系统沉淀训练07导数的应用-2026届高三数学三轮冲刺

2026高考前45天 系统沉淀训练07导数的应用 适用范围：全国Ⅰ卷 目前成绩75--125 主要考点：【1】利用导数研究函数的单调性；【2】利用导数研究函数的极值；【3】利用导数研究函数的最值；【4】利用导数研究函数的零点问题；【5】利用导数比较大小；【6】利用导数的应用求参数问题. 重点题目：1-19 一、单选题 1．（2026·河北承德·一模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南焦作·一模）已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建漳州·二模）已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2026·湖北·模拟预测）已知定义在上的奇函数存在2个极值点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·福建泉州·一模）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（    ） A． B． C．存在极值点 D．有且只有一个零点 6．（2026·河北·一模）已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江嘉兴·二模）已知正实数a，b满足，则为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·山东济宁·一模）已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 9．（25-26高三下·安徽·月考）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2026·山东枣庄·二模）已知函数，则（    ） A．是的极小值点 B．有三个不同零点 C．当时， D．当时， 12．（25-26高三上·湖南·月考）已知函数的定义域为，其导数满足，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三下·安徽马鞍山·月考）已知可导函数的导函数为，则（　　） A．有2个极值点 B．有3个零点 C．只可能在或者时取得最小值 D．对恒成立 三、填空题 14．（2026·山东潍坊·一模）若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 15．（2026·福建龙岩·一模）已知，对任意，关于的方程有实数解，则的最小值为______. 16．（2023高三·全国·专题练习）若函数为增函数，则的单调递增区间为______ 17．（2025高三上·安徽六安·专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为 ________． 18．（24-25高三·全国·二轮复习）已知，，，则、、的大小关系是_________． 四、解答题 19．（2026·江苏·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考前45天 系统沉淀训练07导数的应用 适用范围：全国Ⅰ卷 目前成绩75--125 主要考点：【1】利用导数研究函数的单调性；【2】利用导数研究函数的极值；【3】利用导数研究函数的最值；【4】利用导数研究函数的零点问题；【5】利用导数比较大小；【6】利用导数的应用求参数问题. 重点题目：1-19 一、单选题 1．（2026·河北承德·一模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析各选项中函数的奇偶性、函数值符号、单调性，结合图象分析可得答案. 【详解】对于A选项，当时，，与题中函数图象不符，故A错误； 对于B选项，， 所以函数为上的增函数，与题中函数图象不符，故B错误； 对于C选项，设，该函数的定义域为， ，故函数为偶函数，与题干中函数图象不符，故C错误； 对于D选项，设，该函数的定义域为， ，所以函数为奇函数， 当时，，， 由，可得；由，可得或， 所以函数的单调递减区间为、，单调递增区间为， 与题中函数图象相符，故D正确. 2．（2026·河南焦作·一模）已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】时，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，时，，故， 当时，单调递增，且， 画出的图象如下： 方程恰有2个实根，即与有2个交点， 则，则实数的取值范围是. 3．（2026·福建漳州·二模）已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意得：， 又是的一个极值点，所以，所以， 所以，所以. 4．（2026·湖北·模拟预测）已知定义在上的奇函数存在2个极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由，对比展开式系数，得，，直接排除A、C、D；再由有2个极值点，得导函数有两个不同零点，由判别式得，判断B正确. 【详解】定义域为的奇函数满足对任意恒成立， 所以， 则，，即 . 对于A选项：由得，不确定，故不一定为1，A错误； 对于B选项： 化简得（），求导得， 若有2个极值点，则有两个不相等实根，二次方程判别式，即，B正确； 对于C选项：已得，若，则，，为一次函数，不存在2个极值点，C错误； 对于D选项：由前分析知，D错误； 5．（2026·福建泉州·一模）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（    ） A． B． C．存在极值点 D．有且只有一个零点 【答案】D 【分析】构造函数，通过分析的单调性进而得到函数的正负，然后逐项分析即得. 【详解】，即，故函数为奇函数， 设，则， 由题意，当时，， 在上单调递增， 又为偶函数，故为奇函数， 在上单调递增，图象连续不断且， 在上单调递增， 当时，，；同理当时，， 对于A，，，，故A错误. 对于B，当时，，则，故B错误. 对于C，由于函数的单调性未知，故该选项不确定，故C错误. 对于D，当时，，当时，，且，有且只有一个零点，故D正确. 6．（2026·河北·一模）已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式转化为，以此构造函数，由题意得，参变分离后可得，由导数计算的最小值即可求解. 【详解】由题意得，即， 设，则在上单调递增， 即上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以. 7．（2026·浙江嘉兴·二模）已知正实数a，b满足，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，分别求出这两个函数值域，可知有且仅有一种情况使得，求出的值计算求和即可 【详解】等式左边：设，求导得， 时，在单调递减，时，在单调递增， 因此的最小值为，所以， 等式右边：设，求导得， 时，，在单调递增，时，，在单调递减， 因此的最大值为，所以， 又，因此仅当时等式成立，即 ，， 故. 8．（2026·山东济宁·一模）已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】求导得的解析式，根据基本不等式，可得的值域及的单调性，根据条件可得与的值域的关系，结合二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意，定义域为R， 因为恒成立，所以， 当且仅当，即时取等号， 则的值域为，且在R上单调递增， 由，得， 因为，使得， 所以，即， 令，则，解得或（舍）， 所以，解得， 则实数的最小值为. 9．（25-26高三下·安徽·月考）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】适当构造函数，根据函数单调性比较大小即可. 【详解】构造函数，求导得， 当时，单调递增，因此，即. 令，得，即. ，对同时取次方得 ， . 因为幂函数在单调递增，，，故. 综上. 10．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造且，并应用导数得到，结合即可得. 【详解】令且，则， 所以在上单调递减，则， 即， 由于， 且， 所以， 所以. 二、多选题 11．（2026·山东枣庄·二模）已知函数，则（    ） A．是的极小值点 B．有三个不同零点 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】根据导数求函数极小值点判断A，分解因式求函数零点判断B，根据单调性判断C，换元后利用单调性求值域判断D. 【详解】因为， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A正确； 因为，所以函数只有两个零点，故B错误； 因为当时，，单调递减，且，所以，故C正确； 当时，令，由A选项知在上递减，在上递增， 所以，又， 所以，所以，故D正确. 12．（25-26高三上·湖南·月考）已知函数的定义域为，其导数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】构造辅助函数，求导判断单调性，然后逐项判断即可. 【详解】构造辅助函数，求导得， 因为，所以， 所以在上单调递增. 所以，所以，即，所以A正确； 根据单调性有，所以，即，所以B错误； 因为，所以， 则有，即，所以C正确； 根据单调性有，，即，所以D错误. 故选：AC. 13．（25-26高三下·安徽马鞍山·月考）已知可导函数的导函数为，则（　　） A．有2个极值点 B．有3个零点 C．只可能在或者时取得最小值 D．对恒成立 【答案】ACD 【分析】由导函数的解析式可得其奇偶性，构造函数求导可得新函数的单调性，从而可得导函数的零点，进而可得原函数的单调性，由此可得答案. 【详解】由，易知为奇函数，令， 当时，，，故在上单调递增， ，显然函数在上存在唯一零点，易知函数在上存在唯一零点， 由在区间上，，在上，， 故在上单调递减，在上单调递增， 同理可得在上单调递减，在上单调递增， 由，则易知定义域为， 所以可导函数的定义域为， 所以函数存在2个极值点：， 因为在(0,+∞)上有唯一零点且为奇函数，所以有且仅有两个零点， 故A正确，B错误，C正确，D正确． 三、填空题 14．（2026·山东潍坊·一模）若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可. 【详解】函数的定义域为， ， 函数在有两个极值， 在有两个不相等的实数根， 即在有两个不相等的实数根， 令，对称轴为， 要使在有两个不相等的实数根， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 15．（2026·福建龙岩·一模）已知，对任意，关于的方程有实数解，则的最小值为______. 【答案】 【详解】由题意，该方程有解，故， 该不等式对任意恒成立，即， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 即的最小值为. 16．（2023高三·全国·专题练习）若函数为增函数，则的单调递增区间为______ 【答案】 【分析】由恒成立可得，对求导，根据及基本不等式即可求解. 【详解】由题可得恒成立，又，所以． 对于函数，其定义域为，有， 又，当且仅当时取等号，由得，则， 故的单调递增区间为. 故答案为:. 17．（2025高三上·安徽六安·专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为 ________． 【答案】 【分析】构造函数由其单调性可比较大小，再通过对数的范围，即可求解. 【详解】令， 则，当时，， 即在单调递减， 则，即， 即， 即，即， 又， 所以， 故答案为： 18．（24-25高三·全国·二轮复习）已知，，，则、、的大小关系是_________． 【答案】 【分析】令，，利用导数分析该函数在上的单调性，可得出、的大小关系；利用作差法结合辅助角公式可得出、的大小关系，可判断、的大小关系.即可得出结论. 【详解】令函数，， 则由余弦函数性质得恒成立， 故函数在定义域上是增函数， 所以当时，，则， 于是，即；当时，， 则， 所以，而， 于是，即．综上可得． 故答案为： 四、解答题 19．（2026·江苏·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2； (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先进行参数分离，再转化为与图象交点的个数可得； （3）分两种情况讨论：当时，用导数可判断的单调性可得；当时，先证，进而再用导数证明，从而可证明不等式. 【详解】（1）当时，． 所以曲线在处的切线方程为，即． 曲线在处的切线方程为. （2）解法一：因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. 解法二：因为， 设， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，的极小值为． ①当，即时，恒成立，此时的零点个数为0． ②当，即时，的零点个数为1． ③当，即时，的极小值， 令，所以单调递减， 所以，即， 有， 所以， 所以在区间和上各有一个零点，即的零点个数为2． 综上，时，的零点个数为时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． （3）①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以. ②当时，令，所以单调递增， 所以，即. 又因为， 令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以． 所以，即． 综上可得，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $