精品解析：重庆市大足区2022-2023学年九年级下学期期末质量监测数学试题

2022～2023学年度下期期末测试题 九年级数学试题卷 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：8页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5MM签字笔． 4．答题前，务必将自己的姓名、监测号填写在答题卡规定的位置上． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的基本定义，根据定义直接得出结果即可． 【详解】解：根据相反数定义，只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数为， 的相反数是． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 3. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用平行线的性质可得，再根据对顶角的性质即可求得的度数， 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∴． 4. 如图，与位似，点为位似中心，，，则的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质列出比例式，代入已知数据计算即可． 【详解】解：， ， 与位似， ，， ，， ，即， 解得． 5. 估计的值应在（） A. 6和7之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 3和4之间 【答案】C 【解析】 【分析】先找到与15相邻的两个完全平方数，得到的取值范围，再通过不等式性质得到的范围，即可确定答案． 【详解】解：∵，，且 ∴，即 不等式三边同时加1，得 ∴的值在4和5之间． 6. 将边长相同的黑白小正方形按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有1个小正方形，第②个图案中共有4个小正方形，第③个图案中共有9个小正方形，…，按此规律拼下去，则第⑧个图案中小正方形的个数共有（ ） A. 36个 B. 42个 C. 49个 D. 64个 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到小正方形的个数是序号的平方，进而求解即可． 【详解】解：∵第①个图案中小正方形的个数为； 第②个图案中小正方形的个数为； 第③个图案中小正方形的个数为； …… ∴第⑧个图形的小正方形的个数． 7. 某星期日上午10：00，小丰从家匀速步行到附近的咖啡店看书，看完书后，他匀速跑步回家，且跑步的速度是步行速度的2倍，小丰离家的距离y（千米）与所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 小丰在咖啡店看书的时间是40分钟 B. 小丰家与咖啡店的距离为2千米 C. 小丰的步行速度是4千米小时 D. 小丰返回家的时刻是上午11：20 【答案】D 【解析】 【分析】从图像中提取所需信息并运用行程问题解答即可． 【详解】解：由图像可知，小丰在咖啡店看书的时间是分钟，故选项A不符合题意； 由图像可知小丰家与咖啡店的距离为2千米，故B选项不符合题意； 小丰的步行速度是千米/小时，故C选项不符合题意； ∵跑步的速度是步行速度的2倍， ∴从咖啡店回家用的时间为15分钟， ∴从出家门到回到家用了70＋15＝85分钟， ∴小丰返回家的时刻是上午11：25，故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数图像，会正确识图并找到相关信息是解题的关键． 8. 如图，已知、是的切线，、为切点，是的直径，连接，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】接，根据、是的切线，可得，再根据与四边形内角和即可得到，最后根据圆周角定理即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵、是的切线， ∴， ∵，四边形内角和， ∴， ∴． 9. 被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：”今有只雀、只燕，分别将它们放在天平两侧，只雀比只燕重，将只雀、只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕总重量为斤．问雀、燕只各重多少斤？”若设每只雀、燕的重量分别为斤，斤，则根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设每只雀、燕的重量分别为斤，斤，五只雀和六只燕，共总1斤，将只雀、只燕交换位置而放，重量相等，列出方程求解即可． 【详解】解：设每只雀、燕的重量分别为斤，斤 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的实际应用，读懂题目意思，正确的列出方程是解题的关键． 10. 已知正整数、、、满足，且，关于这个四元二次方程下列说法正确的个数是（ ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②连续的四个奇数一定是该四元方程的解； ③若，则该四元方程有10组解； ④若，则该四元方程有504组解． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】①将，，，代入方程进行判断即可；②取特殊值，，，，，代入方程进行判断即可；③将方程化为，根据正整数、、、满足，得到当时，恒成立，再根据，得到当时，有10组解，再根据也是方程的一组解，判断③；根据当，，推出，进而推出总共有502组解，结合也是方程的一组解，判断④即可． 【详解】解：当，，，时， 方程左边， 方程右边， 方程左右两边相等，故，，，是该四元方程的一组解；故①正确； 当，，，时， 方程左边， 方程右边， 方程左右两边不相等，故，，，不是该四元方程的一组解，即四个连续的奇数不一定是该四元方程的一组解；故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正整数、、、满足， ∴，， ∴， 又∵， ∴当，即时，恒成立，满足题意， ∵， ∴当时，或或或，共4组解； 当时， 或或，共3组解； 当时，或，共2组解； 当时，，共1组解； 此时共有组解； 又∵当时，此时， 方程左边等于右边，故也是方程的一组解，故③错误； 由③可知：当时， ∵， ∴， ∴， ∵是正整数，且， ∴当时，； 当时，， 当时，； 总共有502组解； 又∵不满足已知条件，故④错误； 综上，正确的只有①． 二．填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】首先化简绝对值、计算特殊角的三角函数值，再进行乘法运算，然后相加减即可． 【详解】解：． 12. 若是关于的方程的解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入方程， 得：，即， 则， 13. 不透明的布袋中装有除颜色外其他均相同的个红球，个黑球．搅匀后从布袋中随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】通过列举法列出所有等可能的结果，找出满足两次摸出都是红球的结果数，再根据概率公式计算概率. 【详解】解：设个红球分别为红，红，黑球记为黑， 放回摸球两次，所有等可能结果如下： (红，红)，(红，红)，(红，黑)； (红，红)，(红，红)，(红，黑)； (黑，红)，(黑，红)，(黑，黑)； 共有种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有种， ∴两次摸出的球都是红球的概率为. 14. 如图，半圆的直径，、是半圆的3等分点，则阴影部分面积等于______．（保留） 【答案】 【解析】 【分析】连接，由知，从而可得，根据C、D是半圆的3等分点且知，利用扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， 则， ∵C、D是半圆的3等分点，且， ∴， 则． 15. 如图，直线与轴、轴分别相交于点、两点，将线段绕点逆时针方向旋转，点恰好落在反比例函数在第二象限图象上的点．则______． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于点，证明，进而求出点的坐标，进而求出值即可. 【详解】解：∵直线与轴、轴分别相交于点、两点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 作轴于点，则， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴. 16. 若数使得关于的不等式组的解集有且只有一个整数解，且使关于的分式方程的解为负整数，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组的解集以及整数解的个数，确定的取值范围，再根据分式方程的根和增根进一步确定的取值范围，再求出符合条件的整数的和即可． 【详解】解：， 由，解得， 由，解得， ∴， 根据解集有且只有一个整数解， ∴， ∴， ∴， 又∵关于的分式方程的解为且， ∴， 解得：， ∵解为负整数， ∴须为负数且是的倍数， ∴在范围中，的取值可能为，，， 当时，，不符题意，舍去； ∴，成立， 符合条件的所有整数的和为． 17. 如图，在中，，，在上，在上，，关于直线的对称点分别是，，若在上，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性，结合已知条件得到，推出，作于点，易得为等腰直角三角形，求出的长，含30度角的直角三角形的性质求出的长，再根据含30度的直角三角形的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 18. 若一个四位正整数的千位与十位相同，百位与个位相同，我们称这个四位数为“和谐数”．将“和谐数”的千位、百位上的数字交换，十位、个位也交换，得到一个新数，记．例如，，则．已知两个“和谐数”，，其中，（其中，，，且，，，都为整数）．若能被13整除，且，则满足条件的“和谐数”的最大值＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据“和谐数”能被13整除，进而判断出，从而求出，再根据，得出，进而求出，，即可得出结论． 【详解】解：“和谐数”， ∴， ， 能被13整除， 是13的倍数， ， ， ， ，或，，或，， “和谐数” 为4949，或5858或6767， ， 同理：， ， ， ， ， ∵，，且，都为整数， 当时，， 当时，， 当时，，（不符题意，舍去） 为2828或， ∴满足条件的“和谐数”的最大值＝． 三．解答题：（本大题8个小题，第19小题8分，第20~26小题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式，单项式乘多项式计算，再合并同类项即可； （2）根据分式的混合运算法则计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在中，平分．作的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，．求证：四边形是菱形． （1）用尺规在答题卷上完成作图，并标上字母，保留作图痕迹，不写作法； （2）下面是证明过程，请按序号在答题卷上将题中横线处补充完整． 证明：平分 ① 又垂直平分 ，② ， ③ 在和中， ⑤ ⑥ 四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）利用线段垂直平分线的性质得到，，证明，推出，即可得到结论． 【小问1详解】 解：图形如图所示， 【小问2详解】 证明：平分， ①， 又垂直平分， ，②， ③， 在和中， ， ， ⑤， ， 四边形是菱形． 21. 某学校调查九年级学生对在2023年3月5日在北京召开的“第十四届全国人民代表大会第一次会议”知识的了解情况，从九年级两班各随机抽取了10名学生进行测试，两个班学生的成绩（百分制．测试成绩整理、描述和分析如下： （成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．） 九年级（1）班10名学生的成绩是：，，，，，，，，，． 九年级（2）班10名学生的成绩在组中的数据是：，，． 通过数据分析，列表如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 92 45 九年级（2）班 92 94 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述、、的值： ______，______，______； （2）这次测试中，哪班成绩更平衡，更稳定，根据表格中数据，说明理由？ （3）我校九年级（2）班共50人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（）的九年级（2）班学生人数是多少？ 【答案】（1）40，94，96 （2）九年级（1）班成绩更平衡，更稳定，理由见解析 （3）35人 【解析】 【分析】（1）将九年级（1）班10名学生的成绩按从小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义，即可求出和的值；由题意可知九年级（2）班C组有3人，即可求出其所占百分比，进一步求出组所占百分比即可求出a的值； （2）直接比较两个班级的方差即可； （3）求出样本中九年级（2）班成绩大于或等于90分的人数，再利用样本的百分比估计总体即可得到答案． 【小问1详解】 解：将九年级（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为： ，，，，，，，，，， ，． 九年级（2）班C组有3人， ∴扇形统计图中C组所占百分比为， ∴扇形统计图中D组所占百分比为， 即． 【小问2详解】 解：九年级（2）班成绩更平衡，更稳定，理由如下： ∵九年级（1）班的方差为45，九年级（2）班的方差为，且， ∴九年级（1）班成绩更平衡，更稳定； 【小问3详解】 解：九年级（2）班D组的人数为（人）， ∴九年级（2）班10名学生的成绩为优秀的有（人）， （人）． 答：估计参加此次调查活动成绩优秀（）的九年级（2）班学生人数约是35人． 22. 甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做5个，甲做120个所用的时间比乙做120个所用的时间多2个小时． （1）求甲、乙每小时各做多少个零件； （2）由于条件所限，甲乙二人不能同时工作，现要求二人在8小时内完成不少于140个机械零件，问乙至少需要工作几小时？ 【答案】（1） 甲每小时做15个零件，乙每小时做20个零件 （2） 乙至少需要工作4小时 【解析】 【分析】（1）设甲每小时做个零件，得到乙每小时做个，根据甲做120个零件的时间比乙多2小时列分式方程求解即可； （2）设乙工作小时，得到甲工作小时，根据总零件数不少于140个列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解： 设甲每小时做个零件，则乙每小时做个零件， 由题意得， 整理得， 解得，负数不符合题意，舍去， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴. 答：甲每小时做15个零件，乙每小时做20个零件； 【小问2详解】 解：设乙工作小时，则甲工作小时， 由题意得， 化简得， 解得， 答：乙至少需要工作4小时． 23. 2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号运载火箭发射升空，顺利将费俊龙、邓清明、张陆3位航天员送入太空．如图是模拟的火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；又过后火箭到达点，此时测得仰角为（参考数据：，，）． （1）求地面雷达站到发射处的水平距离． （2）求这枚火箭从到的平均速度是多少千米/秒？ 【答案】（1） （2）0.45千米/秒 【解析】 【分析】（1）根据题意，可知，然后在中，由求解即可； （2）分别在和中，由三角函数解得，的长度，进而解得的长度，然后计算这枚火箭从到的平均速度即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可知， 在中，； 【小问2详解】 解：根据题意，可知， 由（1）可知，， 在中，， 在中，， ∴， ∴这枚火箭从到的平均速度是(千米/秒)． 24. 如图1，中，，，点、分别是线段、边上的中点，将线段沿射线的方向平移得到线段，其中点的对应点是点，点的对应点是点，点抵达点时，线段停止运动，直线与的交点为点，已知长度为，的长度为． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）利用描点法画出此函数图象； （3）结合图象，写出函数的其中一条性质______； （4）若函数图象与有且只有一个交点，则的取值范围是______． 【答案】（1） （2）图见解析 （3）当时，随的增大而减小 （4） 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理得到，，利用平移得到，证明，列出比例式即可得解； （2）描点法画出函数图象即可； （3）结合图象写出一条性质即可； （4）分，和三种情况讨论进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵点D、E分别是线段、边上的中点， ∴，， ∵将线段沿射线的方向平移得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 当点抵达点B时，线段停止运动， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：列表如下： 4 5 6 7 8 6 4 3 画出函数图象，如图所示： 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； 【小问4详解】 解：∵，当时，； ∴的图象必过点； 当时，直线与函数图象没有交点，不符合题意； 当时，直线在之间时，与函数图象只有一个交点， 直线过点， ∴将代入得，， 解得：， ∴； 当时，如上图，可知，与函数图象有一个交点，符合题意； 综上：． 25. 如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点右侧），与轴相交于点．已知点坐标为，面积为6． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线向右平移1个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线对称轴上一点，点在新抛物线上，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点坐标的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或或，求解过程见解析 【解析】 【分析】（1）先根据面积为6，得出，进一步得出点坐标为，将抛物线的解析式设为交点式，代入即可解答； （2）先利用待定系数法，得出直线的解析式为，进一步得出为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，垂直的定义，平行线的性质和勾股定理，得出，根据当取得最大值时，的周长最大，设，，进一步得出，最后根据二次函数的性质，即可解答； （3）先由平移可得新抛物线的解析式为，再设，，要使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，需分情况讨论，结合平行四边形的性质，得出方程组，再解方程组即可解答． 【小问1详解】 解：， ． ， 即， ． 点坐标为，且点在点右侧， ，即点坐标为． 设抛物线的解析式为，， 将代入得，， 解得，， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， 直线的解析式为． ， 为等腰直角三角形， ． ， ． ， ， ， ， ，， ． 周长为， 当取得最大值时，的周长最大． 设，，， ， 当时，取得最大值，最大值为4， 此时，的周长为； 当时，， 故此时点的坐标为． 答：周长的最大值为，此时点的坐标． 【小问3详解】 解：原抛物线的解析式为， 其对称轴为直线； 由平移可得新抛物线的解析式为， 故设，， 要使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，需分情况讨论： 当为对角线时， 平行四边形的对角线互相平分， 和的中点重合， 可得方程组， 解得， ； 当为对角线时， 平行四边形的对角线互相平分， 和的中点重合， 可得方程组， 解得， ； 当为对角线时， 平行四边形的对角线互相平分， 和的中点重合， 可得方程组， 解得， ， 综上，或或． 26. 在中，，点为直线上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，，连接交于． （1）如图1，，为中点，若，，求的长； （2）如图2，延长至点使得，过点作交的延长线于点，若，，求证：； （3）如图3，当，时，连接、，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，求得，即可求得； （2）延长至点，使得，连接，，，证明，可得，，再证明，然后用勾股定理可求得； （3）取中点，，连接，过分别作，，由（1）可得，点的轨迹为直线，则当时，取得最小值，再解三角形求出相关线段长，得到面积即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 又由旋转可知， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 又， ， ； 【小问2详解】 证明：延长至点，使得，连接，，，如图2，    在和中， ， ， ，， ， ， 又，， 在和中， ， ， ， 在中，，， 在中，，， ， ； 【小问3详解】 解：取中点，连接，过分别作，如图3， 由（1）可得， ， 点的轨迹为直线， 当时，取得最小值， 为的中点，， ，， ，， ，， ，，， ， ， ， 又， ， ，， 即，解得， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022～2023学年度下期期末测试题 九年级数学试题卷 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：8页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5MM签字笔． 4．答题前，务必将自己的姓名、监测号填写在答题卡规定的位置上． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与位似，点为位似中心，，，则的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 5. 估计的值应在（） A. 6和7之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 3和4之间 6. 将边长相同的黑白小正方形按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有1个小正方形，第②个图案中共有4个小正方形，第③个图案中共有9个小正方形，…，按此规律拼下去，则第⑧个图案中小正方形的个数共有（ ） A. 36个 B. 42个 C. 49个 D. 64个 7. 某星期日上午10：00，小丰从家匀速步行到附近的咖啡店看书，看完书后，他匀速跑步回家，且跑步的速度是步行速度的2倍，小丰离家的距离y（千米）与所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 小丰在咖啡店看书的时间是40分钟 B. 小丰家与咖啡店的距离为2千米 C. 小丰的步行速度是4千米小时 D. 小丰返回家的时刻是上午11：20 8. 如图，已知、是的切线，、为切点，是的直径，连接，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：”今有只雀、只燕，分别将它们放在天平两侧，只雀比只燕重，将只雀、只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕总重量为斤．问雀、燕只各重多少斤？”若设每只雀、燕的重量分别为斤，斤，则根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 10. 已知正整数、、、满足，且，关于这个四元二次方程下列说法正确的个数是（ ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②连续的四个奇数一定是该四元方程的解； ③若，则该四元方程有10组解； ④若，则该四元方程有504组解． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 若是关于的方程的解，则的值为______． 13. 不透明的布袋中装有除颜色外其他均相同的个红球，个黑球．搅匀后从布袋中随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是______． 14. 如图，半圆的直径，、是半圆的3等分点，则阴影部分面积等于______．（保留） 15. 如图，直线与轴、轴分别相交于点、两点，将线段绕点逆时针方向旋转，点恰好落在反比例函数在第二象限图象上的点．则______． 16. 若数使得关于的不等式组的解集有且只有一个整数解，且使关于的分式方程的解为负整数，则符合条件的所有整数的和为______． 17. 如图，在中，，，在上，在上，，关于直线的对称点分别是，，若在上，，，则的长是______． 18. 若一个四位正整数的千位与十位相同，百位与个位相同，我们称这个四位数为“和谐数”．将“和谐数”的千位、百位上的数字交换，十位、个位也交换，得到一个新数，记．例如，，则．已知两个“和谐数”，，其中，（其中，，，且，，，都为整数）．若能被13整除，且，则满足条件的“和谐数”的最大值＝______． 三．解答题：（本大题8个小题，第19小题8分，第20~26小题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在中，平分．作的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，．求证：四边形是菱形． （1）用尺规在答题卷上完成作图，并标上字母，保留作图痕迹，不写作法； （2）下面是证明过程，请按序号在答题卷上将题中横线处补充完整． 证明：平分 ① 又垂直平分 ，② ， ③ 在和中， ⑤ ⑥ 四边形是菱形． 21. 某学校调查九年级学生对在2023年3月5日在北京召开的“第十四届全国人民代表大会第一次会议”知识的了解情况，从九年级两班各随机抽取了10名学生进行测试，两个班学生的成绩（百分制．测试成绩整理、描述和分析如下： （成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．） 九年级（1）班10名学生的成绩是：，，，，，，，，，． 九年级（2）班10名学生的成绩在组中的数据是：，，． 通过数据分析，列表如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 92 45 九年级（2）班 92 94 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述、、的值： ______，______，______； （2）这次测试中，哪班成绩更平衡，更稳定，根据表格中数据，说明理由？ （3）我校九年级（2）班共50人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（）的九年级（2）班学生人数是多少？ 22. 甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做5个，甲做120个所用的时间比乙做120个所用的时间多2个小时． （1）求甲、乙每小时各做多少个零件； （2）由于条件所限，甲乙二人不能同时工作，现要求二人在8小时内完成不少于140个机械零件，问乙至少需要工作几小时？ 23. 2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号运载火箭发射升空，顺利将费俊龙、邓清明、张陆3位航天员送入太空．如图是模拟的火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；又过后火箭到达点，此时测得仰角为（参考数据：，，）． （1）求地面雷达站到发射处的水平距离． （2）求这枚火箭从到的平均速度是多少千米/秒？ 24. 如图1，中，，，点、分别是线段、边上的中点，将线段沿射线的方向平移得到线段，其中点的对应点是点，点的对应点是点，点抵达点时，线段停止运动，直线与的交点为点，已知长度为，的长度为． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）利用描点法画出此函数图象； （3）结合图象，写出函数的其中一条性质______； （4）若函数图象与有且只有一个交点，则的取值范围是______． 25. 如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点右侧），与轴相交于点．已知点坐标为，面积为6． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线向右平移1个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线对称轴上一点，点在新抛物线上，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点坐标的过程． 26. 在中，，点为直线上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，，连接交于． （1）如图1，，为中点，若，，求的长； （2）如图2，延长至点使得，过点作交的延长线于点，若，，求证：； （3）如图3，当，时，连接、，当最小时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $