精品解析：宁夏银川市第二十四中学2025-2026 学年第二学期九年级阶段性质量检测数学试卷

银川二十四中学2025-2026学年第二学期九年级 阶段性质量检测数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A. B. C. D. b 4. 《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 7. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数图象如图所示，反比例函数与一次函数在同一坐标系中大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：____________． 10. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是_____． 11. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是___． 12. 若关于和的二元一次方程组，满足，那么的取值范围是_____． 13. 如图，有一个圆心角为，半径长为6cm的扇形，若将OA，OB重合后围成一圆锥侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是______cm． 14. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 16. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则 的长为__________． 三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分） 17. 计算： 18. 下面是小明和小红两位同学对同一个分式进行化简，请认真阅读并完成相应的任务． 小明：解：原式第一步 第二步 第三步 小红：解：原式第一步 任务一： （1）小明同学的第_____________步是分式的通分，通分的依据是_____________； （2）小明同学的第三步是对后一个分式的分子进行_____________，用到的公式是_____________； 任务二： （3）小红同学第一步解法的依据是_____________． 任务三： （4）该分式化简后的正确结果_____________． 19. 如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空． （1）画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接； （2）画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C； （3）填空：的度数为_________． 20. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为____________，图①中的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________； （2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？ 21. 如图，在中，点E，F分别是， 的中点，连接，，是的一个外角． （1）用尺规完成作图：作的角平分线，交的延长线于点M，连接．（保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，求证：四边形是矩形． 22. 露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入了新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车．已知乙型房车的单价比甲型房车的单价多5万元，用160万元购买甲型房车的数量是用130万元购买乙型房车的数量的2倍． （1）求甲型房车和乙型房车的单价． （2）若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆，为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少？ 四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若点B是 的中点，且，求的半径． 24. 科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到）.参考数据：，，）． 25. （1）问题：如图①，在中，，D为 边上一点（不与点B重合），将线段 绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段 ，，之间满足的等量关系式为 ． （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在 边上，试探索线段 ， ，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）应用：如图③，在四边形中，．若，，求 的长． 26. 如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点． （1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式； （2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川二十四中学2025-2026学年第二学期九年级 阶段性质量检测数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项合并法则与幂的运算法则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】选项A： 与不是同类项，不能合并，故A错误． 选项B：根据同底数幂乘法法则，可得，故B错误． 选项C：根据同底数幂除法法则，可得，计算正确，故C正确． 选项D：根据幂的乘方法则，可得，故D错误． 2. 统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，正确确定a与n的值是关键． 【详解】解：150亿用科学记数法表示为； 故选：C． 3. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A. B. C. D. b 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，二次根式的性质，化简绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．由数轴知，，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴， ∴ ， 故选：A． 4. 《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 5. 如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 6. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． 故选C 7. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 二次函数图象如图所示，反比例函数与一次函数在同一坐标系中大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象得到，得出反比例函数图象在第一、三象限，一次函数的图象在第一、二、四象限，只有选项C符合题意． 【详解】解：由二次函数图象得， 反比例函数图象在第一、三象限， 一次函数的图象在第一、二、四象限， 只有选项C符合题意， 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 10. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 11. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是___． 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×3≥0，再求出两不等式的公共部分得到a≤且a≠1，然后找出此范围内的最大整数即可． 【详解】解：根据题意得a﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×3≥0， 解得：a≤且a≠1， 所以整数a的最大值为0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 12. 若关于和的二元一次方程组，满足，那么的取值范围是_____． 【答案】m＞−1 【解析】 【分析】两方程相加可得x＋y＝m＋1，根据题意得出关于m的不等式，解之可得． 【详解】解：， ①＋②得：3x＋3y＝3m＋3，则x＋y＝m＋1， ∵， ∴m＋1＞0， 解得：m＞−1， 故答案为：m＞−1. 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组以及解一元一次不等式，整体求出x＋y＝m＋1是解题的关键． 13. 如图，有一个圆心角为，半径长为6cm的扇形，若将OA，OB重合后围成一圆锥侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是______cm． 【答案】2 【解析】 【分析】设这个圆锥的底面圆的半径是rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可求得答案． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径是rcm， 由题意得：， 解得：． ∴这个圆锥的底面圆的半径是cm． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．熟练掌握圆锥与侧面展开图扇形之间的关系是解题的关键． 14. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下： 10 20 30 40 10 30 40 50 20 30 50 60 30 40 50 70 40 50 60 70 ∴共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有4种， ∴天平恢复平衡的概率为． 故答案为：． 15. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内角四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长，交于点，连接，则：为的直径，， ∴， ∵的半径为6， ∴， 在中，； 故答案为：． 三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值及负指数幂、立方根，绝对值的化简可直接进行求解． 【详解】解：原式=-3-(-2)+-1-4= ． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值及负指数幂、立方根、绝对值的化简，熟练掌握特殊三角函数值及负指数幂、立方根、化简绝对值是解题的关键． 18. 下面是小明和小红两位同学对同一个分式进行化简，请认真阅读并完成相应的任务． 小明：解：原式第一步 第二步 第三步 小红：解：原式第一步 任务一： （1）小明同学的第_____________步是分式的通分，通分的依据是_____________； （2）小明同学的第三步是对后一个分式的分子进行_____________，用到的公式是_____________； 任务二： （3）小红同学第一步解法的依据是_____________． 任务三： （4）该分式化简后的正确结果_____________． 【答案】（1）一，分式的基本性质 （2）因式分解，平方差公式 （3）乘法分配律 （4） 【解析】 【分析】（1）根据分式的基本性质即可得； （2）根据因式分解的定义、平方差公式即可得； （3）根据乘法分配律即可得． （4）按照乘法分配律展开然后约分计算即可． 【小问1详解】 解：小明同学的第一步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质， 【小问2详解】 解：小明同学的第三步是进行的因式分解，用到的公式是平方差公式， 【小问3详解】 解：小红同学解法的依据是乘法分配律； 【小问4详解】 解： 19. 如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空． （1）画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接； （2）画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C； （3）填空：的度数为_________． 【答案】（1）r如图，线段为所求： （2）如图，为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目叙述画出图形即可； （2）根据题目叙述画出图形即可； （3）由（1）作图可得是等腰直角三角形，且，由对称的性质可得． 【小问1详解】 在方格纸中画出线段绕点O顺时针旋转后得到的线段，连接； 【小问2详解】 画出与关于直线对称的图形，点A的对称点是C； 【小问3详解】 由（1）作图可得是等腰直角三角形，且， 再根据对称的性质可得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转作图及作轴对称图形，解答本题的关键是仔细审题，得出旋转三要素，进而得出旋转后的图形． 20. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为____________，图①中的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________； （2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？ 【答案】（1）40，25，4，3 （2）这组数据的平均数是 （3）估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的结合，求总数，部分的百分比，众数，中位数，加权平均数，利用样本频数预估总体频数等内容，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式，并灵活应用． （1）利用求总数，部分的百分比，众数，中位数的公式和定义进行求解即可； （2）利用加权平均数公式进行求解即可； （3）利用样本频数预估总体频数即可． 【小问1详解】 解：； 3小时人数所占的百分比为， ∴； ∵在该组数据中4出现的次数最多， ∴众数为4； 中位数为排序后的第20位和21位的平均数， ∴中位数为； 故答案为：40，25，4，3； 【小问2详解】 解：该组数据的平均数为， ∴这组数据的平均数是； 【小问3详解】 解：在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生占， 根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生约占，有. 估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350． 21. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，是的一个外角． （1）用尺规完成作图：作的角平分线，交的延长线于点M，连接．（保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和矩形的判定． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先利用角平分线的定义得到，再利用三角形中位线性质得到，则，所以，于是得到，接着利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形为矩形得到四边形是矩形． 【小问1详解】 解：如图，射线即为求作的； 【小问2详解】 证明：是的角平分线， ． 点E，F分别是，的中点， ． ． ． ， ． ， ∴四边形是平行四边形 ，， ． ∴四边形是矩形． 22. 露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入了新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车．已知乙型房车的单价比甲型房车的单价多5万元，用160万元购买甲型房车的数量是用130万元购买乙型房车的数量的2倍． （1）求甲型房车和乙型房车的单价． （2）若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆，为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少？ 【答案】（1）甲型房车的单价为万元，则乙型房车的单价为万元 （2）当购买甲型房车辆，购买乙型房车时，总费用最低，最低费用为200万元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式解实际问题，一次函数求最值的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设甲型房车的单价为万元，则乙型房车的单价为万元，结合题意，列分式方程求解即可； （2）设购买甲型房车辆，则购买乙型房车辆，设总费用为，，根据一次函数求最值的方法即可求解． 【小问1详解】 解：已知乙型房车的单价比甲型房车的单价多5万元， ∴设甲型房车的单价为万元，则乙型房车的单价为万元， ∵用160万元购买甲型房车的数量是用130万元购买乙型房车的数量的2倍， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，则， ∴甲型房车的单价为万元，则乙型房车的单价为万元； 【小问2详解】 解：购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买）， ∴设购买甲型房车辆，则购买乙型房车辆， ∴， 解得，， 设总费用为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，最小值为（万元）， ∴当购买甲型房车辆，购买乙型房车时，总费用最低，最低费用为200万元． 四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若点B是的中点，且，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ，即， ． 为的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键： （1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，等边对等角，得到，结合，推出，即可得证； （2）根据线段之间的数量关系求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点B是的中点， ． ， ． ， ． 又， ． ． 在中． ． 即半径为． 24. 科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到）.参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点E作于，则，，由题意可得，，，， 解求出、，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点E作于，则，，由题意可得，，，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴在，， ∴， ∴． 25. （1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ． （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】 （1）， 理由如下：连接， 由题意得：，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）， 理由如下：连接， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，又， ∴； （3）6 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点A作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）过点A作，使，连接，， ∵， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，二次根式的乘法等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 26. 如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点． （1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式； （2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积． 【答案】（1））y=﹣x2+2x+3 （2）（，） （3）当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标； （3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． 【小问1详解】 解：将点B和点C的坐标代入函数解析式，得 解得 二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3； 【小问2详解】 若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上， 如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E， ∵C（0，3）， ∴ ∴点P的纵坐标， 当时，即 解得（不合题意，舍）， ∴点P的坐标为 【小问3详解】 如图2， P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3）， 设直线BC的解析式为y=kx+b， 将点B和点C的坐标代入函数解析式，得， 解得， 直线BC的解析为y=﹣x+3， 设点Q的坐标为（m，﹣m+3）， PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m． 当y=0时，﹣x2+2x+3=0， 解得x1=﹣1，x2=3， OA=1， S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ 当m=时，四边形ABPC的面积最大． 当m=时，，即P点的坐标为 当点P的坐标为时，四边形ACPB的最大面积值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $