专题卷5 立体几何-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学二轮复习专题卷

高三二轮复习专题卷五/数学 立体几何 (考试时间40分钟) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.已知一个圆台的上、下底面半径分别为3和4，高为1，则该圆台的侧面积为 A.5√2π B.7√2x C.9√2π D.16√2 2.已知直线m,n与平面a,3,Y,则能使a∥3的一个充分条件是 A.a⊥Y,B⊥y B.a∩y=m,β∩y=n,m∥n C.m∥B,n∥3，mCa,nCa D.m∥n,m⊥a,n⊥3 3.如图，高为h的圆锥形容器里装了一定量的水，下列容器内水的体积最接近容器容积一半的是 0.7h 0.8h 0.5h 0.6h A D 4.已知大小为60°的二面角的一个面内有一点，它到另一个面的距离是6，则这个点到二面角的棱的 距离为 A.23 B.4√3 C.4 D.6 5.已知在空间直角坐标系Oxy之中，过点P(xo,yo,o)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面a的方程 为a(x一xo)十b(y-yo)+c(之-2)=0.若直线l是两平面x一3y十7=0与4y十2之+3=0的交 线，则直线的方向向量可以是 A.(3,1,-2) B.(3,1,2) C.(-2,1,-3) D.(2,1,3) 6.已知正三棱锥A一BCD的三个侧面均为等腰直角三角形，过点A作一平面α，使得B,C,D三点 在平面a的同一侧，且B,C,D三点到该平面的距离分别为2,1,1，则三棱锥A一BCD的侧棱长为 A.√5 B.2.5 C.√6 D.2.6 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.如图，圆锥SO的底面半径为1，侧面积为3π，△SAB是圆锥的一个轴截面，C是底面圆周上异于 A,B的一点，则 C A.△SAB的面积为2√2 B圆锥S0的侧面展开图的圆心角为号 C.由C点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到C点的细绳长度的最小值为3√3 D.若AC=区，则三棱锥0-SAC的体积为号 8.已知四面体ABCD中，AB⊥BC,BC⊥CD,BC=2,O为四面体ABCD外接球的球心，则 A.若AB⊥CD,则AB⊥平面BCD B.若AB=CD=1,则AD的取值范围是(2,2√2) C.若AB+CD=2,则C0·(CD-BA)的取值范围是（一2,2） D.若AB=CD=2,直线AB与CD所成的角为60°，则四面体ABCD外接球的表面积为3， 3 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.如图是一个正方体的平面展开图，如果将它还原为正方体，则直线AB,CD所成的角的大小 为 10.已知正四棱锥P一ABCD的所有棱长都为3，点G是△PAC的重心，过点G作平面a,若平面 a∥平面PCD,则平面a截正四棱锥P一ABCD的截面面积为· 三二轮复习专题卷五 数学第2页（共4页） 四、解答题（本大题共2小题，共28分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 12.(本小题满分15分) 11.(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD,△PAD是边长为2的等边三角形，底面 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=AD=BC=2√2，点E,F在边CD上，且AF=BE ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,M为线段PA的中点，连接BM. DF=CE=2,将△AFD,△BCE分别沿AF,BE折起，使点C,D分别到达点P,Q的位置，折成 三棱柱AFQ一BEP,且BQ⊥EP. (1)证明：BM∥平面PCD; (2)求点M到平面PCD的距离； (1)证明：平面BEP⊥平面BEQ; (2)若二面角Q一EP一B的大小为60°，求直线BQ与平面ABEF所成角的正弦值. (3)线段PD上是否存在一点E,使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为压？若存在，求 出焉的值：若不存在，请说明理由。 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三二轮复习专题卷五 数学第4页（共4页）高三二轮复习 ·数学 高三二轮复习专题卷五 数学 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直规想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) I ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 圆台的侧面积 易 0.90 直线、平面位置关系 选择题 5 易 0.85 的判断 圆锥体积的有关 3 选择题 5 易 0.80 计算 二面角与点到直线 4 选择题 5 中 0.55 的距离的综合 平面的法向量，直线 选择题 5 中 0.50 的方向向量 空间向量基本定理 6 选择题 难 及其应用 0.30 圆锥的展开图及最 选择题 6 短距离问题、圆锥侧 中 0.65 面积的有关计算 立体几何综合、多面 8 选择题 0.30 体与球体外接问题 雅 平面展开图还原为 9 填空题 5 中 0.70 正方体，求线线角 棱锥中截面的有关 10 填空题 5 中 0.45 计算 折叠问题、面面垂直 11 解答题 13 的证明、线面角、二 分 0.65 面角综合 证明线面平行、点到 12 解答题 15 平面的距离、探索性 L 中 0.45 问题 ·17· ·数学· 参考答案及解析 香考答案及解析 一、选择题 原点，AB,AC,AD方向分别为x,y,x轴的正方向建 1.B【解析】易知母线长为√E,所以圆台的侧面积为π 立空间直角坐标系，设单位向量n是平面α的一个法 X(4+3)X√W2=7√2π.故选B. 向量，由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数 2.D【解析】若a⊥Y,B⊥Y,则a∥B或a与B相交，故A 组(x,y,z),使得n=xAB十yAC十AD,依题意， 错误；若a∩y=m,B∩y=n,m∥n,则a∥B或a,3相 AB在n上的投影向量的长度为2，则n·AB1=2,即 交，可参考直三棱柱的三个侧面，故B错误；若m,n |(xAB+yAC+zAD)·AB|=2,即|x|a2=2,解 是平行直线，则α与g有可能不平行，故C错误；因为 得1x=是同理得1=品1=合，因为n= m∥n,m⊥a,所以n⊥a,又n⊥B,所以a∥B,故D正 x(a,0,0)十y(0,a,0)十x(0,0,a)=(ax,ay,ax),且 确.故选D. B,C,D三点在平面a的同一侧，于是n= 3.D【解析】设圆锥的顶点到水面的距离为mh,圆锥 的底面半径为r,则水面半径为r.当水的体积等于 (层女合)或n=(名÷)，由 容器容积的-半时，有2·子x(mr)·h= 32h, 2+1+卫_⑤=1，解得a=5.故选C a 整理得m=号，又0.5=0.125,0.6=0.216,0.7 =0.343,0.8=0.512,则D选项更接近号.故选D. 4.B【解析】如图所示，设P为二面角a-1一B的一个 面a内一点，PO是它到另一个面B的距离，PO=6, PH是它到棱的距离.：PO⊥B,lCB,OHCB,∴.PO ⊥l,PO⊥OH,又PH⊥l,PO∩PH=P,PO,PHC平 B 面POH,∴l⊥平面POH.OHC平面POH,∴l⊥ 二、选择题 OH,∴∠PHO为二面角a-I-B的平面角，∠PHO 7.ABC【解析】由圆锥SO的底面半径为1，侧面积为 =60°，在Rt△PHO中，PH= PO 6 sin∠PHo= ③ 3π，得圆锥的母线1=3，圆锥的高h=√-1严= 2√2，对于A,△SAB的面积为2AB·h=22,故A 4V3.故选B. 正确：对于B,圆锥SO的侧面展开图扇形的弧长为 2,则圆心角为号，枚B正确：对于C,将圆锥S0的 侧面沿母线SC剪开展成平面图形，连接C℃，如图， H 所求细绳的长度最小值为CC=2lsin牙=3√，故C 3 正确； 5.A【解析】平面x一3y十7=0的法向量可取a=(1, 一3,0)，平面4y十2x十3=0的法向量可取b=(0,4, 2),设直线l的方向向量m=(x',y,x),则 m·a=x'-3y=0 m…b=4y+2x=0令y=1,则m=(3,1,-2). 故选A 6.C【解析】设三棱锥A一BCD的侧棱长为a,以A为 对于D,连接OC,当AC=√2时，OC⊥OA,△AOC的 ·18· 高三二轮复习 ·数学· 面积为号0A·0C=号，则V-e=V,-oac= 则BF⊥BC,又因为BC⊥AB,AB∩BF=B,AB,BF 3 C平面ABF,所以BC⊥平面ABF,且BF=CD=2, 合×2万-号放D错误.放选AC 因为CD∥BF,故异面直线AB,CD所成的角为 ∠ABF或其补角，则∠ABF=60°或120°.因为四面 8.ABC【解析】对于A,若AB⊥CD,又因为AB⊥ 体ABCD的外接球即为三棱锥C一ABF的外接球， BC,BC∩CD=C,BC,CDC平面BCD,故AB⊥平面 BCD,故A正确：对于B,AD=A店+BC+CD,由题 如下图所示： 意Ai·BC=B武·CD=0,所以A亦 (Ai+BC+CD)2=Ai+BC+C市+2(Ai·BC +BC.Ci+Ai·C市)=6+2Ai·Ci=6+ 2AB.CD|cos(AB,CD)=6+2cos<AB,CD), 因为AB,CD互为异面直线，(AB,CD)∈(0，π)，故 A市=6+2cos(AB,CD)∈(4,8)，故2<|AD|< 2√2，故B正确：对于C,不妨取CD的中点E,连接 OE,OD,OC,则OE⊥CD,Cò·Ci=(C龙+EO)· 设△ABF的外接圆圆心为O,连接OB,OO,O1B, CD-CE.CD+EO.CD-CD, 当∠ABF=60时，△ABF为等边三角形，则该三角 形外接圆的半径为r= 2一=23，设球0的半径 2sin60° 3 为R,则R=产+()=子，此时球0的表面积为 4R=2答；当∠ABF=120时，由于AB=BF=2.则 ∠AFB=30°，则△ABF的外接圆的半径为r= 20-=2.则R=广+()=5，此时球0的表 2 同理可得cò.CA=号c,Cò.C3=号c苏，所以 Cò.(Ci-BA)=Cò.(Ci+AB)=Cò.(Ci+ 面积为4R=20,综上所述，球0的表面积为受或 i-Ci=号(Cd+Ci-Ci)=号(CD+BC 20π，故D错误.故选ABC. 三、填空题 -AC)=号(CD-AB)=是(CD-AB)(CD+ 9.60°【解析】平面展开图还原成立体图后，AB,CD 如下图所示，：DE∥BC,DE=BC,.四边形BCDE AB)=CD-AB=CD-(2-CD)=2CD-2,因为 AB+CD=2,故0<CD<2,故CO·(CD-BA)= 为平行四边形，∴.CD∥BE,∴.AB与CD所成的角即 2CD-2∈(-2,2)，故C正确：对于D,以BC,CD为 为AB与BE所成的角∠ABE(或其补角)，又AB= 邻边作平行四边形BCDF,则口BCDF为矩形，故 AE=BE,∴△ABE为等边三角形，∴∠ABE=60, A一BCDF的各顶点都在球O的球面上，如下图 .AB与CD所成角为60. 所示： 10.2√【解析】设底面ABCD的中心为O,则O为 AC的中点，连接PO,:点G是△PAC的重心，则G ·19· ·数学· 参考答案及解析 在P0上，器-过G作GH∥PC交AC于H, 垂直于平面BEP所在直线为？轴，建立如图所示的 空间直角坐标系， 延长HG交PA于M,过H作EF∥CD,过E作EN .E(0,0,0),B(2,0,0),P(0,2,0),Q(1,0√5)， ∥PC,如图四边形EFMN为截面，：点G是△PAC ∴.BQ=(-1,0,3),EB=(2,0,0),EF=PQ= =3 (1,-25), (10分) 兴m-器则MN=1,EF=3Mr=NE=2, 设平面ABEF的一个法向量为n=(x,y,x), 四边形EFMN为等腰梯形，故面积S= Ei.n=(2,0,0)·(x,y,x)=2x=0 1+3)×5=25. 2 E求.n=(1,-2w3)(x,y,)=x-2y+√5=0 令y=√3，则x=0,x=2, M 故n=(0,√3,2)， (12分) 设直线BQ与平面ABEF所成角为A, ..sin = 1B0·nL25=2I 1 BQI2×√7 7 即直线BQ与平面ABEF所成角的正弦值为√ 7 (13分) 四、解答题 12.解：(1)取PD的中点N,连接MN,CN, 11.解：(1)BE=EP=2,BP=2√2， 由M为PA的中点，且AD=2,BC=1, ..BE +EP:=BP, .BE⊥EP, (2分) 得MN/AD∥BC,MN=AD=1=BC, 又BQ⊥EP,BE∩BQ=B,BQ,BEC平面BEQ, 则四边形BCVM为平行四边形， ∴.EP⊥平面BEQ, 则BM∥CN, 又EPC平面BEP, 而CNC平面PCD,BM￠平面PCD, .平面BEP⊥平面BEQ. (4分) 所以BM∥平面PCD. (4分) (2):EP⊥平面BEQ, EP⊥EQ,又BE⊥EP, 则∠BEQ为二面角Q-EP-B的一个平面角， 即∠BEQ=60°， (6分) 而PQ=2√2， ..EQ=PQ-EP=8-4=2, 即EQ=EB,.△BEQ为等边三角形， (7分) C (2)取AD的中点O,连接PO,OC, 由△PAD为等边三角形， 得PO⊥AD, 而平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面AB CD=AD,POC平面PAD, 则PO⊥平面ABCD, 由AO=BC=1,AO∥BC, 得四边形ABCO是平行四边形， 以E为坐标原点，EB,EP所在直线分别为x,y轴， 于是OC∥AB, ·20· 高三二轮复习 ·数学· 而AB⊥AD, 所以M到平面PCD的距离为B到平面PCD的距 则OC⊥AD,直线OC,OD,OP两两垂直， 以O为坐标原点，直线OC,OD,OP分别为x,y,x 离，即为四 (10分) 轴建立空间直角坐标系，如图， (6分) (3)令P2-xPi=(0,A,-5),A∈[0,1]， 则AE=AP+PE=(0,15)+(0,A,-3λ)=(0,1 十λ√5-W5),AC=(1,1,0), 设平面EAC的一个法向量为m=(a,b,c), m·AC=a+b=0 则{ m·AE=(1+λ)b+(W3-√5)c=0 令b=3(-1),得m=(5(1-λ)，√3(-1)，入+ 1), (12分) 平面DAC的一个法向量为OP=(0,0N3), 则A(0,-1,0),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,-1,0), P(0,0W3),Cp=(-1,0W3),CD=(-1,1,0), 果引序a需周 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,x), 5(十1) 15 则n:C市-x+v=0 √3·√/7以2-10λ+7 5, 化简得2λ2-5λ十2=0， n.CD=-x+y=0 取x=1,得n=(5wW5,1), (8分) 又A[0,1],解得入=， 又BC=(0,1,0), 即跷- =2, 所以B到平面PCD的距离d= BC·n=E n 所以线段PD上存在点E,使得平面EAC与平面 =2 7, DAC夹角的余弦值为此时器=云，《15分 因为BM∥平面PCD, ·21·