精品解析：贵州省遵义市新蒲新区2026年九年级第一次模拟考试数学 试题卷

新蒲新区2026年九年级第一次模拟考试 数学试题卷 注意事项： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应的位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．） 1. 2026的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 2025年我国汽车产业高质量发展成果显著，其中新能源汽车年产量突破1300万辆，将数据“1300万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 为纪念红军长征胜利90周年，小红购买了《盛世如愿·光辉征程》文创纪念卡牌，其中“遵义会议”卡牌2张，“四渡赤水”“飞夺泸定桥”“胜利会师”卡牌各1张，从中随机抽取一张恰好抽到“遵义会议”卡牌的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，，是上的点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，连接交于点，连接，若，，则长为（ ） A. B. 8 C. D. 10 10. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ） A. B. C. D. 11. 《九章算术》中有这样一道题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则列方程组正确的是 A. B. C. D. 12. 二次函数（，，为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表，下列说法错误的是（ ） … 1 3 5 7 … … 0 6 0 … A. 该二次函数图像的对称轴是直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 当时，的取值范围为 D. 方程有两个相等的实数根 二、填空题（本题共有4小题，每小题4分，共16分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上．） 13. 计算：______． 14. 已知，是一元二次方程的两根，则______． 15. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，重物上升了，则滑轮旋转了________度．（假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动） 16. 如图，在矩形中，，，点为上一点，连接，以为边构造等边三角形，连接，当时，则的长为________． 三、解答题（本题共9小题，共98分，答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的相应位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 代数式求和以及化简求值： （1）请在①，②，③，④中任选3个代数式求和； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力与其运动速度的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重 … 10 15 20 30 … 速度 … 6 5 4 3 2 … （1）表格中的值为 ； （2）在图中坐标系中描出表中相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （3）某次任务要求机器狗在内将货物运送至外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 19. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D： 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 分； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数． 20. 如图，在正方形中，，点为的中点，延长至点，使，连接，，． （1）求证：； （2）若点为的中点，连接，求线段的长． 21. 位于“中国辣椒之都”遵义的某公司，有两款产品成功入选“央视2026年春晚文创”礼盒为推广本地特色农产品，某经销商计划购进A，B两种产品并进行销售：A产品每盒售价188元，B产品每盒售价68元．已知购进1盒A产品和2盒B产品共需220元，购进2盒A产品和1盒B产品共需305元． （1）求每盒A产品和B产品的成本价； （2）该经销商计划购进两种产品共60盒，其中A产品的数量不超过25盒．设购进A产品盒，销售完这批产品所获总利润为元，求关于的函数关系式，并求出最大利润． 22. 在中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上首次亮相的DF-61陆基洲际导弹，作为中国最新公开的战略威慑武器，可覆盖全球目标，标志着我国“三位一体”核力量体系的完善，彰显了国家强大的战略威慑能力．如图1是由AI生成的某基地导弹发射训练模拟场景，示意图如图2所示，导弹直径忽略不计，已知车身长，车高，导弹长，第一次试射角，据此完成下列任务． （1）【任务一】：计算第一次试射时弹头D的离地高度； （2）【任务二】：为了打击不同位置的目标，需要改变发射角度为，求改变前后弹头水平方向上移动的距离．（参考数据：，，，，，） 23. 如图，已知是的外接圆，为的直径，弦交于点，点在延长线上，平分，连接． （1）在不添加辅助线的条件下，写出图中一个与相等的角： ，线段与线段的数量关系是 ； （2）求证：是的切线； （3）若，的半径为10，求的长． 24. 如图是贵州少数民族的传统体育活动一一打陀螺，人们需要将手中的陀螺用力掷出，陀螺的运动轨迹可近似看作一条抛物线．小明在比赛中将陀螺从点处掷出，已知陀螺第一次运动轨迹的最高点距离地面，此时陀螺距离小明的水平距离为4米．陀螺落地后会形成第二次弹跳，假设第二次弹跳的轨迹形状与第一次相同，但由于能量损耗，最大高度变为米，图中曲线是第一次运动轨迹，曲线是第二次运动轨迹． （1）求陀螺第一次运动轨迹的函数表达式； （2）在距离小明处的地面上有一个小石块，石块高度为．请问陀螺在第一次运动过程中是否会碰到石块？请通过计算说明理由； （3）在第二次弹跳时经过一棵倒伏的小树附近，其树枝与陀螺运动轨迹保持在同一平面内，已知，求在运动曲线段内陀螺与树枝的最大竖直高度差． 25. 综合与实践： （1）【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ． （2）【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长． （3）【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蒲新区2026年九年级第一次模拟考试 数学试题卷 注意事项： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应的位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．） 1. 2026的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据正数的绝对值等于它本身解答即可得． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为： 故选C． 【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键． 3. 2025年我国汽车产业高质量发展成果显著，其中新能源汽车年产量突破1300万辆，将数据“1300万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：1300万． 4. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出不等式的解集，即可． 【详解】解：， 解得：， 把不等式的解集在数轴上表示，如图： 6. 为纪念红军长征胜利90周年，小红购买了《盛世如愿·光辉征程》文创纪念卡牌，其中“遵义会议”卡牌2张，“四渡赤水”“飞夺泸定桥”“胜利会师”卡牌各1张，从中随机抽取一张恰好抽到“遵义会议”卡牌的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算所有卡牌的总数量，再计算“遵义会议”卡牌的数量，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：∵ “遵义会议”卡牌共2张，其余三种卡牌各1张， ∴总卡牌数为， ∴从中随机抽取一张恰好抽到“遵义会议”卡牌的概率． 7. 如图，是的直径，，是上的点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象可得各系数的关系：，，则点所在的象限即可判定． 【详解】解：观察图象得：开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴点位于第二象限． 9. 如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，连接交于点，连接，若，，则长为（ ） A. B. 8 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解答即可． 【详解】解：根据题意，得是的垂直平分线， ， ， ． 10. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴（米）． 11. 《九章算术》中有这样一道题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则列方程组正确的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，根据“已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．”列出方程组即可． 【详解】解：设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，根据题意得： ． 12. 二次函数（，，为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表，下列说法错误的是（ ） … 1 3 5 7 … … 0 6 0 … A. 该二次函数图像的对称轴是直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 当时，的取值范围为 D. 方程有两个相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先利用二次函数的对称性求出对称轴，再求出二次函数的解析式，结合二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵当和时，都等于， ∴二次函数图像的对称轴为直线，故A选项说法正确，不符合题意； 设二次函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线开口向下， 又∵对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，随的增大而减小，故B选项说法正确，不符合题意； 将解析式展开得，顶点横坐标为， 可得顶点纵坐标，即抛物线最大值为， 当时，与关于对称， 故时， ∵抛物线开口向下， ∴当时，，故C选项说法正确，不符合题意； ∵该函数解析式为， 且由上述表格，得时， ∴方程即为， 整理得， 其判别式， ∴该方程有两个不相等的实数根，故D选项说法错误，符合题意． 二、填空题（本题共有4小题，每小题4分，共16分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上．） 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 已知，是一元二次方程的两根，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是方程()的两根，则，． 15. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，重物上升了，则滑轮旋转了________度．（假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动） 【答案】120 【解析】 【分析】设滑轮旋转了n度，然后根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设滑轮旋转了n度 根据题意， ∴． ∴滑轮旋转了120度． 16. 如图，在矩形中，，，点为上一点，连接，以为边构造等边三角形，连接，当时，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，相交于点，延长至点N，使，证明四边形为平行四边形，，可得，从而得到，再由为等边三角形，可得，，可证明，可得，即可求解． 【详解】解：延长，相交于点，延长至点N，使， ∵四边形是矩形， ∴，即， ， 四边形为平行四边形，， ， ， ， ∵为等边三角形， ∴，， ， ， ∴， ， ，即， ∴， ． 三、解答题（本题共9小题，共98分，答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的相应位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 代数式求和以及化简求值： （1）请在①，②，③，④中任选3个代数式求和； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） 解：①，②，③，④， 选择①②③：原式； 选择①②④：原式； 选择①③④：原式； 选择②③④：原式； （2） 解：原式 ， 当时，原式． 【解析】 【分析】（1）先化简四个式子，再任选三个代数式，然后按照加减运算法则进行计算，即可求解； （2）先根据分式的混合运算法则进行计算，然后把代入，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力与其运动速度的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重 … 10 15 20 30 … 速度 … 6 5 4 3 2 … （1）表格中的值为 ； （2）在图中坐标系中描出表中相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； （3）某次任务要求机器狗在内将货物运送至外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【答案】（1）12 （2） 解：如图所示： （3）最大载重量为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再把代入，即可求解； （2）依据题意，连线即可作图得解； （3）根据反比例函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：，即， 把代入得：， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∴， 由（1）得该反比例函数为， ， 即在每一象限内，随的增大而减小 当时，W取得最小值，最小值为， 此时机器的最大载重量为． 19. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：A：，B：，C：，D： 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 分； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）50， （2） 补全频数分布直方图如图所示． （3）估计全校1200人中不低于80分的人有720人 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次共抽取的学生人数；求出组的人数，根据中位数的定义可得答案； （2）补全频数分布直方图即可． （3）根据用样本估计总体，用1200乘以组人数所占的百分比之和，即可得出答案． 【小问1详解】 解：本次共抽取了（名）学生的模具设计成绩． 组的人数为（人）， 将50名学生的模具设计成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26名的成绩分别为83，84， ∴成绩的中位数是（分）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：据频数分布直方图可知： 不低于80分人数有：（人）， 则估计当有1200人时，不低于80分有：（人）， 答：估计全校1200人中不低于80分的人有720人． 20. 如图，在正方形中，，点为的中点，延长至点，使，连接，，． （1）求证：； （2）若点为的中点，连接，求线段的长． 【答案】（1） 证明：在正方形中，，， ， ， 又， ． （2） 【解析】 【分析】（1）在正方形中，，，则，即可证明． （2）过点作于点，证明 ，得出，根据题意得出 ，，结合点为的中点，即可求出，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ， ， ， ， 又，为中点，是正方形， ， ， 为中点， ， ， ∴，， ， 在中，． 21. 位于“中国辣椒之都”遵义的某公司，有两款产品成功入选“央视2026年春晚文创”礼盒为推广本地特色农产品，某经销商计划购进A，B两种产品并进行销售：A产品每盒售价188元，B产品每盒售价68元．已知购进1盒A产品和2盒B产品共需220元，购进2盒A产品和1盒B产品共需305元． （1）求每盒A产品和B产品的成本价； （2）该经销商计划购进两种产品共60盒，其中A产品的数量不超过25盒．设购进A产品盒，销售完这批产品所获总利润为元，求关于的函数关系式，并求出最大利润． 【答案】（1）每盒A产品130元/盒，每盒B产品45元/盒 （2）关于的函数关系式为，最大利润为2255元 【解析】 【分析】（1）设产品成本价为元/盒，产品成本价为元/盒，根据“购进1盒A产品和2盒B产品共需220元，购进2盒A产品和1盒B产品共需305元．”列出方程组，即可求解； （2）根据总利润A产品所获利润 B产品所获利润，可列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设产品成本价为元/盒，产品成本价为元/盒． 由题意可得：， 解得：， 答：每盒产品130元/盒，每盒产品45元/盒． 【小问2详解】 解：根据题意得：且为非负整数， 产品的数量为， 则 随的增大而增大 ， ∴当时，W取得最大值，最大值为（元） 答：关于的函数关系式为，最大利润为2255元． 22. 在中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上首次亮相的DF-61陆基洲际导弹，作为中国最新公开的战略威慑武器，可覆盖全球目标，标志着我国“三位一体”核力量体系的完善，彰显了国家强大的战略威慑能力．如图1是由AI生成的某基地导弹发射训练模拟场景，示意图如图2所示，导弹直径忽略不计，已知车身长，车高，导弹长，第一次试射角，据此完成下列任务． （1）【任务一】：计算第一次试射时弹头D的离地高度； （2）【任务二】：为了打击不同位置的目标，需要改变发射角度为，求改变前后弹头水平方向上移动的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）弹头离地高度为 （2）水平方向上移动 【解析】 【分析】（1）过点D作于点F，利用解直角三角形求得DF的长，再由求得最终结果； （2）过点E作于点H，根据任务一利用解直角三角形求得和的长度，从而求得最终结果． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点F， 在中，m，， ， 又， ， ∴弹头离地高度为． 【小问2详解】 解：如图，过点E作于点H， 由任务一知：， ∵， ， ∴水平方向上移动． 23. 如图，已知是的外接圆，为的直径，弦交于点，点在延长线上，平分，连接． （1）在不添加辅助线的条件下，写出图中一个与相等的角： ，线段与线段的数量关系是 ； （2）求证：是的切线； （3）若，的半径为10，求的长． 【答案】（1）或或，相等 （2） 证明：如图，连接， 由（1）得：， 平分，， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理，垂径定理解答即可； （2）连接，结合圆周角定理，可得，从而得到，即可求证； （3）证明，可得，再由的半径为10，可得 ，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴ ，， ∵平分， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ， ， ， ，， ， ， ，， ， 的半径为10， ， ， ， ． 24. 如图是贵州少数民族的传统体育活动一一打陀螺，人们需要将手中的陀螺用力掷出，陀螺的运动轨迹可近似看作一条抛物线．小明在比赛中将陀螺从点处掷出，已知陀螺第一次运动轨迹的最高点距离地面，此时陀螺距离小明的水平距离为4米．陀螺落地后会形成第二次弹跳，假设第二次弹跳的轨迹形状与第一次相同，但由于能量损耗，最大高度变为米，图中曲线是第一次运动轨迹，曲线是第二次运动轨迹． （1）求陀螺第一次运动轨迹的函数表达式； （2）在距离小明处的地面上有一个小石块，石块高度为．请问陀螺在第一次运动过程中是否会碰到石块？请通过计算说明理由； （3）在第二次弹跳时经过一棵倒伏的小树附近，其树枝与陀螺运动轨迹保持在同一平面内，已知，求在运动曲线段内陀螺与树枝的最大竖直高度差． 【答案】（1） （2） 解：不会碰到，理由如下： 令，则， ， 不会碰到石块； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出时的函数值，即可； （3）求出第二次弹跳的轨迹的解析式为 ， 可得运动曲线段内陀螺与树枝的竖直高度差为，再求出， ，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：抛物线的顶点坐标为，且抛物线过， 设抛物线的解析式为： ， 将代入得： ， 解得：， 陀螺第一次运动轨迹的函数表达式：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：令，则 ， 解得：（舍去），， ， ， 解得：，， （舍去）， ∴第二次弹跳的轨迹的解析式为 ， ∴运动曲线段内陀螺与树枝的竖直高度差为 联立得：， 解得：或， 即， 当时，随先增大后减小，且 ， 当时，． 25. 综合与实践： （1）【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ． （2）【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长． （3）【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长． 【答案】（1）， （2） （3）的长为 【解析】 【分析】（1）结合菱形的性质以及等边三角形的判定和性质可证明，即可求解； （2）过作于点，证明，可得，即可解答； （3）过作于，过作于，则，在中，，然后分两种情况讨论：当在上方时，当在下方时，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2，过作于点， 四边形是正方形，是对角线， ，即是等腰直角三角形 ，， 由旋转的性质，得，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， 在中，， ， ； 【小问3详解】 解：在中，，则， ， ， 如图3，过作于，过作于，则， 在中，， ①当在上方时， ， ， 又， ， ； ②如图4，当在下方时， 同理， ； 综上，的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $