专题卷9 解答题专练一导数及其应用-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学二轮复习专题卷

高三二轮复习专题卷九/数学 2.(本小题满分15分) 已知函数f(.x)=e2-2(a-2)e'-4ax,a∈R. 解答题专练一导数及其应用 (1)讨论f(x)的单调性： (考试时间40分钟) (2)若a>0,f(x)的最小值为g(a) 一、解答题（本大题共4小题，共62分。解容应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） (1)求g(a): 1.(本小题满分13分) (1)证明：g(a)+2a2≥2na+5. 已知函数f(x)=,x2+2x+1-aln(x+1),a∈R. (1)讨论f(x)的极值点个数： (2)若存在实数b使得x轴为g(x)=f(e一1)一b的切线，求b的最大值. 数学第1页{共4页) 衡水金卷·先享题·高三二轮复习专题卷九 数学第2页（共4页） 3.(本小题满分17分) 4.(本小题满分17分) 已知离数x)=xh一1D+告. 已知函数h(x)=2x+co8x,g(x)=e-ax2十1. (1)当a=1时，判断函数g(x)的单调性： (1)若k=3,证明：f(r)在(0，+∞)上单调递减： (2)对任意的x≥0，g'(x)≥h(x),求a的取值范围： (2)若函数∫(x)有两个极值点m,n(m<n). (【)求实数k的取值范围： (3)记f)=h(x)-上2，若f)=f,且0<<<，求证：f(）<0. (若不等式a十1<lnm十ann恒成立，求实数a的取值范围. (参考公式：eos0-cosg=-2sin生in) 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三二轮复习专题卷九 致学第4页（共4页）高三二轮复习 ·数学 高三二轮复习专题卷九 数学 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 讨论函数的极值、已 解答题 13 知切线（斜率）求 易 0.72 参数 讨论函数的单调性、 解答题 15 中 0.60 求最值、证明不等式 根据函数极值点的 3 解答题 17 个数求参数、利用导 中 0.45 数研究双变量问题 利用导数证明不等 解答题 17 式、利用导数研究函 难 0.28 数的单调性、最值 ① 季考誉案及解析 一、解答题 有一个极值点. (6分) 1.解：(1)由题意得∫(x)=2(x十1)一x千 (2)由题得g(x)=f(e-1)-b=e2x-ax-b, 设切点为(x0,g(x)), =2(x+1)-a 由(1)知a>0,因为x轴为y=g(x)的切线， x十1 则g'(x0)=0,g(x0)=0, 若a≤0，则f(x)在(-1，十∞)上单调递增，无极值 点 (3分) 即 2e0-a=0, e2o-axo-b=0; 若4>0，令2(x十1)-a=0,得x=②a-1, 2 解得xw=n号6=受-受n受， (9分) (4分) 令h(a)=号-受ln号， a 所以当xe(-1,-1)时，了(x)<0,f(x)单 调递减； 则(a)-之-（合n号+号）=-合n号， 当xe(-1+e∞)时，了(x)>0,f(x)单调 当a∈(0,2)时，h'(a)>0,h(a)单调递增， 当a∈(2，十o∞)时，h'(a)<0,h(a)单调递减， 递增， 即x=匹-1是f(x)的极小值点，无极大值点 放a=2是Aa)=受一受n号的极大值点，12分) 2 则h(a)≤h(2)=1, 综上，当a≤0时，(x)无极值点；当a>0时，f(x) 所以b的最大值为1. (13分) ·37· ·数学· 参考答案及解析 2.解：(1)f(x)=2e2x-2(a-2)e-4a 当0<x<e时，h'(x)>0,h(x)单调递增； =2(e+2)(e-a), (2分) 当x>e时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 当a≤0时，f(x)>0,f(x)单调递增， (3分) 则h(x)在x=e处取得极大值h(e)= e (8分) 当a>0时，令f(x)=0,得x=lna, 所以当x>lna时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 且h(1)=0,当x→十o∞时，h(x)→0， 当x<lna时，f(x)<0,f(x)单调递减. 则当k一2=山严有两个不等的实数根时，必须且只需 综上所述，当a≤0时，f(x)在（一∞，十∞）上单调 x 递增， 0<k-2<1 当a>0时，f(x)在(lna,十∞)上单调递增，在 e, (-∞，na)上单调递减. (6分) 解得2<k<2+ (2)(i)由(1)知a>0时，f(x)mm=f(lna)=a 2 (a-2)a-4aln a, 所以k的取值范围是(2,2+) (10分) g(a)=a2-2(a-2)a-4aln a. (8分) (i)要证明g(a)+2a≥2lna十5， 1油短意得出。 只需证明a2+4a-4alna-2lna-5≥0(a>0), m (a)=a2+4a-4aln a-2In a-5 (a>0), 所以k-2=lnm-lnn (11分) mn 则m'(a)=2a十4-4(lna十1)-2 由a十1<lnm十alnn得a十1<(k-2)m十a(k 2)n=(k-2)(m十an), =2a-4lna-2 (10分) In mn 令h(a)=2a-4lna-2(a>0), 即a+1<lnm二h(m+an)= mn n("+a) 一1 n 则/(a)=2(a-1)≥0. a2 令t="∈(0,1)， 所以h(a)在(0，十c∞)上单调递增， 即m'(a)在(0，十∞)上单调递增， (12分) 则只需a+1<6:+a), 因为m(1)=2-1-兰=0， 即(a+1)(t-1)-(t+a)nt>0,t∈(0,1). (13分) 所以当0a<1时，m'(a)<0,m(a)单调递减， 令g(t)=(a+1)(t-1)-(t+a)lnt, 当a>1时，m'(a)>0,m(a)单调递增， 可得m(a)≥m(1)=0, 则g()=a-h号 即g(a)+2a≥2lna+5, (15分) 令m(t)=g(t): 3.解：1当=3时x)=xnx-1D-号r,f( 则m'(t)=a t2· =In x-x, (1分) 因为t∈(0,1)， 令知(x)=∫(x),则g（x)=1-1, 当a≤0时，m(t)<0, 则m(t)单调递减，m(t)>m(1)=0, 由9(x)=1-1>0得0<x<1, 从而g(t)单调递增， x 故g(t)<g(1)=0,不符合要求： (15分) 由gx)=子-1<0得>1， 当0<a<1时，m(t)在(a,l)上单调递减，则在(a, 所以9(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调 1)上m(t)>m(1)=0, 从而g(t)在(a,1)上单调递增， 递减， 则p(x)mx=9(1)=-1, 故在(a,1)上g(t)<g(1)=0,不符合要求；(16分) (3分) 当a≥1时，m'(t)>0,则m(t)单调递增，m(t)< 即(x)<0, 所以f(x)在(0，十∞)上单调递减， (4分) 7n(1)=0, (2)(i)f(x)=lnx+(2-k)x(x>0), 从而g(t)单调递减， 由题知f(x)=0有两个不等的实数根， 故g(t)>g(1)=0,符合要求. 综上所述，a∈[1，十o∞)， 即k一2=山二有两个不等的实数根。 即实数a的取值范围为[1，+∞). (17分) 令h(x)=lnx 4.解：(1)当a=1时，g(x)=e-x2+1, 所以g'(x)=e-2x, (1分) 则h'(x)=-nx 令m(x)=e-2x,则m'(x)=e-2, 22 (6分) 当x<ln2时，m'(x)<0,即m(x)在(-oo,ln2)上单 ·38· 高三二轮复习 ·数学· 调递减； 两边同除以x一x2, 当x>ln2时，m(x)>0,即m(x)在(ln2,十oo)上单 调递增， 得2-1(m十2)+c0s二c0s=0, (3分) x1一2 所以m(x)≥m(1n2)=2-2n2>0,即g'(x)>0, 2sin4十sin4, 所以g(x)在R上单调递增. (4分) 即2- ⊥(x十x)+ 2 2一0， (2)因为g(x)=e-ax2+1, x1一x2 所以g'(x)=e-2ax, (12分) 设F(x)=g(x)-h(x)=er一2ax-2x-cosx,x 令=十型 2 ≥0， 则F(x)=e-2a-2十sinx,x≥0. (5分) 令n(x）=e-2a-2+sinx(x≥0)， 得22 2sin osin 2 =0 x1一xg 则n'(x)=e十cosx≥1十cosx≥0， 所以n(x)即F(x)在[0，十oo)上单调递增， 2 sinsin4。y 2 (13分) 故F(x)≥F(0)=1-2a-2=-2a-1. (6分) 即2-2 o= π T1一xg 当a≤-号时，F(x)≥F(0)=-2a-1≥0，此时 因为f(x)=2-2x-sinx, F(x)在[0，十∞)上单调递增， 故F(x)≥F(0)=0,符合题意 (7分) 所以f()=2- -xo一sin xo 当a>-号时，F'(0)=-2a-1<0, 2sin tosin x1一x2 sin o 又F(x)在[0，十o∞)上单调递增，当x趋向十∞时， F(x)趋向十∞， sin二 2 故存在x。>0满足F'(x)=0, =sin xo -1 (15分) 则当x∈[0，x)时，F(x)<0, x一x 2 所以F(x)在[0，x。)上单调递减， 所以当x∈[0，x)时，F(x)≤F(0)=0,不符合题意. sin 2 sin x 2 (9分) x1-x2 x2-x1 42∈(o,受) 2 2 2 综上所述，山的取值范围为（一，一] (10分) 易知0<sin,1<2,L, (3)f)=2a-r+ms,f()=2- 2 2 2 sin二z sin x. 所以 2 -10, 由f(x1)=f(x2), x1一x2 2 得21-生十c0s五=2x-三+c0s 又xo∈(0，π)， 所以sin xo>0, 所以2-)十a-十s有-s车 故f()0,即f(色）<0 (17分) =0, (11分) ·39·