小练33 数列的综合应用(一)-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练33数列的综合应用（一）】 (考试时间：30分钟满分：90分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 7.(多选)已知数列{an}的前n项和S,满足 1.已知数列{an}既是等差数列又是等比数列， 则这个数列的前n项和为 S,=rm∈N),i记a.=(a.+1)·(分）”， A.0 B.n C.na D.a 数列{bn}的前n项和为Tn,且对任意的n∈ 2.(教材改编题)已知各项均为正数的等比数 VA·3实+(2n8红一9}≥0超成 列{an}中，a5=9,则log3a4十log3a6= 立，则 A.3B.4 C.8 D.9 A.an=2n-1 3.已知数列{am},{bn}分别为等差数列、等比 112m-1 数列，若a3十a5=4,b3bb=一8，则a4十 B.bn=2n· 2) b4= 43n+4 A.-1B.0 C.1 D.2 C.T.-3 3·4" 4.已知数列{an}是等比数列，其公比为q,前n 项和为Sn,则“q=一2”是“S3=3a1”的 D.A的取值范围是(8十∞】 A.充分不必要条件 8.(5分，教材改编题)已知a=5十√2，c=5 B.必要不充分条件 √2，若a,b,c三个数成等差数列，则b= C.充要条件 ;若a,b,c三个数成等比数列，则 D.既不充分也不必要条件 b= 5.(教材改编题)在流行病学中，基本传染数9.(5分)甲、乙、丙、丁四人做传球练习，球首 R。是指在没有外力介入，同时所有人都没 先由甲传出，每个人得到球后都等可能地 有免疫力的情况下，一个感染者平均传染 传给其余三个人之一，设P,表示经过n次 的人数.R。一般由疾病的感染周期、感染者 传递后球回到甲手中的概率，则P,= 与其他人的接触频率、每次接触过程中传 ,用n表示Pn= 染的概率决定.假设某种传染病的基本传 10.（13分，教材改编题)已知数列{an}的首项 染数R。=4,平均感染周期为7天，那么感 3a a1= 心 染人数由1个初始感染者增加到3333人 ，且满足a1=2dn 大约需要的天数为（初始感染者传染R。个 (1)求证：数列1-1为等比数列； 人为第一轮传染，这R,个人每人再传染R。 个人为第二轮传染，….参考数据：g2≈ (2)若1+1+1++1>100，求满足 a2 as a 0.3010) 条件的最小整数n. A.42 B.43 C.45 D.49 6.(多选)已知Sn为数列{an}的前n项和， a1=号6，=a,十S,若数列{6既是等差数 列，又是等比数列，则 A.{bn}是常数数列 B.{an}是等比数列 C.{Sm}是递减数列 D.ha是等差数列 n 11.(15分)已知数列{am}为等差数列，a1=1,12.(15分)在一次人才招聘会上，甲、乙两家 a3=2√2+1，前n项和为Sm,数列{bn}满 公司开出的工资标准分别是： 足b,=S.求证 甲公司：第一年月工资1500元，以后每年 的月工资比上一年的月工资增加230元； (1)数列{bn}为等差数列： 乙公司：第一年月工资2000元，以后每年 (2)数列{am}中的任意三项均不能构成等 的月工资在上一年的月工资基础上递 比数列. 增5%. 设某人年初想从甲、乙两公司中选择一家 公司去工作 (1)若此人分别在甲公司或乙公司连续工 作n年，则他在两公司第n年的月工资分 别为多少？ (2)若此人在一家公司连续工作10年，则 从哪家公司得到的报酬较多？(1.05”≈ 1.6289,结果精确到1元) 66数学 所以T=1-+1 (15分) 3 4.解：1)设a1=a,由题意可得ad=2, (10a+45d=100. fa=9. 2 解得2或d=。, (2分) 当(0二时，a,=2m-1,6.=21； (4分) 1d=2 d-时-古2a96=9(号》 a=9, (6分) (2)当d>1时，由(1)知am=2n-1,bn=2m-, T=1+3+5+7…+9…员+…+ 1 (2n-1)·2÷ (10分) 2.=1+3+5+7 1 21 十…十 (2m-3)·2÷+(2m-1)·六， 1 =2+++++…+ -(2n 21 T=6 (15分) 5.解：(1)令公比大于1的等比数列{am}的公比为q, 由题意得 /a=8, /a1q2=8, (3分) l2(a2+1)=a1+a2(a1q+1)=a1+8, 又9>1，解得a=2, 1g=2, 所以an=a1q"-1=2". (6分) (2)由于21=2,2=4,23=8,2=16,25=32， 所以b对应的区间为(0,1]，则b=0: b2,b对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，则b2=b=1, 即有2个1： b,b,b,b对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,6]， (0,7],则b1=b=b=b,=2,即有22个2： bg,b,…,b1对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0， 15],则b8=b,=…=b15=3,即有23个3； b16,b17,…,b对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…， (0,31],则b1s=b1z==b1=4,即有2个4，(12分) 则T0=b1+b2十b+…+b0=0十2×1+4×2+8X 3+15×4=94. (15分) 6.解：D由数列(a,}满足受+受+受十…+受= n(n∈N"), 6 参考答案及解析 当≥2时，可得十受+学十…十片=一1， 两式相减，可得2=1，所以a,=2”, (4分) 当n=1时，可得受=1，所以a1=2,适合上式， 所以数列{am}的通项公式为an=2。 (6分) (2)由数列{6.}满足b.=。1 1 an十2而-2"十20， 1 1 1 则6.+b0-=2十20+2w十20=2+20十 2" 1 2 20+20·2=2十20十(2+20)20 20十20 1 (2"+20)20=20· (10分) 1 (3)由(2)知bm十bo0-a=26’ 可得6+b:+6十…+b=2千20十2+20十… 十2”+20 1 1 则6，+6十b,十…+6=20+2十20十20十… +2+2 两式相加可得2么十6十么十…十6，)=碧， 所以b十b十a十…+b,=2 99 (15分) 小练33数列的综合应用（一） 1.C【解析】，数列{an冫既是等差数列又是等比数列， .a-1十am+1=2an(n≥2，n∈N"),am-1·a+1=a7, 且an≠0，.(2an-am-1)·am-1=a,即a2-2am· a-1十a-1=0,∴an=a-1,∴.这个数列为常数列， ∴.其前n项和为na1.故选C. 2.B【解析】由各项均为正数的等比数列{a},且 a5=9,可得a4a6=a号=81，所以loga4十logsas= log(a1a6)=log81=4.故选B. 3.B【解析】因为数列{a},{bn}分别为等差数列、等 比数列，所以a3十a:=2a=4,b3bb=b=一8，所以 a4=2,b=-2,则a4十b:=0.故选B. 4.A【解析】充分性：当q=一2时，S,=a(1二g) 1-q 9=3a,所以“g=一2”是“S,=3a1”的充分条件：必 要性：当S=3a1时，若q=1,S=3a1成立；若q≠1， S=a二g)=3a1,解得g=-2,所以当S,=3a 1-g 时，q=1或q=-2,因此“q=-2”是“S=3a1”的不 必要条件.所以“q=一2”是“S:=3a”的充分不必要 条件.故选A. 5.A【解析】设第n轮感染的人数为am,则数列 {an}是首项a1=4,公比q=4的等比数列，由1十S 参考答案及解析 =4×(1-4)+1≥3333，可得4+1≥10000，两边 1-4 取对数得(2m十2)g2≥4，所以n十1≥g2≈0.3010 2 2 6.64,所以n=6,故需要的天数约为6×7=42.故 选A. 6.ABD【解析】对于A,设等差数列{bn}的公差为d, 由题意可知b=a1十a1=1,因为数列{b,}也是等比 数列，因此有会-会→(1+4=1+2d→4=0= b=1,显然{bn}既是等差数列，又是等比数列，符合 题意，故A正确；对于B,由A可知bm=a十Sm=1, 当n≥2时，a-1十S-1=1,两式相减得2am=am-1,且 a=子，可得。2=子，可知数列1a.)是以a1= 1 1 Q-1 为首项，号为公比的等比数列，则a,=六，故B正确； 1 对于C,因为a=2,b.=a.十S,=1,可得S.=1 2,根据指数函数的单调性可以判断数列{S}为递 增数列，故C结误：对于D,因为血a= (3)” 宁，所以数列一口}是不为零的常数列，所以它 是等差数列，故D正确.故选ABD. 7.ABD【解析】对于A,当n≥2，n∈N"时，an=S Sm-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时，a1=S1=1, 满足上式，所以an=2n-1,故A正确；对于B,由A 知6=(a,+1·(分)广=2m·(号)，放B正 确：对于C,=1+是+是+…+则工= 十是+是十…十是，两式相减得子工，=1十十 1 14 1一4 即T,=吕-”兰，放C钻误：对于D,对任意的 n∈NA·3士4+(2m-9)(T。-号)>0恒成立， 即心号·2恒成立，设6，-209，则61-。 -2-09-12,当≤5时61-6>0 2+1 2” 即cm+1>cm:当n≥6时，c+1一Cm<0,即ca+1<cm,所 以6，的最大值为6，=品所以A>告×号-8故入 的取值范围是（结，十∞），故D正确，故选ABD, 8.5士√23【解析】若a,b,c三个数成等差数列，则 ·62 数学 6=中=5+E5-E=5.若a,6c三个数成等比 2 2 数列，则=ac=(5十√2)(5-√2)=23→b= ±w√23. 9.号子-子×(-专》【解标1经过一次传递 后，落在乙、丙、丁手中的概率均为子，而落在甲手中 的概率为0，所以P1=0,两次传递后球落在甲手中的 概率为B=×号十×+号×-要 经过n次传递后球落在甲手中，那么n一1次传递后 球一定不在甲手中，所以P.=子(1-卫)，n=2,3, 4…所以P-子=-子(D-子)又P- =-子，所以{D,一}是以-十为首项，一专为公 比的等比数列，则P,一子=(-子)×(-号)， 所以卫.=子-子×(-子)》： 10.解：(1)由题意，数列{a}满足a+1=2a十， 3a 可得1=2a,+1-11+2 a+1 3an 3 an 3 可得1-1= ax+1 3a 3（an 1一11 即+L (4分) 1一1 3 an 又a=，所以-1=， 所以数列-1是首项为子，公比为号的等比数 列 (6分) (2)1)可得上-1=号·（仔）=2·（号）广， a. 所以d=2·(号)广+1， (8分) a 设数列{士}的前n项和为S, =2(+京+安十+)+n -(号门 =2X (11分) 1- 3 若S>10,即n+1->10, 因为函数)=x十1一子为单调递增函数， 数学 所以满足S,>100的最小整数n的值为100.(13分) 11.解：(1)因为等差数列{an}满足a1=1,a=2√2十1， 所以d=a,二4=2，所以a.=2m十1-2，(3分) 3-1 所以5，=u+2"4-号e+(1-号)m 2 所以6，=S 号+(1-号)加 2 -竖+(1-号) (6分) 则6.1-6=竖(n+1)+(1-号) - (1-9)-, 即么，}为公若为号的等若数列， (8分) (2)设数列{an}中任意三项am=1十√2(n-1), am=1十√2(m-1),a4=1十√2(k-1), 则an≠am≠ak, 假设an,am,ak成等比数列， 则[1十√2(m-1)]=[1+√2(n-1)][1+√2(k- 1)], 即2(m-1)2-2(n-1)(k-1)=2(n十k-2m). (12分) 因为m,n,k∈N”, 以4-n 所以(k-n)2=0,即k=n,与a≠a矛盾， 所以数列{am}中的任意三项均不能构成等比数列. (15分) 12.解：(1)在甲公司连续工作第n年的月工资是1500 +230(n-1)=230n+1270, (3分) 在乙公司连续工作第n年的月工资是2000X (1十5%)m-1=2000×1.05m-1. (6分) (2)在甲公司连续工作10年，得到的工资之和为 10×(1500+230×10+1270)×12=304200, (10分) 在乙公司连续工作10年，得到的工资之和为 2000×(1-1.0502×12=40000×(1.050-1)× 1-1.05 12≈301872304200， (14分) 所以从甲公司得到的报酬较多： (15分) 小练34数列的综合应用（二） 16 1.解：(1)因为a=3a,=3T-1(n≥2)， 所以a2=3a1=16. (2分) 当n≥2时，3an=3Tm-3Tm-1=am+1一aa, 故am+1=4am, 6 参考答案及解析 所以an=16·4a-2=4(n≥2)， (4分) 而a,=号不满足上式， 16 故数列{a,}的通项公式为a,=3,n=1, (6分) 4",n≥2. 则当1时成一名留部 (8分) 当m≥2时，R=是十是+是十+朵， 故品++是+…++品 于是R-品+（++…+）=+ (1点) 55 3n+4 1- 4+=1923·4’ 553n+455 整理可得R.=4一g·4<144 (12分) 等上R<部 (13分) 2.解：(1)因为S.=m+1)a 2 ①， 所以当n≥2时，S1=ma,二 2 ②， 由0-②得到a.=+4-, 2 整理得到na,-1=(n-1)an, (3分) 又a4=1.所以a,0,得到品片 所以当n≥2时，a=a·8.2…2,a1= an-an2 an-3 al 马×号×x×1= 当n=1时，满足an=n,所以an=n. (7分) (2)由(1)知b,=。十al=2m十1 ai·a+1n2(n十1) =1 n2(n十1)2' 所以T.=b十b十…+6.=1一2京+交一 11 11 7一(m+1)=1-(n+1, (11分) 1 因为(m+1)>0,且6>0， 所以{T}是关于n的递增数列， 由Hn∈N”,T.<m恒成立，得到≥1， 所以实数m的最小值为1. (15分) 3.解：(1)数表中的第5行为11,12,13,14,15. 数表中的第6行为16,17,18,19,20,21. (4分)