第01讲：函数【十二题型】训练-2026届高考数学三轮冲刺

第01讲：函数 【题型归纳】 · 题型一：函数的值域问题 · 题型二：分段函数问题 · 题型三：函数的基本性质问题 · 题型四：对指幂函数比较大小问题 · 题型五：：对指幂函数性质的应用 · 题型六：函数的求参问题 · 题型七: 函数模型及其应用 · 题型八：函数的零点问题 · 题型九：函数的图像问题 · 题型十：函数与方程的综合问题 · 题型十一：函数的新定义问题 【题型过关】 题型一：函数的值域问题 【典例1】．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数的值域为，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：分段函数问题 【典例2】．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·辽宁朝阳·三模）定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：函数的基本性质问题 【典例3】．（2026·云南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·江苏·三模）设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·河南许昌·三模）已知函数的定义域为，若函数是偶函数，函数是奇函数，则在上的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 题型四：对指幂函数比较大小问题 【典例4】．（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·江西·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 题型五：：对指幂函数性质的应用 【典例5】．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．-1 D． 【变式1】．（2026·山西晋中·三模）已知且，若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型六：函数的求参问题 【典例6】．（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·福建龙岩·三模）已知函数的定义域为，满足，当时，．若，则实数的值为（   ） A． B．4 C．或 D．2或4 【变式2】．（2026·福建漳州·三模）已知是定义域为的奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型七: 函数模型及其应用 【典例7】．（2026·北京朝阳·二模）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（   ） （参考数据：） A．120 B．150 C．170 D．180 【变式1】．（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 【变式2】．（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 题型八：函数的零点问题 【典例8】．（2026·吉林延边·三模）已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·河南许昌·三模）已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·福建三明·二模）已知函数与的图象关于直线对称，函数，若方程在区间上有两解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型九：函数的图像问题 【典例9】．（2026·安徽合肥·三模）当时，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·山东枣庄·三模）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型十：函数与方程的综合问题 【典例10】．（2026·天津红桥·二模）设函数，若有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为______． 【变式1】．（2026·天津东丽·二模）设，函数，当时，的值域为______；若关于的方程恰有一个根，则的取值范围是______． 【变式2】．（2026·天津·二模）设，函数，若关于的方程恰有一个根，则的取值范围是___________． 题型十一：函数的新定义问题 【典例11】．（2026·内蒙古赤峰·三模）已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为减函数 C．的值域为 D． 【变式1】．（2026·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转弧度后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称函数为“旋转函数”.若函数为“旋转函数”，则a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】．（25-26高三·北京·二轮复习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中不正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【高考达标】 一、单选题 1．（2026·重庆渝中·三模）已知函数 ，则 （    ） A． B．1 C． D． 2．（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东菏泽·模拟预测）若函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·吉林·三模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．的最小正周期为4 D．在上单调递增 5．（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南开封·模拟预测）若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·福建三明·二模）已知函数的定义域为，，，且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河南濮阳·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（   ） ①；②；③函数有最小值；④函数有最大值． A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 10．（2026·陕西榆林·三模）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．存在，使得函数为奇函数 C．任意 D．函数有且仅有2个零点 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（   ） A．点与点关于原点对称 B．函数是奇函数 C．当时， D．当时， 12．（2026·广东茂名·二模）已知是定义在上的函数，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．是的周期 13．（2026·重庆渝中·二模）已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 14．（2026·安徽芜湖·二模）关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．当时，方程有两个根 B．当方程有两个根时， C．当时，方程有三个根 D．当方程在区间上有三个根时， 15．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 三、填空题 16．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知奇函数满足：当时，，则________． 17．（2026·新疆·二模）已知函数的三个零点从小到大依次成等差数列，则实数______． 18．（2026·四川成都·三模）已知集合，若函数满足：，都有，则符合条件的函数共有__________个. 19．（2026·北京昌平·二模）设函数，给出下列四个结论： ①当时，恰有2个零点； ②存在正数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有2个零点； ④存在负数，使得恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是_________________ . 20．（2026·山西晋中·三模）已知函数的定义域为是偶函数，，则__________. 21．（2026·吉林长春·三模）已知函数及其导数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是__________. 22．（2026·北京朝阳·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲：函数 【题型归纳】 · 题型一：函数的值域问题 · 题型二：分段函数问题 · 题型三：函数的基本性质问题 · 题型四：对指幂函数比较大小问题 · 题型五：：对指幂函数性质的应用 · 题型六：函数的求参问题 · 题型七: 函数模型及其应用 · 题型八：函数的零点问题 · 题型九：函数的图像问题 · 题型十：函数与方程的综合问题 · 题型十一：函数的新定义问题 【题型过关】 题型一：函数的值域问题 【典例1】．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，则或，当时，， 当时，，综上，此函数的值域为． 【变式1】．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数的值域为，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，故， 令，得 当时，，得函数在上单调递增， 当时，，得函数在上单调递减， 故得最大值为，当时，； 当时，，因此当时，， 当时，函数， 由题意可得此时的的范围是的子集，对进行分类讨论： （1）．若，则， 当时，，不符合范围是的子集的要求， 因此不满足题意； （2）．若，函数的图象是开口向下的抛物线，且对称轴为 故当时，函数在对称轴处取得最大值：且 由题意得 因为，解得：； （3）若，函数的图象是开口向上的抛物线， 且对称轴为，    故在上单调递减，且故，这不符合范围是的子集的要求；综上，的取值范围是．故选：A． 【变式2】．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单调性求出在上的函数值集合，由已知可得在上的值域包含，再利用导数探讨函数在上的函数值集合即可求出范围. 【详解】当时，函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数的值域为R，得函数在上的值域包含， 当时，函数，求导得，而， 当时，，函数在上单调递增，函数值集合为， 而恒成立，则； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 函数值集合为，于是，解得，则， 所以a的取值范围是. 故选：A 题型二：分段函数问题 【典例2】．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，根据解不等式，当时，即时根据函数的单调性求解, 【详解】当时，即时，， 故满足题意； 当时，即时，令，则+1在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以由可得，解得， 又，故. 综上，实数a的取值范围为. 【变式1】．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数奇偶性与单调性，再解不等式. 【详解】由已知得，当时，， 所以，当时，同理有，可知是奇函数． 又当时，，所以在上单调递增， 从而可得在上单调递增． 不等式即， 所以有，解得． 【变式2】．（2026·辽宁朝阳·三模）定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则恒过定点，将和的大致图象画在同一直角坐标系， 有3个零点等价于与图象有3个交点，设， 由图可知，，即． 题型三：函数的基本性质问题 【典例3】．（2026·云南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质，可得在上恒成立，再结合二次函数的图象性质，讨论对称轴和区间的位置关系，即可求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以由在上恒成立，可得在上恒成立， 又当时，，其对称轴为， 若，即，则在上单调递增，则， 解得，所以， 若，即，则在单调递减，在上单调递增， 则，即，解得，所以， 若，即，则在上单调递减，则， 解得，所以. 综上所述，的取值范围为. 【变式1】．（2026·江苏·三模）设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的正负得出的单调性，再结合是偶函数得出的对称轴，由函数图像的对称性即可求解． 【详解】由得，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 又是偶函数，所以的对称轴为直线， 因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以． 【变式2】．（2026·河南许昌·三模）已知函数的定义域为，若函数是偶函数，函数是奇函数，则在上的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】先利用偶函数性质列出，再由奇函数性质列出，联立两式消去化简求得，换元令得，转化为对勾函数，由其在单调递增，代入算出最小值为. 【详解】已知是偶函数，所以① 已知是奇函数，所以，即② 由①得， 代入②：. 整理得，. 令，，则，. 对勾函数在递增，区间在递增区间内. 最小值在处：. 题型四：对指幂函数比较大小问题 【典例4】．（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则．令，则， 当时，单调递增，当时，，单调递减， 则， 则，即．故． 【变式1】．（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则. 当时，则，可得，所以在上单调递减. 因为，且， 所以，即． 【变式2】．（2026·江西·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，所以，同理，由，可得， 由，可得.令，得，所以在上单调递减， 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 满足的即为函数与交点的横坐标； 在同一平面直角坐标系中画出的图象，如图所示： 从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为. 题型五：：对指幂函数性质的应用 【典例5】．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，. 当时，；当时，. 在上单调递减，在上单调递增.在处取得最小值. 又当时，，且， 若，，则， 所以，即. 所以. 所以当，即时，取得最小值，最小值为. 【变式1】．（2026·山西晋中·三模）已知且，若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，单调递增，则， 当时，，要使函数的值域为， 则需在时的值域包含，故需满足， 解得. 【变式2】．（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为定义域为的偶函数在上单调递减，所以在上单调递增. 因为，，， 所以. 又，所以. 题型六：函数的求参问题 【典例6】．（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，易得在上递增，在上递减，且有两个零点和， 因可由保持轴上方部分并将轴下方部分沿轴翻折得到， 如上图，在上递减，在上递增， 在上递减，在上递增. ① 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ② 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ③ 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ④ 当时，在的最大值，因， 在单调递增，最大值，，矛盾； ⑤ 当时，在的最大值， ，，由图可知，此时只需令 即可， 解得或，所以， 综上所述，的取值范围是. 【变式1】．（2026·福建龙岩·三模）已知函数的定义域为，满足，当时，．若，则实数的值为（   ） A． B．4 C．或 D．2或4 【答案】D 【分析】利用得出函数的对称轴，再结合已知条件分情况讨论的取值范围，进而求解的值. 【详解】由可得函数的图象关于直线对称， 当时，因为时，，且， 则，将方程变形得. 设，则方程变为，化简得. 解得或（舍去）， 所以，得. 当时，因为函数的图象关于直线对称，所以. 此时，则， 根据对数换底公式进行变形得. 设，则方程变为，化简得. 解得或（舍去），所以，解得. 综上，实数的值为或4. 【变式2】．（2026·福建漳州·三模）已知是定义域为的奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是定义域为的奇函数， 所以，所以，所以． 因此，，， 即，所以． 因为，所以． 又是减函数， 所以，解得． 题型七: 函数模型及其应用 【典例7】．（2026·北京朝阳·二模）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（   ） （参考数据：） A．120 B．150 C．170 D．180 【答案】B 【详解】由，得，解得， 由，得，解得，所以， 当循环为次时电池健康度为60，可得， 所以，两边取对数得，所以， 所以，解得， 电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加. 【变式1】．（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 【答案】A 【分析】设原强度、新强度,代入分贝公式拆分对数，利用已知和计算,得结果. 【详解】设原来的噪音强度为，对应的等级. 改善后的噪音强度为，对应的等级为. 根据公式，代入得：. 计算：. 将，代入： . 【变式2】．（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件，将代入关系式可求出的值，再利用对数的运算即可求解. 【详解】当时，，即. 当时，，即， 则，即. 因为， 所以.令，则， 所以，则. 题型八：函数的零点问题 【典例8】．（2026·吉林延边·三模）已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在上单调递减，函数值域为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 当时，，求导得，由，得； 由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0 时，，当时，，函数的图象如图： 由，得，则或， 显然方程无解，要函数有4个零点，当且仅当方程有4个解， 即直线与函数的图象有4个交点，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 【变式1】．（2026·河南许昌·三模）已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，求导得，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；故是的极小值点，即为最小值点，， 且；当时，，， ， ，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故函数的图象如下： 已知函数有3个零点，由图象可知，当时，有3个交点； 当时，有3个交点；综上，实数a的取值范围是． 【变式2】．（2026·福建三明·二模）已知函数与的图象关于直线对称，函数，若方程在区间上有两解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得函数与的图象关于直线对称，故， ，设， 则方程，即均在函数图象上， 假设，因为在上单调递增，故， 又，故，与假设矛盾，舍去； 假设，因为在上单调递增，故， 又，故，与假设矛盾，舍去； 综上，，即方程在区间上有两解， 即，在区间上有两解， 令，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，， 其中，即， 画出函数在上的图象如下： 要想在区间上有两解，需要， 解得. 题型九：函数的图像问题 【典例9】．（2026·安徽合肥·三模）当时，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，结合时，的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，因为，由可得且， 故函数的定义域为，排除AC， 当时，，排除D. 【变式1】．（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案. 【详解】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 【变式2】．（2026·山东枣庄·三模）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD. 【详解】定义域为，， 则是偶函数，排除A选项； 当时，，则， 当时，，则； 当时，，则，排除CD选项. 题型十：函数与方程的综合问题 【典例10】．（2026·天津红桥·二模）设函数，若有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】当时，，， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又因为函数有四个不同的零点， 所以函数和有四个不同的交点， 如图所示： 由图知，， 设为方程 的两根，即的两根， 所以， 设为方程的两根，即的两根， 所以， 所以， 令，， 所以在上单调递增， 因为 ， ， 所以的值域为， 即的取值范围为． 【变式1】．（2026·天津东丽·二模）设，函数，当时，的值域为______；若关于的方程恰有一个根，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，，当时，， 当时，，故此时的值域为； 若关于x的方程恰有一个根， 当时，可得，即，则，解得，不合题意，舍去； 当时，可得，即， 令，，则恒成立，故在上单调递增， 又，， 故当时，该方程在上有一个根； 当时，可得，即， 则，解得， 令，可得，令，可得， 故当时，该方程在上有两个根， 当时，该方程在上有一个根， 当时，该方程在上无根； 综上可得：当时，该方程无根；当时，该方程恰有一个根； 当时，该方程有两个根；当时，该方程有三个根； 当时，该方程有两个根. 故的取值范围是. 【变式2】．（2026·天津·二模）设，函数，若关于的方程恰有一个根，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由题可得，当时，，， 则可以转化为：，即，得，解得，不满足，故舍去； 当时，，， 则可以转化为：，即， 设，则， 令，解得， 当时，，则在 单调递增， 则，即， 当，方程在上有1个根； 当或，方程在有0个根. 当时，，， 则可以转化为：，即， 令，则，解得，即， 由，得， 由，得， 故当时，方程在内有2个根； 当时，方程在内有1个根； 当时，方程在内有0个根； 因为关于的方程恰有一个根， 综上所述，的取值范围是. 题型十一：函数的新定义问题 【典例11】．（2026·内蒙古赤峰·三模）已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为减函数 C．的值域为 D． 【答案】D 【分析】令，可求得，再分别令，，检验其正确性，确定，判断A；由A所得，求出，判断B；根据所得，求得，利用导数判断单调性，从而求得的值域，判断C；求出，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A，令，得，所以或. 当时，令，得，即. 此时，所以. 令，得，即. 所以. 同理可验证 正确，故A错误； 对于B，令，所以B错误； 对于C，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 所以的值域为，故C错误； 对于D，因为， 即，故D正确． 【变式1】．（2026·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转弧度后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称函数为“旋转函数”.若函数为“旋转函数”，则a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】等价转化为的任意函数值有且仅有一个自变量与之对应，分类讨论参数并结合对勾函数的性质分析性质，即可得. 【详解】因为函数为“旋转函数”，且定义域为， 旋转后曲线仍是某个函数图象，意味着这个函数对于任意一个横坐标，至多只有一个与之对应， 由于旋转了整个曲线，等价于原始曲线在旋转后没有两个点具有相同的坐标， 所以关于的方程对任意的至多只有一个解， 所以方程至多只有一个解， 即曲线与直线至多只有一个交点， 只需的任意函数值有且仅有一个自变量与之对应（单射函数）， 当时，在，上都单调递增，且值域都为R， 此时与恒有两个交点，不合题意； 当时，在，上都单调递增，值域分别为，， 此时与至多有一个交点，符合题意； 当时，， 若时，则， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若时，则， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时与的交点可能有个，不合题意， 综上. 【变式2】．（25-26高三·北京·二轮复习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中不正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】A 【分析】A举反例；B利用奇函数的定义证明；C利用指数函数的单调性证明；D求出的值域即可. 【详解】依题意，函数的定义域为， 因为，， 所以，故函数不是偶函数，故A错误； ，且定义域关于原点对称， 则函数是奇函数，故B正确； 函数在上单调递增，则函数在上是增函数，故C正确； 由，得，，则， 故的值域为，故D正确. 故选：A 【高考达标】 一、单选题 1．（2026·重庆渝中·三模）已知函数 ，则 （    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】已知函数， 因为.所以， 又 所以. 2．（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知得，所以问题转化为恒成立， 设，则，代入上式，所以问题转化为时恒成立，则只需即可， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，所以，解得. 3．（2026·山东菏泽·模拟预测）若函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得函数的定义域是，且满足方程， 等式两边同除以得，令，则有， 这说明当是正整数时，数列是一个公差为的等差数列，由，得， 因此，对于正整数有，则， 所以，故C正确. 4．（2026·吉林·三模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．的最小正周期为4 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】通过对和的平移换元，结合函数的奇偶性与周期性，转化出自身的对称轴和对称中心，进而推导出其奇偶性与周期性. 【详解】因为为偶函数，所以， 将替换为，则有①， 因为为奇函数，所以， 将替换为，则有， 再将替换为，则有②， 将替换为，则有③， 结合①③得④， 结合②④得，因此为偶函数，选项A错误，B正确； 因为，结合偶函数，将替换为得， 则，即2为的周期，选项C错误， 对于D选项，如满足偶函数且周期为2， 但不满足在上单调递增. 5．（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别构造函数，，利用导数分析两个函数的单调性，即可得及关系，从而得到答案. 【详解】令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，所以 所以，即. 令，则， 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以恒成立，即恒成立，所以是减函数， 所以，即，即． 综上所述，. 6．（2026·河南开封·模拟预测）若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得到，令，则，原函数等价于，分离参数，设，则当时，单调递减；当时，单调递增；根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果. 【详解】令，得到， 即，令，则， 设，则， 令，得到， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此在处取得最小值，故方程仅有唯一解， 因此，原函数等价于， 变形得到，设，则 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此，在处取得极小值（也是最小值），， 因为时，，当时，， 函数在上有两个不同的零点， 转化为直线与的图像有两个不同交点，则. 故实数的取值范围为. 7．（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于，满足，函数是R上的增函数， 又，，因此 ，即，对于，满足 ，因为，，故， 对于，满足 ，函数 是上的增函数， 又 ， ， 因此 ，即， 综上，大小关系为. 8．（2026·福建三明·二模）已知函数的定义域为，，，且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以， 所以， 又， 且当时，，所以， 所以. 9．（2026·河南濮阳·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（   ） ①；②；③函数有最小值；④函数有最大值． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】①：在中，令， 得， 因为对任意恒成立，所以， 所以由，因此本序号结论正确； ②：在中，令， 得，因此本序号结论正确； 令，满足条件（1）对任意恒成立，且； ，， 满足（2），都有， 但是函数没有最大值也没有最小值，故③④序号结论都不正确， 所以表述中正确的个数为. 二、多选题 10．（2026·陕西榆林·三模）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．存在，使得函数为奇函数 C．任意 D．函数有且仅有2个零点 【答案】ABC 【分析】A选项，通过导数判断函数单调性；B选项，取特殊值验证结论的存在；C选项，通过放缩，得到函数值的范围；D选项，通过函数值的符号，判断零点个数. 【详解】对于A，，因为，所以， 因此，故，所以在上单调递增，故A正确； 对于B，令，则，定义域为， 且，故为奇函数，故B正确； 对于C，时，时，，故C正确； 对于D，时，时，时，， 所以只有1个零点，故D错误. 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（   ） A．点与点关于原点对称 B．函数是奇函数 C．当时， D．当时， 【答案】BD 【详解】取得，，取得， 所以，，故A错误； 因为， 所以函数是奇函数，故B正确； 取得， 所以， ， 所以， 若，则故C错误； ，故D正确． 12．（2026·广东茂名·二模）已知是定义在上的函数，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．是的周期 【答案】ACD 【详解】在中,令，可得，所以，故A正确； 由，可得的图象关于直线对称，故C正确； 在中，令，可得，又由选项A知，故， 若是定义在上的奇函数，则与矛盾，故不是奇函数，故B错误； 由，可得的图象关于点对称，又因为的图象关于直线对称， 故，故D正确． 13．（2026·重庆渝中·二模）已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，即， 又，所以，即是以周期为的周期函数， 由，得，所以， 即，所以是奇函数，A正确； 对于B，由，得，所以，B正确； 对于C，，，，， 一个周期内的和：， 所以，C错误； 对于D，是以周期为的周期函数，，， 时，，，所以， 时，，，所以， 所以在内的零点有， 而包含个完整周期， 所以是的零点，共个，D正确． 14．（2026·安徽芜湖·二模）关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．当时，方程有两个根 B．当方程有两个根时， C．当时，方程有三个根 D．当方程在区间上有三个根时， 【答案】ACD 【分析】对于A，解方程即可判断；对于BCD，结合图象及导数的几何意义求解判断即可. 【详解】对于A，当时，方程为，则，即或，故A正确； 对于B，由于函数为过定点的直线， 当时，设，如图， 设与相切于点， 当时，，则，则，即， 则时，函数与有两个交点，则方程有两个根，故B错误； 对于C，由B知，当时，函数与有3个交点， 则方程有三个根，故C正确； 对于D，要使方程在区间上有三个根，则， 且，即，则，故D正确. 15．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【答案】BCD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐一判断即可． 【详解】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 三、填空题 16．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知奇函数满足：当时，，则________． 【答案】4052 【分析】化简的表达式即可求得答案. 【详解】显然，注意到时， 于是． 17．（2026·新疆·二模）已知函数的三个零点从小到大依次成等差数列，则实数______． 【答案】 【分析】根据题意，设函数的三个零点分别为，利用三次方程的韦达定理，列出方程组，即可求解. 【详解】若方程有三个根， 则方程可化为， 整理得， 比较两个方程，可得， 因为函数的三个零点从小到大依次成等差数列， 设函数的三个零点分别为， 可得，即 将代入，可得，所以，所以， 即实数的值为. 18．（2026·四川成都·三模）已知集合，若函数满足：，都有，则符合条件的函数共有__________个. 【答案】 【分析】根据函数的定义，结合值域的性质、分类计数原理和分步计数原理进行求解即可. 【详解】当集合中所有元素只和集合中一个元素对应时，显然符合，都有，此时可以构成个函数； 当集合中元素只和集合中二个元素对应时，这时这两个元素分别为，共5种情况， 以为例，集合中每一个元素都有2种对应方式，因此这样可以形成 个函数，但是会出现集合中所有元素都与或2对应， 因此构成函数的个数为个， 所以这种方式一共有个不同的函数； 当集合中元素只和集合中三个元素对应时，这时这三个元素分别为，共2种情况， 以为例，集合中每一个元素都有3种对应方式，因此这样可以形成 个函数，但是会出现集合中所有元素都与或2或3对应，或，或，或对应，所以可以形成个不同的函数， 所以这种方式构成的函数有个； 当集合中元素和集合中四个元素都对应时，这样出现，不符合题意， 综上所述：符合条件的函数共有个. 19．（2026·北京昌平·二模）设函数，给出下列四个结论： ①当时，恰有2个零点； ②存在正数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有2个零点； ④存在负数，使得恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是_________________ . 【答案】①③④ 【分析】对于①，将代入，求解即可；对于②，当时，令，当时，令，求导，根据零点存在定理即可求解；对于③，④，求零点转化为两个函数的交点问题求解即可. 【详解】对于①，当时，，当时，即， 解得或，即或，所以恰有2个零点，故①正确； 对于②，当时，，令，则， 由于，所以若，则，函数单调递增，若，则函数先减后增，但只有一个极小值点，， 当时，，因此在上必有且仅有一个零点，当时，， 则，而，所以在内至少还有一个零点，故当为正数时，至少有两个零点，故②错误； 对于③，当为负数时，，令，， 可转化为与，且恒过定点， 两个函数图象的交点问题，如图所示， 所以，存在负数，使得恰有2个零点，故③正确； 对于④，如图所示， 所以，存在负数，使得恰有3个零点，故④正确. 20．（2026·山西晋中·三模）已知函数的定义域为是偶函数，，则__________. 【答案】2 【分析】根据函数的对称性以及奇偶性求出函数的周期，再求解即可. 【详解】由是偶函数，可知是偶函数，则的图像关于直线对称. 由，可知的图象关于点对称，可得 故是的周期. 由，可得，，因此. 21．（2026·吉林长春·三模）已知函数及其导数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】根据函数奇偶性以及导函数性质可得，再求导并利用基本不等式可判断的单调性，解不等式可得结果. 【详解】由题意知，两边同时求导，即是奇函数， 又是偶函数， 则， 可得， 令， 可得， 易知，当且仅当时等号成立； 即函数在上单调递减，又是奇函数，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为函数是偶函数，则， 可知不等式等价于，即， 即，即可得，解得， 则不等式的解集是. 22．（2026·北京朝阳·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 【答案】①②④ 【分析】令，利用奇偶性的定义与图象的平移可判断①；令，因式分解可判断②；利用作差法比较数的大小可判断③，利用导数的意义与根的存在性定理可得，，，结合②，可得，同理判断，可判断④. 【详解】因为，所以令， 可得的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以关于原点对称， 又的图象向下平移个单位得到的图象， 所以曲线的图象关于点成中心对称图形；故①正确； 令 ，当时，， 所以当时，曲线在曲线的上方，故②正确； 因为， 所以 ， ， 所以 ， 当时，，此时，故③错误； 因为， 所以在上单调递增，又， 所以只有唯一零点，且，同理可得， 当时，，且，， 所以函数有唯一零点，且， 由②知当时，曲线在曲线的上方，故， 当时，令 ， 即曲线在曲线的下方，故， 所以，故④正确. 6 学科网（北京）股份有限公司 $