专题卷7 概率与统计-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学二轮复习专题卷

高三二轮复习 ·数学· 高三二轮复习专题卷七 数学 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 分层抽样 易 0.90 2 选择题 5 平均值和方差 易 0.78 二项展开式各项的 选择题 8 0.70 系数 4 选择题 5 残差散点的分布图 中 0.60 全概率公式、条件 5 选择题 5 中 0.55 概率 分类加法计数原理、 6 选择题 5 难 0.30 组合数的计算 7 选择题 6 统计概率概念 中 0.70 组合数计算，二项式 选择题 6 难 0.30 系数的性质 9 填空题 5 百分位数 易 0.90 古典概型问题的 10 填空题 中 0.50 概率 频率分布直方图、超 11 解答题 13 中 0.70 几何分布的分布列 简单离散型随机变 12 解答题 15 量的分布列、条件 中 0.45 概率 香考答案及解析 一、选择题 +0×[4+(8-84)]=30.故选C 1,D【解析】设从高中部抽取的人数为，则5=” 35 解得n=75,即从高中部抽取的人数为75人.故选D. 3D【解析】令x=- 2,得a=-2'=-128:令2x 2.C【解析】50名学生满意度得分的平均值x= +1=2.即x=2,得a+2a+2a+2as+…十 20X780X8-84,方差-器×[9+(78-84) 50 2ag=0,则2a1十2a2十2ag+…十2ag=128.故 ·29· ·数学· 参考答案及解析 选D. C%,=21X20 =210,所以C正确；对于D:由公式C 4.A【解析】对于残差图(1)对应的散点，随机误差满 2×1 足E(e1)=0的假设，但是方差随着x的变化而 +Cm+1=Cm7,得C3+Cg+C+…+C+1=C+C 变化，不满足D(e,)=的假设：对图(2)对应的散 十C号十…+C%+1=C好+C号十…+C%+1=C+2 点，均匀分布在水平带状区域内，随机误差满足 (n∈N·),所以D正确.故选BCD. E(2)=0的假设，方差a不随x的变化而变化，满 三、填空题 足D(e2)=o的假设.故选A. 9.93.5【解析】将数据从小到大排列：85,87,89,90， 5.B【解析】设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的 92,93,94,96,又75%×8=6，故这组数据的上四分 信号为0”，则A=“发送的信号为1”，B=“接收到的 位数为93十94=93.5. 2 信号为1”.由题意得P(A)=P(A)=0.5,P(B|A)= 0.9,P(B|A)=0.1,P(B|A)=0.05,P(B1A)= 4 10.25 【解析】由题意可得p(3)=2,(5)=4,9(7) 0.95,则P(B)=P(A)P(B1A)+P(A)P(B|A)=0.5 =6,9(11)=10,p(13)=12,9(6)=2,9(8)=4, ×0.9+0.5×0.05=0.475,所以P(A「B)= 9(9)=6,9(10)=4,g(30)=8,因为k∈ PA-X5-放在 {3,5,7,11,13},1∈{6,8,9,10,30}，满足9(k) P(B) 6.C【解析】第一行选2个方格有C号=6种方法，这2 9()=2的数组(k,l)有(5,6)，(7,8)，(7,10)， 个方格确定后：(1)若第二行选的方格均与第一行同 (11,30),故所求概率为X52方 4 4 列，则后两行选的方格只能与前两行不同列，有1种 四、解答题 方法：(2)若第二行选的方格均与第一行不同列，则前 11.解：(1)由频率分布直方图可知： 两行选取的4个方格中每列1个，第三行选的方格有 前两组的频率之和为(0.01十0.015)×10=0.25， C?=6种方法，选定后第4行随之确定；(3)若第二行 前三组的频率之和为(0.01十0.015+0.035)×10 选的方格恰有1个与第一行同列，第二行选取方法有 =0.6, 2×(4一2)=4种，此时，前两行选的4个方格中有2 所以中位数位于区间[35,45)中， 个在同一列（该列后两行不选），有1列前两行都未选 (该列后两行必选)，另两列前两行各选一个（后两行 中位数的估计值为35+10×0.50.25=35+50≈ 0.35 7 也要各选一个，2种方法).综上，共6×(1十6+4×2) 42.14; (2分) =90种方法.故选C 由频率分布直方图可知： 二、选择题 样本平均数的估计值为20×0.01×10十30×0.015 7.AC【解析】由~N(3,4)知u=3,σ=2，可知 ×10+40×0.035×10+50×0.03×10+60×0.01 P(×3)=合故a=3,即为充要条件，故A正确：样 ×10=41.5. 故估计这100名志愿者年龄的中位数和平均数分别 本点(x,y:)(i=1,2,3,…)都在直线y=0.8.x十1 为42.14和41.5. (5分) 上，则这组样本数据的相关系数为1，故B错误；若 (2)由题可知从中选取的20名志愿者中，年龄在 A,B互斥，则AB=⑦，P(AB)=0.若A,B相互独 「25,45)的有20×(0.015+0.035)×10=10人， 立，则P(AB)=P(A)P(B)>0(因为P(A)>0, 其中年龄在[25,35)的有20×0.015×10=3人. P(B)>0).所以事件A,B相互独立与A,B互斥不 (6分) 可能同时成立，故C正确；由对称性知若频率分布直 由题知年龄在[25,35)的志愿者人数X服从超几何 方图左右对称，则平均数等于中位数，而若频率分布 分布，X的所有可能取值为0,1,2,3， 直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大 于中位数，故D错误.故选AC. P(X=0)= C9C4_35=7 C1.12024' 8.BCD【解析】对于A:行数比每行的个数少1，所以 P(X=1)= CC号_3×21_63-21 第2025行共有2026个数，所以A错误；对于B:可 C3.120120401 以得出每行的数字之和形成一个首项为1，公比为2 P(X=2)= C8C_3×7_21-7 的等比数列，所以2°+2+2+2+…十20=1-2四 C120120401 -1-2 P(X=3)= =2047,所以B正确；对于C:第21行的二项式系数 C61209 (11分) 为C,(∈N且k≤21)，所以从左到右第三个数是 所以X的分布列为： ·30· 高三二轮复习 ·数学· X 0 1 2 3 +×+最×+b×)×2= 7 21 7 1 24 40 40 120 颜色和符号均不相同的概率为卫=十××2+ 7+1×沿+2× 5、1 7 X的期望E(X)=0× +3× 2×立×2=6： (9分) 40 40 19 P<P<P2,不符合“结果发生的可能性越小，奖项 12010 (13分) 等级越高”的标准， 12.解：(1)由题意得P(A)=4-3, 81 (2分) 故该奖项设置不合理。 (10分) (iⅱ)设一次抽奖的奖金为X元，由题意知X=4a, P(A|B)=n(AB)-6_3 n(B)168 (4分) 2a,a. (11分) (2)(1)在一次摸球的结果中， 按照题意，奖金越高，概率越小，结合(1)，可知X 6=1 的分布列为 P(AB)=24=4 X Aa 2a a P(AB)=9-5 2412 P 11 36 36 2 P(AB)-号-立 所以E(X)= ×4a 1 61 36 11×2a+ 36 a= 2 9a, P(AB)=24-4: (6分) (13分) 所以两次摸球的结果中： >9a≤340，得a≤180， 颜色和符号均相同的概率为户-（士）°+（侣）】 即a的最大值为180. (15分) +(最)+(4)°-器 仅颜色相同或仅符号相同的概率为P,= (× ·31高三二轮复习专题卷七/数学 概率与统计 (考试时间40分钟) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.已知某学校小学部、初中部、高中部的人数比例为4：3：5，学校采用按比例分配的分层随机抽样的 方法抽取人员进行调研暑假期间每天的户外活动时长，已知从初中部抽取的人数为45，则从高中 部抽取的人数为 A.60 B.65 C.70 D.75 2.某学校为了解学生对学校餐厅的满意度，采用问卷调查的方式，随机调查了50名学生，得到20名 男生满意度得分的平均值为78，标准差为3,30名女生满意度得分的平均值为88，标准差为2，则 据此估计该校全体学生满意度得分的方差为 A.20 B.26.4 C.30 D.36.4 3.若2(x+1)(2.x-1)7=ao+a1(2x+1)+a2(2x+1)2+a3(2.x+1)3+…+a8（2.x+1)8,则2a1+ 22a2+23a3+…+2a8= A.-128 B.-15 C.0 D.128 Y1=bx+a1十e 4.根据变量Y,和x的成对样本数据，由一元线性回归模型① ,得到经验回归 E(e1)=0,D(e1)=oi 模型y=i1x十ā1，对应的残差如图(1)所示.根据变量Y2和x的成对样本数据，由一元线性回归 Y2=b2x+az+ez 模型② ,得到经验回归模型y=b2x十α2，对应的残差如图(2)所示，则 E(e2)=0,D(e2)=o ↑残差 ↑残差 3 3 2 0·。· ”●。。 05.10T5202.530 0:…d -1051052.0,3530 。。。。°。 。。。。 -2 -3 -3 图1) 图(2) A.模型①的误差满足一元线性回归模型的E(e1)=0的假设，不满足D(e1)=的假设 B.模型①的误差不满足一元线性回归模型的E(e1)=0的假设，满足D(1)=o1的假设 C.模型②的误差满足一元线性回归模型的E(2)=0的假设，不满足D(e2)=号的假设 D.模型②的误差不满足一元线性回归模型的E(e2)=0的假设，满足D(e2)=o号的假设 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 5.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能 被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1 时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号 为0，则发送的信号是1的概率为 A动 C. D 6.在4×4方格表的16个小方格中选取8个，使得每行每列都恰有两个小方格被选中，则不同的选 取方法数为 A.36 B.84 C.90 D.150 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列命题正确的是 A.已知随机变量N(3,4),则“a=3”是“P(×a)=号”的充要条件 B.在一组样本数据的散点图中，若所有的样本点(x:,y:)(i=1,2,3,…)都在直线y=0.8x+1上， 则这组样本数据的相关系数为0.8 C.若P(A)>0,P(B)>0,则事件A,B相互独立与A,B互斥不可能同时成立 D.若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数小于 中位数 8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数 学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的性质，如图是一个7阶 的杨辉三角，则 第0行 …………………第1斜列 第1行 ……………第2斜列 第2行 2 ………第3斜列 第3行 1331 ……………第4斜列 第4行 14641…第5斜列 第5行 15101051…第6斜列 第6行 1615201561…第7斜列 第7行 172135352171…第8斜列 A.第2025行共有2025个数 B.从第0行到第10行的所有数之和为2047 C.第21行中，从左到右的第3个数是210 D.第3斜列为：1,3,6,10,15，…，则该数列的前n项和为Tn=C+2(n∈N*) 高三二轮复习专题卷七 数学第2页（共4页） 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.数据94,89,92,90,87,93,96,85的上四分位数是 10.已知正整数n,欧拉函数p(n)表示1,2,3，…，n中与n互素的整数的个数，例如，e(2)=1,o(4) =2.若小明从3,5,7,11,13中随机取一个数k,小红从6,8,9,10,30中随机取一个数l,则9(k) 一9(1)=2的概率为 四、解答题（本大题共2小题，共28分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点 赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图. 频率 组距 0.04 0.035 0.03 0.03 0.02 0.015 0.01 0.01 0.01 0152535455565年龄7岁 (1)估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数； (2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中 随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在 [25,45)的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量X表示年龄在[25,35)的志愿者人数， 求X的分布列及期望. 数学第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 12.(本小题满分15分) 某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入24个大小、材质都相同的小球，小球有红 和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“○”或“X”,不同颜色和符号的小球个数如下表所示.从 袋中随机摸出一个球，记事件A为“摸出红球”，事件B为“摸出画○的球”. 红球 蓝球 画○ 6 10 画X 6 (1)求P(A)和P(AB); (2)该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜 色和符号是否相同设置三种奖项，等级从高到低依次为：颜色和符号均相同为一等奖：仅颜色相 同或仅符号相同为二等奖；颜色和符号均不相同为三等奖. (ⅰ)以“结果发生的可能性越小，奖项等级越高”为标准，请你判断该奖项设置是否合理； (iⅱ)若按（ⅰ）中的标准对上述三种结果重新设置奖项，并且一等奖奖励4a元，二等奖奖励2 元，三等奖奖励a元，要使一次抽奖的奖金期望值不超过340元，则a的最大值为多少？ 三二轮复习专题卷七 数学第4页（共4页）