专题14　球的切接问题必刷题-2026届高考数学三轮冲刺新高考适用

专题14球的切接问题 题型01空间几何体的外接球 1.(2026湖北宜昌二模)三棱锥P-ABC满足PA=PB=PC=2,且∠BAC=,BC=V5,则三棱锥P-ABC外 接球的表面积为() A.323x B.32V3元 C.16x 27 9 9 D.Ies 2.(25-26高三下·江西·月考)在三棱锥P-ABC中，AB=AC=2,PB=4,AB⊥AC,AB⊥PB,异面直线AC 与PB所成的角为？，则三棱锥P-ABC外接球的表面积可以为一 3 3.(25-26高三下·海南省直辖县级单位·月考)在正三棱柱ABC-A,B,C,中，直线AB,与平面ABC所成角为45°，且 四枝锥A-BB,CC的体积为45，则该三棱柱的外接球的表面积为 3 4.(25-26高三上·福建福州月考)已知四边形ABCD中，AC=2,∠ABC=60°，∠ADC=120°.现将△ACD沿边 AC翻折，使点D翻折到P点，若平面PAC⊥平面BAC，,则三棱锥P-ABC外接球的表面积是() A B.20 D.20W15元 3 C.32π 3 27 5.(25-26高三下江苏泰州开学考试)在三棱锥S-ABC中，若SA=AB=BC=SC=AC=2,二面角S-AC-B为 则三棱锥了-ABC外接球的表面积为 A肾 B.28r 3 C.25 4 D.24 5 6.(2026辽宁抚顺：一模)在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面ABC,∠ACB=90°，∠ADB=30°，若点 A,B,C,D均在球O的球面上，且AB=2,则球O的表面积为() A.9n B.32n C.12元 D.16π 3 7.(2026云南玉溪·模拟预测)四面体ABCD的各顶点均在同一个球面上，且AD=CD=AB=CB=√5，当四面体 ABCD的体积最大时，该球的表面积为() A.5π B.6n C.25 一元 D.8π 4 8.(25-26高三上山东青岛期中)已知圆台的上下底面半径之比为1：2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条 母线都相切的球)表面积为4π；则该圆台的体积为() A B. C.3π D. 10元 3 题型02空间几何体的内切球 9.(25-26高三上·内蒙古乌兰察布·月考)己知正四面体ABCD的顶点均在球O的表面上，其内切球为球M,则球 1/8 O与球M的表面积之比为() A.3 B.9 C.3π D.9元 10.(2026辽宁沈阳一模)已知球0内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四 棱台的上、下底面棱长之比为1：2，则球0与该正四棱台的体积之比为 11.(2025山西·三模)一边长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,如图所示，则两个三棱锥D-A,BC,B,-AD,C的 公共部分的内切球的表面积为 A B (2025广西北海模拟预测)已知一个正四棱锥的底面边长为22，内切球的体积为4，则这个正四棱锥的 积为() R号 C. 32 D.16 3 13.(2025四川德阳·三模)六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的 因切球表面积为S,外接球表面积为$，则。的值为( 4 A.3 C.3 D.4 14.(25-26高三上江苏·开学考试)已知某种益智玩具如图所示，它由两个同底的正四棱锥拼接而成，若上面的正 四棱的侧棱长为√5，底面边长为2，下面的正四棱锥的侧棱长为√10，则其内切球的表面积为 15.(2025高三全国.专题练习)如图，球内切于正三棱柱，则球与正三棱柱的体积比为多少？ 2/8 16.(25-26高三下·重庆·月考)如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体 ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为8√3，则5个球的表面积之和 为() A.5π B.6π C.7π D.8π 题型03空间几何体的棱切球 17.(2025广东佛山模拟预测)己知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的 衣面积分为5，则受 18.(2025·黑龙江哈尔滨模拟预测)若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八 个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所 示，己知该多面体过A,B,C三点的截面面积为6√3，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为 B 19.(2026全国模拟预测)若正四面体ABCD的棱长为a,P是棱AC上一动点，其外接球、内切球的半径分别为R ,r,则() A.R=6 B.R=4r 3/8 C.正四面体ABCD棱切球的体积为Y πa 24 D.若F是棱AD的中点，则当BP+PF最小时，CP=2PA 20.(2026全国·模拟预测)正四面体ABCD的棱长为2，则其棱切球的体积为() A.2√6π B.6元 c. D.6 3 27 题型04球的堆积问题 21.(25-26高二上·河北衡水月考)已知一球内切于棱长为4√3的正四面体，然后在正四面体和该球形成的空隙处 各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为 22.(25-26高三上河北秦皇岛·月考)如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中， 大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切若 正四面体ABCD的体积为8√3，则9个球的表面积之和为 23.(24-25高一下·黑龙江大庆·期末)如图，在棱长为3+√3的正方体内有两个球O、O相外切，两球又分别与正 方体内切，则两球体积之和的最小值为.（参考公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).) 24.(25-26高三上江苏连云港期中)已知一个红球和三个半径为3的白球，这四个球两两外切，且它们都内切于 一个半径为7的黑球，则红球的表面积可以为() A. -元 B. C.49π D.98元 25.（24-25高一下·福建福州·期末)已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球O是该四棱锥的内切球，球O与 球O相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球Q与球O的表面积之比为() 4/8 A.7+4V3 B.9 C.4+2V5 D.3+2W2 26.(2025安微合肥模拟预测)如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四 面体的三个面均相切若AB=12,则该模型中一个小球的体积为一 27.(2025高三全国.专题练习)如图所示，正四面体ABCD的棱长为a,球0是内切球，球O是与正四面体的三 个面和球O都相切的一个小球，求球O的体积. 强化训练 1.(25-26高三上·陕西·期末)己知四面体ABCD满足∠ABC=∠BCD=90°，ABC,△BCD均为等腰三角形，且 AC=2√2，若AD,BC的夹角为60°，则该四面体外接球的表面积为(). A.16π B.20π C.24π D.28π 2.(25-26高三下·湖北孝感·开学考试)已知四面体ABCD满足∠ABC=90°，∠BCD=120°，△ABC,△BCD均为等腰三 角形，若AC=2√2，AD=4,则该四面体外接球的表面积为() A.24π B.20π C.28x 3 D.26x 3 3.（25-26高三上·天津和平.期末)已知某圆锥的母线长为2√3，该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合，则该 圆锥内切球的表面积为() A.36π B.12π C.4π D.刀 4.(2026新疆模拟预测)已知三棱锥S-ABC,SA⊥平面ABC,SA=BC=2√5，∠BAC=120°，则该三棱锥外 接球的表面积为() 5/8 A.12π B.16π C.20元 D.28π 5.(2026天津一模)已知球O是棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,的内切球，则球O与三棱锥0-ABC的公共 部分的体积为() A音 B.g c. D. 6 526高三上·河北邯郸月考)己知某圆锥的底面半径为1，若该圆锥的体积与其内切球的体积之比为：， 圆锥的体积为() A.5r或26mB. 3 C.26x D.3r或y6m 3 3 3 3 3 7.(2026天津东丽·一模)正方体ABCD-A,B,C,D,棱长为2，正方体的内切球记为球O,则球O与三棱锥 D-BBC的公共部分的积泥为，三凌锥0-BC的体积记为北，则 B.8 C. D 8.(25-26高三·全国一轮复习)（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,BC,D,中，下列命题正确的是() D A.平面4CB1平面ACD,且两平面距离为V3 B.当点P在线段AB上运动时，四面体P-AB,C,的体积恒等于四面体B,-A,C,D的体积 C.与正方体所有棱都相切的球的体积为V2π 3 D.若M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△ACB,外接圆的圆周上任意一点，则MN的最小值是 5-1 2 9.(25-26高三下·河南周口·月考)（多选)如图，已知正方体ABCD-EFGH的棱长为2，则() 父 A.直线AG与BH所成夹角的余弦值为0 6/8 B.直线4G与BH所成夹角的余弦值为3 C.三棱锥F-AEH的表面积为6+2V3 D.三棱锥F-AEH的外接球的表面积为12π 10.(25-26高三上河北秦皇岛·期末)（多选）在正三棱锥P-ABC中，AB=4,M,N分别为PA,AB的中点， MC.MN=0,点P在底面ABC上的投影为Q,Q在侧面PAB内的投影为H,则() A.PB⊥平面PAC B.三棱锥P-4BC的体积为8N2 C.H为PN的四等分点 D.三棱锥P-ABC的外接球的表面积为24π 11.(2026湖南永州一模)在等腰直角三角形ABC中，斜边AB=2√2，P为斜边AB上的一点，沿直线CP将 △ACP折起形成二面角A'-CP-B,当三棱锥A'-CPB的体积最大时，三棱锥A'-CPB的外接球的表面积为 12.(2026山东德州一模)在矩形ABCD中，已知AB=2AD=4,E是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成 △ADE,F为线段DE的中点，连接A,C,EC.当AF与平面CDE所成角为6O时，三棱锥A,-CDE外接球的表面积为 13.(2025高三·全国·竞赛)在正三棱锥P-ABC中，AB=BC=CA=3,E为侧棱PC的中点，若二面角E-AB-C的 大小为30，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 14.(2026广西北海一模)若一个半径为1的实心球0放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该 盒子内再放入一个球O,则球O的表面积的最大值是· 15.(24-25高一下·吉林·期中)多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边 形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等).数 学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图 所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为 7/8 16.(23-24高一下·四川乐山期中)如今中国被誉为基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥.高速公路里程、高铁 里程双双都是世界第一.建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平.如 图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切，设 AB=3,则该模型中5个球的表面积之和为 8/8 专题14　球的切接问题 题型01 空间几何体的外接球 1．（2026·湖北宜昌·二模）三棱锥满足，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径，结合侧棱相等得到高，再利用球心在高的线上且到顶点和底面顶点距离相等求出球半径，最后计算表面积. 【详解】设点在底面的投影为，因为， 所以点是的外心，则，且底面，球心在上， 由正弦定理得外接圆的直径，解得半径， 即，则， 设，外接圆半径为，则， 则，且， 则，解得，则外接球半径， 则三棱锥外接球的表面积为. 2．（25-26高三下·江西·月考）在三棱锥中，，，，，异面直线与所成的角为，则三棱锥外接球的表面积可以为_____. 【答案】20π或 【分析】根据题意，把补成长方体，再分、两种情况进行求解． 【详解】第一种情况：如图1，将三棱锥补成长方体. 此时，， 所以该长方体外接球的半径为， 即三棱锥外接球的半径为. 故三棱锥外接球的表面积为. 第二种情况：如图2，在三棱锥的基础上作出长方体. 此时，设P在底面上的投影为， 易得在直线上，且，. 以为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则. 易得三棱锥外接球的球心O在线段中点的正上方，设， 由，得，得， 所以三棱锥外接球的半径为. 故三棱锥外接球的表面积为. 3．（25-26高三下·海南省直辖县级单位·月考）在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】先由正三棱柱结构性质以及题设信息结合线面角定义、锥体体积的计算公式求出正三棱柱的棱长，接着求出底面正三角形的外接圆半径即可依次计算求解外接球的半径、表面积. 【详解】设正三棱柱底面正三角形的边长为a， 则底面正三角形的外接圆半径为， 由正三棱柱性质可知平面，所以是直线与平面所成角， 所以，则，所以， 取的中点，连接，则且， 又由正三棱柱性质可知平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的体积为， 所以正三棱柱高为且底面正三角形的外接圆半径为， 所以该三棱柱的外接球的半径为， 所以该三棱柱的外接球的表面积为. 4．（25-26高三上·福建福州·月考）已知四边形中，，，．现将沿边翻折，使点翻折到点，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分别求得和的外接圆的半径，设和的外接圆的圆心分别为，外接球的半径为，取的中点，连接，结合球的截面的性质，求得,进而求得球的表面积，得到答案. 【详解】在中，设其外接圆的半径为，可得，所以， 在中，设其外接圆的半径为，可得，所以， 可得两个小圆的半径相等，且都是，且互相垂直的两个小圆面相交弦， 设和的外接圆的圆心分别为，外接球的半径为， 取的中点，连接，可得， 在直角中，可得, 所以外接球的表面积是． 故选：B. 5．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）在三棱锥中，若，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，，结合已知条件即可得到即为二面角的平面角；判断出外接球球心在平面上，且在过和外心且垂直于各自平面的直线上，设和外心分别为，，连接，，，，结合三角形外心性质及直角三角形即可求出半径，代入球的面积公式求解即可. 【详解】取中点，连接，. 在等边中，为中点，所以，. 在等边中，为中点，所以，. 所以即为二面角的平面角，所以. 设外接球的球心为，则球心在平面上，且在过和外心且垂直于各自平面的直线上. 设和外心分别为，，连接，，，. 则平面，，；平面，，. 所以，所以. 在中，. 在中，，. 即三棱锥外接球的半径为， 所以. 6．（2026·辽宁抚顺·一模）在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取AB的中点，由条件可得点为的外心，由平面平面，可得四面体的外接球球心为的外心，利用正弦定理即可求得其半径，进而求出答案. 【详解】如图，取AB的中点M，因，则点为的外心， 又因平面平面，平面平面， 故四面体的外接球球心必在平面内，且是的外心， 易得平面，故有， 在中，，，由正弦定理，，则， 故四面体的外接球的表面积为. 7．（2026·云南玉溪·模拟预测）四面体的各顶点均在同一个球面上，且，当四面体的体积最大时，该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先取中点O，分析、与的垂直关系，确定四面体体积的表达式，因为四面体体积最大时，需高最大，所以当平面平面时，体积取得最大值，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心坐标，计算外接球半径，最后利用球的表面积公式求解. 【详解】取的中点为O，连接， 由于，故， 平面，故平面， 设，则，， 设，则四面体的体积， 要使得四面体的体积最大，必有，即此时平面平面， 则此时，令，， 则，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故时，取得最大值，此时取得最大值， 即得， 以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设四面体的外接球的球心为，则， 即， 解得，即外接球球心为， 故外接球半径为， 故外接球的表面积为. 8．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球的面积公式求出内切球半径从而得圆台的高度，结合圆台的几何性质求上下底面半径，从而可得圆台体积. 【详解】由于圆台的内切球表面积为，设其内切球半径为， 所以，解得， 所以圆台的高度， 设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面如下图：为球心，为上下底面圆圆心 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得： ，所以，可得， 则该圆台的体积为. 故选：A. 题型02 空间几何体的内切球 9．（25-26高三上·内蒙古乌兰察布·月考）已知正四面体的顶点均在球O的表面上，其内切球为球M，则球O与球M的表面积之比为（   ） A．3 B．9 C．3π D．9π 【答案】B 【分析】设正四面体的棱长为1，过A作平面的垂线，垂足为F，求得球O的半径R，利用等体积法求得内切球的半径，进而计算可求得球O与球M的表面积之比. 【详解】设正四面体的棱长为1，过A作平面的垂线，垂足为F，则F为的中心， 连接并延长交于E，则，，O在上， 因为，所以，所以， 设球O的半径为R，则，即，解得. 设四面体内切球的半径为，则，所以， 所以球O与球M的表面积之比为. 故选：B. 10．（2026·辽宁沈阳·一模）已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 【答案】 【分析】设出正四棱台上、下底面的棱长，则可借助正四棱台性质及体积公式表示出内切球体积及正四棱台体积，即可得解. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，    设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 所以球与棱台的体积比为. 故答案为：. 11．（2025·山西·三模）一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为________． 【答案】 【分析】连接起交线后得两个三棱锥，的公共部分为一个边长为的正八面体，作，的中点，，利用等面积法求内切球的半径即可求解. 【详解】连接起交线后如下图所示，即两个三棱锥，的公共部分为一个边长为的正八面体， 作，的中点，，设内切球的半径， 所以，所以， ，，又，所以， 即表面积为． 故答案为： 12．（2025·广西北海·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【分析】由内切球的体积为可求内切球的半径.设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点.根据正四棱锥的底面边长及即可求解的值，利用棱锥体积公式即可求解. 【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1. 如图所示，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点. 因为正四棱锥的底面边长为， 所以. 又，所以，即，解得. 所以，所以正四棱锥的体积为. 故选：C. 13．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正八面体的结构特征可得外接球的半径，利用等积法可得内切球半径，进而利用球的表面积公式即可求得. 【详解】如图正八面体，连接和交于点， 因为，，所以，， 又平面，平面，， 所以平面， 设正八面体的外接球的半径为，内切球半径为， 假设正八面体的棱长为， 则，，， ，， 因，则，且为正八面体的中心， 则点到平面的距离为内切球半径， 因为，即， 即，所以， 所以. 故选：C. 14．（25-26高三上·江苏·开学考试）已知某种益智玩具如图所示，它由两个同底的正四棱锥拼接而成，若上面的正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，下面的正四棱锥的侧棱长为，则其内切球的表面积为__________. 【答案】 【分析】根据组合体的结构特征，利用等体积法求解内切球半径，再根据球的表面积公式即可求解. 【详解】 设上面正四棱锥为，底面是边长为2的正方形，中心为，侧棱长， ，， 在中，根据勾股定理得， ， 正四棱锥的侧面积为； 设下面正四棱锥为，底面是边长为2的正方形，中心为，侧棱长， 在中，根据勾股定理得， ， 正四棱锥的侧面积为； 组合体的体积为， 组合体的表面积为. 设组合体的内切球半径为，利用可得，， ， 组合体内切球的表面积为. 故答案为：. 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，球内切于正三棱柱，则球与正三棱柱的体积比为多少？    【答案】/ 【分析】设球的半径为，根据球的体积和正三棱柱体积公式求得答案. 【详解】设正三棱柱底边长为，高为，则底面内切圆半径为， 设球的半径为. . 故答案为：. 16．（25-26高三下·重庆·月考）如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以5个球的表面积之和为. 题型03 空间几何体的棱切球 17．（2025·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______． 【答案】 【分析】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值. 【详解】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： 18．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过A，B，C三点的截面面积为，则其棱切球（球与各棱相切）的表面积为______. 【答案】 【分析】设，外接球的半径为，根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球，利用勾股定理求解半径，即可由球的表面积公式即可求解． 【详解】设，外接球的半径为， 该多面体是由棱长为的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得， 如图，过，，三点的截面为正六边形，其面积，即， 根据该几何体的对称性可知该几何体的棱切球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的棱切球， 故，即， 故该多面体的棱切球的表面积为． 故答案为：． 19．（2026·全国·模拟预测）若正四面体的棱长为a，P是棱上一动点，其外接球、内切球的半径分别为R，r，则（    ） A． B． C．正四面体棱切球的体积为 D．若是棱的中点，则当最小时， 【答案】ACD 【分析】对于AB，根据正四面体的性质求解．其内切球与外接球球心重合，在正四面体的高上，作出图形求出高、内切球的半径、外接球的半径可得结论；对于C，正方体的内切球即为正四面体的棱切球，再由球的体积公式求出；对于D，将侧面和沿展开成菱形，三点共线时最小，再由几何关系求出. 【详解】对于A选项，如图，在正四面体中，为的中点，为的中心，连接，则平面，设为正四面体外接球的球心，连接， 由题知为正三角形，所以， 在中，，所以， 在中，由，得，解得，故A正确.   一题多解 如图，将正四面体放入正方体中，因为正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径，故A正确.    对于B选项，设正四面体的内切球的球心为，连接，，，，形成四个全等的正三棱锥，则， 即， 因为，所以，，而，所以，故B错误. 一题多解 如图，设正四面体的内切球与相切于点，则，因为，所以，即，解得，而，所以，故B错误.    对于C选项，正四面体的棱切球与各棱相切于中点，如图，把正四面体放在正方体中，则正方体的棱长为正四面体的棱切球的直径（提示：正方体的内切球即为正四面体的棱切球）.因为，所以正方体的棱长为，所以正四面体的棱切球的半径为，所以棱切球的体积为，故C正确.    对于D选项，如图，将侧面和沿展开成菱形，在菱形中，连接，交于点，则的长即为的最小值.因为正四面体的各棱长都相等，所以，所以.因为是棱的中点，所以，，所以.又因为正四面体的棱长为，所以，，    由勾股定理知.又因为平分，所以（提示：角平分线定理），即.在中，，故，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查正四面体的性质，球的体积公式等. 对于AB，根据正四面体的性质求解．其内切球与外接球球心重合，在正四面体的高上，作出图形求出高、内切球的半径、外接球的半径可得结论；对于C，正方体的内切球即为正四面体的棱切球，再由球的体积公式求出；对于D，将侧面和沿展开成菱形，三点共线时最小，再由几何关系求出. 20．（2026·全国·模拟预测）正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将正四面体放在正方体中，正方体的内切球即为正四面体的棱切球，求解即可. 【详解】把正四面体放在正方体中，如图，    则正方体的内切球即为正四面体的棱切球， 即正方体的棱长为正四面体的棱切球的直径， 因为，所以正方体的棱长为，棱切球的半径为， 所以正四面体的棱切球的体积为. 故选：C. 题型04 球的堆积问题 21．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知一球内切于棱长为的正四面体，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为___________． 【答案】 【分析】根据题意作图，利用正四面体的结构性质，计算相关线段长度（如高），结合体积法（将正四面体体积分解为四个以内切球心为顶点的小三棱锥体积之和）求出内切球半径，通过分析空隙处小球的位置，构造相似三角形和，利用相似三角形对应边成比例求出空隙处小球的最大半径，最后根据球的体积公式计算小球体积即可． 【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为， 半径为，由正四面体结构特征可知为的中心，面，设为中点，球和球分别与面相切于和．    易得， 由，可得， 又，， 故，，， 又由，可得，即，解得，即空隙处的最大球的半径为． 所以空隙处的最大球的体积为． 故答案为：． 22．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）如图，在正四面体 中，放置 1 大、4 中、4 小共 9 个球，其中，大球为正四面体 的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体 的体积为 ，则 9 个球的表面积之和为______. 【答案】 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 中等球内切于高的正四面体，中等球半径， 因此中等球的表面积为； 最小球内切于高的正四面体，最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以九个球的表面积为， 故答案为： 23．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，在棱长为的正方体内有两个球、相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为_____.（参考公式：.） 【答案】 【分析】设两球半径分别为，球心在正方体体对角线上，过分别作的垂线，垂足分别为，结合求得，再结合球的体积公式即可求解． 【详解】如图，设两球半径分别为，球心在正方体体对角线上， 过分别作的垂线，垂足分别为， 由图可得， 即， 整理得，所以， 故两球体积之和为 ， 由二次函数性质可知：当且仅当时，有最小值， 即两球体积之和的最小值为． 故答案为：． 24．（25-26高三上·江苏连云港·期中）已知一个红球和三个半径为3的白球，这四个球两两外切，且它们都内切于一个半径为7的黑球，则红球的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意画出图形，利用大球与四个小球内切，结合半径相等列式即可求解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 设三个半径为3的白球的球心分别为，设红球半径为，球心为， 连接， 则在平面上的射影为底面正三角形的外心， 可得， 三棱锥为正三棱锥，侧棱， 再设大球的球心为，由对称性可得，在线段上， 要使大球与四个小球都内切， 则，， 又，，解得， 则红球的表面积． 故选：C． 25．（24-25高一下·福建福州·期末）已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答. 【详解】 在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点， 过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，得对应球的截面大圆，如图： 依题意，，， 令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即， 由，得，， 设球与球相切于点T，则， 设球的半径为，同理可得，则， 所以球与球的表面积之比. 故选：A 26．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为______.    【答案】 【分析】根据题干信息画出示意图，根据正四面体的特征分别计算出大小球半径即可求出小球的体积. 【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高， ∴， ∴小球的体积为：， 故答案为：. 27．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，正四面体的棱长为，球是内切球，球是与正四面体的三个面和球都相切的一个小球，求球的体积． 【答案】 【分析】记球与平面、切于点、，球与平面切于点，利用和即可得解. 【详解】如图所示，设球半径为，球的半径为，为中点， 球与平面、切于点、，球与平面切于点． 由题设得，，， 所以． 因为在中，， 所以，，得． 同理可证，，得． ． 强化训练 1．（25-26高三上·陕西·期末）已知四面体满足，，均为等腰三角形，且，若，的夹角为，则该四面体外接球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将四面体补成如图所示的直三棱柱，利用直三棱柱的性质，结合球的表面积公式进行求解即可. 【详解】将四面体补成如图所示的直三棱柱， 可知，，故， 又，所以． 设四面体的外接球球心为O， 则O在平面内的射影为的外心，且， 由正弦定理得， 故外接球半径，故． 故选：B 2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知四面体满足均为等腰三角形，若，则该四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过空间直角坐标系法求解，利用坐标定位各顶点，再根据外接球心到各顶点距离相等的性质列方程求解. 【详解】由为等腰直角三角形（，），得， 由为等腰三角形（，），用余弦定理： 验证ABBD：，故， 又，，得平面； 建立空间直角坐标系，，（在轴，在轴），点：由几何关系，可以得，过点作轴的垂线，依据勾股定理自然可得； 设外接球心为，则， 由：， 由：， 由：， 化简得； 因此，球心，半径：， 故选：B 3．（25-26高三上·天津和平·期末）已知某圆锥的母线长为，该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合，则该圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的轴截面可得圆锥底面半径为，高为，母线为的关系，结合该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合可得圆锥内切球半径为，外接球半径为之间的关系，列方程组从而可得，的值，即可得所求. 【详解】如图，圆锥的轴截面为，圆锥的底面中心为，则点为中点， 设内切球的球心与其外接球的球心为，则点在圆锥的高上，连接，过作于， 设圆锥内切球半径为，外接球半径为，圆锥底面半径为，高为，母线为， 由题可得，，，， 则， 由勾股定理可得：，所以，整理得 所以，又由可得， 联立解得， 故该圆锥内切球的半径为，所以内切球的表面积为. 故选：C. 4．（2026·新疆·模拟预测）已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出的外接圆半径，再由线面垂直关系求出外接球半径，可得其表面积. 【详解】在中，设其外接圆半径为， ，，， 根据正弦定理，所以. 因为平面，所以外接球的球心到平面的距离. 设外接球半径为R，根据勾股定理，代入解得， 因此外接球表面积. 5．（2026·天津·一模）已知球O是棱长为2的正方体的内切球，则球O与三棱锥的公共部分的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可知棱长为2的正方体的内切球半径为1，球心在正方体的中心， 根据对称性可知三棱锥占整个正方体的， 则球O与三棱锥的公共部分的体积也为整个球的体积的，为. 6．（25-26高三上·河北邯郸·月考）已知某圆锥的底面半径为1，若该圆锥的体积与其内切球的体积之比为，则该圆锥的体积为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】由等面积法，结合圆锥、球的体积公式，计算求解即可. 【详解】不妨设圆锥的高为，母线长为，则，根据等面积法，该圆锥内切球的半径为， 所以该圆锥的体积与其内切球体积之比为， 解得或，所以或，所以该圆锥的体积为或． 故选：A. 7．（2026·天津东丽·一模）正方体，棱长为2，正方体的内切球记为球O，则球O与三棱锥的公共部分的体积记为，三棱锥的体积记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可知棱长为2的正方体的内切球半径为1，球心在正方体的中心， 根据对称性可知三棱锥的体积占整个正方体的， 则球O与三棱锥的公共部分的体积也为整个球的体积的，为，即， 三棱锥的体积记为， 则. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（   ） A．平面平面，且两平面距离为 B．当点在线段上运动时，四面体的体积恒等于四面体的体积 C．与正方体所有棱都相切的球的体积为 D．若是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点，则的最小值是 【答案】BCD 【分析】根据面面平行的判定以及空间点面以及面面距离的求解判断A；根据三棱锥的体积计算判断B；确定球的半径即可求得球的体积，判断C；将的最小值转化为正方体的外接球和内切球半径之差，判断D. 【详解】对于A，正方体中，，， 即四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 同理可证平面，而，平面， 故平面平面； 设到平面距离为，，则， 即，则； 同理求得到平面的距离为； 连接，，则， 由于平面，平面，故， 又，，，平面，故平面， 平面，故，同理可证， 而，，平面，故平面， 而平面平面，则平面，又， 故平面和平面之间的距离为，A错误； 对于B，当点在线段上运动时，四面体的体积为； 而四面体的体积， 即当点在线段上运动时，四面体的体积恒等于四面体的体积，B正确； 对于C，与正方体所有棱都相切的球的直径为正方体面对角线长， 故该球体积为，C正确； 对于D，正方体的内切球球心和正方体外接球球心是同一个点，即为正方体的中心， 外接球直径为，内切球直径为1， 而外接圆为正方体外接球一个小圆， 故由是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点， 得的最小值为正方体的外接球半径减去正方体球内切球半径，即，D正确. 故选：BCD. 9．（25-26高三下·河南周口·月考）（多选）如图，已知正方体的棱长为2，则（    ） A．直线与所成夹角的余弦值为0 B．直线与所成夹角的余弦值为 C．三棱锥的表面积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】建立坐标系，利用向量坐标运算可判断A,B，求出三棱锥的表面积可判断C，结合补形法可求外接球的面积，进而判断D. 【详解】以为原点，为 轴，为 轴，为 轴，正方体棱长为 2， 则； ，， ，A错误，B正确. 直角中，，其面积为2，直角中，，其面积为2， 直角中，，其面积为2，中，，其面积为， 所以三棱锥的表面积为，C正确. 三棱锥 可补形为正方体，其外接球与正方体外接球相同： 正方体棱长为 2，体对角线为​，即外接球直径​，，​ 表面积为，D正确. 10．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）（多选）在正三棱锥中，，分别为的中点，，点在底面上的投影为，在侧面内的投影为，则（    ） A．平面 B．三棱锥的体积为 C．为的四等分点 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，再通过空间向量运算和几何性质，逐一验证线面垂直、体积、投影点位置及外接球表面积等结论. 【详解】 如图所示，以的中点为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，因为是正三棱锥，则底面是正三角形，则， 正三角形的中心（重心）坐标为三顶点坐标的平均值：， 点在底面的投影为，故的坐标与相同， 设其高度为，即，，； 选项A：由，而，， 故可以解得​​，即， 向量，，, 计算点积：，， 因，平面， 故平面，选项A正确； 选项B：底面正三角形面积，高为，则体积为​​，选项B正确； 选项C：因为在侧面内，且与平面交线为，是中点， 所以必在直线上（正三棱锥的对称性）； 设，其中为参数，， 因此的坐标可以表示为：， 平面，意味着与平面内的任意向量都垂直，这里取和验证: ，，， 由，得点积为：, 展开计算：，则可以推得，即是线段上靠近的三等分点（），而非四等分点，选项C错误； 选项D：外接球心在过底面中心且垂直底面的直线上，设, 由，列方程：， 化简后得，解得​​， 代入得，表面积：，选项D正确. 故选：ABD 11．（2026·湖南永州·一模）在等腰直角三角形中，斜边为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为___________． 【答案】 【分析】根据正弦定理得出三棱锥的高最大为，再应用换元法计算求解得出线线垂直进而得出外接球半径，最后应用球的表面积求解. 【详解】如图，为直角三角形，且． 设，过点作，交直线于点，则． 在中，由正弦定理，得 ． 当平面平面时，三棱锥的高最大，为． ． 设，则． ． 在区间上单调递增，． ，当时取等号，此时取得最大值，最大值为． 此时，且两两互相垂直． 三棱锥的外接球的直径为表面积为． 故答案为： 12．（2026·山东德州·一模）在矩形中，已知是的中点，将沿直线翻折成为线段的中点，连接.当与平面所成角为时，三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】/ 【分析】取的中点，先证明平面平面，则与平面所成角为，即，再证为的外接圆的圆心，设为三棱锥外接球的球心，半径为，设，分别考虑球心和点位于平面的两侧和同侧分别讨论，利用球的表面积公式求解. 【详解】因是的中点，则， 是矩形，， 翻折后，因为线段的中点，则， 因，，则，故， 取的中点，连接，则，，， ，平面，平面，平面， 平面，平面平面，在平面的射影为， 与平面所成角为，， 因和都是直角三角形，则，为等边三角形， 取的中点为，连，则， 平面，平面，， ，，平面，平面， 平面， 是直角三角形，，为的外接圆的圆心， 设为三棱锥外接球的球心，半径为，则平面， 设，则， 若球心和点位于平面的两侧，如图1，延长到点，使得， 平面，平面，， 四边形为平行四边形，， ， ， 解得，则， 三棱锥外接球的表面积； 若球心和点位于平面的同侧，如图2， 平面，平面，， 过点作，交于点，则四边形为平行四边形， 则，， 则，解得，舍去. 综上可得，三棱锥外接球的表面积为. 【点睛】 13．（2025高三·全国·竞赛）在正三棱锥中，，E为侧棱的中点，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，作面于，作面于，连接，根据正三棱锥的性质，可证为二面角的平面角，根据条件，求出各个长度，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则点在上，在中，由勾股定理，求出R值，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】如图，取的中点，连接，则，作面于，作面于． 因为为正三棱锥， 且， 所以为的中心，在线段上， 因为E为侧棱的中点， 所以，所以为的中点，且， 因此， 连接，由正三棱锥的性质可得， 因为D为AB中点，所以． 又，所以为二面角的平面角，即， 所以，则， 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则点在上， 连接，在中，由勾股定理得， 则，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 14．（2026·广西北海·一模）若一个半径为1的实心球O放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该盒子内再放入一个球，则球的表面积的最大值是______． 【答案】 【详解】设正方体为，又一个半径为1的实心球O与该正方体内切，所以正方体的棱长为， 当球与正方体的三个面相切且与球O相切时，球的半径能取得最大值 ， 设球的半径为，连接球心与球心，以及球心到与它相切的正方体的三个面的垂足，可构成一个以球心，球心和正方体顶点为顶点的直角三角形， 此时球心与球心的距离为，球心到正方体顶点的距离为，正方体棱长的一半为， 根据上述关系可列出方程：，解得， 所以球的表面积最大值为. 15．（24-25高一下·吉林·期中）多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为______．      【答案】 【分析】根据正八面体的结构特征确定球心位置，令正八面体的棱长为2，有外接球半径，再由等体积法求得内切球的半径，即可得. 【详解】由正八面体的结构特征易知，其外接球和内切球的球心重合，且为体对角线的交点， 令正八面体的棱长为2，外接球和内切球的半径分别为，则外接球半径， 各侧面积，构成正八面体的两个正四棱锥的高为， 所以正八面体的体积，可得， 所以外接球和内切球的表面积比为. 故答案为： 16．（23-24高一下·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为____ 【答案】 【分析】把正四面体分割成以内切球球心为顶点的4个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可. 【详解】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为3，高为，的中点为， 连接，，，，，， 由 则， 正四面体的高. 因为，所以， 所以； 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，同理； 故该模型中5个球的表面积之和为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于借助等体积求出大球，小球的半径，由此结合表面积公式即可求解. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $