精品解析：云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试模拟题（二）数学试题

云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试模拟题（二）数学试题 一、单选题 1. 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 3. 某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知单位向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 7. 男生1，2，3号和女生1，2，3号排成一列，男生从前往后号数变小、女生互不相邻的排法种数为（ ） A. 4 B. 16 C. 24 D. 36 8. 若是函数的极大值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D. 0 二、多选题 9. 下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（    ） A. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若随机变量，则函数为偶函数 D. 在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的3倍（，其中） 10. 已知圆与直线，点 在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若直线与圆相切，则 C. 若，则 D. 当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为的一个周期 B. 在上恰有2个零点 C. 在处取得极小值 D. ，都有 三、填空题 12. 已知是等比数列的前项和，，则__________． 13. 已知点P在抛物线C：上，若点P到点的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等，则______． 14. 为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活动．现有甲、乙两所学校晋级决赛，本次决赛计分规则：参赛学校抢到答题权且作答正确的，每题计1分；未抢到答题权，或抢到答题权但作答错误，均不计分．终止规则：任一参赛学校得分比另一校多2分或五道比赛题目全部答完．已知两校每道题抢到答题权的概率均为，且每所学校答对每道题的概率均为．设活动结束时，两校一共答了道题，则的数学期望为___________． 四、解答题 15. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形.侧面底面是的中点. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的余弦值. 17. 为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动．甲、乙、丙三人参加比赛，有问题1、问题2两道题，其中问题1为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙、丙三人抢到的概率均为，问题2为必答题，甲、乙、丙三人都要回答；已知甲能正确回答问题1、问题2的概率分别为和，乙、丙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响． （1）求问题1回答正确的概率； （2）记能正确回答问题2的人数为X，求X的分布列和数学期望． 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论在上的单调性； （3）为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：.（参考公式：） 19. 已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若曲线与 轴的交点分别为、（在的左侧），过点的直线交曲线于点（位于第二象限），的角平分线交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）连接直线且与曲线的另一个交点为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试模拟题（二）数学试题 一、单选题 1. 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】由题意， 对应的点坐标为，位于第三象限. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【详解】因为，由正态分布的对称性可知，关于对称， 又因为，所以， 则 所以 3. 某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知两个球的颜色依次为红红或白白，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】若摸出的2个球颜色相同则中奖，则两个球的颜色依次为红红或白白， 所以中奖的概率为. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解判断. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得，而，因此， 两边平方得，又，则，， 所以是直角三角形. 5. 已知单位向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的条件结合向量数量积的运算律求出，然后再利用模长公式即可求解. 【详解】由题意可知， 所以. 6. 若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和求出，结合二项式系数的特征可求答案. 【详解】因为二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则，解得， 所以二项式的展开式中，最大的二项式系数是，即二项式系数最大的项是第6项． 7. 男生1，2，3号和女生1，2，3号排成一列，男生从前往后号数变小、女生互不相邻的排法种数为（ ） A. 4 B. 16 C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】应用定序及插空法结合排列数计算求解. 【详解】男生1，2，3号和女生1，2，3号排成一列， 男生从前往后编号变小有3，2，1一种排法有4个空，再插空排女生有种排法， 所以男生从前往后号数变小、女生互不相邻的排法种数为. 8. 若是函数的极大值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，， 由，解得. 当时，， 或时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 显然是的极小值点，不符合题意； 当时，，同理可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意， 故是的极小值点，则的极小值为. 二、多选题 9. 下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的有（    ） A. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若随机变量，则函数为偶函数 D. 在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的3倍（，其中） 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据回归直线的定义即可判断A；根据回归方程的性质即可判断B；根据正态曲线的性质即可判断C；根据的公式计算即可判断D. 【详解】对于A，回归直线是通过最小二乘法拟合数据得到的直线，它的目的是使样本数据点到该直线的距离的平方和最小， 而不是经过样本数据点最多的那条直线，故A错误； 对于B，数据组成一个样本，其回归直线方程为， 其中，则， 去除一个异常点后，则新的样本的平均数分别为，则， 即新的回归直线必过新的样本中心点，故B正确； 对于C，因为随机变量，其对称轴为， 则函数，故是偶函数，即C正确； 对于D，在列联表中，， 若每一个数据均变为原来的3倍，则， 即变为原来的3倍，故D正确. 10. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若直线与圆相切，则 C. 若，则 D. 当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线方程化为，即可求出定点，可判断A；根据直线与圆相切的条件列方程即可判断B；求出圆心到直线的距离，即可判断C；当时，切线长最短，根据勾股定理求解即可判断D. 【详解】将直线的方程整理为， 由得， 所以直线过定点，故A正确； 圆的标准方程为，圆心为，半径， 若直线与圆相切，则，解得，故B正确； 若，则直线的方程为， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以，故C错误； 从点向圆引切线，设切点分别为，连接，则， 则， 当时，取得最小值，此时取得最小值， 所以，故D正确． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为的一个周期 B. 在上恰有2个零点 C. 在处取得极小值 D. ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于B：解方程求零点即可判断；对于C：求导，利用导数判断原函数单调性，进而可得极值点；对于D：根据单调性结合周期性、奇偶性分析的最值，进而可得结果． 【详解】，故A错误； 令，即，得或， 当时，解得或， 所以在上恰有2个零点，故B正确；， 所以是的一个周期， 因为的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数， 又， 当时，则，可得； 当时，则，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故C正确； 且，所以在上的最小值为， 结合奇函数对称性可知：在上的最大值为， 所以在内的最小值为，最大值为， 结合周期性可知：在上的最小值为，最大值为， 所以，都有，故D正确． 三、填空题 12. 已知是等比数列的前项和，，则__________． 【答案】381 【解析】 【详解】由题知，，且 因为成等比数列， 该等比数列的首项为3，公比为2， 则. 13. 已知点P在抛物线C：上，若点P到点的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】因为抛物线C：，所以，抛物线C的焦点为， 结合抛物线的定义可得，则设， 易知在线段FA的垂直平分线上，则点的横坐标等于点和点中点的横坐标， 即：，所以 ，即. 14. 为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活动．现有甲、乙两所学校晋级决赛，本次决赛计分规则：参赛学校抢到答题权且作答正确的，每题计1分；未抢到答题权，或抢到答题权但作答错误，均不计分．终止规则：任一参赛学校得分比另一校多2分或五道比赛题目全部答完．已知两校每道题抢到答题权的概率均为，且每所学校答对每道题的概率均为．设活动结束时，两校一共答了道题，则的数学期望为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将“两校一共答了道题”根据得分情况分类，分别求出随机变量的所有可能取值，每一取值分别对应转化为互斥事件的和事件求解概率即可，利用数学期望的公式求解即可． 【详解】甲校在每题中得1分的概率为， 记事件“答完两题后，甲校得2分”， 所以； 依题意，每道题的答题结果有以下3种： 甲校抢到且答对得1分，此时乙校得0分，概率为； 乙校抢到且答对得1分，此时甲校得0分，概率为； 不论哪校抢到都答错，即甲乙两校都得0分，概率为； 两校一共答的题目数的可能取值为， 表示某校前2道得2分，对方得0分； 表示某校前2道得1分，且对方得0分，第3道得1分； 表示前3道得1分，且对方得0分，第4道得1分， 或者前2道得1分，且对方得1分，第3道和第4道共得2分； ， ， ，； 故的分布列列表如下： 所以． 四、解答题 15. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用之间的关系，结合等比数列的定义进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 ， 当时，，即，① 当时，， ， 是等比数列，∴公比② 将②代入①得：， 是以2为首项，3为公比的等比数列， . 【小问2详解】 依题意，， ， ③. 将③得 ④. 由③-④得 ， ， ， . 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形.侧面底面是的中点. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，进而得到，结合三角形性质得，从而证得平面，得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出面的法向量，通过法向量夹角的余弦值求解. 【小问1详解】 已知底面是正方形，所以， 又因为平面平面，且平面底面， 底面，所以平面， 因为平面，所以. 又因为是正三角形，是的中点， 所以. 因为，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 已知底面边长为,是正三角形， 所以， 因为是的中点，故， 所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，即， 又因为平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则， 又因为所成二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 17. 为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动．甲、乙、丙三人参加比赛，有问题1、问题2两道题，其中问题1为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙、丙三人抢到的概率均为，问题2为必答题，甲、乙、丙三人都要回答；已知甲能正确回答问题1、问题2的概率分别为和，乙、丙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响． （1）求问题1回答正确的概率； （2）记能正确回答问题2的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P ，. 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：设“甲抢到问题1”为事件A，“乙抢到问题1”为事件B，“丙抢到问题1”为事件C，“问题1被回答正确”为事件D，由题意知： ， 由全概率公式得： . 【小问2详解】 由题意知：X的可能取值为0,1,2,3， 则有， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论在上的单调性； （3）为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：.（参考公式：） 【答案】（1） （2）在上单调递增 （3）证明：由题意可得 不妨设，则 先证明当时，有，设， 则，所以在单调递减， ＝0，即当，有， 于是有 所以，故有，又，且不能同时取到等号， 故，从而. 【解析】 【分析】（1）求导，根据点斜式即可求解直线方程， （2）求导，对 的范围分为，以及，结合二次求导和导函数的正负，即可求解单调性， （3）先利用导数求证时，有，进而可证明，结合正弦函数的有界性即可求证. 【小问1详解】 求导可得 则,， 所求切线方程为，即 【小问2详解】 求导可得 （a）当时，，则，在单调递增 （b）当时，，则，在单调递增 （c）当时，设， 则，由于均在上单调递增，故在上单调递增， ， 则存在使得满足 则，单调递减，则，单调递增， ， 所以，则，在单调递增； 综上所述：在上单调递增. 【小问3详解】 略 19. 已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若曲线与 轴的交点分别为、（在的左侧），过点的直线交曲线于点（位于第二象限），的角平分线交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）连接直线且与曲线的另一个交点为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）证明：令，代入，得，解得，故、， 设直线的方程为，与曲线的方程联立得： ，则， 所以，解得， 故，故， 设点，则， 由题意得，， 因为平分，由角平分线定理得，即， 化简得，即，解得， 所以点在定直线上． （ii） 【解析】 【分析】（1）根据距离公式以及题干条件化简得出点的轨迹方程； （2）（i）求出点、的坐标，直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，点，利用角平分线定理得出，结合两点间的距离公式解出的值，即可证得结论成立； （ii）先证明、、三点共线，可得出，根据点在第二象限求出的取值范围，再利用二次函数的基本性质可求出的取值范围. 【小问1详解】 设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是点的集合， 由此得，平方化简得，即． 【小问2详解】 （i）略 （ii）连接并延长交双曲线于点，下证点与点重合， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 将直线与曲线的方程联立得：， 所以，， 故，则， 由（i）得，则，故、、三点共线． 又因为、、三点共线，即与点重合，所以， 因为点在第二象限，则，解得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $