小练40 空间向量与角(一)——空间异面直线所成的角与线面角-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练40空间向量与角（一）一 空间异面直线所成的角与线面角 (考试时间：30分钟满分：94分)》 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 5.(多选)如图，在四面体P-ABC中，AB=BC 1.(教材改编题)PA,PB,PC是从点P出发 =2,ABI BC,PA=PB=PC=4,O为棱 的三条射线，每两条射线的夹角均为60°， AC的中点，M是棱BC上一点，则下列说 则直线PC与平面PAB所成角的正弦值是 法正确的是 Ag B号 c号 2.阅读材料：在空间直角坐标系Oxy之中，过 点P(x,yo,之0)且一个法向量为n= O (a,b,c)的平面a的方程为a(x-xo)+ b(y-yo)十c(x一)=0.根据上述材料，解 B 决下面问题：已知平面α的方程为3.x一5y A.AC⊥平面POB 十x-7=0,直线l是两平面x-3y十7=0 B.四面体P-ABC的体积为2√14 与4y+2x+1=0的交线，则直线1与平面 α所成角的正弦值为 C四面体PABC外接球的半径为1四 1.0 D.当M为棱BC的中点时，直线PC与平 35 面PAM所成的角最大 c号 6.(5分，教材改编题)在正方体ABCD A'BCD'中，直线A'B与平面A'B'CD所 3.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角 成角的余弦值为 形的四面体称为“鳖臑”.在“鳖臑”A-BCD 7.(5分，教材改编题)如图，在直三棱柱ABC 中，AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,M -A1B,C1中，AC⊥BC,点M在棱AB上，AC 为AD的中点，则异面直线BM与CD所成 =BC=CC1=3,AM=√2，则直线AC1与平 角的余弦值为 面B,MC所成角的余弦值为 4. 4 B C 3 C.③ 06 4 4.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数 学经典著作，在其第五卷《商功》中描述的 M 几何体“阳马”实为底面为矩形，一 8.(13分)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D 侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在“阳马” 中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱 P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD=2AB AA'的长为b,且∠A'AB=∠A'AD=120°. =PA,则直线PC与平面PBD所成角的正 (1)求AC的长； 弦值为 (2)求直线BD与AC所成角的余弦值 D' D .53 B. 6 9 C. 3 D.6 79 9.(15分，教材改编题)如图，在正方体ABCD11.(15分)如图，在三棱台ABC-DEF中，平 -A1BC1D1中，E,F,G,H,K,L分别是 面ABC⊥平面BCFE,AF⊥DE,∠ABC AB,BB1,B1C1,CD1,D1D,DA的中点 =∠CBF=45°，AC>AB=1. (1)求证：A,C⊥平面EFGHKL; (2)求DB,与平面EFGHKL所成角的正 弦值. D H (1)求三棱台ABC-DEF的高； (2)若直线AC与平面ABF所成角的正弦 值为，求BC的长. 10.(15分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC, ∠ABC=AB=BC=2AD=2,E,F分 别为边AB,CD上的动点，且EF∥BC,G 是边BC的中点，沿EF将梯形ABCD进 行翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF G (1)当AE为何值时，BD⊥EG; (2)在(1)的条件下，求BD与平面ABF 所成角的正弦值. —80参考答案及解析 =号(A市-A=号BD, 所以EH∥BD, 又EHC平面EFGH,BDE平面EFGH, 所以BD∥平面EFGH. (10分) (3)连接OA,OB,OC,OD,OE,OG, 、M B O 因为E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点， 所以Ei=成，F花-BD, 所以E方=FG 所以EH∥FG,EH=FG, 故四边形EFGH为平行四边形， (13分) 所以点M为EG,FH的中点， 所以OMi=(O+O心) =[是i+o)+成+i)] =+oi+oi+0心+od. (15分) 小练40空间向量与角（一）—空间 异面直线所成的角与线面角 1.A【解析】把PA,PB,PC放在正方体中，并建立如 图所示的空间直角坐标系， x 设正方体的棱长为1，则P(1,0,0),C(0,0,1),A(1, 1,1),B(0,1,0),所以PC=(-1,0,1),PA=(0,1, 1),PB=(-1,1,0).设平面PAB的法向量为n (x,y,2),则{ npi=y叶=0，取x=1,则y=1, n·PB=-x十y=0, x=-1,所以n=(1,1,-1),设直线PC与平面PAB 所成的角为，则sin=cos(p心，n>=C.n 7 数学 2 万X后=兮·所以直线PC与平面PAB所成角的 正孩值为做选A 2.A【解析】因为平面a的方程为3x-5y十之一7=0， 所以平面a的法向量可取n=(3,-5,1),同理平面 x-3y十7=0的法向量可取a=(1,-3,0),平面4y十 2z十1=0的法向量可取b=(0,4,2),设直线1的方 向向量为m=(x,y),则{m:0二1一3y=0, m:6=4y+28=0,取 1,则x=3,x=-2,所以m=(3,1,-2),设直线1与 平面a所成的角为0，则sin0=|cos<m,n》|= m·n |3×3-1×5-2×1 m n √32+1+(-2)产×√/32+(-5)2+1 /10 ,所以直线l与平面α所成角的正 /14×√35 35 张值为做选A 3.B【解析】如图，根据题意可将“鳖臑”A-BCD放入 正方体中，并以B为原点建立如图所示的空间直角 坐标系， 2 M B D 设正方体的棱长为1，则B(0,0,0),C(0,1,0), D11,0,M(2,2,)所以成=（2， 2),C方=(1,0,0)，设异面直线BM与CD所成的 角为0，则cos0=|cos(B成，C市)1=Bi.C方L BMICD √厚 3,所以异面直线BM与CD所成角的余弦 值为写故送B 4.D【解析】因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面 ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,因为底面ABCD为 矩形，所以AB⊥AD,所以AB,AD,AP两两垂直，以 A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,之轴建 立如图所示的空间直角坐标系， 数学 3 设AB=1,AD=AP=2,则B(1,0,0),C(1,2,0), D(0,2,0),P(0,0,2),所以BD=(-1,2,0),B2= (-1,0,2),PC=(1,2,-2).设平面PBD的法向 n·BD=-x十2y=0, 量为n=(x,y,2),则 取x= n.Bp=-x+2z=0, 2,则y=1,2=1,所以n=(2,1,1),设直线PC与平 面PBD所成的角为0，则sing=|cos(n,PC)|= :高-l-5,所以直线PC与平 |n·IPc√6×√ 面PBD所成角的正弦值为怎枚法D 5.AC【解析】因为AB=BC=2,AB⊥BC,所以AC= √2AB=2√2，且△ABC的外心为AC的中点O,所以 OA=OB=OC=号AC=E,0BLAC,因为PA= PC,所以PO⊥AC,又PO∩OB=O,PO,OBC平面 POB,所以AC⊥平面POB,故A正确：因为PA=4, OA=2,P0LAC,所以PO=√4-（√2）=√14， 又PB=4,OB=√2，所以PO十OB=PB,所以PO ⊥OB,又OB∩AC=O,OB,ACC平面ABC,所以PO 1平面ABC,所以Vrx=号Sac·P0=子×号 ×2X2×厅=2，故B错误：设四面体 P-ABC外接球的球心为T,半径为R,则T在PO 上，连接TA,则PO=TP+TO=R+√/TA-OA= R+√/R-2=√m,解得R=4延，故C正确：由 7 A,B选项可知OA,OB,OP两两垂直，以O为原点， OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示 的空间直角坐标系， ·77 参考答案及解析 则A(√2,0,0)，B(0√2,0)，C(-√2,0,0)，P(0,0, √4)，所以A市=(-2,0，√4)，C市=(2,0， √4)，CB=(2,W2,0),设CM=tC第(0<≤1)，则 M(W2t-2w2,0),故M市=(2-反t,-√2t, √14).设平面PAM的法向量为n=(u,u,),则 [n·Ap=-√2u+√I4w=0, 取u=t, n·Mp=(2-√2t)u-√2tu+√I4w=0, 则。=2-=方所以n=(2-方)设直线 原 PC与平面PAM所成的角为0，则sinB= 22t V7L 因为0<t≤1，所以 √2·√/15-28t+28 在t=1处取 √/15t-28t+28 V28(-)+8 得最大值，所以当点M与点B重合时，直线PC与平 面PAM所成的角最大，故D错误，故选AC. 6.2 【解析】以A为原点，AB,AD,AA'所在直线分 别为x,y,x轴建立如图所示的空间直角坐标系， D BE 设正方体ABCD-A'B'CD'的棱长为1，则 A'(0,0,1),D(0,1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),所以 DA=(0,-1,1),DC=(1,0,0),A'B=(1,0,-1). 设平面A'BCD的法向量为n=(x,y,之)，则 1n·DA=-y十x=0, 取y=1,则x=0,之=1，所以 n·DC=x=0, n=(0,1,1),设直线A'B与平面A'B'CD所成的角 为则a6=omi=出宁 又0e[0,号]所以os9=号，所以直线An与平 面AgCD所成角的余孩值为号 34 6 【解析】在直三棱柱ABC-A,BC中，AC⊥ 参考答案及解析 BC,所以CA,CB,CC两两垂直，以C为原点，CA, CB,CC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所 示的空间直角坐标系， C B A1 则C(0,0,0),C(0,0,3),A(3,0,0),B(0,3,0), B1(0,3,3),所以AC=(-3,0,3),CB1=(0,3,3),又 AB=√AC+BC=3√2，AM=√2，所以AM= 号A=(-1,1,0),所以C成=Ci+Ai=(21,0). 设平面BMC的法向量为n=(x,y,x),则 nC=0:即 x十y=0,取x=1,则y=一2,2= n·CB=0,3y+3z=0, 2,所以n=(1,-2,2).设直线AC与平面BMC所成的 角为，则sim0=|osAG,ml=C· AC|·n -3×1+0×(-2)+3×2 W/(-3)2+0+3×√/1+(-2)2+2 6,又9∈ [受]所以os9=√-()= 6 4,所以直 线AC与平面BMC所成角的余弦值为网 6 8.解：(1)由题意得AC之-AB+AD+AA, 所以|AC|=√(AB+AD+AA)2= √/AB2+AD2+AA2+2(AB·AD+AB.AA+AD·A) =√/2a+6+4 abcos120 =√/2a2+b-2ab 所以AC'的长为√2a+b-2ab (5分) (2)由题得BD=AD+AA-AB, 所以|BD|=√J(AD十AA-AB) =√/AD+AA+AB+2(AD·AA-AD·AB-AA·AB) =√2a2+b, (7分) 又AC=-AB+AD, 所以|AC|=√2a, 所以BD·AC=(AD+AA交-AB)·(AB+AD =AA·AB-AB+AD+AA.AD 、1 ah-a+a2-号ab=-ab, (10分) ·78 数学 设直线BD'与AC所成的角为B, 则cos0=|os(Bd,Ad1=Bd·AC BDACI -ab b √/2a2+b·√2a/4a2+2b 所以直线BD与AC所成角的余弦值为 b √/4a+26 (13分) 9.解：(1)以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x 轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系， D A A B 设正方体ABCD-ABCD1的棱长为1， 则A(1,0,1D,C(0,1,0,K(0,0,2),H(0, (200, 所以求=(-0,2)Ki=(0,号，2)At (-1,1,-1), (3分) 1A1C.LK=0, 则 AC.KH=0, 所以AC⊥LK,AC⊥KH, 又LK∩KH=K,LK,KHC平面EFGHKL, 所以A1C⊥平面EFGHKL. (7分) (2)由(1)知平面EFGHKL的一个法向量为A1C= (-1,1,-1), D(0,0,0),B1(1,1,1), 则DB1=(1,1,1), (11分) 设DB:与平面EFGHKL所成的角为a, 则sina=|cos(Ac,DB>1=AC,D斗 AC1·IDBI -1+1-1=1 √3X3 =3 所以DB,与平面EFGHKI所成角的正弦值为子 (15分) 10.解：(1)由题意可得EF⊥AE,EF⊥BE, 因为平面AEFD⊥平面EBCF,平面AEFD∩平面 EBCF=EF,AEC平面AEFD, 所以AE⊥平面EBCF, 所以EB,EF,EA两两垂直， (2分) 数学 以E为原点，EB,EF,EA所在直线分别为x轴、y 轴、：轴建立如图所示的空间直角坐标系， G 设AE=t,t∈(0,2)， 则E(0,0,0),A(0,0,t),B(2-t,0,0),D(0,1,t), G(2-t,1,0), 所以BD=(t-2,1,t),EG=(2-t,1,0), (4分) 因为BD⊥EG, 所以B市.E武=0，即-(t-2)2十1=0， 解得t=1或t=3(舍)， 故当AE=1时，BD⊥EG. (7分) (2)在(1)的条件下，A(0,0,1),B(1,0,0), F(o,0D01D. 所以BD=(-1,1,1),BA=(-1,0,1),BF= (-1,20） (10分) 设平面ABF的法向量为n=(x,y,z), n·BA=-x+=0, .3 n…Bi=-x+2y=0, 取x=1则y=号=1 故n=(1,号1 (12分) 设BD与平面ABF所成的角为B, 则sin8=|cos<BD,n>|= |BD·n BD1·ln -1+号+1 /66 33 ×2+g 故BD与平面ABF所成角的正弦值为√ 33 ,(15分) 11.解：(1)过点F作FO⊥BC于点O 因为平面ABC⊥平面BCFE,平面ABC∩平面 BCFE=BC.FOC平面BCFE. 所以FO⊥平面ABC, 所以FO为三棱台ABC-DEF的高， (2分) 因为ABC平面ABC, 所以FO⊥AB, 连接AO, 因为AB∥DE,AF⊥DE, ·79 参考答案及解析 所以AB⊥AF, 又FO∩AF=F,FO,AFC平面AFO, 所以AB⊥平面AFO, (4分) 又AOC平面AFO, 所以AB⊥AO, 又∠ABC=∠CBF=45°，AB=1, 所以AO=1,BO=FO=√2， 所以三棱台ABC-DEF的高为VE (6分) (2)由(1)可知FO⊥平面ABC, 以O为原点，OB,OF所在直线分别为y,之轴，以平 面ABC内过点O且垂直于BC的直线为x轴建立 如图所示的空间直角坐标系， 则0000)A(号号.o).0E,0.F00n2. 所以i=(-号号o,成=0E 设-d.则a衣-(-号，号-a0), 因为AC>AB 所以BC>BO,所以λ>1. (10分) 设平面ABF的法向量为n=(x,y,之)， n·FB=√2y-√2：=0， 1ai=号+9，-0， 则 取x=1,则y=1,x=1, 所以n=(1,1,1). (12分) 设直线AC与平面ABF所成的角为B, 则sing=|cos(a亡，m>1=AC.nl IACI V2 15 √2A-2λ+1X√3 5 化简得8入2-18入十9=0，解得入= 号或=（舍 去)， 所以BC-号B0=32 2 (15分)