第十章 概率单元测试卷（提升版）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第十章 概率单元测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【分析】根据非空集合满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 2．袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（    ）． A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子” 【答案】C 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义判断即可． 【详解】记随机取出两枚棋子，均为黑色棋子为事件，一枚黑色棋子、一枚白色棋子为事件，均为白色棋子为事件. 对于A：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“至多有一枚黑色棋子” 包含事件、事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.A不满足. 对于B：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.B不满足. 对于C：“恰好有一枚白色棋子”为事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集不是全集（缺少事件），是互斥而不对立事件.C满足. 对于D：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是白色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集是全集，是对立事件.D不满足. 3．耀州中学的225名同学与王益中学的256名同学一起春游，将两所中学的学生混合在一起，随机组合，重新组织队伍，要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，那么耀州中学的沉香和王益中学的李飞出现在同一个队伍的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出一起春游的总人数的最大真因数，从而找到每队人数最多的分队方式，再计算两人分到同一队的概率. 【详解】耀州中学、王益中学共有名同学一起春游， 要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，即求的最大真因数， 因为，所以每队37人，共13队， 沉香被分到某队后，李飞需占据该队伍剩余的36个名额之一， 所以两个人出现在同一个队伍的概率为，即为. 4．为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（） A．这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B．成绩前200名的高一学生有90人 C．成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D．成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【分析】根据饼状图和条形图提供的数据逐一分析判断选项． 【详解】由饼图可知，高一人数比高二人数多选项正确； 由条形图可知，成绩前200名中高一人数为人，B选项正确； 成绩前100名的学生中，高一人数为人， 故高三人数不超过人，C选项正确； 成绩第101名到第名的学生中，高一人数为人， 故高二最多有人，因此高二人数比高一少，D选项错误， 故选：D 5．某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解. 【详解】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 6．下列说法正确的是（    ） A．必然事件发生的概率可能为 B．若为两个事件，则 C．若事件彼此互斥，则 D．若事件互斥，且满足，则是对立事件 【答案】D 【分析】根据必然事件的概率以及互斥事件概率与对立事件概率的性质逐项分析即可. 【详解】对于A，必然事件发生的概率一定为1，故A错误； 对于B，若为两个事件互斥事件，则，故B错误； 对于C，若事件彼此互斥，则， 但不一定有，因为这三个事件的和不一定是全集，故C错误； 对于D，若事件互斥，且，，则是对立事件，故D正确. 7．已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用古典概型概率计算公式分别计算出相应事件的概率即可作出判断. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D. 8．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出试验的样本空间和事件（“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”）的样本点个数，由古典概型计算即可. 【详解】记2个红球和3个黄球分别为和， 记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球， 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为，共20个样本点， 记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”， 则共6个样本点. 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选题）如图，圆的半径为1，六边形是圆的内接正六边形，从、、、、、六点中任意取两点，并连接成线段，则下列结论正确的是（   ） A．线段的长为1的概率是0.4 B．线段的长为2的概率是0.5 C．线段的长为的概率是0.4 D．线段的长不超过的概率是0.8 【答案】ACD 【分析】先列出样本空间，分别找出线段长为1、2、的线段数量，结合古典概型概率公式计算即可. 【详解】在中任取两点的样本空间 ，共15个样本点， 线段的长为1的样本点有，，，，，，共有6个样本点， 所以线段的长为1的概率，故A正确． 线段的长为2的样本点有，，，共有3个样本点， 所以线段的长为2的概率，故B不正确． 线段的长为的样本点有，，，，，，共有6个样本点， 所以线段的长为的概率，故C正确． 线段的长不超过的概率是，故D正确． 故选：ACD． 10．一台机器每启动一次都随机地出现一个位数字，其中的各位数字，则（    ） A．的所有可能结果构成的样本空间中共有16个样本点 B．若的各位数字都等可能地取值0或1，则的概率大于的概率 C．若的各位数字都等可能地取值0或1，则中各位数字之和是3的概率为 D．若，出现0的概率为，出现1的概率为，则中各位数字恰有两个0的概率为 【答案】ACD 【分析】根据每个数位上的数字均有两种可能判断A，根据古典概型的概率公式判断B、C，根据相互独立事件的概率公式判断D. 【详解】对于A：每个数位上的数字均有两种可能，所以一共有个结果， 故的所有可能结果构成的样本空间中共有16个样本点，故A正确； 对于B：若的各位数字都等可能地取值0或1，则属于古典概型问题， 、都为一个样本点，所以的概率等于的概率且都为，故B错误； 对于C：若中各位数字之和是3，则有共个样本点， 所以中各位数字之和是3的概率为，故C正确； 对于D：若中各位数字恰有两个，即中有两个， 所以概率，故D正确. 故选：ACD 11．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A项，重复一次操作，甲袋中有1红的情况有两种，运用互斥事件的概率加法公式计算即得；对于B、C，运用积事件的概率公式计算即得；对于D项，运用和事件的概率公式计算即得. 【详解】因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白． 对于项，要求，则1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可， 则，故项正确； 对于项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球， 且2次操作后甲口袋中恰有1个红球，且3次操作后甲口袋中恰有2个红球， 所以，故项正确； 对于C项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球， 且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 所以，故C错误； 对于D项，由，，， 所以，故D项正确． 故选：． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为，向乙靶射击两次，每次命中的概率为，该射手每次射击的结果相互独立．该射手完成以上三次射击，恰好命中一次的概率为________． 【答案】 【分析】根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式可得. 【详解】记“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手射击甲靶命中”为事件，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件． 由题意知，，. 根据事件的独立性和互斥性， 得 ． 故答案为：. 13．设是一个随机试验中的两个事件，且，则________ 【答案】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为， 因为互斥， 所以 ， 解得，所以 故答案为：. 14．一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________． 【答案】 【分析】求得总的取法数及符合条件的取法数，利用古典概型概率公式可求解. 【详解】由题知是有放回地取球，所以每次都有5种不同取法，总取法有种， 而这列数中恰有4个不相同的数的取法有种， 故这列数中恰有4个不相同的数的概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．有4张面值相同的债券，其中有2张是中奖债券． (1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (3)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率； (4)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先列举出所有基本事件，再根据条件求随机事件的概率； （2）由（1）的表格，分考虑顺序和不考虑顺序求解； （3）由（1）的表格，结合古典概型的概率公式求解； （4）分考虑顺序和不考虑顺序结合古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）将4张面值相同的债券分别记作，规定是中奖债券，则有放回地取出2张债券的所有结果列表如下： 可见所有结果数共16种，取出的2张是中奖的债券和债券的结果数有4种，故所求概率是． （2）我们知道，无放回地抽取可考虑顺序，可不考虑顺序． 如果考虑顺序的话，我们可以在（1）中的表格里去掉对角线上的，得到的就是所有结果数，为12， 而取出的2张是中奖的债券和债券的结果有2种，故所求概率是； 如果不考虑顺序的话，可以在（1）中的表格里要么只取对角线以上的几种情况，要么只取对角线以下的几种情况． 这时可以看出所有结果数有6种，当然结果数还可以用列举法得到，而取出的2张是中奖的债券和债券的结果只有1种，故所求概率是． （3）有放回地抽取，由（1）中的表格可以看出所有结果数是16，至少有1张中奖的结果数是12，所以所求概率是． （4）无放回地抽取，借助（2）的分析解答，考虑顺序的话所有结果数是12，至少有1个中奖的结果数是10，所以此时的概率是； 不考虑顺序的话所有结果数是6，至少有1个中奖的结果数是5，所以所求概率是． 16．为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人.    (1)求图中a，b的值，并估计A餐厅满意指数的中位数； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)现采用分层抽样的方式从B餐厅打分结果在，，这三组的学生中抽取6人，再从这6人中，随机抽取2人进行访谈，请写出样本空间，并求这2人来自相同组的概率. 【答案】(1)，A餐厅满意指数的中位数为6.5 (2)A餐厅满意指数的平均数更高 (3)样本空间见解析，概率为 【分析】（1）根据频率的定义和频率分布直方图求解计算出的值，然后根据中位数的定义和公式计算即可. （2）根据两个餐厅的频率分布直方图和平均数的定义公式进行计算比较即可. （3）先求出分层抽样比，然后确定每组的抽样人数，进而可求得样本空间和概率. 【详解】（1）因为餐厅的满意指数在内的学生有15人，样本量为50人， 所以满意指数在内的频率为，所以. 根据频率分布直方图可以得到，，解得. 餐厅每组的频率为： ：；：， ：，：. 前两组累计频率为，前三组累计频率为. 所以中位数落在内，设中位数为， 则，解得. 所以餐厅满意指数的中位数为6.5. （2）餐厅满意指数的平均数为. 餐厅满意指数的平均数为. 因为，所以餐厅满意指数的平均数更高. （3）因为B餐厅打分结果在，，的频率为， 所以分层抽样比为，由于分层抽样共抽取6人， 所以B餐厅打分结果在，，的人数分别为人，分别记为： ，，， 从这6人中，随机抽取2人进行访谈，所以样本空间为这2人来自相同组的概率为. 17．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得样本总共有36个，符合的有12个，再利用古典概率即可求解； （2）记事件为第局甲胜，，记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，再结合概率的乘法公式即可求解. 【详解】（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件A含有： 共12个样本点，故； （2）记事件为第i局甲胜，，由题意知，记事件B为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立， 则， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为 18．随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 【答案】(1)； 平均数为74（分）；中位数为分 (2)288 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图中频率和为1求得，根据频率分布直方图估计平均数，中位数； （2）由频率估计概率可得高一年级480名学生中成绩不低于70分的频率后可得人数； （3）列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得所求概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，故， 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）. 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分. （2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高一年级480名学生中成绩不低于70分的人数为. （3）由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的3名学生分别为，成绩在这组的2名学生分别为，成绩在这组的1名学生为， 则从中任取3人的所有可能结果为， ， ， ，，，，，，，，，，，，，，， 共20种. 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为. 19．甲、乙、丙、丁4名选手进行羽毛球比赛，比赛规则如下：比赛共分为四轮，第一轮，甲、丙比赛，乙、丁比赛；第二轮，第一轮中的两名胜者进行比赛，两名负者进行比赛；第三轮，第二轮胜者组的胜者直接晋级第四轮，第二轮胜者组的负者与第二轮负者组的胜者进行比赛；第四轮，由第三轮的胜者与第二轮胜者组的胜者进行比赛，最终的胜者获得比赛的冠军．已知甲、乙的水平相当（两人比赛，每人获胜的概率均为），丙、丁的水平相当，且甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率都是，任意两人之间的比赛均无平局． (1)求甲不参加第三轮比赛的概率； (2)求甲、乙进行第四轮比赛的概率； (3)求甲获得冠军的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）甲不参加第三轮比赛的情况有两种：甲第一轮和第二轮比赛均获胜、甲第一轮和第二轮比赛均不胜，由相互独立事件的乘法公式求解即可； （2）甲、乙进行第四轮比赛的情况有两种：甲、乙在第四轮比赛前相遇和甲、乙在第四轮比赛前不相遇，由相互独立事件的乘法公式求解即可； （3）甲获得冠军，需进入第四轮并战胜对手，分决赛对手为乙、丙、丁三种情况讨论计算概率并求和. 【详解】（1）甲不参加第三轮比赛的情况有以下两种： 第一种，甲第一轮和第二轮比赛均获胜，其概率为 第二种，甲第一轮和第二轮比赛均不胜，其概率为 故甲不参加第三轮比赛的概率为． （2）甲、乙进行第四轮比赛的情况有以下两种： 第一种，甲、乙在第四轮比赛前相遇，其概率为； 第二种，甲、乙在第四轮比赛前不相遇，其概率为． 故甲、乙进行第四轮比赛的概率为． （3）甲获得冠军的情况有以下三种： 第一种，甲、乙进行第四轮比赛，由（2）可知其概率为； 第二种，甲、丙进行第四轮比赛，其概率为； 第三种，甲、丁进行第四轮比赛，其概率为 ． 故甲获得冠军的概率为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率单元测试卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 2．袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（    ）． A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子” 3．耀州中学的225名同学与王益中学的256名同学一起春游，将两所中学的学生混合在一起，随机组合，重新组织队伍，要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，那么耀州中学的沉香和王益中学的李飞出现在同一个队伍的概率为（   ） A． B． C． D． 4．为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（） A．这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B．成绩前200名的高一学生有90人 C．成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D．成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 5．某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（    ） A．必然事件发生的概率可能为 B．若为两个事件，则 C．若事件彼此互斥，则 D．若事件互斥，且满足，则是对立事件 7．已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选题）如图，圆的半径为1，六边形是圆的内接正六边形，从、、、、、六点中任意取两点，并连接成线段，则下列结论正确的是（   ） A．线段的长为1的概率是0.4 B．线段的长为2的概率是0.5 C．线段的长为的概率是0.4 D．线段的长不超过的概率是0.8 10．一台机器每启动一次都随机地出现一个位数字，其中的各位数字，则（    ） A．的所有可能结果构成的样本空间中共有16个样本点 B．若的各位数字都等可能地取值0或1，则的概率大于的概率 C．若的各位数字都等可能地取值0或1，则中各位数字之和是3的概率为 D．若，出现0的概率为，出现1的概率为，则中各位数字恰有两个0的概率为 11．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为，向乙靶射击两次，每次命中的概率为，该射手每次射击的结果相互独立．该射手完成以上三次射击，恰好命中一次的概率为________． 13．设是一个随机试验中的两个事件，且，则________ 14．一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．有4张面值相同的债券，其中有2张是中奖债券． (1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (3)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率； (4)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率 16．为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人.    (1)求图中a，b的值，并估计A餐厅满意指数的中位数； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)现采用分层抽样的方式从B餐厅打分结果在，，这三组的学生中抽取6人，再从这6人中，随机抽取2人进行访谈，请写出样本空间，并求这2人来自相同组的概率. 17．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 18．随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 19．甲、乙、丙、丁4名选手进行羽毛球比赛，比赛规则如下：比赛共分为四轮，第一轮，甲、丙比赛，乙、丁比赛；第二轮，第一轮中的两名胜者进行比赛，两名负者进行比赛；第三轮，第二轮胜者组的胜者直接晋级第四轮，第二轮胜者组的负者与第二轮负者组的胜者进行比赛；第四轮，由第三轮的胜者与第二轮胜者组的胜者进行比赛，最终的胜者获得比赛的冠军．已知甲、乙的水平相当（两人比赛，每人获胜的概率均为），丙、丁的水平相当，且甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率都是，任意两人之间的比赛均无平局． (1)求甲不参加第三轮比赛的概率； (2)求甲、乙进行第四轮比赛的概率； (3)求甲获得冠军的概率． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $