精品解析：广西壮族自治区贵港市平南县2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题

高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六、七章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】复数，则，其虚部为. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以． 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以要得到函数的图象， 只需将函数的图象向右平移个单位长度． 4. 在平行四边形中，是线段的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质求解即可. 【详解】由题意可得，因为， 所以， 所以． 5. 设的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 【答案】A 【解析】 【分析】根据三边比值关系设出三边，利用余弦定理判断即可. 【详解】因为，，所以，不妨设，，， 则，则C是钝角，故是钝角三角形． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得 . 7. 设点，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标关系得，再构造函数，结合函数性质即可求得答案. 【详解】由题意可得，则， 设，则在上单调递增， 又因为，所以，当时，，当时，， 又，所以的取值范围为． 8. 已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以． 因为在上恰有3个零点，所以，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（ ） A. ，间的距离为 B. 为纯虚数 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：数形结合求得，再求模长即可；对B：根据复数的除法运算化简，即可判断；对CD：根据复数乘法运算求得，再写出其对应的点，即可判断. 【详解】对A：由图可知，，，因为， 所以，故A正确； 对B：因为，为纯虚数，所以B正确； 对CD：因为，所以在复平面内对应的点为， 其位于第四象限，故C不正确，D正确． 故选：ABD. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，若满足条件的有且只有一个，则a的值可能是（ ） A. 5 B. 6 C. D. 7 【答案】BD 【解析】 【详解】由题意可知，以为圆心，为半径的圆与边所在直线只有一个交点，如下图所示： 所以或，即图中处对应的两种情况； 因此选项中符合的取值为6和7. 11. 在中，的角平分线交于点D，，O为的外心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】若，则O为的重心，又O为的外心， 故是等边三角形，所以，但，所以，A错误； 在中，由正弦定理得①， 同理在中，②， 是的角平分线，则， 则， ①②得， 所以，B正确； 因为， 所以， ．因为，， 所以，即，C正确； 过分别作的垂线，垂足分别为，由圆的垂径定理得，分别为边的中点， 利用数量积的几何意义得：，， 故，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是____． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得向量在向量上的投影向量为． 13. 已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，从码头A测得海上某渔船C位于北偏东方向，从码头B测得渔船C位于北偏东方向，从码头A还测得另一艘货船D位于南偏东方向，且货船D到码头A的距离为海里，则渔船C与货船D之间的距离为______海里． 【答案】 【解析】 【分析】先作示意图，求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求即可. 【详解】如图所示，，， ，． 在中，由，又海里， 所以，解得（海里）， 在中，由余弦定理可得， 又海里， 则（海里）． 14. 如图，某小区要利用一面足够长的围墙，用总长20米的护栏围成一个扇形花坛，扇形的圆心角小于，忽略护栏的厚度与接头损耗，则该扇形花坛的面积的最大值是____平方米． 【答案】50 【解析】 【分析】设该扇形花坛的半径为米，弧长为米，结合条件和扇形面积公式利用表示扇形面积，再根据二次函数性质求其最大值. 【详解】设该扇形花坛的半径为米，弧长为米， 则，所以，由已知， 所以该扇形花坛的面积，， 所以当米时，该扇形花坛的面积取最大值，最大值为平方米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平行四边形的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，． （1）求顶点D的坐标； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设顶点D的坐标为． 因为，，，所以，． 又，所以， 即，解得. 所以顶点D的坐标为 【小问2详解】 由（1）知，则，， 所以， 所以， 故与的夹角的余弦值为． 16. 已知复数，，其中． （1）当时，求的值； （2）若，求实数m的值； （3）若的实部大于1，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的加法及复数的模求解即可. （2）根据复数的乘法及复数相等求解即可. （3）根据复数的除法结合已知条件求解即可. 【小问1详解】 当时，，则， 故． 【小问2详解】 因为，，所以． 依题意得，解得． 【小问3详解】 由题意可得． 因为的实部大于1，所以， 解得． 17. 在中，角，，的对边分别是，，，． （1）求； （2）若是边的中点，且，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正余弦定理求解即可. （2）根据向量加法的平行四边形法则及向量的数量积，结合基本不等式及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 即． 由余弦定理可得，则，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 因为D是边的中点，所以， 所以，即． 因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 即当时，的面积取得最大值． 18. 某沿海潮汐发电站的水位y（单位：米）是时间t（单位：小时，）的函数，某观测员记录了一个周期内的五个时间点对应的水位（最高、最低水位都被记录），并绘制得到如下表格： 时间t 0 3 6 9 12 水位y 6 9 6 3 6 已知该发电站水位y与时间t满足函数关系式．一般情况下，发电站要求水位不低于7.5米时才能高效发电． （1）求该发电站的水位y关于时间t的函数解析式； （2）求某天下午5点与上午7点该发电站的水位之差； （3）求该发电站一天内（）高效发电的时长． 【答案】（1） （2）3米 （3）8小时 【解析】 【小问1详解】 由表格数据可得，时，取到最大值；，取到最小值； ，. 从最大值到最小值经历了半个周期，，则， ， ， ， 当时，，，解得 ，， 该发电站的水位y关于时间t的函数解析式为. 【小问2详解】 下午5点对应，； 上午7点对应，； 水位之差为， 即某天下午5点与上午7点该发电站的水位之差为3米． 【小问3详解】 由题意可得，即，整理得； ，解得； ，当时，；当时，； 高效发电的时长为(小时)， 即该发电站一天内（）高效发电的时长为8小时. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）若，求； （2）当取得最大值时，求的值； （3）记的面积为S，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简即可求解； （2）利用余弦定理化简可得，从而得到，结合基本不等式即可求解； （3）由（2）可得，由三角形面积公式可得，化简可得，令，，由，结合二次函数的图像与性质求解即可. 【小问1详解】 由， 可得，故． 因为，所以，则． 【小问2详解】 由余弦定理可知，，． 由，可得， 化简可得， ，当且仅当时，等号成立． 故当取得最大值时，，，即， ． 【小问3详解】 由（2）可得，所以． 又， 所以． 令，，则， ，当且仅当时，等号成立． 故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六、七章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 4. 在平行四边形中，是线段的中点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设点，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（ ） A. ，间的距离为 B. 为纯虚数 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，若满足条件的有且只有一个，则a的值可能是（ ） A. 5 B. 6 C. D. 7 11. 在中，的角平分线交于点D，，O为的外心，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是____． 13. 已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，从码头A测得海上某渔船C位于北偏东方向，从码头B测得渔船C位于北偏东方向，从码头A还测得另一艘货船D位于南偏东方向，且货船D到码头A的距离为海里，则渔船C与货船D之间的距离为______海里． 14. 如图，某小区要利用一面足够长的围墙，用总长20米的护栏围成一个扇形花坛，扇形的圆心角小于，忽略护栏的厚度与接头损耗，则该扇形花坛的面积的最大值是____平方米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平行四边形的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，． （1）求顶点D的坐标； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 已知复数，，其中． （1）当时，求的值； （2）若，求实数m的值； （3）若的实部大于1，求a的取值范围． 17. 在中，角，，的对边分别是，，，． （1）求； （2）若是边的中点，且，求面积的最大值． 18. 某沿海潮汐发电站的水位y（单位：米）是时间t（单位：小时，）的函数，某观测员记录了一个周期内的五个时间点对应的水位（最高、最低水位都被记录），并绘制得到如下表格： 时间t 0 3 6 9 12 水位y 6 9 6 3 6 已知该发电站水位y与时间t满足函数关系式．一般情况下，发电站要求水位不低于7.5米时才能高效发电． （1）求该发电站的水位y关于时间t的函数解析式； （2）求某天下午5点与上午7点该发电站的水位之差； （3）求该发电站一天内（）高效发电的时长． 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）若，求； （2）当取得最大值时，求的值； （3）记的面积为S，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $