系统沉淀训练02 函数概念及其表示-2026届高三数学三轮冲刺

2026高考前45天 系统沉淀训练02函数概念及其表示（学生版） 主要考点：【1】函数的定义；【2】函数的定义域；【3】函数的值域；【4】函数的解析式；【5】相等函数；【6】函数的表示法；【7】分段函数. 一、单选题 1．（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 2．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 3．（2025·江苏·专题练习）已知，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26江西上饶·月考）取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（   ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 8．（25-26·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数的值域为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 10．（25-26广西玉林·开学考试）若函数的定义域为，值域为，则a的值可能为（    ）（注：x的取值范围叫做函数的定义域，函数值的取值范围叫做函数的值域） A．1 B．2 C．4 D．5 11．（25-26·浙江杭州·期中）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 三、填空题 12．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 13．（2025高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 14．（25-26·云南昆明·期末）设函数，则不等式的解集为________. 四、解答题 15．（23-24·广东深圳·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数，，，用表示、中的较小者，记为，求的解析式. 16．（25-26·宁夏固原·月考）已知函数，用表示中的较小者，记为. (1)在给定的坐标系中，画出函数的图象； (2)结合图象写出函数的解析式. 17.（24-25·湖北荆门·期中）设.    (1)用分段函数的形式表达； (2)在直角坐标系中画出的图象； (3)写出函数的值域． 18．（2026高三·全国·专题练习）如果规定表示不大于x的最大整数，试画出函数，的图象. 19．（24-25·福建厦门·期中）已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)将函数表达式改写为分段函数形式，并作出的图像； (3)当时，解不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考前45天 系统沉淀训练02函数概念及其表示（详解版） 主要考点：【1】函数的定义；【2】函数的定义域；【3】函数的值域；【4】函数的解析式；【5】相等函数；【6】函数的表示法；【7】分段函数. 一、单选题 1．（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【分析】由函数的概念，结合函数定义域的范围即可判断. 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 2．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 3．（2025·江苏·专题练习）已知，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】令，求出，代入解出即可. 【详解】， 且， 令，解得， 则. 故选：A. 4．（25-26·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的定义域可知不等式在上恒成立，令判别式小于解出的范围即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立， 所以，解得， 故选：A 5．（25-26山东·期中）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的定义域，再由抽象函数求定义域的法则列不等式，解不等式求的定义域． 【详解】函数的定义域为，即，则， 的定义域为， 需满足，解得且， 的定义域为，故C正确． 故选：C． 6．（25-26江西上饶·月考）取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知，从而得到函数的值域为. 【详解】根据取整函数的定义，对任意实数，有，可得； 故函数的值域为. 故选：A 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，，代入化简即可求解. 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 8．（25-26·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出时的值域，然后根据分段函数的值域把问题转化为当时，的值域与的并集为，分讨论即可. 【详解】当时，；所以要想使得的值域为， 只需满足当时，的值域与的并集为. ①当，即时，函数在上单调递增， 所以当时， ， 所以要想满足题意，则，解得 ，结合，可得. ②当，即时，函数在上为常数函数，不合题意； ③当，即时，函数在上单调递减， 所以当时，，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题 9．（25-26·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数的值域为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】BCD 【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则； 综上，． 故选：BCD 10．（25-26广西玉林·开学考试）若函数的定义域为，值域为，则a的值可能为（    ）（注：x的取值范围叫做函数的定义域，函数值的取值范围叫做函数的值域） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】BC 【分析】通过解方程，结合二次函数的图象进行求解即可. 【详解】令，或， 令，二次函数的对称轴为， 函数图象如下图所示： 要想函数的定义域为，值域为， 只需，选项BC符合， 故选：BC 11．（25-26·浙江杭州·期中）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 三、填空题 12．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，解得，取交集得． 13．（2025高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 【答案】1 【分析】利用方程组思想求出的解析式，再结合基本不等式求最值. 【详解】由得， 解方程组得， 因为的定义域为，所以 等号成立时. 所以的最小值为1. 故答案为： 14．（25-26·云南昆明·期末）设函数，则不等式的解集为________. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，分和两种情况解不等式即可； 【详解】当时，，易知为单调递增函数，故，满足； 当时，，解得， 故不等式的解集为， 四、解答题 15．（23-24·广东深圳·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数，，，用表示、中的较小者，记为，求的解析式. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）令，则，可得出，，由此可得出的表达式，由此可得出函数的解析式； （2）分别解不等式、，结合可得出函数的解析式. 【详解】（1）设，则，则，所以，， 所以，，其中， 则． （2）由，即，即，解得， 由，即，即，解得或， 所以，. 16．（25-26·宁夏固原·月考）已知函数，用表示中的较小者，记为. (1)在给定的坐标系中，画出函数的图象； (2)结合图象写出函数的解析式. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）先画出，的图象，再根据函数的定义可得答案； （2）数形结合可得答案. 【详解】（1）由解得或， 画出的图象如下图所示，    而表示中的较小者，所以函数的图象如下图所示：    （2）由，解得或， 结合图象可得的解析式： . 17.（24-25·湖北荆门·期中）设.    (1)用分段函数的形式表达； (2)在直角坐标系中画出的图象； (3)写出函数的值域． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）分、两种情况化简函数的解析式，即可得解； （2）根据函数的解析式可作出函数的图象； （3）根据函数的图象可写出函数的值域. 【详解】（1）当时，， 当时，． 所以，. （2）函数的图象如图所示：（注意端点处的开闭）    （3）由（1）（2）知，函数的最小值为； 当时，函数取得最大值，最大值为， 所以，在上的值域为 18．（2026高三·全国·专题练习）如果规定表示不大于x的最大整数，试画出函数，的图象. 【答案】图象见解析 【分析】根据题意，分类讨论，求得函数的解析式，集合一次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由题意知，表示不大于x的最大整数， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 结合一次函数的图象与性质，可得函数，的图象，如图所示， 19．（24-25·福建厦门·期中）已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)将函数表达式改写为分段函数形式，并作出的图像； (3)当时，解不等式. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)，图像见解析 (3) 【分析】（1）根据奇偶性的定义进行判断和证明. （2）根据绝对值的知识进行化简，进而画出图像. （3）根据一元二次不等式的解法来求得正确答案. 【详解】（1）的定义域是，关于原点对称. 因为， 所以是奇函数. （2）. 的图像如图所示. （3）当时，， 因此，由可得，即 即，解得. 所以，当时，解不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $