专题卷3 三角函数、平面向量与解三角形-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学二轮复习专题卷

高三二轮复习 ·数学 高三二轮复习专题卷三 数学 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直规想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) I ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 向量数量积的坐标 1 选择题 易 0.85 运算 辅助角公式，三角函 2 选择题 易 0.80 数的对称轴 三角函数的定义，求 3 选择题 5 中 0.70 三角函数值 向量的运算，投影 4 选择题 5 中 0.65 向量 利用正弦型函数的 5 选择题 5 中 0.55 单调性求参数 解三角形中的距离 6 选择题 中 0.50 测量问题 投影向量、三角形解 7 选择题 6 的个数、判断三角形 中 0.60 形状 用定义求向量的数 8 选择题 6 量积、速度、位移的 难 0.30 合成 9 余弦定理解三角形， 填空题 5 中 0.70 求三角形的面积 三角函数的化简、 10 填空题 5 中 0.60 求值 正弦定理边角互化 11 解答题 13 的应用、余弦定理解 务 0.60 三角形 三角函数、解三角形 12 解答题 15 中 0.45 综合 ·9· ·数学· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 π解得0<ω≤2，由f(x)的图象关于点（号，0）对 1.D【解析】因为AC=(2,2),BC=(-1,-2),所以 AB=AC+CB=(3,4),所以AB·AC=3×2+4X2 称，得号。若=x,k∈Z,解得@=3张十k∈Z,于 =14.故选D. 2A【解折】f(x)=s如x-誓msx=2 是k=0,w=号f(x)=sin(号x-若)，所以f() 3 =sm(分×5-吾)=sin音-故选C sin(x-晋），由x-吾=受+k版(k∈Z),得x= 6.C【解析】由题设∠BAM-105°，∠ABM=30°，则 十km(k∈Z),当k=一1时，x=一否.故选A ∠ANMB=45,fAB=2后，所以n级= 3.B【解析】由题意得s如(o叶兵)-侣cos(e+吾) sin∠ABM:则AM=ABsin∠ABM AM 25×号 sin∠AMB =7语，故m=如(a+-)=侣×号-7语 2 2 ×=一号故选B √/10，由∠ABN=120°，∠BAN=45°，则∠ANB= 2 /1-cos30 4.A【解析】法-：：A店+AC=2AO,∴O是BC的 15,而AB=25,又sin15°= 2 中点，又OA=|AB1,O是△ABC外接圆的圆心， -6，所以识n AN N16 4 ∴△OAB为正三角形，∠ABC=号.：BA·BC 26×号 之DC·cos∠ABC=十BC,∴BA在BC上的投 则AN=ABsin.∠ABN sin∠ANB =3w/10+√30， 6-2 影向量为威：C流-成故选A 4 BC2 由MN=√AM+AV2-2AM·AN·cos∠MAN= 法二：A言+AC=2Aò，O是BC的中点，BC √/10+30(W5+1)'-√10×(3√10+√30) 是圆O的直径，如图，：1OA1=AB1=OB1, √/100+50√3=5(W3+1).故选C. △OAB为正三角形，∠ABC=号，过A作ADL 二、选择题 BC,垂足为D,易得BD=号B0=十BCB在Bd 7.CD【解折】对于Aa在6上的投影向量为合品0 上的投影向量为B方=BC.故选A b号6，故A综误：对干B曲时，店- PB·PC,得PB·CA=0,所以PB⊥CA,PB⊥CA,同 理PA⊥CB,PC⊥BA,故P是△ABC的垂心，故B 正确；对于C,由题设b>a>bsin A=2,则△ABC有 两解，故C正确：对于D,由2sin号=1-cosB= 二，得c0sB=1-a=,所以0+t-, a a 2ac 可得a2=十c2,所以△ABC一定是直角三角形，故 5.C【解析】由f(x)=sin(ar-否)(w>0)在 D正确.故选BCD. 8.AC【解析】对于A,将船的速度v和水流速度 (-号·晋)上单调递增，得红≥2[晋-(-晋)] 进行合成，船垂直河岸方向的分速度v=|y|sina, ·10· 高三二轮复习 ·数学 河宽d=500m=0.5km,则渡河时间==，0.5。 59 v 10sin e 10.72 【解析】由题意可得MB=cosa,VB=sina, 1 20sin9当sin0=1,即0=交时，t取得最小值，所 MB-MA=立' 1 MA=cosB,NA=sinB,因为 则 以当船的航行时间最短时，=受，故A正确：对于B, NA-NB=1」 3 当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图， 1 cosa-cosB=立， 两式平方相加可得2一 1 sin B-sin a=3' 2 so-2 2sin n=3品即2-2os(g-a） 品所以os(ga)=碧 1 V2 四、解答题 则cos(一0==，所以as= 1 11,解：(1)因为3sinC=c 2-cos Aa 错误：对于C,当=否时，船垂直河岸方向的分速度 所以W3 asin C+ccos A=2c, =msim0=10X号=5kmh,船的航行时间t 由正弦定理得√3 sin Asin C+sin Ccos A=2sinC. (2分) 是--六：即6分钟，故C正确：对于D.将船的 因为C∈(0，) 速度y和水流速度进行合成%，则%=v1十2，当 所以sinC≠0， 0=ξ时，”·%=m川wc0s暂=10×2× 所以√3sinA+cosA=2, (-2）=-10,所以I|=√+) 整理得2sin(A+石)=2， (4分) √/w2十2+2v1·=√/100+4-20=2W√21，因为 即sin(A+)=1, 的垂直河岸方向的分速度=ms如9=10×号 因为A∈(0，)， 55kmh,所以船的航行时间：=↓=0,5-5h, 所以A+晋∈(，)， v5√/330 所以船的航行距离为。·1=2V厅× 所以A+晋=受 30 即A=于 (5分) km,故D错误.故选AC. 5 (2)在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB十AC- 三、填空题 2AB·ACcos5, 2 【解析】设△ABC的内角A,B,C所对的边分 即AC2-3AC+2=0, 别为a,b,c,则a=5,b=6,由b2=a2+c2-2 accos B, 解得AC=2或AC=1. (7分) 得36=25+2-10c×令，化简得4c-5c-44=0,解 若AC=1, cos C-AC+BCAB17-90. 2AC·BC 得c=4或c=-(含去).：simB=√1-（信）厂 2W7 则C为钝角，舍去， (8分) 37,:SenBc-2 acsin B-1517 所以AC=2,cosC=AC+BC-AB=4+7-9 4 2AC·BC 4V7 ·11 ·数学· 参考答案及解析 >0, 在△ADE中，由正弦定理得 DE AD 因为AB>BC>AC, sin A sin.∠AED' 根据正弦定理，角C最大， 所以DE= sin 60 3 sin[180°-(60°+8)万2sin(60°+8)' 所以△ABC为锐角三角形，符合题意. (10分) (9分) 因为D为AC的中点， 在△BDF中，∠BDF=90°-0， 所以AD=DC=1, (11分) 所以，在△ABD中，BD=AB+AD-2AB·AD 同理，得DF 3 sin(150-8)' (10分) ·c0sA=9+1-2X3×1X2=7, 故SAE=乞DE·DF 所以BD=√7. (13分) 3 12.解：(1)当点F与点C重合时，在△CDB中，B= 4sin(60°+0)sin(150°-0) 60°，BD=2,BC=3, 由余弦定理得CD=BD十BC-2BD·BC·cos60 (3cos 0++sin 0)(cos 0+/3sin 0) 3 =2+3-2×2×3×号=7， (13分) 2sin20+√5 解得CD=√7， (3分) 所以当0=45°时，2sin20+√3的最大值为2+√5， 于是cOS∠CDB=DC+DB-CB: 2DC·DB 则S△E的最小值为、3三 2+√5 =6-35, =7)2+2-3= 即△DEF面积的最小值为6-3√3. (15分) 2×W7×2 14: 而∠ADE=90°-∠CDB, 因此sin∠ADE=sin(90°-∠CDB)=cos∠CDB= (6分) 2)设∠ADE=a(0<K受停≤n长） 490°-0 ·12·高三二轮复习专题卷三/数学 三角函数、平面向量与解三角形 (考试时间40分钟) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.在△ABC中，已知AC=(2,2),BC=(-1,-2),则AB.AC A.-6 B.2 C.5 D.14 2.函数f)=smx一0x的图象的一条对称轴方程为 Ax=-晋 Bx=-晋 C=晋 D.= 3 3.已知角。的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α按逆时针方向旋转牙后，终边经过 点(7,1)，则sina= A青 3 c号 D 4.已知△ABC外接圆的圆心为O,且AB+AC=2AO,OA1=AB1,则BA在BC上的投影向量为 A.BC B.pe C.-B D.-3BC 4 5.已知函数f(x)=-sin(@r-一否)(w>0)在(-号，)上单调递增，且其图象关于点(，0)对称，则 () C. n号 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 6.如图1，为了测量两山顶M,V间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,M,N在同 一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示.已知∠ABM=30°，∠BAN=45°，∠MAN=60°， ∠MBN=90°，AB=2√5，则MN= 图1 图2 A.5(W5-1) B.5√2 C.5(5+1) D.10 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列说法正确的是 A.若向量a=(13)b=(一2,1)，则a在b上的投影向量为5b B.若P是△ABC所在平面内一点，PA·P艿-P·PC=PC·PA,则P是△ABC的垂心 C.在△ABC中，若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解 D.在△ABC中，若2sin号=a二S,则该三角形一定是直角三角形 2 a 8.如图，一条河两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行，已知船 的速度的大小为M=10km/h,水流速度v2的大小为v2=2km/h,设y和2的夹角为0 (0<0<π)，则 A,当船的航行时间最短时，0=受 B当船的航行距离最短时，0s0=君 水流， C.当0=否时，船的航行时间为6分钟 D.当0=受时，朝的航行距离为km 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在△ABC中，BC=5,AC=6,0sB=日，则△ABC的面积为 三二轮复习专题卷三 数学第2页（共4页） 1O.如图所示，两直角三角形共斜边MN,且MN=1,MB-MA=2,NA-NB=了，设∠AMN=B, 12.(本小题满分15分) 如图1，在等边△ABC中，D为AB上一点，且AB=3AD=3,E,F分别在边AC,BC上，DE ∠BMN=a,则cos(3-a) ⊥DF. 四、解答题（本大题共2小题，共28分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) (1)如图2，当点F与点C重合时，求sin∠ADE; W3sinC」 (2)求△DEF面积的最小值. 已知△ABC为锐角三角形，内角A,B,C的对边分别为a,b,c二c0s六一：， =C (1)求A; (2)若AD=DC,c=3,a=√7，求BD的长度. 数学第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高三二轮复习专题卷三 数学第4页（共4页）