专题卷15 思想方法专练(函数与方程、数形结合)-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学二轮复习专题卷

高三二轮复习专题卷十五/数学 思想方法专练（函数与方程、数形结合） (考试时间40分钟) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.已知a是锐角，W3sina+2√2cosa=√1，则sina= A俨 B.33 11 c D. 2.如图，点O,A,B,C在边长为1的正方形网格的格点处.若OC=入OA十uOB,则入十u= A.1 B.2 c号 n号 1,x<0, 3.已知函数f(x)= 则不等式f(x)一f(x一2)<1的解集为 x+1,x≥0， A.(-c∞，1) B.(1,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 4.若log3x=log4y=log5之<-1，则 A.3x<4y<5z B.4y3.x<5z C.4y<5z<3x D.5z<4y<3x 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 5.已知点M是抛物线x2=y上一动点，过点M作直线MN与圆P:(x-5)2+(y+1)2=4相切于 点N,则△PMN面积的最小值为 A.4 B.25 C.5 D.26-1 6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且f(1)=-1,当x∈(1,2)时，f(x)= 1og:u-1)+,则方程f(x)[/)+]=0在区间[一2,4]上的根的个数为 A.9 B.10 C.12 D.17 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列结论正确的是 A.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1十a11=12,则a1S6的最小值为一27 B.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=一3，Sm+1=0,Sm+2=4,则m=7 3,n=1, C.已知an 2kn-k+1,n≥2 若数列1a,不是递增数列，则实数：的取值范围为（一，】 D.已知数列a}满足a1∈(0,1)，a+1=1+lna,则对任意的n≥2，∈N,都有a.>1 an 8.若m+em=n+lnn=4,则 A.mn B.mne C.m+n=4 D.ne"=e 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9g.已知a=b=2,a,b的夹角为行，若向量c满足c-1=1,则1c-a的最大值为 10.在△ABC中，AB=6,BC=10,AC的中垂线交BC于点M,则△ABM的面积的最大值 是 三二轮复习专题卷十五 数学第2页（共4页） 四、解答题（本大题共2小题，共30分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 12.(本小题满分17分)》 11.(本小题满分13分》 已知循圆C:号+芳-1(a>6>0)的焦距为2.且点P1,号)在椭圆C上 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在时间x(单位：s)时相对于平衡 (1)求椭圆C的标准方程； 位置(f(.x)=0)的高度f(x)(单位：cm)由关系式f(x)=Asin(ax十o)确定，其中A>0,w>0, x>0,p∈[0，π].小球从最高点出发，经过0.5πs后，第一次到达最低点，经过的路程为10cm (2)若直线1与椭圆C交于M,N两点，且坐标原点O到直线1的距离为2y区，则∠MON的大 7 (1)求函数f(x)的解析式： 小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由： (2)在镜角△ABC中，角A,B.C的对边分别为a,6:c,若f(B-A)=f(A),求号+会的取值 (3)在(2)的条件下，试求△MON的面积S的取值范围. 范围. ↑最高点 一平衡位置 最低点 数学第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高三二轮复习专题卷十五 数学第4页（共4页）高三二轮复习 ·数学· 高三二轮复习专题卷十五 数学 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直规想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 三角求值中的函数 1 选择题 易 0.80 与方程思想 平面向量中的函数 2 选择题 易 0.72 与方程思想 3 选择题 5 数形结合解不等式 中 0.65 4 选择题 5 数形结合比较大小 √ 中 0.60 解析几何中的数形 5 选择题 5 中 0.55 结合与函数思想 函数中的数形结合 6 选择题 5 难 0.28 思想 数列中的函数方程 选择题 6 中 0.60 思想 函数与方程思想比 8 选择题 6 难 0.28 较大小 平面向量的数形结 9 填空题 5 中 0.60 合思想 椭圆中的数形结合 10 填空题 5 / 中 0.50 思想 L 三角函数与解三角 11 解答题 13 形中的函数与方程 中 0.65 思想 圆锥曲线中的函数 12 解答题 17 中 0.35 与方程思想 昏考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】由3sina十2√2cosa=√I1,得cosa= 2√2 2√ =sin a=1,化简得（√sina-√3） 正-Esin a,由sira十cosa=1,得sina十 =0,得sina= /33 故选B. 2√22√2 11 ·61· ·数学· 参考答案及解析 2.A【解析】建立平面直角坐标系，如图，则O(0,0), △PMN的面积最小.设M(t,t),又P(5,-1),则 A(3,6),C(4,5),B(6,3),所以O元=(4,5)，OA 1PM2=(t-5)2+(t十1)2=t+3t-10t+26,令 (3,6),OB=(6,3),由O心=λOA+OB,可得(4,5) g(t)=t+3t-10t+26,则g'(t)=4t+6t-10,令 =A3.6+a6,3,即1二8十解得A=号A h(t)=g'(t)=4t3+6t-10,则h(t)=12+6>0,所 5=6λ+3u, 以h(t)单调递增，即g(t)单调递增.又g(1)=0, 所以当t>1时，g'(t)>0,g(t)单调递增，当t<1 号，所以十=1.故选A 时，g'(t)<0,g(t)单调递减.所以g(t)mim=g(1) y =20,即△PMN面积的最小值为4.故选A. 0 3.A【解析】由题得，f(x一2)= 1,x2, 2-1x≥2.令 6.D【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以 f(-x)=-f(x),由(x)=f(2-x)可知，函数 g(x)=f(x-2)十1，则g(x)= ≥2在同-坐 2,x<2, f(x)的图象关于直线x=1对称，则有f(-x) 标系下画出f(x),g(x)的图象如图，由图可知 -f(x)=-f(2-x),则f(x)=-f(2十x),则 f(x)<g(x)的解集为（一∞，1）.故选A. f(2十x)=-f(4十x),所以f(x)=f(4十x),故 f(x)是周期函数，周期T=4.又因为f(1)=一1， yf(x) 所以f(-1)=-f(1)=1,且有f(0)=f(2)=0, y=g(x) 则f(-2)=f(2)=0,f(4)=f(0)=0.当x∈ (1,2)时，f(x)=log2(x一1)十x是增函数，且x→ 1时，f(x)→一∞，x→2时，f(x)→2，所以f(x)在 (1,2)上有且仅有一个零点.函数f(x)与函数y= 一二的图象如图，由图可知，方程f(x)=0在区间 [一2,4幻上有10个根，去除x=0后，还有9个根，方 4.D【解析】令logx=logy=logz=<-1,则x= 3m,y=4m,z=5m,即3x=3m+1,4y=4m+1,5之=5m+1, 程f(x)十士=0的根，即函数f(x)的图象与函数 其中m+1<0,在同一坐标系内画出y=3,y=4,y y=- 上的图象的交点，有8个，所以方程 =5,故5<4y<3x.故选D. f()[r(x)+]-0在区间[-2,4]止的根的个 数为9十8=17.故选D. y=3 y=4 m+1 O 5.A【解析】由题意得|PN|=2,所以S△N x IMNI IPNI=IMNI=VTPMT-TPNT- √TPM-4,所以当|PMI取得最小值时， ·62· 高三二轮复习 ·数学· 二、选择题 |AM=|BC|=10,知点M的轨迹是以A,B为焦点 7.ACD【解析】在等差数列{an}中，已知a1十a1= 的椭圆，长轴长为10，焦距为6，不妨设焦点在x轴 12,a1十a1=2a6,则2a6=12,解得a6=6.根据等差 6(a1+a6) 上，则M的轨迹方程是芳十若=1，义△ABM的面 数列的前n项和公式可得S。= 2 积S=合×ABX|w=3w,当|w取最大值 3(a1十6)，所以a1S=a1×3(a1+6)=3ai+18a, 将其看作关于a1的二次函数，二次函数y=3a+ 4时，面积最大，最大面积为3×4=12. y 18 18a1,当a1=一2文3=一3时，a,S,取得最小值，最小 值为3×(-3)2十18×(-3)=-27，故A正确：因 为侵为等发数列，则子十点5行得是十 m十2=0，解得m=6,故B不正确：若{a,}不是递增 数，风需专0政-A1收≤号成 四、解答题 C正确：冷fx)=+ln,所以f()=-是 11.解：(1)设f(x)的最小正周期为T, =,当x>1f>0:当0<x<1f)<0, 由怒意得号=0.5 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递 T=π， 增，所以f(x)≥f(1)=1+ln1=1,又a1∈(0,1)，所 又w>0, 以a2=f(a1)>1,a3=f(a2)>1,…,am+1=f(an)> ∴w=牙=2， (2分) 1,所以对任意的n≥2，n∈N“,都有am>1,故D正 当x=0时，小球位于最高点， 确.故选ACD. 则sinp=1,p∈[0，π]， 8.BCD【解析】：m十em=n十lnn=4,.lnem十em=n 十lnn=4.设f(x)=x+lnx(x>0),则f(em)=f(n) ∴g=晋 =4.:f()=1+士>0，f()=x+n在 又由题意2A=10,解得A=5, .f(x)=Asin(wx十p) (0,十o∞)上单调递增，则em=n.∴.m十n=m十e”= 4,ne"=em·e=em+m=e,故C,D正确；又：f(e)=e =5sin(2x+）=5cos2z. (5 +lne=e+1<4,f(3)=3+ln3>4,.e<em=n<3, (2)由题意，f(B-A)=f(A), .1=lne<m<ln3<2,.m<n,故A错误；设g(x) 故5cos2(B-A)=5cos2A, =xe,则g'(x)=(x十1)e.令g'(x)=(x十1)e>0 即cos2(B-A)=cos2A, 得x>-1;令g'(x)=(x+1)e<0得x<-1, :△ABC为锐角三角形， .g(x)=xe在(-1，十o)上单调递增，在 故2(B-A)=2A或2(B-A)=2π-2A, (-o∞，-1)上单调递减，1<m<2,.g（m)> 当2(B-A)=2A时，解得B=2A, g(1),即e>e,∴.n=mem>e,故B正确.故 当2(B-A)=2π-2A时，解得B=π，舍去， 选BCD. 故B=2A, (7分) 三、填空题 则C=π一A-B=元-3A, 9.25十1【解析】令a=(2,0),b=(-1W3),设c= 又A∈(0，)，B=2A∈(0，)，C=元-3A (x,y),则c-b=(x十1，y-√3)，由|c-b|=1,得 (x十1)2十(y-√3)=1，因此点(x,y)的轨迹是以 ∈(0，罗) (-1,w3)为圆心，以1为半径的圆，又c-a=(x-2, 解得A∈（若，平）， y),所以|c-a|=√(x-2)+y,则|c-a的最大 值为√/(-1-2)2+（√3）2+1=2√3+1. asAe(停)： 10.12【解析】由题得，|AM|=|MC|,由|BM|+ .2cosA∈（√2，√5）， (9分) ·63· ·数学· 参考答案及解析 又公+合-出合+需片 (y=kx+m 联立 sin A 2sin Acos A +苦- 2sin Acos A sin A 得(4k2+3)x2+8km.x+4m2-12=0. 1 -2cos A +2cos A, (11分) 则△=64k2m2-4(4m2-12)(4k2十3)=48(4k+3 -m2)>0, 令1=2osA则F()=+,e(2g) 即m2<4k2+3. 8km 根据对句函数的性质，函数了()=1十在 由韦达定理可得x1十x2=一 4k2+3’2x (√2w3)上单调递增， =4m2-3) 4k2+3 (,) 所以OM.ON=x1x2十y1y =x1x2十(kx1十m)(kx2十m) ∴号+台的取值范围为(，) (13分) =(k2+1)x1x2十km(x1十x2)+m 12.解：(1)由题得，c=1,两焦点为(-1,0)，(1,0). _4(k2十1)(m-3)-8km2+m 4k2+3 因为点P(1,号)在椭圆C上，由椭圆的定义可得 =4(k2十1)m2-12(k2+1)-8km2+(4k2+3)m 4k2十3 2a=√1-(-1D+()+√0-1+()， (4k2十4-8k2+4k2+3)m2-12(k2+1) 4k2+3 则4=2a,即a=2. (2分) =7m2-12(k2+1) (9分) 又因为c=1,根据b2=a2-c2, 4k2+3 可得62=22-12=3， 将m=号(k+1D代入上式， 7 所以b=√3. 所以椭圆C的方程为号+苦=1 (4分) 7×号(+1)-12+1D 4k+3 (2)当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x ±2I =12(2+1)-12(k+12=0, 4k+3 7 所以OM⊥ON, 由对称性不妨令直线1的方程为x=22 即∠MON=受. x=2四 (22I 7 7 综上，∠MON的大小为定值，该定值为受.(11分) 由 ,得 3 =1, + 4 31 (3)当直线1的斜率不存在时，MN1=42工 7 解得y=土2红 7 则s=×4四×2T-号 2 7 7 (12分) x=22 当直线l的斜率存在时，|MN|=√I十k|x1一x2 7 即 y-±2② =√1+4V12k+9-3m 4k2+3 7 将m=昌(2+1D代入上式得 此时OM与ON垂直，易知∠MON=交. (5分) 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx十 4VI+E√12+9-36(+D 7 ,M(x1y1),N(x2,y2） IMNI= 4k2+3 由点到直线的距离公式，可得m=22四 =43 √2+1 7 1十 7 16k+24k2+9' 即m=号(k+1). (6分) 7 所以△MON的面积s=号MN1d ·64· 高三二轮复习 ·数学 16k+24k2+9 (14分) 即s∈（号w] 当=0时，S-号： 综上，△MON的面积S的取值范围为[号，厅] 当k0时s号 1 (17分) 16++2 1+ (15分) 因为16k2+ 是≥26 9 =24(当且仅当16k =是，即k=士时取等号）】 所以0< 一≤48' 16++ 则号 1+ 16k+9 3, +24 ·65·