11.2二次根式的乘除（第1课时二次根式的乘法）（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年（新教材苏科版）数学八年级下册教学课件

八年级苏科版数学下册 第十一章 二次根式 11.2二次根式的乘除 第一课时 二次根式的乘法 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.理解二次根式乘法法则(a≥0,b≥0)，掌握积的算术平方根性质= (a≥0,b≥0). 2.能运用法则进行二次根式乘法计算，能逆用性质化简含完全平方因子的二次根式。 3.经历法则探究过程，提升运算与推理能力，能结合几何面积等实际问题应用法则。 问题 1：正方形的面积计算 已知一个正方形的边长为，根据正方形面积公式，请列出计算面积的数学表达式。 面积 S = 边长 × 边长 = × 问题 2：长方形的面积计算 已知一个长方形的长为，宽为，根据长方形面积公式，请列出计算面积的数学表达式。 面积 S = 长 × 宽 = × 观察上述两个表达式： × 和 ×。它们该如何进行计算？最终的结果又是多少呢？这就是我们本节课要重点探究的核心内容——二次根式的乘法。 A B C D 1．如图，小正方形的边长为1．矩形ABCD的面积是多少？ S矩形ABCD＝AB×BC＝×． S矩形ABCD＝ 4 ． ×＝4 问题 E F G H 2．画出矩形EFGH，使EF＝，FG＝．矩形EFGH的面积是多少？ S矩形EFGH＝EF×GF＝×． S矩形EFGH＝ 6 ． ×＝6 问题 1.填空 (1)= ，= ； (2) = ，= ； (3)= ， . 2.(a≥0，b≥0)成立吗？ 尝试 10 10 12 12 证明：当a≥0、b≥0时， 因为 ， 又因为 ，所以， ， 因为和都是非负数，所以 (a≥0，b≥0)． （a≥0，b≥0）． 二次根式乘法的性质： 特别地， 当a＝b，a≥0 时，． 归纳总结 适用条件 必须保证 且 ，根号下的数（被开方数）才有意义，否则法则不成立。 此法则可推广到多个二次根式相乘的情况， 例如。 教材P159 例题 计算： (1)×； (2)； (3) 。 (1)×； (2)14=28； (3) == 把=(a≥0,b≥0)反过来，可得(a≥0,b≥0). 利用这个式子可以化简一些二次根式 ● 例1 解 教材P160 例题 计算： (1)； (2)； (3) 。 (1) ； (2)； (3) a≥0，b≥0时， ● 例2 解 化简二次根式的结果中，被开方数一般不含能开得尽方的因数或因式 方法技巧 1.基本乘法法则 公式:= (a≥0,b≥0) 要点:两个二次根式相乘，根指数保持不变，只需将被开方数直接相乘。 2.化简逆用法则 公式：= (a≥0,b≥0)公式: 要点:将乘积形式的被开方数拆分，把能开得尽方的因数移到根号外面。 3.含系数的乘法运算 公式: m= mn 要点:"系数x系数”作为新系数，“根式x根式”遵循基本法则，最后合并。 4.根式化简三步走 1.分解因数:拆成"最大完全平方数x非完全平方数”;2.逆用法则拆分:将完全平方数部分单独开方; 3.开方移项:将完全平方数开方后移至根号外，保留非完全平方数在根号内 计算:（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解：（1） . （2） . （4） . （3） == 变式训练 1. 核心策略：先化简，后运算 在进行乘法运算前，尽量将每个根式化为最简二次根式。此举能有效简化数字规模，为后续的合并同类项和精确计算铺平道路。 2. 技巧一：活用乘法公式 敏锐观察二项式相乘的结构特征，灵活套用“平方差公式”和“完全平方公式”往往能直接消去根号或大幅简化中间运算步骤。 3. 技巧二：系数与根式分离 统一将根式写成“系数×最简根式”的标准形式。将有理数系数和无理数根式部分分开计算，最后再合并结果，条理清晰且不易出错。 讨论 如何计算(a≥0,b≥0)? 教材P160 练习 课内练习 1.计算 (1)； (2) ； (3) (4) 解：(1)=； (2) = ； (3) (4)= 2.化简 (1)(2)； (3)； (4)（x≥0，x+y≥0） 解：(1)= (2)= =； (3)= ； (4)= 3.计算 (1) (2)(-) 解：(1)=2 (2)(-)=- 基础巩固题 知识点1 1.【2024江苏泰州高港区期中】下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】A选项， ，故此选项运算错误，不符合题意；B选项， ，故此选项运算错误，不符合题意；C选项， ，故 此选项运算错误，不符合题意；D选项， ，故此选项运算正确，符合 题意. 2.【2025山西大同质检】化简 的结果为( ) D A. B. C. D. 【解析】 ，故选D. 知识点2 3.若，则 的取值范围是______. 【解析】若，则且，解得 . 19 易错点 忽视二次根式的隐含条件致使化简出错 4.阅读以下解题过程并回答问题： 化简： . 解： . 以上解题过程正确吗？若不正确，请改正. 【解】不正确.正确的解题过程如下： . 易错警示 在进行有关积的算术平方根或商的算术平方根的计算时，要注意原根式有意义不 代表被开方数中每个因数或因式都是非负数. 20 能力提升题 ±3 22 　【思维拓展】 (2)我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC三边的长分别为，2 ， ，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为1)画出相应的△ABC，则它的面积是________； (1)△ABC的面积为________； 3.5 8.【问题背景】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为， ， ，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长均为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示．这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积. 3 解：如图①，△ABC即为所求．(画法不唯一) 8.【问题背景】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为， ， ，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长均为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示．这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积. 核心知识点回顾 一个核心法则 二次根式乘法法则 = 及其逆用公式。 两种基本运算 掌握二次根式的乘法运算与化简运算两大核心技能。 三个关键技巧 ①先化简后运算 ②巧用乘法公式 ③注意系数分离。 数学思想方法提炼 类比思想 利用整式运算的经验，通过“类比”探索根式运算规律。 转化思想 将陌生的“二次根式运算”转化为熟悉的“整式运算”来解决。 优化思想 在多种解法中，优先选择“先化简再计算”的最优解题路径。 课堂小结 教科书第160页练习 第1,2,3题 布置作业 5.(1)化简：·(x＞0，y＜0)＝________； (2)已知xy＜0，则＝________. －10xy　 －x 6.在实数a，3，中，一个数的平方等于另外两个数的积，那么符合条件的a的整数值是________. 原式＝x＝10x. 7.计算： (1)－×；　 (2)x··(y≥0，z≥0)． 解：原式＝－×＝－×× ＝－×4×6＝－24. 解：∵2＝m2＋16n2＝m2＋(4n)2，∴可以看作是两直角边的长 分别为m和4n的直角三角形的斜边长．同理：可以看作是两直角边的长分别是 3m和2n的直角三角形的斜边长；2可以看作是两直角边的长分别是2m和2n的直角三角形的斜边长．于是可以构造出格点△ABC如图②所示(每个小长方形的长为n，宽为m)． ∴S△ABC＝3m·4n－m·4n－×3m·2n－×2m·2n＝5mn. 　【探索创新】 (3)若△ABC三边的长分别为，，2(m＞0，n＞0，且m≠n)，试运用构图法求这个三角形的面积(用含m，n的式子表示)． $