专题卷14 解答题专练一概率与统计-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学二轮复习专题卷

高三二轮复习专题卷十四/数学 解答题专练一概率与统计 (考试时间40分钟) 一、解答题（本大题共4小题，共60分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 1.(本小题满分13分) 为了调查“经常在直播间购物和性别是否有关”，某网络平台发起了问卷调查，并随机抽取500份 问卷进行了统计，得到如下列联表： 经常在直播间购物 不经常在直播间购物 合计 女性 250 50 300 男性 50 150 200 合计 300 200 500 (1)以频率估计概率，估计女性经常在直播间购物的概率； (2)依据α=0.001的独立性检验，分析经常在直播间购物是否和性别有关. n(ad-bc)2 参考公式：x=a+b)0十7ac)b十其中n=u+b十c+4. 参考数据： a 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 2.(本小题满分15分) 某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节， 预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛.已知共有10000名学生参加了预赛，现从 参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： 频率 组距 0.032 0.020-------- 0.016------ 0.012 0.010 0.005f- 030405060708090100学生的预赛成绩 (1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于70分的学生中随机地抽 取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率； (2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z近似服从正态分布N(,σ2)， 其中：可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替）， 且。2=214，已知小明的预赛成绩为95分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由A,B两类问题组成，答对A类问题得30分，不答或答错得0分； 答对B类问题得70分，不答或答错得0分；②A,B两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只 有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题.已知参加复赛的学生甲答对A类问题的 概率为0.8，答对B类问题的概率为0.6，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关.为使累计得 分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由. 附：√214≈15；若Z~V(4,o2),则P(4-o≤Z≤十c)≈0.6827，P(u-2o≤Z≤u十2o)≈0.9545， P(u-3o≤Z≤μ+3g)≈0.9973. 三二轮复习专题卷十四 数学第2页（共4页） 3.(本小题满分15分) 我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和 可靠售后保障，在全球赢得了很好的营销局面.下表为2017年一2024年（年份代码分别记为：1， 2,3,4,5,6,7,8)该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计. 年份代码i 1 5 6 8 科研经费x:(单位：百亿元) 2 6 10 13 15 18 21 市场规模y(单位：百万辆) 2.5 3.5 3.5 4.5 6 参考数据： xy,=347,=1308,∑=93175≈42.25. ∑(x,-x)(y-y) 参考公式：相关系数r= (1)根据样本数据，推断两个变量是否线性相关，若线性相关，计算样本相关系数，推断它们的线性 相关程度；若不线性相关，请说明理由；（结果精确到0.01，当r越接近1时，成对样本数据的线 性相关程度越强；当r越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱) (2)已知在国内，新能源车主购买的新能源汽车为该品牌新能源汽车的概率为(p∈(0,1)，从国 内新能源车主中随机抽取5人，记这5人中选择购买该品牌的人数为随机变量X,若P(X=5)= P(X=4),求随机变量X的数学期望和方差. 数学第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 4.(本小题满分17分) 某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为200，每局 比赛，棋手胜加100分；平局不得分；棋手负减100分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当 棋手总分为300时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别 为了，子号，且各局比变相互骏立。 (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记n(n≥10)局后比赛终止且棋手获奖1万元的概 率为P(n),求P(n)取最大值时n的值. 三二轮复习专题卷十四 数学第4页（共4页）高三二轮复习 ·数学 高三二轮复习专题卷十四 数学 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： 工.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) P I ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 档次 系数 解答题 13 独立性检验 易 0.85 正态分布、均值的实 2 解答题 15 际应用、计算古典概 中 0.68 型问题的概率 回归分析、二项分 3 解答题 15 中 0.60 布、相关系数的意义 独立事件的乘法公 解答题 17 式、组合数与概率实 难 0.28 际问题的综合 叁考答案及解析 一、解答题 于80分的人数为100×10×(0.012十0.005)=17， 1.解：(1)根据表格可知，300名女性中有250人经常在 预赛成绩不低于70分的学生人数为17十100×10× 直播间购物， 0.016=33. (2分) 所以女性经常在直播间购物的概率为架-号、 因此，从上述样本中预赛成绩不低于70分的学生中 随机地抽取2人， (4分) (2)零假设为H。:经常在直播间购物和性别无关， 至少有1人预赛成绩优良的概率为1一C好=2 C,221 (5分) (4分) 根据表中数据可得， (2)由频率分布直方图可知，=35×0.05+45×0.1 X=500×250X15050X50)-6125 +55×0.2+65×0.32+75×0.16+85×0.12+95× 300×200×300×200 36 170.139 0.05=65, >10.828=x0.001, (10分) 又o=√/214≈15，则十2o=95, (6分) 根据小概率值α=0.001的×独立性检验，我们推断 P(Z>95)=P(Z>u十2.) H。不成立， =1-P(L-2g≤Z≤4+26) 即认为经常在直播间购物和性别有关，该推断犯错误 300 的概率不超过0.001 (13分) ≈0.02275<10000=0.03， (8分) 2.解：(1)由题意可知，抽取的100人中，预赛成绩不低 所以小明有资格参加复赛。 (9分) ·57· ·数学· 参考答案及解析 (3)若学生甲先答A类问题，设他的得分为随机变量 ×3=83, (4分) X,则X的可能取值有0,30,100， P(X=0)=0.2, 82=1308-8×19 P(X=30)=0.8×0.4=0.32, 2-50= -8=93-8×3”=21. P(X=100)=0.8×0.6=0.48, 所以随机变量X的分布列如下表所示： (6分) X 0 30 100 ∑(a-)y- 则r= 0.2 0.32 0.48 则E(X)=0×0.2十30×0.32十100×0.48=57.6， 83 83 (12分) (7分) √/340X√/21√/7140 若学生甲先答B类问题，设该同学的得分为随机变 因为√/7140=√/4×1785≈2×42.25=84.5， 量Y,则Y的可能取值有0,70,100， 83 P(Y=0)=0.4, 所以≈84.5≈0.98. P(Y=70)=0.6×0.2=0.12, 由于|r≈0.98接近1， P(Y=100)=0.6×0.8=0.48, 所以两个变量线性相关且线性相关程度很强.(8分) 所以随机变量Y的分布列如下表所示： (2)因为X~B(5,p), 0 70 100 所以P(X=k)=Cp(1一p)-, (10分) 0.4 0.12 由P(X=5)=P(X=4), 0.48 得Cp(1-p)°=Cp(1-), 则E(Y)=0×0.4+70×0.12+100×0.48=56.4, 解得P=号 (13分) E(X)>E(Y),因此，学生甲应先回答A类问题. (15分) 所以B以X)=5X名-要· 25 3.解：(1)绘制出散点图如下： 2 DX0=5x号×(1-号)-器 (15分) 6 4.解：(1)设每局比赛棋手胜为事件A:,每局比赛棋手 平为事件B:,每局比赛棋手负为事件C:(i∈N”), 设“两局后比赛终止”为事件M 因为棋手与机器人比赛2局，所以棋手可能得0分或 10 15 20x 300分比赛终止. (1分) 由图可知散点落在一条直线附近，则这两个变量线性 (1)当棋手得分为0分，则2局均负，即CC2; 相关。 (2分) (ⅱ)当棋手得分为300分，则2局先平后胜，即 由题得古“ BA2. (3分) =2+3+6+10+13+15+18+21=11, 因为CC2,BA2互斥， 8 所以P(M)=P(CC2+B1A2) =P(C1C2)+P(B1A2) =P(C1)P(C)+P(B)P(A2) =1+1+2+2.5+3.5+3.5+4.5+6=3, 8 =(2)广+(4)°= (3分) 所以两局后比赛终止的概率为 (5分) 2-0)-0=∑-8证y=347-8X11 (2)设“3局后比赛终止”为事件D,“3局后棋手挑战 ·58· 高三二轮复习 ·数学· 成功”为事件E 局中有1负1胜，且是先负后胜的顺序，其余均为平 因为P(D)=P(B1B2A3+B1C,C十CA2A+ 局，共有C-1种， C B2C) 则“n(n≥10)局后比赛终止且棋手获得1万元奖励” =(日)'+子×(3)+×()+号×× 的概率为 3-品 P()=c(2)广(）+c()() (7分) P(E)=P(B B2A3+CA2 A3) C4+8C⊥(m≥10). 22w-1 (13分) =()广+×()'=高 (8分) 所以P》 C+8C: 4C%-1+32C- (14分) 所以在3局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概 因为C%+8C%-4C%-1-32C1 3 =(C%-4C%-1)+8(C-4C-1) 率为P(E引D)=P(D)=P(D) _P(DE)_P(E)_ 643 1111 (n-1)(8-3m)+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(20-3m) 64 2 15 所以在3局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概 又n≥10， 率为品 所以C%+8C-4C%-1-32C-1<0, (10分) 即PCt1D<1, (3)因为n局获奖励1万元，说明甲共胜2局. P(n) (ⅰ)当棋手第n局以0分比赛终止，说明前n一1局 所以P(n)单调递减， (16分) 中有3负2胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为 所以当n=10时，P(n)取最大值为P(10)=2 217. 平局，共有C1种， (17分) (iⅱ)当棋手第n局以300分比赛终止，说明前n一1 ·59·