江苏苏州市2025-2026学年高一下学期数学期中模拟卷1

江苏省苏州市高一数学 2025-2026学年第2学期期中模拟卷1 一、选择题 1. 若复数满足，则的虚部是（ ） A.3 B. C. D. 2. 已知单位向量的夹角为，则=（ ） A. 1 B. C. D. 3 3. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（ ） A. 8 B. C. 8或 D. 6 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6. 下列命题正确的是（ ） A. B. 若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C. 在中，是为锐角三角形的充要条件 D. 在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 7. 在中，内角A，B，C，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若且，则 D. 若点为的重心，则 10. ，是复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是纯虚数 B. 若，则 C. 若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 D. 若，则 11.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. 在上是减函数 B. 由可得是的整数倍 C. 是奇函数 D. 函数在区间上有个零点 三、填空题 12.已知空间向量，满足，，且，的夹角为，若，则实数等于______. 13. 中，若，则__________． 14. 已知的外接圆半径为1，则的最大值为__________． 四、解答题 15. （1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z； （2）已知复数为纯虚数，求实数m的值. 16. 已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： （1）若，则点P是线段AB的中点； （2）是A、B、P三点共线的充要条件. 17. 已知函数图象相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递减区间. 18. 如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记． （1）若，求的面积； （2）若，求的面积的取值范围． 19.对于函数，，任意，，且，，，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为上的“完美三角形函数”． （1）设，，若函数是上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围 （2）在满足且的条件下，令函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 高一数学 2025-2026学年第2学期期中模拟卷1 一、选择题 1. 若复数满足，则的虚部是（ ） A.3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数及复数的概念判断即可. 【详解】因为，所以，所以的虚部是. 故选：A 2. 已知单位向量的夹角为，则=（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件及数量积的运算律即可得解. 【详解】由已知有，. 故. 故选：C. 3. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（ ） A. 8 B. C. 8或 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由向量数量积定义可求得，根据同角三角函数关系可得，代入定义式即可求得结果. 【详解】，， 又，， . 故选：A. 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理， 所以，， 则. 故选：C 5. 在中，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和两角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解. 【详解】因为， 由可得：， 即， 所以， 所以， 所以或， 因为，， 所以或， 所以的形状为等腰三角形或直角三角形， 故选：D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. B. 若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C. 在中，是为锐角三角形的充要条件 D. 在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量减法法则判断A，根据向量的定义判断B，根据数量积的定义判断C，根据单位向量及向量加法的平行四边形法则判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量， 故把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为，故B错误； 对于C：由，即，即， 又，所以为锐角，不能得到为锐角三角形，故充分性不成立， 故C错误； 对于D：由，可得 又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，又菱形的对角线平分一组对角， 故点在的平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：D 7. 在中，内角A，B，C，.若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果. 【详解】在中，， 记，则.因为，所以，从而， 所以可化为， 即，恒成立，所以依题有， 化简得，即得恒成立，又由，得或. 故选：A． 8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算将用、用分别含，的两种形式表示出来，再由平面向量基本定理建立方程，求出，即可求得． 【详解】因为在上，为的中点， 设， 因为，，三点共线，所以， 因为、不共线， 所以，解得， 所以． 故选：B． 二、多选题 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若且，则 D. 若点为的重心，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由向量共线定理可判断选项A；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B；由数量积的运算性质可判断选项C；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D. 【详解】对于选项A：由向量共线定理知选项A正确； 对于选项B：，若与的夹角为锐角，则 解得，当与共线时，，解得：，此时，，此时夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故选项B不正确； 对于选项C：若，则，因为，则或与垂直， 故选项C不正确； 对于选项D：若点G为的重心，延长与交于，则为的中点，所以，所以，故选项D正确. 故选：AD 10. ，是复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是纯虚数 B. 若，则 C. 若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据复数的乘方结合复数的相关概念分析判断；对于C：根据共轭复数的概念结合复数的几何意义分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】设，， 对于选项A：若，则，可得或， 当时，，则； 当时，，不符合题意； 综上所述：，， 所以是纯虚数，故A正确； 对于选项B：例如，则，符合题意， 但，故B错误； 对于选项C：若，则，可得，， 可知在复平面内对应的点的坐标为，即， 且在复平面内对应的点的坐标为， 所以，在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确； 对于选项D：若，， 则，，满足， 但、的大小无法比较，故D错误． 故选：AC． 11. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则（ ） A. 在上是减函数 B. 由可得是的整数倍 C. 是奇函数 D. 函数在区间上有个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，确定的取值范围，根据正弦函数的单调性即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，根据三角函数的图象的平移变换确定的解析式，再判断奇偶性即可；对于D，求出函数在一个周期内的零点个数，即可判断. 【详解】由题意知， 对于A.当时，， 因为在上单调递减， 所以在上是减函数，A正确 对于B.当，时，，但不是的整数倍，B错误 对于C.由题意，得，故奇函数，C正确 对于D.由，可得. 当时，， 令或，则或， 因此在上有两个零点，而含有个周期， 因此在区间上有个零点，D错误. 故选：AC. 三、填空题 12.已知空间向量，满足，，且，的夹角为，若，则实数等于______. 【答案】 【解析】 【分析】运用平面向量数量积乘法分配律计算. 【详解】依题意有，即， 由条件知， ，； 故答案为： . 13. 中，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据结合两角差的正弦公式与同角三角函数关系求解即可. 【详解】中，若，则，则. 故 . 故答案为： 14. 已知的外接圆半径为1，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，设的外接圆圆心为，化简可得，进而可得当反向共线且时取最大值即可. 【详解】取中点，设的外接圆圆心为，则， 又，故. ，当且仅当反向共线时取等号. 又，当且仅当时取等号. 即的最大值为. 故答案为： 四、解答题 15.（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z； （2）已知复数为纯虚数，求实数m的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据模长公式以及复数的加法运算，结合对应的象限得出z； （2）根据复数的四则运算以及纯虚数的定义得出m的值. 【详解】解：（1）设，由题意每， 解得，， ∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴，∴. （2） ， 由题意得，解得 16. 已知向量，不共线，点P满足，x，.证明： （1）若，则点P是线段AB的中点； （2）是A、B、P三点共线的充要条件. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 分析】（1）结合已知，由平面向量线性运算可得，即可证明； （2）根据平面向量的线性运算可证充分性，由共线向量定理和向量的线性运算计算可证必要性，即可证明. 【小问1详解】 因为的，所以，即， 所以，所以，所以P是线段AB的中点. 【小问2详解】 充分性： 若，则，所以， 所以，所以， 所以A、B、P三点共线； 必要性： 因为A、B、P三点共线，所以存在实数x满足：， 所以，即， 所以，所以 综上所述，是A、B、P三点共线的充要条件. 17. 已知函数图象相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递减区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简即可求解； （2）根据函数图象的平移和变换公式得到，再利用正弦函数的图象及性质求解即可. 【小问1详解】 由， 整理得：， 由于相邻两对称轴间的距离为， 故函数的最小正周期为π，故． 所以； 【小问2详解】 由题意，将函数的图象向左平移个单位长度， 可得的图象， 再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）， 得到函数， 令，， 即，， 所以的单调递减区间为，. 18. 如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记． （1）若，求的面积； （2）若，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理与勾股定理可得，再根据三角形面积公式求解即可； （2）设，由余弦定理可得，再根据正弦定理可得，进而可得，再结合求解即可. 【小问1详解】 在中由余弦定理， 故，则，所以. 又等边三角形，故，且， 故. 【小问2详解】 不妨设，在中，由余弦定理 ， . 在中，由正弦定理，即，所以. 故 ， 又，所以，所以， 即的面积的取值范围为. 19. 对于函数，，任意，，且，，，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为上的“完美三角形函数”． （1）设，，若函数是上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围 （2）在满足且的条件下，令函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)用数量积公式求出g(x)的解析式，由辅助角公式化简，分类讨论求出范围. (2)将h(x)展开并换元，由已知条件转化为求最值. 【小问1详解】 因， 所以， 因为，所以， 当时，，由题意，得，解得； 当时，，由题意，得，解得； 当时，，满足题目要求 综上可得 所以实数k的取值范围为 【小问2详解】 ， 令，则． 故 因为任意的，总存在，使得成立， 所以 所以，即，所以 故实数的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $