和差化积公式得sin 5x+sin x=2sin·cos =2sin 3xcos 2x, cos 5x+cos x=2coscos =2cos 3xcos 2x, 则sin x+sin 3x+sin 5x=2sin 3xcos 2x+sin 3x=sin 3x(2cos 2x+1), cos x+cos 3x+cos 5x=2cos 3xcos 2x+cos 3x=cos 3x(2cos 2x+1), 故==tan 3x,故tan 3x=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知α,β为锐角,且α-β=,求sin αsin β的取值范围. 解:∵sin αsin β=-, 又α-β=,∴sin αsin β=- =-. ∵α,β为锐角,且α-β=, ∴0<+β<,即0<β<. ∴<2β+<.∴-<cos<. ∴0<-<. ∴sin αsin β的取值范围为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $