小练26 平面向量基本定理及坐标表示-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

数学 故花=d+D成=号a+(号6名a）=名a+号6 (6分) (2)设AF=m十b, A,E,F三点共线， ∴.存在入，使A京=入AE (7分) 由1)知，A花=名a+号b, “证=合a+号， 3 =合y=号 2 (8分) 又C,F,B三点共线，x十y=1, 即合+号=1=号 x=号y=号∴Ai=吉a+号b ∴A=。A正，即A正+E求=号A .A它=5Ei,AE:EF=51. (11分) 函-A亦-A店=方a+6-a=-吉a+b, 武=A花-A=b(行a+号)=-号a+号， :.BF=4FC,..BF:FC=4:1. (14分) 综上，A市=号a+号b,AEEF=51,BFFC=41. (15分) 小练26平面向量基本定理及坐标表示 1.A【解析】ka十2b=k(1,2)十2(-3,2)=(k-6, 2k+4),a-2b=(1,2)-2(-3,2)=(7,-2),且 (ka十2b)∥(a-2b),∴.(k-6)×(-2)=7(2k+4), .k=-1.故选A. 2.A【解析】由题意得BC=AC-A言=(3,1)，BD= AD-AB=(m十1，-5)，因为B,C,D三点共线，所 以BC∥BD,则m十1=-15，得m=-16.故选A 3.B【解析】(3，-2)=(-1,2)+g(-1,1)=(-p g2十9则g32六故法B 4.C【解析】因为a=(5,4),b=(3,2),所以2a-3b =(10,8)-(9,6)=(1,2),又|2a-3b|=5,所以 与2a-3b平行的单位向量为士号(2a-3b),即 (5)或(-号，-2)故选℃ 参考答案及解析 5.A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， y b 则易知a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),若c= a十b,则(-1，-3)=1(-1,1)+(6,2)， |-λ+6=-1，. 1=-2, +2=-3, 14=1.故选A. =一2 6.A【解析】建立如图所示的直角坐标系. B C 030° A :|OA|=1OB|=1,1OC1=√3，∠A0C=30°， B0,D,C5,0),A(9,）人设元-0i+ oi,(6,0)=x(,-）+a(0,1), 解得A=2,:.0元=2OA+0成故 -A+=0, =1, 选A. 7.B【解析】以C为坐标原点，CD,CA所在直线分别 为x,y轴建立如图所示的直角坐标系， D C 由题意得AC=22,则A(0,22),B(2w2), C(0,0),D(-2,0),AB=(2,-2),AC (0,-2√2)，DB=(2+2,√2).因为DB=λAB+ AC,所以E+2-, λ=√2十1， =-Ex-2厄，解得a=-1-巨.所 解得 2 以计=号故选B 8.C【解析】：A(1,2),B(1-√2,2+22)，∴AB= 参考答案及解析 (一2,2)，：点B绕点A沿顺时针方向旋转平 等价于点B绕点A沿逆时针方向旋转红，∴A市 (（一Ecos平-2Esin只，-Esin2年+2Ecos要)】 =(1,3),∴.P(2,5).故选C. 9.BD【解析】对于A,因为26一6=-2（-4e十 2e),故2e1-e2,-4e1十2e2共线，不能作为基底；对 于B,2e-e2,2e2不共线，可以作为基底；对于C,因 为6-e=合(2e,-2e),所以e-e,2e-20,共 线，故不可以作为基底；对于D,e一e,e1十e不共 线，可以作为基底.故选BD. 10.ABC【解析】设第四个顶点为D(x,y),当AD= BC时，(x-3,y-7)=(-3,-8),解得x=0,y= 一1，此时第四个顶点的坐标为(0，-1)：当AD=CB 时，(x-3,y-7)=(3,8),解得x=6,y=15,此时第 四个顶点的坐标为(6,15)：当AB=CD时，(1，一1) =(x-1,y十2)，解得x=2,y=-3,此时第四个顶 点的坐标为(2，一3).综上，第四个顶点的坐标为(0， -1)或(6,15)或(2，-3).故选ABC. 11.ACD【解析】由题意可得点A在单位圆上，对于 A81-终-8,8=子4=晋4=8 5 票，点4：(=1,23，)的横坐标都不相同，A满 足条件：对于B.91=经-0=平A=竞6 0-登a=竖a-头8-华因为os要- cos(2x一平)=cos平，则AA,的横坐标相同A: (k=1,2,3,…,7)不可能在同一函数图象上，B不 满足条件：对于C.A1=警-，A=开，风=吾 8-7登8-语8=告a=点A=123 …,6)的横坐标都不相同，C满足条件；对于D, 1=g-aa=意a=语a=0=0器 -需8-4-货a-器点A=1,2 3,·,8)的横坐标都不相同，D满足条件.故 选ACD. 12.6-。【解析】如图， D 数学 根据平行四边形的性质可知O市=号B市 合ad-a)=6. 13.(4,-2)(答案不唯一)【解析】因为a= (-1,3),b=(3,-4),所以a十b=(-1,3)十 (3,-4)=(2,-1),又c∥(a+b)且c≠0，所以 c=A(a十b)(A≠0)，则c=(2λ，-λ)(A≠0)，不妨 令λ=2，则c=(4,-2). 14.√3-1【解析】由题意设T(t,0),则wt十g=π+ 2kπ，kCZ,解得=+2km-9,k∈Z,设A(,w), 则=cos(w十o),因为Ti=2AB,所以A为线段 TB的中点，所以B(2。-+2km二9,2)，k∈Z, 又点B在函数f(x)的图象上，所以2%=cos(2w-π -2kr十p十p)=-cos[2(a十9)]=-[2cos2(a+ p)-1]=-2y%十1，即2y十2y-1=0,所以y= 1(负值舍去)，则点B的纵坐标是-1. 2 15.解：(1)1Op1=√3e+2e) =√9ei+4ei+12e1·e2 =/9+4+6=/19. (6分) (2)e,e,作为一组基底，对于任意向量OP=e1+ e2,x,y都是唯一确定的，所以本题中对向量坐标 的规定合理. (13分) 小练27平面向量的数量积及其应用 1,C【解析】由△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1, 1),B(4,1),C(3,3),可得AB=(3,0),AC=(2,2),则 |AB|=3,|AC=2√2且AB·AC=6,所以cosA= 流专数a心 cos(A店，AC=,A店·AC 2.B【解析】由已知可得，(a十b)·b=a·b十b=a· b+4=0,所以a·b=-4.又(2a十b)·a=2a2+a· b=2a2一4=0，所以a2=2,所以a=√2.故选B. 3.B【解析】由2AO=AB+AC,可知O为BC的中 点，故BC边为圆0的直径，所以A=受，又|A0|= |AB=1,所以△ABO为正三角形，则有|BA|= 号|B心，所以B=受，向量BA在BC上的投影向量 的模长为Bc©s吾=之故选B 4.C【解析】因为1OA|=|OB|=|O心1，所以O到 定点A,B,C的距离相等，所以O为△ABC的外心； 由NA+NB+VC=0,得NA+NB=-NC,取AB的 中点E,则NA+N市=2NE=C,所以2|NE|= |C|,所以N是△ABC的重心；由PA·PB=PB·拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练26平面向量基本定理及坐标表示 (考试时间：30分钟满分：86分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 7.古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus)利 1.(教材改编题)已知a=(1,2),b=(一3,2)， 用如图所示的直角三角形来构造无理数. 且ka+2b与a一2b平行，则实数k的值为 已知AB=BC=CD=2,AB⊥BC,AC A.-1B.0 C.1 D.4 CD,若DB=入AB+uAC,则入十u= 2.已知向量AB=(-1,2),AC=(2,3),AD (m,-3),若B,C,D三点共线，则m= A.-16B.16 c号 u-号 3.设a=(-1,2),b=（-1,1),c=(3,-2), 用a,b作基底，可将向量c表示为c=pa十 b,则 A.- √2 R号 A.p=4,q=1 B.p=1,q=-4 C.p=0,q=4 D.p=1,q=4 C.2+1 D.2-1 2 2 4.已知a=(5,4),b=(3,2),则与2a一3b平 行的单位向量为 8.(教材改编题)向量旋转具有反映点与点之 间特殊对应关系的特征，在电子信息传导 停 方面有重要应用.平面向量旋转公式在中 学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具 (-(-,) 有明显优势.已知对任意平面向量AB c.,25-9,2) (x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转0 角得到向量AP=(.xcos0-ysin0,xsin0十 D.（- ycos),叫做把点B绕点A沿逆时针方向 5 旋转0角得到点P.已知平面内点A(1,2), 5.(教材改编题)已知向量a,b,c在正方形网 点B(1一√2,2+2√2)，点B绕点A沿顺时 格中的位置如图所示，若c=a十b(入，：∈ R),则入4的值为 针方向旋转干后得到点P,则点P的坐 标为 A.(1,3) B.(-3,1) C.(2,5) D.(-2,3) A.1 B.2 C.3 D.4 9.（多选)已知{e1,e2}是平面内的一个基底， 6.如图所示，已知OA1=1OB1=1,10C1= 则下列也是平面内一个基底的是 √3,0C⊥OB,∠A0C=30°，用OA与O店表 A.{2e1-e,-4e1+2e2 示OC为 B.{2e1-e2,2e2} C.{e1-e2,2e1-2e2} D.{e1-e2,e1+e2} 90° 30 10.(多选，教材改编题)已知平行四边形的三 A.O元=2OA+0B 个顶点的坐标分别是A(3,7),B(4,6), B.OC=OA+2 OB C(1,一2).则第四个顶点的坐标为 A.(0,-1) B.(6,15) C.O心=-2OA+OB C.(2,-3) D.(2,3) D.OC-OA-20B 51 11.（多选)在平面直角坐标系中，O为坐标原15.(13分)如图，设Ox,Oy是平面内相交成 点，OE=(1,0),互不相同的点A(k=1, 60°角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴、y 2,3,…,n)均满足OA6=1,记∠AOE 轴正方向同向的单位向量.若向量OP= ,且81=领-，若点A均在同一函 xe1十e2,则把有序数对(x,y)叫做向量 m OP在坐标系Oxy中的坐标.设OP= 数的图象上，则下列满足条件的可能是 3e1+2e2. A9=吾m=号m=4 B0=至，m=3,n=7 C.0=至，m=3,n=6 (1)计算|OP的大小； D.0=是m=5,n=8 (2)根据平面向量基本定理判断，本题中 对向量坐标的规定是否合理. 12.(5分)已知□ABCD的两条对角线相交于 点O,以AB=a,AD=b为基向量，则 OD= 13.(5分)已知向量a=(-1,3),b=(3, 一4)，c∥(a十b),写出一个非零向量c的 坐标 14.(5分)如图，函数f(x)=cos(wx十o)的图 象经过点A,B,点T在x轴上，若T官= 2AB,则点B的纵坐标是 52