专题卷8 创新题型-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学二轮复习专题卷

高三二轮复习专题卷八/数学 创新题型 (考试时间40分钟) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.已知集合A={1,x2+1,x+3+(x2-1)i},若2∈A,则满足条件的实数x的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 2.下表是部分5°的倍数的锐角正切值（用字母代替），则 5 15 25 6 tan a m p A.m十p+√5mp=√3 B.q-m-√3mq=√3 C.n2+4n=-1 D.p+q+√3pg=√3 3.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维 空间中有两个点A(x1y),B(x2,y2),O为坐标原点，定义余弦相似度为cos(A,B)=cos〈OA, Oi),余弦距离为1-c0s(A,B).已知点A(sin0,os0),B(0,1),若A,B的余弦距离为2-，B 2 则锐角0= A音 B.晋 C. D. 4.某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕 圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，如图，若 该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为5，则该圆锥的体积为 A.250V2x 3 B.250W3x 3 C.250V2π D.250√3π 数学第1页（共8页）】 衡水金卷·先享题·高 5.某次考试共5道试题，均为判断题.计分的方法是：每道题答对的给2分，答错或不答的扣1分，每 个人的基本分为10分.已知赵、钱、孙、李、周、吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表， 则吴的得分为 人 赵 钱 孙 李 周 题号 1 2 × 3 × × 4 × × 得分 14 11 14 14 11 A.8 B.11 C.14 D.17 6.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的 顶角为2α，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和Γ所成角3的变化，截得曲线的形状也 不同.据研究，曲线的离心率为e=s,比如，当a=B时，=1，此时截得的曲线是抛物线.如图2， cos a 在底面半径为1、高为2√2的圆锥SO中，AB,CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上 一点，SE=2EC,则平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为 E -B “δ A 图1 图2 A. 1 B.③ 3 3 C.2 D.23 3 三二轮复习专题卷八 数学第2页（共8页） 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.某种积木的玩法是用不同形状的积木穿过对应的孔洞，来锻炼儿童的手眼协调能力.一块积木的 形状如图所示，该积木由9个棱长为1cm的正方体构成，在边长为5cm的正方形木板上挖出下 列四种形状的孔洞（空白部分），则能使该积木从中穿过的为 A. B. C. D 8.数学家波利亚说过：为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个 量算两次，从而建立相等关系.根据波利亚的思想，由恒等式(1十x)m·(1十x)”=(1十x)+"(m,n∈ N*)的左右两边展开式中x(其中r∈N*,r≤，r≤m)的系数相同，可得恒等式CCm十CCm1十…十 CC=C%+m,我们称之为范德蒙德恒等式，则下列关于范德蒙德恒等式的说法正确的是 A.CC=C B.CC+CiC+.+C5C=Ci C.Cto Cio+Clo Cio++Co C1=C20 D.(C)2+(C)2+…+(C”)2=Cgm-1 数学第3页（共8页）】 衡水金卷·先享题·高 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.1980的不同正因数的个数为 10.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=∫(x)为奇 函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(,b)成中心对称图形的充要 条件是函数y=f(x十a)一b为奇函数.已知数列{am}满足a1=0,aw+1一an=2,n∈N*,当 2025 a%=4050时，令f(x)=∑十a1,若函数y=f()的图象关于点P(a,b)成中心对称图 台x十an 形，则，“ 高三二轮复习专题卷八 数学第4页（共8页） 四、解答题（本大题共2小题，共34分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分17分) 已知数列(a,}满足a,=0,并且对任意的n∈Na,+1取a,-1或a,十1的概率均为分 (1)求a3=0的概率； (2)设a2m+1的值为随机变量X. ①求X的分布列： ②求随机变量X的数学期望E(X). 数学第5页（共8页） 衡水金卷·先享题·高三二轮复习专题卷八 数学第6页（共8页） 12.(本小题满分17分)》 已知函数fx)=c(>0)的图象r与欐圆C:若十y=1(e>1)交于A,B两个不同的点. P。(0,f(0))是T上的点，T在P。处的切线交x轴于点Q1(a1,0),过Q1作x轴的垂线交T于 P1,T在P,处的切线交x轴于点Q2(2,0),过Q2作x轴的垂线交Γ于P2,重复上述操作，依次 得到Q3(a3,0),Q(a4,0),…,Qn(am,0). (1)求a1,am; (2)记直线AB的斜率为k. （i)设△AQQm+1,△BQn+1Qn+2的面积分别为Sn,Tm,证明：k<Sn+Tn; （i)若a2=a,a+1,求证：k<1 n+1 数学第7页（共8页） 衡水金卷·先享题·高三二轮复习专题卷八 数学第8页（共8页）高三二轮复习 ·数学 高三二轮复习专题卷八 数学 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直规想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 由元素与集合的关 选择题 易 0.85 系求参数 两角和与差的三角 2 选择题 易 0.70 公式 坐标计算向量的模、 3 选择题 5 向量夹角的坐标 中 0.65 表示 锥体体积的有关 4 选择题 5 中 0.60 计算 5 选择题 5 推理案例赏析 中 0.50 立体几何与解析几 6 选择题 难 0.30 何的综合 7 选择题 6 空间几何体 易 0.85 组合数的计算、组合 8 选择题 6 难 0.30 数的性质及应用 分步乘法计数原理 9 填空题 5 易 0.80 及简单应用 函数的奇偶性、数列 10 填空题 5 的递推关系、奇偶函 中 0.50 数对称性的应用 数列、概率与组合 11 解答题 17 难 0.30 综合 12 解答题 17 导数，平面解析综合 难 0.28 昏考答案及解析 一、选择题 (x2-1)i=2,不符合互异性，舍去若x十3十 1.B【解析】若x2十1=2，则x=1或x=一1.当x=1 x+3=2, (x2-1)i=2,则 解得x=-1(舍去).综 时，A={1,2,4};当x=-1时，x2+1=x十3+ x2-1=0, ·33· ·数学· 参考答案及解析 上，x=1.故选B 号0心+号心.0+}0心-专所以0E=2 3 2.D【解折1由m30=m(5+25)=品-号 EC EO 由正弦定理得inO元in/SCō，即长 sin∠SCO 得√3m十√3p十mp=1;由tan30°=tan(35°-5°)= 得5g一5w一g=1:由m30 器誓做选℃ 1十qm 二、选择题 m品==}得 2sin15cos15°_2tan15° 7.ABC【解析】根据所给空间儿何体的形状，可得空 4+1=0:由m60=1m(25+35)=生-5， 间几何体通过旋转变换放置方式能通过A,B,C,无 论怎样改变放置方式都不能通过D.故选ABC. 得p十q十√3pg=√3.故选D. 8.BCD【解析】根据范德蒙德恒等式CCm十CCl十 3.B【解析】由题意得1-cos(A,B)=2,5,故 …十CC%=Cn+m,而不是CCm=C+m.例如n=2,m 2 =3,r=1时，左边CC=6,右边C=10,此时CCm cos(A,B)=,0i=(sim.os9),0i=(0,1), 2 ≠Cn,故A错误；对于CgC十CC十…+CC,这 里n=5,m=6,r=6.根据范德蒙德恒等式，此时n十 cos (A,B)=cos (OA,OB)=- OA.OB OAOB m=5十6=11，r=6.所以CC8十CC十…十CC= n0e》0D=6as8,放eas日所以锐 C+6=Ci,故B正确；对于CC。十C。C。十…十 √sin0+cos0×1 CC8,这里n=10,m=10,r=9.由范德蒙德恒等式， 角9=石，故选B. n十m=10+10=20,r=9.所以CC。十CC十… 十C1C8=Ci+1o=C,故C正确；对于(C)2十(C%) 4,A【解析】设圆锥的母线长为1，则圆锥绕顶点S滚 十…十(C)2,可以看作CC”1+CC2+…+十CC% 动所形成的圆的半径为(，周长为2πl,又圆锥的底面 (因为C=C”).这里n=,r=n,根据范德蒙德恒 半径为5，则底面周长为2π×5=10π，故2πl=3× 等式CC”十CC网1+…十CC=C%+m=C2m,而CC网 10π，解得(=15，所以圆锥的高为h=√15-5= =1,所以(C)2+(Cg)2+…+(C)2=C%.-CC= 10√2，所以圆锥的体积为V= 3XπX52X10V2= C一1，故D正确.故选BCD. 250D.故选A. 三、填空题 3 9.36【解析】因为1980=2×3×5×11，它的正因数 5.C【解析】分析可得，无论每道题的结果如何，每道 即为2,3,5,11的幂的乘积，因此正因数的个数为 题前五人的得分比吴的得分多2分，则吴的得分为：4 (2+1)×(2+1)×(1+1)×(1+1)=36. 十1十4十4+1一10=4，加上基本分后为14.故选C. 10.-1【解析】因为a1=0,am+1一am=2或am+l一a 6.C【解析】连接EO,由题意得∠OSC=a,∠EOS= =-2,又a202s=（ag026一a2o2s)十（a262s-a2024）十 B,则∠SC0=90°-a,∠EOC=90°-B,所以e=osE …十(a2-a1)十a1=4050,设2025个差中有x个 cos a -温%在A0C中，5B=8C,0-2E.0 12(x-y)=4050 2和y个-2，故 所以x=2025, 1x+y=2025 =1,且S0⊥OC,则SC=√SO+OC=3,EC=1, y=0,即数列{an}的前2026项成等差数列，公差为 0i-0ò+s-ò+号s式-0ò+号0d-0) d=2.f(x)= 努x+a=x+a十d+x+a十d 台x十amx十a x十a2 号0心+号忘，则10=（号0心+号） 十…++as+d=d十d十…十 d x十a2o2sx十ax十ag 十a225 ·34· 高三二轮复习 ·数学 +2025,令h(x)=f(x-a1013)-2025= P(X=2m). d d C x十a1-a1o13 x十a2-a1o13 所以P(|X|=2m)=2一（m=1,2,…n), d 即h(x)=-012a十 d (14分) x十ag025一a1o13 x-d +兰十十十中：则A(一)= d 则E(|X)=】 x-1012a++4 d zx万下+d -x -x+d 十…十 点空[+mG-门 d d -x+1012a=-+1012a-…- dd (2nC-nC x+ x d x-d x-1012a=-h(x),所以y=h(x)为 奇函数，结合题设易知a=一a113=一2024，b= =2[2nx×21-(2-c心n]-. 2025,故，号=-1. (17分) 四、解答题 12.解：(1)由题意得(x)=te,f(0)=t,f(0)=t, 1,解：(1)当a=0=1a,=0时，概率为2×2=， 1 1=1 D在P。处的切线方程为y=tx十t. 令y=0,可得x=-1,即a1=-1. (2分) (2分) 由Qn(am,0)可知Pn(an,te“n), 当a=0a:=-1,a=0时，概率为分×号=， 2 4’ P在Pm处的切线方程为y=tem(x-an十1) (4分) 令y=0可得x=a,-1,即a+1=aw-1, 所以4=0的概率为十= 所以数列{an}是以a1为首项，公差为一1的等差 (5分) 数列， (2)①设dn=am+1-am, 所以an=-n. (5分) 则对任意正整数：d,取1或-1的概率均为子 (2)(i)设A(x1,y1),B(x2,y), 由题意x1,x2不同时为0，不妨令x1≠0且x1<x2, 且a2m+1=a1十 (a+1-a,)= d (7分) 则S.=之|Q.Q+t,工，=受|Q+Q 设a2a+1=k,显然|k|≤2n, 由(1)可知|Q+1Q+2|=|QQn+1|=an-a+1=1, 再设此时d,d2,…,d2m中有x个1，(2n-x)个-1， 则X=x-(2n-x)=2(x-n)=k, 则5.=受=克em,工.=告=营 (7分) 因此k=2(x一n)只能取[-2,2n]之间的偶数值， 要证k<Sn十Tm, 所以X=2m(m=士1，±2，…，士n), (9分) 即证k=y一业=te1一te2te+te2 对于偶数2m(m=0,士1，…，士n), x1一xgx1一x2 2 事件{X=2}相当于在2n个数d,d2,…,dm中， 即证1一e<e十e西 x1一x2。 2； 有(n十m)个取1，(n-n)个取-1， 令m1=e1,1e=e2, 所以X的概率分布可表示为P(X=2m)= Cm 22m n1一2二1十22 即证nm-n 2 (m=0,士1，…，士n). (12分) ②对任意1≤i≤n,可得P(X=一2m)= 再令A=四(>1)， 1721 ·35· ·数学· 参考答案及解析 即证品<生， 即x1十x2=一a2k(y1十y2). (13分) 即证n心2(A-1) 0+@得+立+听+=2， (9分) a λ+1 2(x-1)(x>1), 因为x1卡x2, 构造函数g(x)=lnx x+1 所以x7十x>2x1x2, 则g(x)=x1) xa+1)7>0, 所u产( a2 所以g(x)在(1，十∞)上单调递增， 所以2=+玉++ a 即g(x)>g(1)=0, 所以<生2得证. >x十)2+(y+) 2a2 2 2 即k<S十T.得证 (11分) =a2(y+y)+y+）>2ak+2k. 2 (1)由(1)可知，k<e十色=十业， 即a2k十k2-1<0. (15分) 2 2 当a2=aam+1=n(n十1)时，有n(n十1)k十2-1 所以y十2>2k. 层+时=10 <0, 即(k2+1)[(n+1)k2-1]<0, 因为 等+=1@ 所以(n十1)k2-1<0, (17分) ①-②得。产+分-=0， 从而<一1 √n+i 即-+)+(1-)(y+）=0, a ·36·