11.2 二次根式的乘除（第1课时 二次根式的乘法）（教学设计）数学新教材苏科版八年级下册

11.2 二次根式的乘除 第1课时 教学设计 1.教学内容 节选自苏科版第十一章11.2二次根式的乘除──第1课时“二次根式的乘法”。主要围绕二次根式乘法基本性质；性质的逆用与推广；利用性质进行运算、化简及与几何面积的联系。 2.内容解析 本节在学生已掌握“算术平方根”概念与 性质的基础上，引入二次根式乘法。先借助“方格求面积”情境，直观展示 ，由数形结合感知两个根式相乘仍得整数，为性质奠基。随后通过填空与代数证明，建立 的普适性。教学重心放在“把被开方数的积并入一个根号内”与“把能开得尽方因数提出根号外”两种方向的灵活转化，从而完成“计算”与“化简”双重任务。典型例题覆盖：①纯根式乘法；②含系数、含字母乘法；③逆用性质化简；④综合几何应用。通过递进练习与探究，帮助学生体会“系数相乘、被开方数相乘”的规律，形成进一步学习二次根式除法、配方法及根式方程的知识链条。 1.教学目标 •了解二次根式乘法的性质，并能运用该性质进行计算，提升运算能力。 •能逆用二次根式乘法的性质化简二次根式。 2.目标解析 •能准确叙述并书写 ； • 计算如 、 等题目，正确率≥90%； • 理解“系数积+被开方数积”的运算思想，可在几何面积问题中独立应用。 3.重点难点 • 教学重点：二次根式乘法性质的理解与运用；系数与被开方数分别相乘的操作规则。 • 教学难点：对被开方数进行分解、提出完全平方因子；含字母、负系数情形的化简。 学生已掌握有理数运算、平方与平方根、简单因式分解，能理解“面积＝边长乘积”的几何意义，因此对性质的直观感受较强；但对“完全平方因子”的识别及提取经验不足，常把 与 混淆；同时对含参数根式的“非负条件”敏感性不高。针对以上，教学中需通过数形结合的直观演示、分层练习以及对“因式分解—提取—化简”步骤的反复强化，帮助学生突破逆用性质的难点。 创设情景，引入新课 问题情境： 1．如图，小正方形的边长为1．矩形ABCD的面积是多少？ 解：方法1：矩形面积等于相邻两边之积． ＝AB×BC＝×． 方法2：利用小方格面积计算． ＝ 4 ． ＝ 4 2．画出矩形EFGH，使EF＝，FG＝．矩形EFGH的面积是多少？ 解：方法1：矩形面积等于相邻两边之积． ＝EF×GF＝． 方法2：利用小方格面积计算． ＝ 6 ． ＝ 6 【设计意图】借助几何中“数格子”与“公式”的对比冲突，引出“二次根式相乘的结果究竟是什么”，激活旧知“面积＝长×宽”，自然过渡到二次根式乘法性质的探究，为之后的抽象概念做好情感与认知准备。 探究点1：二次根式乘法的性质 1.尝试交流 ①填空 (1) × ＝______， ＝_____； (2) ×＝______， ＝_____； (3)×＝____， ＝____． 解：10，10；12，12；，． ②＝ （a≥0，b≥0）成立吗？ 证明：当a≥0、b≥0时， 因为 ＝()()＝·＝ab， 又因为 ＝ab， 所以， ＝， 因为和都是非负数， 所以＝(a≥0，b≥0)． 2.新知归纳 二次根式乘法的性质： ＝（a≥0，b≥0） 即两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根． 特别地， 当a＝b，a≥0 时，＝＝ a． 3.典例分析 例1 计算： (1)×； (2) ×； (3) ·(a≥0)． 解：(1) ×＝＝＝2； (2) ×＝＝＝6； (3) 当a≥0时， ·＝＝4a． 4.练一练 计算：　 (1)×； (2)×； (3)×； 解：(1)×＝＝＝10； (2)×＝＝＝6； (3)×＝＝＝6×4＝24； (4) 2×； (5)· (a≥0)． 解：(4) 2×＝2×＝2×1＝2； (5) 当a≥0时，· ＝＝3a． 【设计意图】通过平方比较证明让学生充分体验“等价”思想，培养逻辑推理能力；典例紧扣课堂新知，帮助学生形成“见根号先想能否合并”的运算习惯。 探究点2　二次根式乘法性质的逆用——化简 1.新知探究 把 （a≥0，b≥0） 反过来，可得： 利用这个式子可以化简一些二次根式． 2.典例分析 例2 化简： (1) ； (2) ； (3) (a≥0)． 解：(1) ＝＝×＝＝3； (2) ＝＝×＝8； (3) 当 a≥0 时，＝＝2a． 【方法点拨】化简二次根式的结果中，被开方数一般不含能开得尽方的因数或因式． 3.新知归纳 逆用二次根式乘法的性质化简的步骤： （1）将被开方数进行因数分解或因式分解； （2）利用 (a≥0，b≥0) 和 ＝ a (a≥0)，将能开得尽方的因数或因式开到根号外 ． 4.练一练 化简：　 (1) ；(2) ；(3) ；(4) (m≥0)． 解：(1) ＝×＝4×5＝20； (2) ＝＝×＝5； (3) ＝ ＝＝24； (4) 当m≥0时，＝＝3m． 【设计意图】逆向思维的引入，突破“根号里如何拆”的难点；通过一拆一合的对照，提升学生数形结合、因式分解与运算能力 探究点3：二次根式乘法性质的推广 1.讨论交流 如何计算 2×3？ 解：2×3＝2×3 ＝6＝18． 教师总结：当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式的乘法法则进行运算，即把系数之积作为积的系数，被开方数的积作为积的被开方数． 变式：如何计算 3×2 ×？ 解： 3×2 ×＝3×2＝6＝6×10＝60． 2.新知归纳 二次根式乘法性质的推广： ① a·c＝ac（b≥0，d≥0）． ② ··＝（a≥0，b≥0，c≥0）． 3.练一练 计算：　 (1)×；(2) 3×(－)；(3) 2· （a≥0）． 解：(1)×＝＝＝2； (2)3×(－)＝3×(－)×＝－×6＝－． (3)当a≥0时，2·＝2×＝2×＝2×5a＝10． 【设计意图】通过讨论、示范与练习，引导学生将二次根式乘法性质推广到多个及带系数的情形，借助类比思想形成统一运算思路，落实运算技能，发展数学核心素养。 直角三角形的两条直角边长分别为，，求这个直角三角形的面积． 解：直角三角形的面积＝××＝×＝×2×＝． 所以这个直角三角形的面积为． 能力提升 1．比较大小：___2(填“＞”“＜”或“＝”)． 解：2＝×＝． ∵ 15＞8，∴ ＞，即＞2． 2．若＝a，＝b，请用含a，b的式子表示． 解：＝＝＝． 3．如果·＝成立，求x的取值范围． 解：∵ ·＝成立， ∴ x＋1≥0，2－x≥0，解得 －1≤x≤2． 要保证每个根式都有意义，须满足每个二次根式的被开方数都要有意义，据此列出不等式组，从而求出字母的取值范围． 4．把根号外面的因式移到根号里面． (1) a； (2)a ； (3) a． 解：(1) a＝·a＝； (2)a ＝＝； (3) a ＝-． 【设计意图】对应“新知巩固”与“新知探究”内容，帮助学生在机械运算和简单化简层面形成“肌肉记忆”，达到人人会做、及时订正的目标。 主板书 11.2 二次根式的乘除 第1课时 探究点1：二次根式乘法的性质 探究点2　二次根式乘法性质的逆用——化简 探究点3：二次根式乘法性质的推广 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题11.2第1-4题。 2. 探究性作业：习题11.2第5题。 学科网（北京）股份有限公司 $