小练60 概率与统计的综合应用-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 小练60概率与 (考试时间：30分 1.(13分)《中国制造2025》提出“节能与新能 源汽车”作为重点发展领域，为我国节能与 新能源汽车产业的发展指明了方向.某新 能源汽车制造企业为了提升产品质量，对 现有的一条新能源零部件产品生产线进行 技术升级改造，为了分析改造的效果，该企 业质检人员从该条生产线所生产的新能源 零部件产品中随机抽取了1000件，检测产 品的某项质量指标值，根据检测数据整理 得到如图所示的频率分布直方图. 个频率 组时 0.03 0.02 0.016 0.01 8 253545565758595指票雀 (1)从质量指标值在[55,75)的两组检测产 品中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这 5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取 的2件产品恰好在同一组的概率； (2)经估计得这1000件样本的质量指标值 的平均数为x=61,方差为s2=241.检验标 准中a,=5×写6，=5×[吉] n∈N*,其中[x]表示不大于x的最大整 数，{x}表示不小于x的最小整数，s的值四 舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升 级改造后，若质量指标值有65%落在 [a1,b1]内，则可以判定技术改造后的产品 质量初级稳定，但需要进一步技术改造；若 质量指标值有95%落在[a2,b2]内，则可以 判定技术改造后的产品质量稳定，生产线 技术改造成功.请根据样本数据估计，是否 可以判定生产线的技术改造成功？ 班级： 姓名： 统计的综合应用 钟满分：69分) 2.(13分，教材改编题)某工厂为迎接国庆大 促销活动并预估国庆七天销售量，该厂工 作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了 该厂日销售量的频率分布直方图，如图所 示，将日销售量落人各组的频率视为概率， 并假设每天的销售量相互独立. 十频率 组距 0.15 0.125 0.10 0.075 0.05 024681012日销售量/吨 (1)根据频率分布直方图估计该厂的日平 均销售量；（每组以中点值为代表） (2)求未来3天内，连续2天日销售量不低 于6吨，另一天日销售量低于6吨的概率； (3)用X表示未来3天内日销售量不低于6 吨的天数，求随机变量X的分布列、数学期 望与方差 3.(13分，教材改编题)在全社会推行素质教 育的大前提下，更强调了学生的全面发展， 只有全面重视体育锻炼，才能使学生德智 体美全面发展.为了解某高校大学生的体 育锻炼情况，做了如下调查统计：该校共有 学生10000人，其中男生6000人，女生 4000人，为调查该校学生每周平均体育运 动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 了200位学生每周平均体育运动时间的样 本数据（单位：小时）. (1)应收集多少位女生的样本数据？ (2)根据这200个样本数据，得到学生每周 平均体育运动时间的频率分布直方图，其 中样本数据的分组区间为[0,2]，(2,4]， (4,6],(6,8],(8,10],(10,12],估计该校 学生每周平均体育运动时间超过4个小时 的概率； ↑频率 组距 0.150-- 0.125 0.100 0.075 0.025 02 681012时间/小时 (3)在样本数据中，有50位女生的每周平 均体育运动时间超过4个小时，请完成每 周平均体育运动时间与性别的列联表，并 判断能否在犯错误的概率不超过0.001的 前提下认为“该校学生的每周平均体育运 动时间与性别有关”. 性别 每周平均体育运动时间 合计 女生男生 不超过4小时 超过4小时 合计 n(ad-bc)2 附：x=(a+b)(c+)(a+c)(b+)' n=a+b+c+d. a 0.1 0.05 0.010.005 0.001 2.7063.841 6.6357.879 10.828 4.(15分)杭州是国家历史文化名城，为了给 来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景 点推出了预订优惠活动，下表是该景点在 某APP平台10天预订票销售情况： 日期t12345678910 销售量 1.931.951.971.982.012.022.022.052.070.5 y(万张 10 10 经计算可得：y= 02y=1.85,∑y,= 1 10 96,∑号=385. (1)因为该景点今年预订票购买火爆程度 远超预期，该APP平台在第10天时系统异 常，现剔除第10天数据，求y关于t的经验 回归方程；（结果中的数值用分数表示） (2)该景点推出团体票，每份团体票包含四 张门票，其中X张为有奖门票（可凭票兑换 120 景点纪念品)，X的分布列如下： X 3 1 2 3 6 现从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张 为有奖门票，求该份团体票中共有3张有奖 门票的概率， 附：对于一组数据（山，1），(u2,2),…, (u,vn),其经验回归直线v=十a的斜率 和截距的最小二乘估计分别为：3= =1 一，&=v-u. ∑u-mw2 5.(15分)在学校食堂就餐成为了很多学生的 就餐选择.现将一周内在食堂就餐超过3 次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3 次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.学校 为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽 取了100名学生，统计数据如下. 性别 食堂就餐 合计 男生 女生 喜欢 40 20 60 不喜欢 10 30 40 合计 50 50 100 (1)依据小概率值α=0.001的独立性检验， 分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关； (2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学 校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个 套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择 了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概 率为专；若星期二选择了②号套餐，则星期 四选择①号套餐的概率为号，求甲同学星期 四选择②号套餐的概率； (3)用频率估计概率，从该校学生中随机抽 取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为 X,事件“X=k”的概率为P(X=),求使 P(X=k)取得最大值时k的值.数学 P(=1)=0,则P(=0)=1-P(g=1)=6 3 因此的分布列如表， 0 1 P 7 3 10 (3分) (2)若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率 均为品， 3次抽取可以看成3次独立重复试验，因此~ 3,是)， 它的分布列为P()=C(高)广（品），k=0, 1,2,3,如表 0 2 3 343 441 189 27 P 100010001000 1000 (6分) (3)①若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看 成随机抽取1次，且1次抽取了3件， 因此一等品件数X服从超几何分布， 所以从10件产品中任意抽取3件，其中恰有m件 等品的概率为P(X=m)=C空C” ，m=0,1,2,3 C。 所以X的分布列如表 X 0 1 2 3 21 7 1 24 40 40 120 (10分) ②设事件A=“抽取到的3件产品中一等品件数多 于二等品件数”， A1=“抽取到的3件产品中恰好有1件一等品和2 件三等品”， A2=“抽取到的3件产品中恰好有2件一等品”， A?=“抽取到的3件产品均为一等品”， 则事件A,A2,A彼此互斥，且A=AUA2UA 因为P(A,)=CC=3 C1.40' P(A)=P(X=2)=40' 7 P(A)=P(X=3)=120 所以PW=P(A)+PA)+P(A)=动， 即抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数 参考答案及解析 的概率为器 (15分) 11.解：(1)随机变量X的样本均值为30，样本标准差为 6;随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2. 用样本均值估计参数以，用样本标准差估计参数σ， 可以得到X一V(30,62),YV(34,22).(6分) (2)X和Y的分布密度曲线如图所示. X的密 度曲线 Y的密度曲线 26303438 t/min (9分) (3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通 工具 (11分) 由(2)中的图可知， P(X≤38)<P(Y≤38)，P(X≤34)>P(Y≤34)， 所以如果有38in可用，那么骑自行车不迟到的概 率大，应选择骑自行车； 如果只有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率 大，应选择坐公交车， (15分) 小练60概率与统计的综合应用 1.解：(1)由频率分布直方图可得5=03=3 P6575)0.22 所以抽取的2件产品恰好在同一组的概率为P °-告-号 C (4分) (2)因为s2=241,所以s≈16， 则a1=5×(1与6}=45,6=5×[6116]=75， 5. 该抽样数据落在[45,75]内的频率约为0.16十0.3十 0.2=0.66=66%>65%, (8分) a=5X{61-2x16 「61+2×16 =90, 5 =30，b2=5× 5 该抽样数据落在「30,90]内的频率约为1一0.03 0.04=0.93=93%<95%, (12分) 所以可以判定技术改造后的产品质量初级稳定，但不 能判定生产线技术改造成功， (13分) 2.解：(1)该厂的日平均销售量为 3×0.05×2+5×0.1×2+7×0.15×2+9×0.125× 2十11×0.075×2=7.3（吨）. (2分) (2)日销售量低于6吨的概率为0.05×2十0.1×2= 0.3, 则日销售量不低于6吨的概率为1一0.3=0.7， 所以未来3天内，连续2天日销售量不低于6吨，另 一天日销售量低于6吨的概率为 参考答案及解析 0.7×0.7×0.3+0.3×0.7×0.7=0.294. (5分) (3)由(2)可知日销售量不低于6吨的概率为P= 0.7. (6分) 由题意可知随机变量X的可能取值为0,1,2,3，且 XB(3,0.7), P(X=0)=C9·(0.3)3=0.027, P(X=1)=C·0.7·(0.3)2=0.189 P(X=2)=C·0.72·0.3=0.441, P(X=3)=C·0.73=0.343. (10分) 随机变量X的分布列如表： X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 随机变量X的数学期望为E(X)=3×0.7=2.1, 随机变量X的方差为D(X)=3×0.7×(1一0.7)= 0.63. (13分) 3.解：1D由题意得20×00-=80， 所以应该收集80位女生的样本数据. (2分) (2)根据频率分布直方图，得200位学生每周平均体 育运动时间超过4小时的频率为 0.150×2+0.125×2+0.075×2+0.025×2=0.75, 因此可估计该校学生每周平均体育运动时间超过4 小时的概率为0.75. (6分) (3)列出2×2列联表如下： 性别 每周平均体育运动时间 合计 女生 男生 不超过4小时 30 20 50 超过4小时 50 100 150 合计 80 120 200 零假设H。:该校学生的每周平均体育运动时间与性 别无关 X=20X30X0020X50)≈1.11>10.828 50×150×80×120 =x6.001· (11分) 依据a=0.001的独立性检验，推断H。不成立， 即能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“该 校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” (13分) 4.解：(1)设y关于t的经验回归方程：y=十a, 则t=1十2十…十9 9 =5=号∑ 号（y-0.5)=×1.85×10-0.5）=2， 2-2-10=385-100=285, 11 数学 ∑ty,= 2y,10x0.5=96=5=91,4分 = =1 ∑5y,-9ry 所以3= 91-9X5X2= 1 285-9×52 601 ∑-9r a=3-8i=2- 动×5- 所以y关于：的经酸回归方程是=品+器 (7分) (2)记“从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有 奖门票”为事件A, “该份团体票中共有i张有奖门票”为事件B, 则P(B)=日PAR)得= 所以P(AB)=P(B)P(AB)=合， (10分) 义P(a1A)普=子PAR)=0, 所以P(A)=P(AB:)+P(AB)+P(AB), =P(B2)P(AB)+P(AB)+P(B)P(A B) =×名+1+0= 23 6 2 所以P(B|A)=PCAB)=6= P(A) 3 2 则所求概率是3， 1 (15分) 5.解：(1)零假设H。:学生喜欢食堂就餐与性别无关. 由列联表可得x=100X0X300X20)2 50×50×60×40 16.667>10.828=x0.001, (2分) 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H。 不成立，即可以认为学生喜欢食堂就餐与性别有关. (4分) (2)记星期二选择①号套餐为事件A1,选择②号套餐 为事件A2 星期四选择①号套餐为事件B1,选择②号套餐为事 件B2, 则P(A)=P(A:)=2,P(B1A)=号， 4 P(B1A:)=号， 所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A2)= ×号+×号品 211 所以P(B)=1-P(B)=1-是-是 (9分) (3)依题意可得任意一名学生“喜欢食堂就餐”的概率 数学 参考答案及解析 p-品- c()广·（号）≥c()".() 则X~B(10,号）， ()广·()≥c()(号)"， 所以P(X=)=C(号)'·(1-) =C,(g)）·(号)(0<k≤10且∈N,12分) 即 ×≥ k 若P(X=k)取得最大值， 又0≤k≤10且k∈N,所以k=6. (15分) 则-P-》 ·117·