专题卷4 数列-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学二轮复习专题卷

高三二轮复习 ·数学 高三二轮复习专题卷四 数学 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直规想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 等差数列的基本量 1 选择题 易 0.85 计算 等比数列的基本量 2 选择题 易 0.78 计算 等差数列的前n项 3 选择题 5 V 中 0.70 和、实际问题 4 选择题 5 并项法求和 中 0.65 数列新定义、累加法 选择题 5 求数列通项、由递推 中 0.60 关系式求通项公式 数列中的最大（小） 6 选择题 5 项、利用an与S.的 / / 中 0.55 关系求通项或项 等差数列、等比数列 选择题 6 的基本性质、a与 J 中 0.60 Sm的关系 根据数列递推公式 写出数列的项、由递 8 选择题 6 中 0.50 推数列研究数列的 有关性质 9 填空题 等差数列前n项和 5 易 0.78 的性质 已知an与Snm的关系 10 填空题 5 中 0.45 求通项或项 已知Sn,am的关系 11 解答题 13 求数列通项与裂项 中 0.65 相消法求和 ·13· ·数学· 参考答案及解析 由am与Sm的关系求 12 解答题 15 通项，错位相减法 / / L 中 0.45 求和 季考答案及解析 一、选择题 二、选择题 1.B【解析】因为2aw+1=an十aa+2,所以{an}为等差 7.BC 【解析】因为g==16,所以q=士2，故A不 数列，设其首项为a,公差为d,由a4=7,S=19,可 a 得/a十3d=7 a1一2 正确：由子=，得a1≠0，a,=a,a,)是公比为1的 95=a+签3d=19解得 ,所以a2= d-2 等比数列，故B正确；因为S=n-10n,Sn-1=(n 1)2-10(n-1)=n2-12n+11(n≥2)，则am=S, +d=号+号=4，选B S-1=2n-11(n≥2)，又a1=一9满足上式，所以am =21-11,所以{|am|}的前10项和为|-9十 2.C【解析】设{an}的公比为q,因为a1十a2=a1(1十 1-7|+|-5|+1-3|+|-1+1+3+5+7+9 q）=2,a-a3=a1-a1g2=a1(1-g)=a1(1十q)(1 =50,故C正确；由题设得当n≥2时，4(S-S-1)= -9)=2(1-g)=3,所以9=- 2,则a1=4,a2 Sa+1,即S+1-2Sm=2(Sn-2S-1),又S2-2S1=0, 1 2,a=1,a=7,S,=a十a十a+a4=号，故 所以31-2S=0,即义=2(m≥2)，又子- S. 4 选C. =2,所以三=2(n∈N),所以(S}是以a:=4为 3.C【解析】由题知，前n排座位数依次构成以15为 首项，2为公比的等比数列，所以Sn=4·2”1=2+1, 首项，2为公差的等差数列，故前n排座位数之和为 当n≥2时，an=S。-S。-1=2m+1-2"=2",所以an= 15m+nnD×2=+14n,由m+14m≥200，n∈ 2",n≥ 2 ,即数列{am}不是等比数列，故D不正确. 4,n=1 N”,解得n≥9，故n的最小值为9.故选C. 故选BC. 4.A【解析】由题知，am=(-1)”n,则其前20项和为 8.ACD【解析】对于A,m=10时，10→5→16→8→4 S=-12十22-32+42-…-192+202=(22-12)十 2→1，故使得am=1要6步雹程，故A正确；对于 (42-32)+…+(202-192)=1+2+3+4+…+20 B,m=4时，42→1→4→2→1→4→2→1·，故 =210.设写错之前这个数为x,则S-x-x=372,解 a202s=a=1,故B错误；对于C,m=1024时，1024 得x=一81，a4=-81,故写错之前这个数为-81.故 =210-→2#→28→27→26→2i→21-→23-→22→21→1→4 选A →2→1→…，故S12=2十2"十28十…十2十1十4= 5.D【解析】根据题意，t=cm+1一cn=n十2l,则c, cs+c&-c十…+c-1=6十…十=1+8)X8+ 2×(2°-1)+5=21+3=2051，故C正确：对于 2-1 2 128 1-2=291,即c-1=291,又因为c1=1,故c,= 1-2 ,32→64< 21 ,8+16 292.故选D. 6.B【解析】因为在{an}中，a1=1,am+1=1十S,当n 510<20 故a:的所有可能 13 =1时，a2=1十S1=1十a1=2;当n≥2时，am+1=1十 Sn,用n-1代替n得am=1十Sa-1,两式相减得a+1 →2→4→8一16 一an=S-Sm-1=an→an+1=2a.又a2=2a1,所以数 ±1→2 取值有128,21,20,3,16,2，共有6个，故D正确.故 列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an 选ACD =2,所以6，=”由61-6.>0，得4中1D 三、填空题 2” 9.一2【解析】由当n=5或6时，Sm取得最大值知，S >织则=1或日=2，所以数列么)中，有么<4 =S,即a=0,因为a1=10,所以公差d=a二a- 5 <6>b,>…,即数列(6，}中，4最大，且6，=4X3 22 -10=-2. =9.故选B. 5 l0.an=2-1【解析】因为an+2十am+1=Sn+2一Sm= 3S十3，所以Sn+2=4Sm十3，若a1=1,a2=2,则S ·14· 高三二轮复习 ·数学· =a1=1,S2=a1十a2=1十2=3，当n=1时，S3= 4S十3=7，所以a3=S-S2=7-3=4,当n≥2 12.解：①D由S=子a+n,n∈N得，S1= 4a-1+ 时，Sn+2=4S十3，Sn+1=4S-1十3，两式相减可得 n-1,n2. aw+g=4am,当n=1时，a4=4a1满足上式，即a±2 两式相减得a,=十(a-a2)十1，n≥2， an 4,所以数列{an}的奇数项是以a1=1为首项，4为 即(an-2)2=a片-1，n≥2， (2分) 公比的等比数列，偶数项是以2为首项，4为公比的 因为{am}是递增数列， 等比数列，又=2，=2，所以数列{a}为等比 所以am-am-1=2,n≥2， (3分) ”a2 数列，即an=2"l. 由S=子di+1,得a=2 (4分) 四、解答题 所以{an}是首项为2，公差为2的等差数列， 11.解：(1)由an(2Sn-an)=1, 所以an=2n. (5分) 令n=1,有a=1, (2)由(1)知bm=4n·3m-1, 因为am>0, 所以Tm=4×3°+8×3十12×32+…十4n·3"1, 所以a1=1. (1分) 则3T.=4×3十8×32+12×33十…十4n·3, 令n=2,有ag(a2十2a1)=1, (6分) 即a十2a2=1,由a2>0,解得a2=√2-1.(3分) 两式相减可得一2Tm=4十4×3十4×32+…十4· 3m-1-4n·3 所以S=1,S2=√2. (4分) (2)当n≥2时，由am=S-Sa-1,代入an(2Sn-am) =4+4X3(1-3-) 1-3 -4n·3 =1, =4十2×3×(3”-1-1)-4n·3” 化简得(Sn-Sa-1)(Sn十Sa-1)=1, =(2-4n)·3”-2, (9分) 即S%-S%-1=1(n≥2)， (7分) 所以Tn=(2n-1)·3+1. (10分) 所以{S}是首项为1，公差为1的等差数列.(8分) (3)令Dn=a1cn十a2c-1十…十ac1=2(3-1), (3)由(2)可知S%=n. 所以D+1=a1cn+1十acn十…十au+1=2(3"+-1), 因为{an}是正项数列， (12分) 所以Sn>0,从而S=n. (9分) 两式相减有D+1一Dn=a1cn+1十2(cn十ca-1…十c1) 1 1 =√+1-√m,(11分) =4·3”, 由s,十S++√+T 所以数列{cm}的前n十1项和为2·3”， 所以Tm=(2-1)十(-√2)+…+ 即M+1=2·3”, (14分) (m+I-√m)=√n+I-1. 所以n≥2时，Mn=2·3m=l, 所以数列(5的前u项和T.=市-1 又D1=a1c1=4→c1=2,满足Mn=2·3-1, 所以c1十c2十…十cn=2·3”-1, (13分) 即M=2·3”-. (15分) 15·高三二轮复习专题卷四/数学 数列 (考试时间40分钟) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.已知数列{an}的前n项和为Sn,若2am+1=an十am+2,a4=7,S4=19,则a2= A.2 B.4 C.5 D.11 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2一a2=3十a3,则S4= A.-1或1 B.1或3 C. n.-号 3.某会场座位共有20排，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位.现有一 个200人的代表团来该会场参加会议，主办方需预留前排座位给该代表团，则n的最小值为 A.7 B.8 C.9 D.10 4.已知数列{an}满足a=(一1)”n2,某同学将其前20项中某一项的正负号写错，得其前20项和为 372,则写错之前这个数为 A.-81 B.-64 C.100 D.121 5.给定一个数列{an},记bn=a+1一am,则把数列{bn}称为{an}的一阶差数列.若数列{cm}的一阶差 数列{tn}的通项公式为tn=n十2"-1，c1=1,则c= A.556 B.557 C.291 D.292 数学第1页（共4页）》 衡水金卷·先享题·高 列a的前n项和为S.a=1,a+1一S,=1,6,二.则b.的 A.4 B.9 C.10 D.12 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知Sn是数列{an}的前n项和，则 A.若{am}是等比数列，a1=1,as=16,则公比q=2 B.若三=n,则{a}一定为等比数列 1 C.若Sn=n2一10n,则{an}的前10项和为50 D.若a1=a2=4,且对Hn≥2，n∈N*,都有4(Sn一Sn-1)=Sn+1,则{an}是等比数列 8.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两 种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称 “角谷猜想”等).如取正整数m=6,共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），即6→3→10→ 5→16→8→4→2→1.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{am}满足：a1=m(m为正整数)， 侣，当a,为偶数时 ,前n项和为Sn.则下列结论正确的是 3an十1，当am为奇数时 A.m=10时，使得am=1要6步雹程 B.m=4时，a2025=2 C.m=1024时，S12=2051 D.使得as=4的m的值有6个 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=10,且当n=5或6时，Sn取得最大值，则{an}的公差 为· 10.设数列{an}的前n项和为Sn,对任意正整数n有ant2十an+1=3Sn十3，若a1=1,a2=2,则{an}的 通项公式为 三二轮复习专题卷四 数学第2页（共4页） 四、解答题（本大题共2小题，共28分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 12.(本小题满分15分 11.(本小题满分13分) 已知数列(a,}是递增数列，其前n项和为S,且S,=子a十n,n∈N. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且an(2Sn一an)=1. (1)求an; (1)求S1,S2; (2)设bn=2an·3"-1,求数列{bn}的前n项和Tn; (2)证明：{S}是等差数列： (3)若数列{cn}满足a1cn十a2cn-1十…十ac1=2(3”-1),求数列{cn}的前n项和M (3)求数列s.十5}的前n项和T… 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三二轮复习专题卷四 数学第4页（共4页）