第十章 概率单元测试卷（基础版）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章 概率单元测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列关于事件的概率的说法不正确的是（   ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 【答案】D 【分析】根据确定性事件和随机事件的定义判断. 【详解】选项A，C是不可能事件，它们的概率都是0，正确． 选项B是必然事件，概率是1，正确． 选项D不是必然事件，概率不是1，D错误． 故选：D. 2．先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论错误的是（    ） A．可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 B．事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”是互斥事件 C．事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件 D．事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 【答案】B 【分析】根据样本空间的定义判断A；古典概型计算判断D；应用互斥事件定义判断B；应用对立事件定义判断C. 【详解】对于A，不同的观察角度所得到的样本空间可以不同，A正确； 对于B，事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”可以同时发生，如正正反反，B错误； 对于C，事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”不同时发生， 而必有一个发生，它们是对立事件，C正确； 对于D，先后抛掷质地均匀的硬币4次，有16个基本事件，其中事件“1次正面朝上3次反面朝上” 有：正反反反，反正反反，反反正反，反反反正，共4个基本事件，其概率为，D正确. 故选：B 3．在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（   ） A．1 B．0 C．0.5 D．0.25 【答案】D 【分析】求出取出一张恰好为梅花的概率，根据频率的稳定性即可求解. 【详解】一副去掉大小王的扑克牌有52张，其中梅花有13张， 所以取出一张恰好为梅花的概率为， 根据频率的稳定性，可估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率. 故选：D. 4．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球， 前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择， 因此不同取法种数为种；按照两个红球被连续取出的情况如下， （1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法; （2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法; （3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法; （4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法; 两个红球被连续取出的方法共有种； 所求概率为. 5．下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故 ①正确； 一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的，故不可能同时发生，故 ②正确； 必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率大于且小于， 任意事件发生的概率满足，故 ③错误； 若事件的概率趋近于，则事件是小概率事件，故 ④错误． 故说法正确的有2个． 6．在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D．可能为 【答案】C 【分析】通过举反例说明A和B不正确；通过交事件的性质判断C；根据概率的性质判断D. 【详解】对于A，若，则，故A不正确； 对于B，若，则， 此时与不是互斥事件，故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，根据概率性质，故D不正确. 故选：C. 7．已知随机事件互斥，且，，则等于（   ） A． B．0.4 C．0.5 D．0.7 【答案】D 【分析】因为和互斥，由求出，再由，可得到答案. 【详解】因为和互斥， 所以， 又，所以， 因为， 所以. 故选：D. 8．下列说法正确的是（    ） A．必然事件发生的概率可能为 B．若为两个事件，则 C．若事件彼此互斥，则 D．若事件互斥，且满足，则是对立事件 【答案】D 【分析】根据必然事件的概率以及互斥事件概率与对立事件概率的性质逐项分析即可. 【详解】对于A，必然事件发生的概率一定为1，故A错误； 对于B，若为两个事件互斥事件，则，故B错误； 对于C，若事件彼此互斥，则， 但不一定有，因为这三个事件的和不一定是全集，故C错误； 对于D，若事件互斥，且，，则是对立事件，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 【答案】BD 【分析】根据互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】“甲被选中”和“乙被选中”可以同时发生，所以不互斥，故A不合题意； “甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” 两个事件不会同时发生，故它们互斥， 同时两事件的并集{丙丁， 乙丁}不包含所有可能事件，即它们不对立，故B符合题意； “甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” 不会同时发生，即它们互斥， 且它们至少有一个发生，即两个事件相互对立，故C不合题意； “甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 不会同时发生，故它们互斥， 例如当选出的是{甲， 丁}时，该结果不属于这两个事件，即它们的并集不是全集，它们不对立，故D符合题意. 10．下列说法正确的是（   ） A．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的分位数是23 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 【答案】ABD 【分析】根据对立事件的定义即可求解A，根据古典概型概率公式求解B，将数据重新排列，即可根据百分位数的计算公式求解C，根据平均数以及方差的性质即可求解D即可． 【详解】对于A，任选2名同学包含“两名男生”，“两名女生”以及“一男一女”， 则“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确， 对于B，由题意得， 得到，故B正确， 对于C，将数据从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由于，故分位数为，故C错误， 对于D，数据的平均数为2，方差为3， 则数据的平均数为， 方差为，故D正确. 故选：ABD 11．已知事件的概率均不为，则的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】通过恰当的举例可找到A、D选项的反例，然后利用和事件的概率公式证明B、C选项即可得. 【详解】对A、D：抛掷一枚质地均匀的骰子，设表示事件“点数是1点”， 表示事件“点数是3点或5点”，表示事件“点数是偶数点”， 则， 此时满足，但，故A错误； 又，但，故D错误； 对B：若，则，故； 若，则，故； 故是的充要条件，故B正确； 对C：，， 若，则，即； 若，由，， 则；故是的充要条件，故C正确. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球､3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则摸到一个红球一个黄球的概率是__________. 【答案】/ 【分析】根据不放回抽取的性质，结合古典概型的运算公式进行求解即可. 【详解】不放回抽取,第一次抽到红球，第二次抽到黄球的概率为， 不放回抽取,第一次抽到黄球，第二次抽到红球的概率为， 所以摸到一个红球一个黄球的概率是， 故答案为： 13．已知A、B为互斥事件，且，则______． 【答案】0.2/ 【分析】利用互斥事件和的概率公式求得再利用对立事件的概率求解即得. 【详解】因为为互斥事件，则， 所以. 14．某班级举行套玩具趣味游戏，奖品只有拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物，分三堆摆放（每堆一个种类，个数足够），每人三个圈，一个圈只能在一堆奖品套一次．小麟同学套中拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物这三个奖品的概率依次为，则小麟同学恰好套中两个奖品的概率为______． 【答案】/0.25 【分析】恰有两个奖品被套中，对应三种组合（缺拉布布、缺小熊或缺吉祥物），分别计算每种组合的概率并相加即可. 【详解】记小麟同学套中拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物这三个奖品为事件,,, 所以小麟同学恰好套中两个奖品的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．“校园手机”现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查了城区若干名同学和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图： (1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图①. (2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图②. (3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？ 【答案】(1)400 (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据条形图和扇形统计图中的信息，计算相关比例，进行计算即可. 【详解】（1）由条形图可知，无所谓的家长有80人，根据扇形统计图可知，无所谓的家长占，家长总人数为人；反对的人数为人. 如图所示： （2）表示“赞成”所占圆心角的度数为：； （3）由样本知，持“无所谓”态度的学生人数有30人，所以抽到的概率为：. 16．某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数， (2)用分层抽样的方法从，，三组中抽取6人，求从这6人中随机选出2人，这2人恰好在同一组的概率． 【答案】(1)平均数为，众数为，中位数为 (2) 【分析】（1）首先根据频率分布直方图的所有矩形面积和为1，求出的值，利用频率分布直方图估计平均数，众数与中位数的算法可得答案； （2）计算、、三组的人数，根据分层抽样的比例求出每组抽取的人数；最后利用古典概型可得概率值. 【详解】（1）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为， 所以，解得． 估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数为： 小时． 估计全校学生周平均课外阅读时间的众数为小时． 设全校学生周平均课外阅读时间的中位数为小时，则， 解得． （2）由频率分布直方图可知，，三组数的频率的比为， 所以利用分层抽样的方法抽取人，这三组被抽取的人数分别为，，， 从这人中随机选出人，则样本空间共有个样本点， 设事件“选出的人在同一组”，则共有个样本点，所以， 即从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率为． 17．箱子中装有除颜色外完全相同的2个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，直到摸到三次绿球，则摸球结束. (1)若每次都是有放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率； (2)若每次都是不放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）恰好第4次结束意味着前3次中有一次摸到了红球，第4次必须摸到绿球； （2）前3次中恰好摸到1次红球，第4次摸到绿球，且总球数递减. 【详解】（1）每次都是有放回地摸球，则每次摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 恰好第4次摸球结束，则前3次中有一次摸到了红球， 所以恰好第4次摸球结束的概率为. （2）每次都是不放回地摸球，分三种情况： 第1次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为； 第2次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为； 第3次摸到红球，且恰好第4次摸球结束的概率为. 故若每次都是不放回地摸球，则恰好第4次摸球结束的概率为. 18．全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 【答案】(1)乙获得执业医师证书的可能性最大，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，计算甲乙丙获得执业医师证书的概率，比较大小，即可得解. （2）分三种情况，结合互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可得解. 【详解】（1）记甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”依次为事件，在医学综合笔试中“合格”依次为事件. 因为所有考试是否合格互不影响，所以与，与，与相互独立. 因此甲获得执业医师证书的概率； 乙获得执业医师证书的概率； 丙获得执业医师证书的概率， 所以. 故乙获得执业医师证书的可能性最大. （2）记甲、乙、丙三人获得执业医师证书依次为事件，则，，. 由于事件相互独立，则恰有两人获得执业医师证书的概率 . 故有两人获得执业医师证书的概率为. 19．某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者．比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (3)现有甲、乙两同学入围决赛，均需回答两道考题，已知甲同学答对每道题目的概率均为，乙同学答对每道题目的概率均为，且两人各道题答对与否互不影响，求甲、乙两人共计答对三道题目的概率． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）利用频率直方图的性质即可求出； （2）找出排名前的同学的成绩所在区间，通过比例计算该区间内的具体偏移量，最终求解最低入围成绩； （3）先拆分事件，再分步计算子事件概率，最后合并子事件概率求解． 【详解】（1）频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1， ，解得. （2）的频率为，的频率和为， 故排名前的同学的成绩位于内，且设为，则，解得， 进入决赛的同学成绩应不低于分． （3）甲乙两人共计答对三道题目的情况有： 甲对一道题，乙对两道题，或甲对两道题，乙对一道题， 设甲对一道题，乙对两道题为事件，甲对两道题，乙对一道题为事件， ，， 两人各道题答对与否互不影响，则． 甲、乙两人共计答对三道题目的概率为． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率单元测试卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列关于事件的概率的说法不正确的是（   ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 2．先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论错误的是（    ） A．可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 B．事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”是互斥事件 C．事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件 D．事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 3．在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（   ） A．1 B．0 C．0.5 D．0.25 4．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的个数是（    ） 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． A．0 B．1 C．2 D．3 6．在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D．可能为 7．已知随机事件互斥，且，，则等于（   ） A． B．0.4 C．0.5 D．0.7 8．下列说法正确的是（    ） A．必然事件发生的概率可能为 B．若为两个事件，则 C．若事件彼此互斥，则 D．若事件互斥，且满足，则是对立事件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 10．下列说法正确的是（   ） A．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的分位数是23 D．数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 11．已知事件的概率均不为，则的充要条件是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球､3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则摸到一个红球一个黄球的概率是__________. 13．已知A、B为互斥事件，且，则______． 14．某班级举行套玩具趣味游戏，奖品只有拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物，分三堆摆放（每堆一个种类，个数足够），每人三个圈，一个圈只能在一堆奖品套一次．小麟同学套中拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物这三个奖品的概率依次为，则小麟同学恰好套中两个奖品的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．“校园手机”现象越来越受到社会的关注，暑假期间，小明随机调查了城区若干名同学和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图： (1)这次的调查对象中，家长有多少人？并补全图①. (2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数，并补全图②. (3)从这次接受调查的同学中，随机抽查一个学生恰好抽到持“无所谓”态度的概率是多少？ 16．某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数， (2)用分层抽样的方法从，，三组中抽取6人，求从这6人中随机选出2人，这2人恰好在同一组的概率． 17．箱子中装有除颜色外完全相同的2个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，直到摸到三次绿球，则摸球结束. (1)若每次都是有放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率； (2)若每次都是不放回地摸球，求恰好第4次摸球结束的概率. 18．全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 19．某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者．比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (3)现有甲、乙两同学入围决赛，均需回答两道考题，已知甲同学答对每道题目的概率均为，乙同学答对每道题目的概率均为，且两人各道题答对与否互不影响，求甲、乙两人共计答对三道题目的概率． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $