系统沉淀训练03函数的基本性质-2026届高三数学三轮冲刺

2026高考前45天 系统沉淀训练03函数的基本性质 适用范围：全国Ⅰ卷 目前成绩75--125 主要考点：【1】函数的单调性；【2】函数的奇偶性；【3】函数的周期性；【4】函数的对称性；【5】函数的最值；【6】函数的新定义. 重点题目：1-14 一、单选题 1．（2026·四川内江·二模）已知，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以是奇函数， 则等价于， 则，得， 故关于的不等式的解集为. 2．（2026·广东东莞·模拟预测）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到相应的不等式组，进而求解即可． 【详解】由在上单调递减，而在上单调递增， 所以在上单调递减， 想要函数 在上单调递减， 即要在上单调递减，且， 即，解得， 所以的取值范围是． 故选：D 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 当时，，则， 此时函数在上单调递增，故当时，； 当时，即当时，， 因为函数、在上均为增函数，此时函数在上单调递增， 故当时，； 当时，，则， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 故当时，. 综上所述，当时，， 因为不等式对恒成立，故. 即实数的取值范围是 4．（25-26·湖南郴州·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义，结合对称性及已知确定函数的单调性，再将不等式转化为不等式组求解. 【详解】由函数是定义在上的偶函数，得，即函数的图象关于直线对称， 由函数在上单调递增，得函数在上单调递减， 且，则当或时，；当时，， 不等式等价于或， 即或，解得或， 所以的解集为. 5．（2026·安徽安庆·二模）已知，函数为奇函数，则（   ） A．15 B． C． D．4 【答案】A 【分析】由题意可得，通过导数确定是时唯一的解，进而可求得的值. 【详解】因为是奇函数且，则， 解得， 设，则， 令，则，因为单调递增，且， 所以存在唯一，使， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以最多有两个零点， 观察到，所以是时唯一零点， 即是在上唯一的解，经检验，满足题意， 所以，则. 6．（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出函数的周期，结合可求的值. 【详解】因为为奇函数，故， 因为为偶函数，故， 故，所以， 故是周期函数且周期为4，而， 故， 而，故. 7．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 8．（2026·浙江宁波·二模）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】， ， ， ， 故“”是“”的必要条件， 当，假设时，， 此时，则， 故“”是“”的不充分条件， 综上： “”是“”的必要不充分条件． 二、多选题 9．（25-26高三下·山东潍坊·月考）若函数满足对任意，恒有，则称函数为“类余弦型”函数．已知函数为“类余弦型”函数，且对任意非零实数，．则下列结论正确的是（　　） A． B．若，则 C．函数为偶函数 D．对于任意正整数且，恒成立 【答案】ACD 【分析】令求解即可判断A；令结合A中结果，求解即可判断B；令得到求解即可判断C；令，证明出，即可判断D. 【详解】A，令，得到，对任意非零实数都有， 所以，A正确， B，令，得，由A知， 又，，得到，B错误， C，令得到，又，得到， 定义域为R，所以为偶函数，C正确， D，因为时，，则， 所以， 令，即对任意的正整数有， 则， 所以，对于任意正整数，成立，D正确. 10．（2026·河北保定·一模）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时 D． 【答案】ACD 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】，拿换，得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得：， 因此，图象关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，， 所以， 从而的值域为，在此区间上， 所以， 故恒成立，选项D正确. 11．（2027高三·全国·专题练习）（多选）已知是定义在上的奇函数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在内至少有5个零点 D．若在上单调递增，则它在上也单调递增 【答案】BCD 【分析】先利用已知条件推导出函数的周期，再结合奇函数性质得出对称中心和零点分布，最后根据周期性和奇偶性将单调性迁移到指定区间进行判断. 【详解】因为且是定义在上的奇函数，则， 故函数是周期为3的周期函数，且， 所以，故函数的图象关于点对称，A错误，B正确； 由题意可知，， 因为， 令， 可得， 所以，从而，故函数在内至少有5个零点，C正确； 因为函数的周期为3，所以函数在区间上的单调性与在区间即上的单调性相同， 又因为为奇函数且在上单调递增，所以在上也单调递增。故函数在上也单调递增，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性的判断方法求参数的取值范围. 【详解】设（且），， 因为在上是减函数， 所以或. 解得：或. 所以实数的取值范围为：. 故答案为： 13．（2026·浙江嘉兴·二模）若函数是奇函数，则______. 【答案】 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】由得， 因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称， 则方程根互为相反数，所以，所以， 所以函数的定义域为，， 因为， 所以，即，解得. 此时，定义域为，且满足， 所以. 14．（25-26高三上·广东·月考）已知定义在R上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则______． 【答案】2 【分析】由条件结合偶函数的性质和奇函数性质，求函数的周期，结合周期性性质求结论. 【详解】因为函数是偶函数， 所以， 因为函数是奇函数， 所以，即， 取可得， 所以， ， 所以， 所以函数为周期函数，是该函数的一个周期， 所以. 故答案为：2. 四、解答题 15．（25-26·浙江杭州·期末）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求的值. (2)存在，使成立. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）;（ⅱ） 【分析】（1）根据题意由求. （2）（ⅰ）利用函数的单调性和奇偶性，转化为求复合函数的值域. （ⅱ）利用参变分离法，求解恒成立问题. 【详解】（1）因为为定义在上的奇函数， 则有，即，解得， 此时，则，所以为奇函数， 所以. （2）（ⅰ）由（1）知， 而为上的增函数，所以为上的减函数. 由，且为奇函数， 可得， 则有，整理得. 因为，所以当时，， 当时，，所以. （ⅱ）由，整理得. 因为，则设，而函数 在时，， 而恒成立，即，所以. 16．（25-26·全国·月考）已知是奇函数. (1)求的值； (2)若的定义域为，判断的单调性并证明； (3)在（2）的条件下，存在使得成立，求参数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2)函数是上的增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数是奇函数，分和不存在，两种情况讨论，结合，即可求解； （2）由（1）得到函数，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）由题意，转化为，令，转化为存在使得成立，即，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数是奇函数， ①若，解得，所以， 则， 又由，可得，解得，所以， 经验证：， 所以函数是定义在上的奇函数，所以； ②若不存在时，可得，此时， 由，可得，解得，所以， 经验证：， 所以函数是定义在上的奇函数，所以； （2）解：函数是上的增函数. 证明如下：由（1）知：函数，其定义域为， 任取且， 则， 因为，可得， 所以，即，所以是上的增函数. （3）解：由函数是上奇函数，且是单调递增函数， 不等式， 即为， 所以，整理得， 令，因为，可得， 则，当时，即时，等号成立， 当时，可得，所以， 又因为，所以， 因为存在使得成立， 即存在使得成立，即， 令，可得函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. 17．（25-26·山东滨州·期末）已知函数. (1)若为偶函数，求实数a的值； (2)当时， （ⅰ）证明：函数的图象关于点对称； （ⅱ）若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用偶函数的定义即可求解； （2）（ⅰ）转化为证明即可； （ⅱ）利用将问题转化为在区间上有两个不相等的实数根，利用二次方程根的分布求解即可. 【详解】（1）为偶函数，，， 即对任意的实数恒成立，. （2）（ⅰ）时，，定义域为， 而， ∴的图象关于点对称. （ⅱ）因为是增函数，也是增函数， 所以函数是单调增函数. 由（ⅰ）知，函数的图象关于点对称，所以由得： 即， 所以在区间上有两个不相等的实数根， ∴，解得. 所以实数m的取值范围是. 18．（25-26全国·月考）已知函数的图象关于原点对称． (1)求实数的值； (2)若，求的取值范围； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质，代入表达式化简后即可得到答案； （2）先由（1）得的表达式，再根据函数单调性的定义，任取并作差，通过判断差的正负来证明在上单调递减，由函数的单调性即可得到的取值范围； （3）先化简不等式左边得到，再代入的表达式，换元转化为函数最值问题，最后观察函数的单调性求出最小值，从而得到的取值范围. 【详解】（1）因为函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数， 令可得，，解得， 因此，实数的值为. （2）由（1）可知，则，则任取且， 则，即，因此函数在上单调递减， 由，解得，又由于，所以的取值范围是. （3）因为，，所以即， 令，因为，所以，则不等式转化为，整理得， 设，则， 因为，且函数和在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围是. 19．（25-26·河南南阳·期中）已知函数 (1)当时，求函数的值域； (2)当]时，求函数的最小值； (3)若，存在实数，使f，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法可求复合函数在给定区间上的值域； （2）利用换元法，将求函数的最小值问题转化为求含参二次函数在给定区间上的最值问题，通过讨论对称轴与给定区间的关系可得； （3）分离参数，利用换元法构造新函数，根据新函数的单调性，求的取值范围，从而求得b的取值范围. 【详解】（1）当时，， 令，则，则在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为；当时最大值为9，故函数的值域为. （2）令，则，对称轴为. 当时，，则在上单增，所以函数的最小值为； 当时，，则在上单减，在上单增，所以函数的最小值为； 当时，有，则在上单减，所以函数的最小值为. 综上所述，. （3）由有. 即，所以. 因为，所以. 令当且仅当，即时，等号成立； 因为所以. 令，则是增函数， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考前45天 系统沉淀训练03函数的基本性质 适用范围：全国Ⅰ卷 目前成绩75--125 主要考点：【1】函数的单调性；【2】函数的奇偶性；【3】函数的周期性；【4】函数的对称性；【5】函数的最值；【6】函数的新定义. 重点题目：1-14 一、单选题 1．（2026·四川内江·二模）已知，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东东莞·模拟预测）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26 湖南郴州·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽安庆·二模）已知，函数为奇函数，则（   ） A．15 B． C． D．4 6．（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 7．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 8．（2026·浙江宁波·二模）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（25-26高三下·山东潍坊·月考）若函数满足对任意，恒有，则称函数为“类余弦型”函数．已知函数为“类余弦型”函数，且对任意非零实数，．则下列结论正确的是（　　） A． B．若，则 C．函数为偶函数 D．对于任意正整数且，恒成立 10．（2026·河北保定·一模）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时 D． 11．（2027高三·全国·专题练习）（多选）已知是定义在上的奇函数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在内至少有5个零点 D．若在上单调递增，则它在上也单调递增 三、填空题 12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是______． 13．（2026·浙江嘉兴·二模）若函数是奇函数，则______. 14．（25-26高三上·广东·月考）已知定义在R上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则______． 四、解答题 15．（25-26 ·浙江杭州·期末）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求的值. (2)存在，使成立. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若恒成立，求的取值范围. 16．（25-26全国·月考）已知是奇函数. (1)求的值； (2)若的定义域为，判断的单调性并证明； (3)在（2）的条件下，存在使得成立，求参数m的取值范围. 17．（25-26山东滨州·期末）已知函数. (1)若为偶函数，求实数a的值； (2)当时， （ⅰ）证明：函数的图象关于点对称； （ⅱ）若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围. 18．（25-26全国·月考）已知函数的图象关于原点对称． (1)求实数的值； (2)若，求的取值范围； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 19．（25-26 河南南阳·期中）已知函数 (1)当时，求函数的值域； (2)当]时，求函数的最小值； (3)若，存在实数，使f，求b的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $